Statstka, Vol., No., November ANALISIS REGRESI BINOMIAL NEGATIF UNTUK MENGATASI OVERDISPERSION REGRESI POISSON PADA KASUS DEMAM BERDARA DENGUE Tan Wahyu Utam Program Stud Statstka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Muhammadyah Semarang Alamat e-mal : tan.utam88@gmal.com ABSTRAK Dalam analss regres Posson, varabel respon (Y) harus memenuh asums equdsperson (nla varans sama dengan mean). Namun, dalam data rl serngkal terad overdsperson (nla varans lebh besar dar mean). Salah satu cara untuk mengatasnya yatu dengan menggant asums dstrbus Posson dengan dstrbus Bnomal Negatf. Tuuan dar artkel n adalah mendapatkan pola hubungan terbak dalam analss regres Bnomal Negatf untuk mengatas overdsperson regres Posson Kasus Demam Berdarah Dengue pada Balta Menurut Kabupaten/Kota d Propns Jawa Tmur. Berdasarkan persamaan model regres Bnomal Negatf yang dperoleh dapat delaskan bahwa dengan semakn bertambahnya presentase tenaga meds d sarana pelayanan kesehatan ( ) dan presentase rumah tangga yang memlk rumah sehat ( ), maka akan menurunkan umlah penderta DBD pada balta d Propns Jawa Tmur. Kata Kunc : Regres Posson, Equdsperson, Overdsperson, Generalzed Lner Model (GLM), Regres Bnomal Negatf. PENDAULUAN Analss regres adalah suatu metode yang dgunakan untuk menganalss hubungan antara varabel respon dengan beberapa varabel predktor. Analss regres dgunakan untuk menganalss data varabel respon yang berupa data kontnu dan data dskrt. Metode analss regres yang umumnya serng dgunakan untuk menganalss data dengan varabel respon Y yang berupa data dskrt dan varabel predktor X berupa data dskrt, kontnu, kategork atau campuran berdstrbus Posson adalah model regres Posson []. Jka Y merupakan data dskrt yang berdstrbus Posson dengan parameter μ > maka fungs massa peluangnya adalah μ y e μ f ( y, μ) = ;y=,,,...n () y! Persamaan dapat drubah sebaga berkut: f y, μ) = ep[ y In( μ ) μ In( y!)] f ( ( y, μ ) = ep[ y θ b( θ ) In( y!)] () Persamaan merupakan suatu bentuk persamaan fungs dstrbus keluarga eksponensal. Dengan menggunakan fungs lnk dperoleh model regres Posson dalam bentuk: In (μ) = X E( ) = μ y m μ = ep( + ); =,,... n () = dengan berupa unt ekspermen, unt ekspermen sebanyak n dan m menyatakan banyaknya varabel 59
Statstka, Vol., No., November predktor. Dalam bentuk matrk model regres Posson dtuls adalah sebaga berkut : y = ep( X ) dengan =,,,,n () dmana y berupa varabel respon berdstrbus Posson yang berbentuk vektor dengan ukuran (n), X menyatakan varabel predktor berbentuk matrk dengan ukuran (n(p+)) dan adalah parameter dengan ukuran ((p+)) []. Dalam regres Posson, ada asums yang harus terpenuh yatu asums equdsperson [9]. Akan tetap dalam kasus data rl, asums equdsperson arang terpenuh karena data yang bertpe dskrt serngkal mengalam kasus overdsperson (penympangan tngg) yatu nla mean dan varance tdak sama atau dengan kata lan nla varance lebh besar darpada nla mean (var (Y)> μ ) [7]. Overdsperson menyebabkan nla devans model menad sangat besar dan menyebabkan model yang dhaslkan menad kurang tepat. Salah satu cara untuk mengatas adanya kasus overdsperson dalam regres Posson adalah dengan menggant asums dstrbus Posson dengan dstrbus lan yang lebh fleksbel. Dalam hal n dstrbus alternatf yang dterapkan yatu dstrbus Bnomal Negatf. Dgunakan pendekatan model regres Bnomal Negatf karena dstrbus Posson merupakan bentuk khusus dar dstrbus Bnomal Negatf dengan nla parameter α = []. Model regres Bnomal Negatf dbentuk dar dstrbus Bnomal Negatf, dmana dalam regres Bnomal Negatf tdak menekankan adanya asums equdsperson yang terdapat d dalam regres Posson. Bentuk umum dar regres Bnomal Negatf adalah y = ep( X ) dengan =,,,,n (5) dmana y adalah varabel respon berdstrbus Bnomal Negatf yang berbentuk vektor dengan ukuran (n), X adalah varabel predktor yang berbentuk matrk dengan ukuran (n(p+)) dan adalah parameter yang berbentuk vektor dengan ukuran ((p+)), atau dengan kata lan model regres Bnomal Negatf merupakan pemodelan nla harapan dar varabel respon (μ) sebaga fungs eksponensal dar seumlah kovarat, yang bentuknya sebaga berkut: E( y ) = μ = ep( + ) (6) m = dengan menyatakan unt ekspermen dan m menyatakan banyaknya varabel predktor yang dgunakan []. Penyakt demam berdarah dengue atau Dengue aemorrhagc Fever (DF) adalah penyakt yang dsebabkan oleh vrus dengue yang dtularkan melalu ggtan nyamuk Aedes aegypt dan Aedes albopctus []. Penyakt DBD serng muncul sebaga keadan luar basa (KLB) dengan angka kematan relatf tngg. Pada tahun umlah kematan akbat kasus demam berdarah dengue (DBD) d Indonesa sektar.7 orang, hal n menyebabkan Indonesa menduduk urutan tertngg kasus demam berdarah dengue d ASEAN []. D Jawa Tmur saa, pada tahun umlah kasus DBD sebesar 8.87, umlah kasus DBD mencapa puncaknya pada tahun 7 dengan umlah kasus DBD sebesar 5.95 [5]. Fakta n menunukkan bahwa penyebaran DBD d Jawa Tmur termasuk kategor tngg dan butuh penanganan serus. Menurut perkraan badan kesehatan duna (WO) setap ment sekal, seorang mennggal akbat penyakt yang dtularkan nyamuk Aedes Aegypt n[]. D Jawa Tmur, DBD sudah mula menelan korban mennggal dan ratusan lannya drawat d rumah sakt terutama pada anak-anak. Menurut dr Agus aranto SpA(K), dokter spesals anak 6
Statstka, Vol., No., November RSU dr Soetomo, demam berdarah memang sangat berbahaya pada balta. Karena tu, persentase kematan pada anak lebh besar ketmbang dewasa sebab daya tahan mereka sangat rendah []. Data umlah kasus DBD pada balta menurut kabupaten/kota d propns Jawa Tmur merupakan data dskrt berdstrbus Posson yang mengalam overdsperson. Sebaga varabel respon bertpe dskrt adalah umlah kasus DBD pada balta menurut kabupaten/kota d Propns Jawa Tmur dan sebaga varaabel predktornya adalah presentase rumah tangga yang memlk rumah tdak sehat, presentase rumah tangga yang memlk rumah tdak bebas entk nyamuk Aedes, presentase tenaga meds d sarana pelayanan kesehatan, presentase penduduk mskn. Dalam urnal n akan dbahas suatu model analss statstk yang sesua dengan konds data yang bersfat dskrt berdstrbus Posson yang mengalam overdsperson dan menggunakan analss regres Bnomal Negatf sebaga solus untuk mengatas adanya kasus overdsperson pada regres Posson dalam kasus DBD pada balta d Propns Jawa Tmur. Sebelumnya telah dlakukan peneltan analss regres Bnomal Negatf untuk mengatas overdsperson regres Posson dantaranya mengena perbandngan model regres Posson dengan Bnomal [6], pemodelan regres Bnomal Negatf untuk mengatas overdsperson pada kasus kematan bu melahrkan dengan Software SAS [], selan tu penerapan Bnomal Negatf untuk mengatas overdsperson pada regres Posson penyelesaannya dengan bantuan menggunakan Software SAS 9.. []. Kebanyakan peneltanpeneltan sebelumnya menganalss data dengan mengunakan software SAS, sedangkan penuls akan menganalss data menggunakan software R dan dterapkan pada kasus DBD balta. Kemudan menentukan model terbak berdasarkan krtera model terbak yatu nla devans/df mendekat satu dan nla AIC terkecl. METODE PENELITIAN Sumber Data dan Varabel Peneltan Penuls melakukan analss data terhadap data sekunder umlah kasus DBD pada balta menurut kabupaten/kota d Propns Jawa Tmur tahun 7 [8]. Data yang dgunskan sebanyak kabupaten atau kota d Propns Jawa Tmur. Varabel-varabel yang dgunakan dnyatakan sebaga berkut y = Jumlah kasus DBD = Presentase rumah tangga yang memlk rumah tdak bebas entk nyamuk Aedes = Presentase tenaga meds d sarana pelayanan kesehatan = Presentase rumah tangga yang memlk rumah sehat = Presentase masyarakat mskn Metode Analss Langkah-langkah yang dlakukan d dalam pengolahan data sekunder untuk mendapatkan pola hubungan terbak dalam analss regres Bnomal Negatf untuk mengatas overdsperson regres Posson kasus DBD pada balta d Propns Jawa Tmur tahun 7 adalah sebaga berkut : a. U multkolnertas menggunakan software statstka SPSS.5 for wndows. b. Pembentukan model regres Posson menggunakan program Generalzed Lner Model (glm) dalam software R.7.. Bentuk taksran model regres Posson merupakan pemodelan nla harapan dar varabel respon (μ) sebaga fungs eksponensal varabel- 6
Statstka, Vol., No., November varabel predktor yang dnyatakan dalam persamaan (). c. Melakukan u sgnfkans parameter model regres Posson. d. Melakukan u overdsperson pada model regres Posson dengan menggunakan u Wald yatu dengan statstk u : ˆ θ t Wald = ~ Z α se( ˆ) θ e. Pembentukan model regres Bnomal Negatf dgunakan program generalzed lner model Bnomal Negatf (glm.nb) yang terdapat d dalam software statstk R.7.. Bentuk taksran model regres Bnomal Negatf uga merupakan pemodelan nla harapan dar varabel respon (μ) sebaga fungs eksponensal varabel-varabel predktor yang dnyatakan dalam persamaan (). f. Melakukan u sgnfkans parameter model regres Bnomal Negatf. g. Menentukan model regres Bnomal Negatf berdasarkan varabel-varabel predktor yang sgnfkan. h. Menentukan model terbak dar ketga model tersebut yatu model regres Posson, model regres Bnomal Negatf dan model regres Bnomal Negatf dengan varabel yang sgnfkan berdasarkan krtera model terbak yatu nla devans/df dan nla AIC. ASIL PENELITIAN Langkah awal yang dlakukan d dalam pengolahan data n adalah melakukan u multkolnertas dengan melhat nla Varance Inflaton Factor (VIF)-nya yang dperoleh dar software SPSS.5 for wndows dan haslnya dsakan dalam tabel berkut n: Tabel Nla VIF masng-masng predktor Varabel VIF,8,8,,9 Nla VIF pada masng-masng predktor tdak ada yang lebh dar. al n menunukkan bahwa antar varabel predktor tdak terdapat kolnertas sehngga layak dkutsertakan dalam pembentukan model regres Posson dan Bnomal Negatf. Untuk memperoleh bentuk taksran model regres Posson berdasarkan data datas dgunakan program generalzed lner model (glm) dalam software R.7.. asl analss regres Posson dsakan dalam tabel berkut n : Tabel Nla Parameter dan P-value Regres Posson Parameter Nla P-value Intersep 8.9568 -.99 -.797 -.7 -.66 Maka dperoleh bentuk taksran model regres Posson yatu: μ = ep(8,9568-,99 -,797 -.7 (7) -.7) dengan menyatakan banyaknya unt ekspermen yatu kabupaten/kota d propns Jawa Tmur. Selanutnya dlakukan u sgnfkans parameter model regres Posson yang telah dperoleh dengan hpotess sebaga berkut : : = : ; =,,, Berdasarkan Tabel, dengan α = 5% dperoleh P-value = P-value = P- 6
Statstka, Vol., No., November value = P-value keputusan tolak < α yang berart. Sehngga dapat dsmpulkan bahwa semua parameter sgnfkan. Tabel asl Analss Regres Posson Null devance= 6. Resdual devance=. *df = degrees of freedom df = 9 df = 5 Berdasarkan Tabel pada model regres Posson yang dhaslkan nla resdual devance dengan deraat bebas 5 sangat besar yatu, dan ka nla resdual devance dbag dengan deraat bebasnya sebesar 69,7 maka secara sgnfkan lebh besar dar. al n merupakan ndkator adanya overdsperson pada model regres Posson yang dhaslkan. Adanya overdsperson menyebabkan model regres Posson menad kurang bak, karena memlk tngkat kesalahan yang tngg. Salah satu cara untuk mengatas adanya kasus overdsperson dalam regres Posson adalah dengan menggant asums dstrbus Posson dengan dstrbus Bnomal Negatf. Untuk memperoleh bentuk taksran model regres Bnomal Negatf dgunakan program generalzed lner model Bnomal Negatf (glm.nb) yang terdapat d dalam software statstk R.7.. asl analss regres Bnomal Negatf dsakan dalam tabel berkut n : Tabel Nla Parameter dan P-value Regres Bnomal Negatf Parameter Nla P-value Intersep 9.679 -.665 -.975 -.975 -.989,576,57,8,877 Tabel 5 asl Analss Regres Bnomal Negatf Null devance=. Resdual devance=.9 Standart Error θˆ =.8 *df = degrees of freedom df= 9 df= 5 theta( θˆ ) =.698 Keberadaan overdsperson pada model regres Posson dapat du menggunakan u Wald dengan hpotess sebaga berkut : : θ =, dengan asums parameter model tdak mengalam overdsperson. : θ, dengan asums parameter model mengalam overdsperson. Berdasarkan Tabel 5, dengan θˆ adalah taksran parameter dspers pada model Bnomal Negatf maka statstk u ˆ θ t Wald = =,. Berdasarkan tngkat se( ˆ) θ sgnfkans sebesar 5% maka statstk u n menolak karena nla t Wald > Z,95 (,889). Sehngga dapat dsmpulkan parameter mengalam overdsperson. Bentuk taksran model regres Bnomal Negatf berdasarkan Tabel adalah sebaga berkut : μ = ep(9,679-,665 -,975 -,79 (8) -,98) dengan menyatakan banyaknya unt ekspermen yatu kabupaten/kota d propns Jawa Tmur. Selan tu, berdasarkan Tabel 5 dperoleh nla resdual devance dbag deraat bebas sebesar, yang secara sgnfkan lebh mendekat. al n menunukkan bahwa keberadaan overdsperson dalam model regres Posson telah dapat dkoreks pada model regres Bnomal Negatf. Kemudan dlakukan u sgnfkans parameter model regres Bnomal Negatf dengan hpotess sebaga berkut: : = : ; =,,, 6
Statstka, Vol., No., November Berdasarkan Tabel, dengan α = 5% dperoleh P-value untuk =,576 > α sehngga keputusan terma dan dapat dsmpulkan bahwa nla parameter =, sedangkan P-value untuk =,57 < α maka keputusan tolak ad dapat dsmpulkan bahwa nla parameter. Nla P-value untuk sebesar,8 lebh kecl dar α sehngga keputusan terma dan dapat dsmpulkan bahwa nla parameter. Untuk P-value untuk sebesar,877 lebh besar α maka keputusan tolak sehngga dapat dsmpulkan bahwa nla parameter =. Jad varabel-varabel predktor yang sgnfkan adalah dan. Selanutnya dlakukan penentukan model regres Bnomal Negatf berdasarkan varabelvarabel predktor yang sgnfkan yatu dan mengunakan program Generalzed Lner Model Bnomal Negatf (glm.nb) yang terdapat d dalam software R.7.. asl analss regres Bnomal Negatf berdasarkan varabel yang sgnfkan dsakan dalam tabel berkut n : Tabel 6 Nla Parameter Regres Bnomal Negatf berdasarkan varabel sgnfkan Parameter Intersep Nla 8,75 -,77 -,866 Berdasarkan Tabel 6 dperoleh model regres Bnomal Negatf sebaga berkut: μ = ep( 8,75 -,77 (9) -,866 ) dengan menyatakan banyaknya unt ekspermen yatu kabupaten/kota d propns Jawa Tmur. Penentuan model yang lebh bak antara model Regres Posson dan model Regres Bnomal Negatf pada data yangh dgunakan dapat dlhat dar hasl u model terbak tabel berkut : Model Regres. Posson. Bnomal Negatf. Bnomal Negatf dengan varabel sgnfkan (, ) Tabel 7 Krtera Model AIC,,8 99, Devance/df 69,7,,58 Tabel 7 memperlhatkan bahwa dar krtera model terbak berdasarkan nla Devance/df yang lebh mendekat dan nla AIC yang lebh kecl adalah model Regres Bnomal Negatf dengan varabel yang sgnfkan dbandngkan kedua model lannya. Jad model terbaknya adalah model Regres Bnomal Negatf dengan varabel yang sgnfkan. Berdasarkan persamaan 9 yatu model regres Bnomal Negatf dapat delaskan bahwa dengan semakn bertambahnya presentase tenaga meds d sarana pelayanan kesehatan ( ) dan presentase rumah tangga yang memlk rumah sehat ( ), maka akan menurunkan umlah penderta DBD pada balta d Propns Jatm tahun 7. KESIMPULAN Pola hubungan terbak dalam analss regres Bnomal Negatf untuk mengatas overdsperson regres Posson Kasus Demam Berdarah Dengue pada Balta Menurut Kabupaten/Kota d Propns Jawa Tmur Tahun 7 yang ddapatkan melalu software R.7. dengan varabel predktor yang sgnfkan adalah 6
Statstka, Vol., No., November μ = ep( 8,75 -,77 -,866) [6] Ksmantn. 8. Perbandngan Model Regres Posson dengan Model Regres Bnomal Negatf. Makalah Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA. Unverstas Neger Yogyakarta dengan menyatakan banyaknya unt ekspermen yatu kabupaten/kota d propns Jawa Tmur. Model tesebut merupakan model terbak dengan nla AIC sebesar 99,. [7] McCullagh, P. & Nelder, J.A. 989. Berdasarkan persamaan model regres Bnomal Negatf dengan varabel yang sgnfkan dapat delaskan bahwa dengan semakn bertambahnya presentase tenaga meds d sarana pelayanan kesehatan ( ) dan presentase rumah tangga yang memlk rumah sehat ( ), maka akan menurunkan umlah penderta DBD pada balta d Propns Jawa Tmur tahun 7. Generalzed Lner Models, second edton. London: Chapman & all. [8] Mulyono, M. Iwan. 8. Profl Kesehatan Provns Jawa Tmur Tahun 7. Surabaya: Dnkes Jawa Tmur. [9] Myers, R.., Montgomery, D.C., Vnng, G.G., & Robnson, T.J.. Generalzed Lner Models wth Aplcatons n Engneerng and the Scences. Canada : A John Wley & Sons, Inc., Publcaton. DAFTAR PUSTAKA [] Nur. 9. Demam Berdarah d RSU dr Soetomo. [] Anna, L. K.. kompas health, http://www.awapos.co.d/halaman/n from kompas: de.php?act=detal&nd=566. http://health.kompas.com/read/kasus. [] Pradawat, P.S., Sukarsa, K.G., DBD.d.Indonesa.Tertngg.d.ASEA N [] Cameron, A.C. and P.K. Trved. 998. Regresson Analyss of Count Srnad.. Penerapan Regres Bnomal Negatf untuk Mengatas Overdsperson pada Regres Posson. Jurnal Matematka. Volume, No. Data. Cambrdge Unversty Press [] Thongcharoen, Prasert. Suart, [] Casella, G and Berger, R. L., Statstcal Inference, Wadsworth, Inc., Calforna, 99. [] Chamdah, Nur. 8. Pemodelan Regres Bnomal Negatf untuk Mengatas Overdsperson pada Regres Posson pada Kasus Kematan Ibu Melahrkan d Jawa Tmur. Jurnal Unar Meda Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam. Volume :, No. [5] Depkes.RI. 7. Database Kesehatan per Propns. from Bankdata Depkes RI: fle://localhost/d:/semester%7/ta/ Profl%Kesehatan %Indonesa.mht. Jatanasen. 99. Dengue haemorrhagc fever and dengue shock syndrome: Introducton, hstorcal and epdemologcal background. Dalam Prasert Thongcharoen ed. Monograph On Dengue/Dengue aemorrhagc Fever. WO Regonal Publcaton SEARO, : -8. New Delh: WO Regonal Offce for South-East Asa [] Word ealth Organzaton (WO), 997, Dengue hemorrhagc fever, dagnoss: treatment, preventon and control. nd ed, Geneva: WO, p.- 7 65