MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI

Transkripsi

1 RELASI MATEMATIKA DASAR PROGRAM STUDI AGROTEKNOLOGI

2 Apa itu Relasi? Relasi ( hubungan ) himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

3 RELASI R : A B, artinya R relasi dari himpunan A ke himpunan B Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A B (Produk Cartesius/Perkalian Kartesius) Notasi: R (A B). a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Relasi pada himpunan A adalah relasi dari himpunan A ke himpunan A, dimana R (A A).

4 Contoh Misalkan A adalah himpunan mahasiswa dan B adalah himpunan usia. A = {Ali, Budi, Candra}, B = {,2,3} AB ={(Ali,),(Ali,2),(Ali,3),(Budi,),(Budi,2),(Budi,3), (Candra,),(Candra,2),(Candra,3)} Misalkan R adalah relasi yang menyatakan hubungan himpunan A dengan usianya. Diketahui Ali berusia tahun, Budi berusia 3 tahun, dan Candra berusia tahun. Maka, R = {(Ali, ), (Budi, 3), (Candra,) } - R (A B), - A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R. - (Ali,) R atau Ali R. - (Ali,2) R atau Ali R 2.

5 Contoh 2. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 5}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) R jika p dapat membagi q maka kita peroleh: Contoh 3. R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 5), (4, 8) } Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) R jika x adalah faktor prima dari y. Maka kita peroleh: R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}

6 PENYAJIAN RELASI Misalkan M = {Ami, Budi, Candra, Dita} dan N = {, 2, 3}. Misalkan pula, Ami berusia tahun, Budi berusia 3 tahun, Candra berusia 2 tahun dan Dita berusia tahun, maka : P = {(Ami, ), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, )}. PENDAFTARAN (TABULASI), himpunan pasangan terurut dalam P = {(Ami, ), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, )} 2. BENTUK PENCIRIAN, P = {(x,y) x berusia y, dimana x M dan y N}

7 3. DIAGRAM PANAH 4. DIAGRAM KOORDINAT ATAU GRAFIK RELASI

8 5. TABEL Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil. Tabel Relasi P dari M N Ami Budi 2 Candra 3 Dita

9 6. PENYAJIAN RELASI DENGAN MATRIKS Misalkan R adalah relasi dari A = {a, a 2,, a m } dan B = {b, b 2,, b n }. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m ij ], b b 2 b n M = mn m m n n m m m m m m m m m m a a a yang dalam hal ini R b a R b a m j i j i ij ), (, ), (,

10 Misalkan A = {2,3,4} dan B = {2,4,8,9,5}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan : (x, y) R jika x adalah faktor prima dari y. Maka kita peroleh: R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 5)} Relasi R pada Contoh dapat dinyatakan dengan matriks Contoh R b a R b a m j i j i ij ), (, ), (,

11 7. PENYAJIAN RELASI DENGAN GRAF BERARAH Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

12 Contoh Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarah sbb: a b c d

13 RELASI INVERS Setiap relasi R dari A ke B mempunyai sebuah relasi invers R - dari B ke A yang didefinisikan sebagai : R - = {(b,a) (a,b) R} Misalkan A={, 2, 3} dan B = {a, b} R = {(,a), (,b), (3,a)} R - = {(a,), (b,), (a,3)}

14 Contoh. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 5}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dan R? (p, q) R jika p dapat membagi q maka kita peroleh : R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 5) } R = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (5, 3) }

15 Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R, M = maka matriks yang merepresentasikan relasi R, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M, N = M T =

16 Latihan Misalkan A = {, 2, 3}, B = {a, b} dan relasi R = {(,a),(2,a),(2,b),(3,a)} merupakan relasi dari A pada B. a. Invers dari relasi R dalam bentuk tabulasi? b. Invers dari relasi R dalam bentuk matriks?

17 SIFAT-SIFAT RELASI. RELASI REFLEKSIF Misalkan R = (A, A, P(x,y)) R adalah relasi refleksif bila : Untuk setiap a A, (a,a) R Misalkan V={, 2, 3, 4} R = {(,), (2,4), (3,3), (4,), (4,4)} (,) (3,3) (4,4) R R relasi refleksif (2,2) R R bukan relasi refleksif

18 Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2 = {(x,y) x kelipatan dari y, x, y B}. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat refleksif. Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R3 = {(x,y) x + y <, x,y A}. Maka R3={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi R3 tersebut tidak bersifat refleksif. Karena (5,5) R

19 2. RELASI SIMETRIS (Setangkup) Misalkan R = (A, A, P(x,y)) R adalah relasi simetris bila : (a,b) R (b,a) R Misalkan S={, 2, 3, 4} R = {(,3), (4,2), (2,4), (2,3), (3,)} (2,3) R tetapi (3,2) R R bukan relasi simetris Misalkan R = (N,N,P(x,y)) P(x,y) = x dapat membagi y (2,4) R tetapi (4,2) R R bukan relasi simetris R = R - R = simetris

20 3. RELASI ANTI-SIMETRIS (Tidak Setangkup) Jika (a, b) R, maka (b, a) R, kecuali ketika a = b. Misalkan W={, 2, 3, 4} R = {(,3), (4,2), (4,4), (2,4)} (4,2) R dan (2,4) R R bukan relasi anti-simetris R = {(,3), (4,2), (3,3), (4,4)} Anti simetri, karena (3, 3) R dan 3 = 3 dan, (4, 4) R dan 4 = 4, (, 3) & (4,2) R tetapi (3,) & (2,4) R

21 Hubungan Relasi Simetrik & Antisimetrik Simetris dan tidak antisimetris Tidak Simetris dan antisimetris Tidak Simetris dan tidak antisimetris

22 Contoh Relasi Simetris & Antisimetris Misalkan A = {, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka : Relasi R = {(, ), (, 2), (2, ), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat simetris dan tidak antisimetris Karena (, 2) dan (2, ) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R. Relasi R = {(, ), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } bersifat tidak simetris dan juga tidak antisimetris Karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R. Relasi R = {(, ), (2, 2), (3, 3) } bersifat antisimetrik tetapi tidak simetris. Karena = dan (, ) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R.

23 Contoh Relasi Simetrik & Antisimetrik Relasi R = {(, ), (, 2), (2, 2), (2, 3) } antisimetris Karena (, ) R dan = dan, (2, 2) R dan 2 = 2. Relasi R = {(, ), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak simetrik dan tidak antisimetrik. karena (4, 2) R tetapi (2, 4) R. R tidak antisimetrik karena (2, 3) R dan (3, 2) R tetap 2 3.

24 4. RELASI TRANSITIF (Menghantar) Misalkan R = (A, A, P(x,y)) R adalah relasi transitif bila : (a,b) R dan (b,c) R (a,c) R R =(R #, R #,P(x,y) P(x,y) = x lebih kecil dari y a < b dan b < c a < c R R adalah relasi transitif

25 Misalkan A = {, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka (a) R = {(2, ), (3, ), (3, 2), (4, ), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel CONTOH berikut: Pasangan berbentuk (a, b) (b, c) (a, c) (3, 2) (2, ) (3, ) (4, 2) (2, ) (4, ) (4, 3) (3, ) (4, ) (4, 3) (3, 2) (4, 2) (b) R = {(, ), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena (2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R. (c) Relasi R = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar (d) Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.

26 HUBUNGAN ANTARA RELASI RELASI EKIVALEN REFLEKSI + SIMETRIS + TRANSITIF RELASI PENGURUTAN SEBAGIAN REFLEKSIF + ANTISIMETRIS + TRANSITIF

27 RELASI EKIVALEN Relasi ekivalen digunakan untuk merelasikan obyekobyek yang memiliki kemiripan dalam suatu hal tertentu. Definisi. Suatu relasi pada himpunan A dikatakan sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Dua anggota A yang berelasi oleh suatu relasi ekivalen dikatakan ekivalen.

28 Contoh Diketahui A = {, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R = { (,), (,2), (2,2), (2,), (3,3) } JAWAB: Relasi R bersifat refleksif = (,), ( 2,2), & (3,3) Relasi R bersifat simetris = (,2) & (2,) Relasi R bersifat transitif. = (,2) (2,) >> (,) Maka A adalah relasi ekivalen

29 Contoh Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x kelipatan y, x, y B } JAWAB: maka R2 = { (2,2), (4,4), (5,5), (4,2) }. Bersifat Refleksi = (2,2), (4,4), (5,5) Ӽ Tdk Bersifat Simetris = (4,2) tidak ada (2,4) Ӽ Tdk Bersifat transitif Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen.

30 RELASI PENGURUTAN SEBAGIAN Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris.

31 Contoh Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R4 = { (x,y) x kelipatan y, x,y B } JAWAB: R4 = { (2,2), (4,4), (5,5), (4,2) }. Relasi R4 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Relasi R bersifat refleksif = (2,2), (4,4), & (5,5) Relasi R bersifat Antisimetris = (4,2) tidak ada (2,4) Relasi R bersifat transitif. = (4,2) (2,2) >> (4,2) Oleh karena itu relasi tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian.

32 Contoh Diketahui A = {, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R3 = { (,), (,2), (2,2), (2,), (3,3) }. JAWAB Relasi R bersifat refleksif = (,), ( 2,2), & (3,3) Relasi R bersifat simetris = (,2) & (2,) Relasi R bersifat transitif. = (,2) (2,) >> (,) Oleh karena itu relasi tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian.

33 KOMPOSISI RELASI Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh S R = {(a, c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a, b) R dan (b, c) S }

34 Contoh Misalkan relasi dari himpunan {, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} adalah R = {(, 2), (, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u} adalah S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} Maka komposisi relasi R dan S adalah S R = {(, u), (, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

35 S R = {(, u), (, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) } Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah: s t u

36 TUGAS 2

37 TUGAS

38 TUGAS 2 4. Misalkan A = {x,y,z}, B = {a,b,c,d}, C = {,2,3,4,5}. R relasi dari A ke B dan S relasi dari B ke C. Misalkan R = {(x,a),(x,b),(y,b),(y,c),(y,d),(z,d)} dan S = {(a,),(a,3),(b,2),(b,3),(b,5),(d,3),(d,4)} Maka S R?

39 Finish...