AALISIS MATEMATIKA PERBADIGA METODE DIVIDE & BROADCAST DA METODE DIVIDE & PARTIAL BROADCAST Pasru Adam da Edi Cahyoo 2 2 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Haluoleo Kampus Bumi Tridharma Aduoohu KEDARI 93232 Email : edi_cahyoo@iov-ceter.org Abstract. I this article we discuss the compariso of Divide & Broadcast Method (DBM) ad Divide & Partial Broadcast Method. Both are data processig methods. From mathematical poit of view the methods are to seek a relatio of two sets of a large amout of data too large for oe processor. The compariso is based o three basic computatios of the matchig of two sets i.e. multiplicatio additio ad logarithm. The compariso is to obtai the efficiecy of the methods. Previous researches have show that based o multiplicatio ad additio DPBM is more efficiet tha DBM but the result based o logarithm is still ukow. I this article we report our result o the compariso of DBM ad DPBM based o logarithm computatio. Key words: Divide & (Partial) Broadcast Method data processig relatio of two sets. PEDAHULUA Artikel ii merupaka sebagia dari hasil salah satu riset payug yag dikembagka di Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Haluoleo dega topik Pegembaga Peragkat Luak Berbasis Matematika. Riset payug ii telah dimulai sejak tahu 2006 da melibatka kerja sama dega Dr. David Taiar seior lecturer di Moash Uiversity serta Dr. J. Wey Rahayu Assoc. Professor pada La Trobe Uiversity keduaya di Australia. Pada saat ii fokus riset payug ii masih pada pegembaga metode pemrosesa data pada sistem basis data (database). Sistem database yag berkemampua tiggi secara ormal dapat diimplemetasika dalam suatu multiprosesor (DeWitt & Gray 992). Dalam sistem ii keberadaa algoritma yag seimbag dalam peggabuga data merupaka hal yag petig utuk mecapai hasil yag optimal dalam pemrosesa data. Algoritma peggabuga ii dapat diproses dalam dua tahap; i) pemisaha (partisi) data yaitu membagi data ke dalam beberapa prosesor ii) peggabuga; yaki suatu operasi peggabuga (joi operatio) ke dalam setiap prosesor. Metode yag umum diguaka da telah dikeal lama adalah Metode Divide & Broadcast (MDB) (Leug & Ghogomu 993). Metode ii bekerja seperti berikut. Diberika dua himpua data A da B dega prosesor. Pemrosesa data dilakuka dega cara membagi haya satu himpua kataka haya B yag dibagi mejadi subhimpua. Setiap prosesor memproses himpua A da satu subhimpua B. MDB diaggap tidak efisie karea himpua A diproses pada setiap prosesor. Utuk megatasi hal ii Taiar & Rahayu (998) memperkealka Metode Divide & Partial Broadcast (MDPB) utuk meguragi pemrosesa himpua A pada setiap prosesor. Dalam MDPB kedua himpua A da B dibagi mejadi subhimpua haya sebuah prosesor yag memproses keseluruha himpua A. Aalisis kuatitatif/matematis efisiesi kedua metode baru dibahas pada Cahyoo dkk (2006) da lebih detail pada Arma & Cahyoo (2007). Artikel ii melaporka
Pasru Adam Edi Cahyoo (Aalisis Matematika Perbadiga Metode Devide da Broadcast da Metode..) hasil riset tetag efisiesi kedua metode yag didasarka pada perhituga logaritmik yag belum dibahas pada ketiga literatur di atas. Perhituga logaritmik sebagai dasar perhituga kierja pemorsesa data pada sebuah prosesor telah dibahas atara lai pada Matias & Vishki (99) serta Ha (200). Artikel ii megguaka dasar perhituga logaritmik utuk mempelajari efisiesi kierja pemrosesa data pada lebih dari satu prosesor. 2. PERUMUSA MASALAH Pemrosesa data yag dibahas pada artikel ii dari sudut padag matematika adalah mecari relasi dari dua himpua data kataka A da B. Misalka bayakya data pada himpua A adalah r data sedagka pada B adalah s. Setiap data mempuyai sifat-sifat tertetu. Relasi didasarka pada kesamaa sifat-sifat data tersebut. Gambar megilustrasika himpua A da B serta relasi di atara keduaya sifat-sifat data dituliska dalam tada kurug di belakagya. 3. MDB da MDPB Utuk ilustrasi MDB da MDPB berikut kita aka megguaka tiga buah prosesor seperti cotoh pada Taiar & Rahayu (998). Pada MDB himpua B dibagi mejadi 3 subhimpua kataka B B 2 da B 3. Bayakya data pada ketiga subhimpua ii harus seimbag atau sama tapa memperhatika sifat data agar metode bekerja efisie. Prosesor ke- memproses himpua A da B dega = 23. Hal ii diilustrasika pada Gambar 2. Gambar 2. Distribusi data pada MDB. Gambar. Diagram Ve relasi atara himpua A da B ilustrasi cotoh pada Taiar & Rahayu (998). Mecari relasi pada cotoh tersebut sagatlah mudah bisa dega pesil da taga. amu demikia bila bayakya data pada kedua himpua sagat besar bahka terlalu besar utuk sebuah prosesor maka diperluka metode yag efisie. Misalka diguaka buah prosesor efisiesi metode didasarka pada dua hal yaitu () Elapsed time of the whole process waktu proses terlama yag diperluka prosesorprosesor yag terlibat (2) Total cost total waktu proses yag diperluka oleh semua prosesor. 2 Berbeda dega MDB MDPB membagi kedua himpua dega memperhatika sifat data. Himpua A dibagi berdasarka sifat miimum masigmasig data mejadi subhimpua A A 2 A 3. Sebagai cotoh sifat miimum data a(250 75) adalah 75 sedagka c(25 8) adalah 25. Sedagka himpua B dibagi berdasarka sifat maksimum masig-masig data mejadi subhimpua B B 2 da B 3. Sifat maksimum p(23 20) adalah 20 sedagka r(50 40) adalah 50. Subhimpua A memuat data dega sifat terkecil dari 0 sampai dega 00 A2 dari 0 sampai dega 200 da A 3 dari 20 sampai dega 300. Sedagka subhimpua B memuat data dega sifat terbesar dari 0 sampai dega 00 B 2 dari 0 sampai dega 200 da B 3 dari 20 sampai dega 300.
Jural Matematika Vol. 3 o. April 200:-6 Selajutya utuk tujua operasi peggabuga data subhimpua A da B ditempatka pada prosesor. Prosesor 2 ditempati oleh subhimpua A A 2 da B 2. Sedagka prosesor 3 harus melakuka operasi peggabuga subhimpua A A 2 A 3 da B 3. Hal ii diilustrasika pada Gambar 3. Perhatika bahwa pembagia kedalam beberapa prosesor ii mejami diperolehya semua relasi atar data pada kedua himpua A da B. Gambar 3. Distribusi data dalam prosesor pada MDPB. 4. PERHITUGA EFISIESI Efisiesi metode didasarka pada dua hal yaitu () Elapsed time of the whole process (ET) waktu proses terlama yag diperluka prosesor-prosesor yag terlibat (2) Total cost (TC) total waktu proses yag diperluka oleh semua prosesor. Pada ilmu komputer waktu proses (WP) prosesor merupaka fugsi terhadap bayakya data pada masigmasig himpua yag aka diproses da terdapat tiga jeis perhituga. Misalka kita perhatika prosesor yag harus memproses subhimpua A dega r () data da subhimpua B dega s () data. Ketiga jeis perhituga tersebut adalah: Perkalia WP prosesor ( ) ( ) ( ) ( ) : f ( r s ) = r s Pejumlaha WP prosesor ( ) ( ) ( ) ( ) : f ( r s ) = r + s Logaritmik WP prosesor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : f ( r s ) = r lr + s l s Misalka diguaka buah prosesor perhatika bahwa da { ( ( ) ( ) ) } ET = max f r s = 2 () = ( ( ) ( ) ) (2) = TC f r s Meurut Arma & Cahyoo (2007) perbadiga MDB da MDPB didasarka perhituga perkalia da pejumlaha adalah seperti yag disajika pada Tabel berikut: Jeis Perhituga Perkalia Pejumlaha TC Lebih efisie Tidak lebih efisie ET Lebih efisie Lebih efisie Tabel. Perbadiga metode DB dega DPB 5. EFISIESI BERDASARKA PERHITUGA LOGARITMIK Misalka terdapat prosesor. Himpua A dibagi mejadi subhimpua yaitu A A berdasarka sifat miimumya. Sedagka himpua B dibagi mejadi subhimpua yaitu B B berdasarka sifat maksimumya. Catat bahwa A A salig asig demikia juga B B. Kataka bayakya data pada subhimpua A A berturut-turut adalah r r da bayakya data pada subhimpua B B berturut-turut adalah s s. Kita tuliska bayakya data pada himpua A r = r (3) = bayakya data pada himpua B s = s. (4) = 3
Pasru Adam Edi Cahyoo (Aalisis Matematika Perbadiga Metode Devide da Broadcast da Metode..) Pada MDB bayak data dari himpua A da dari himpua B yag dimasukka ke prosesor berturut-turut ( ) ( ) adalah r = r da s = s. Sedagka pada MDPB bayak data dari himpua A da dari himpua B yag dimasukka ke prosesor berturut-turut adalah r ( ) = ri i= ( ) da s = s. Pada MDB karea pembagia himpua B tidak bergatug sift-sifat data maka agar diperoleh ET = max r l r + s l s = 2 { } MDB terkecil haruslah s s = utuk = (5) Dega demikia ET MDB terkecil dicapai utuk kasus (5) yaitu s s ET = MDB 0 l. (6) Di sisi lai TC MDB diberika oleh ( l l ) TC = r r + s s MDB = = ( l ) = r l r + s s Utuk kasus (5) maka (7) mejadi. (7) s s s TCMDB = r l r + l r l r s l 0 = + =.(8) Gambar 4 meujukka TC MDB utuk = 2 dega 0 < s < s = 000 da r = 50. Perhatika bahwa TC MDB terkecil juga dicapai pada kodisi (5) yaitu s = s2 = 500. Gambar 4. TC MDB utuk berbagai ilai s dega s= 000. Proposisi 5. TC MDB (7) dega kodisi (4) mecapai miimum apabila (5) dipeuhi. ilai miimum TC MDB ii diberika oleh (8). Sedagka pada MDPB kita mempuyai ekspresi matematika berikut (9) ETMDPB = max ri l ri + s l s = 2 i= i= Dega megambil kodisi (5) maka diperoleh s s ri l ri + s l s = ri l ri + l i= i= i= i= + + s s < ri l ri + l i= i= + + ri l ri + s+ l s+ i= i= = utuk = 2 (0) Akibatya bila (5) dipeuhi s s ETMDPB = ri l ri + l i= i= () s s = r l r + l = ETMDB0 Berdasarka fakta (0) kita bisa memilih s sedemikia rupa sehigga diperoleh r l r + s l s i i i= i= + + ri l ri s+ l s+ i= i= = + utuk = 2. (2) Pemiliha ii aka berakibat tidak terpeuhiya (5) melaika (2) megakibatka s > s + utuk = 2 (3) Utuk kodisi (2) da (3) dipeuhi maka diperoleh s s ET MDPB = rlr + s l s < rl r + l = ET MDB 0 (4) Hal ii kita ragkum dalam Proposisi 5.2 berikut. Proposisi 5.2 Bila pembagia himpua A dilakuka sedemikia rupa sehigga (2) dipeuhi maka ETMDPB < ETMDB 0 4
Jural Matematika Vol. 3 o. April 200:-6 Proposisi 5.2 meyataka bahwa ET MDPB lebih baik daripada ET MDB apabila kodisi (2) dipeuhi. Sedagka utuk TC kedua metode kita simpulka dalam Proposisi 5.3. Proposisi 5.3. Bila pembagia himpua A dilakuka sedemikia rupa sehigga (5) dipeuhi maka TCMDPB < TCMDB 0 Bukti: TCMDPB = ri l ri + s l s = i= i= s s = ri l ri + l = i= i= s s < r l r + l = s = r l r + s l = TC MDB0 Proposisi 5.3 meyataka bahwa TC MDPB lebih baik daripada TC MDB bila kodisi (5) dipeuhi. 6. KESIMPULA Kita telah membahas efisiesi Metode Divide & Broadcast (MDB) da Metode Divide & Partial Broadcast (MDPB) utuk pemrosesa data yag dilakuka pada multi prosesor. Efisiesi didasarka pada () Elapsed time of the whole process (ET) waktu proses (WP) terlama yag diperluka prosesor-prosesor yag terlibat (2) Total cost (TC) total waktu proses yag diperluka oleh semua prosesor. ET da TC didasarka pada perhituga logaritmik. Diperoleh bahwa ET MDPB lebih bagus (lebih kecil) daripada ET MDB bila pembagia himpua B membuat WP tiap prosesor seragam atau sama. Sedagka TC MDPB lebih bagus (lebih kecil) daripada TC MDB bila pembagia himpua B seragam atau sama. 7. UCAPA TERIMA KASIH Riset yag dilakuka oleh Pasru Adam dibiayai oleh hibah Riset Fudametal DIPA Uiversitas Haluoleo tahu 200. 8. DAFTAR PUSTAKA []. Arma & Cahyoo E. (2007) Pemodela Matematika da Aalisis Pemrosesa Data Divide & Broadcast da Divide & Partial Broadcast. Jural Ilmiah Mat Stat Uiversitas Bia usatara Vol. 7 o. 2 Juli 2007:39-54. [2]. Arma & Saidi L. (2006) Pemodela Matematika da Aalisa Metode Pemrosesa Data Divide & Partial Broadcast Lapora Peelitia Dose Muda/BBI 2006 Dibiayai oleh Bagia Proyek Peigkata Peelitia Pedidika Tiggi Departeme Pedidika asioaldega kotrak o. 034/SP3/PP/DP2M/II/2006. [3]. Cahyoo E. Arma Taiar D. ad Rahayu J.W. (2006) Divide ad Partial Broadcast Method: a ote from Mathematical Poit of View Proceedigs of the Iteratioal Cofrece o Mathematics ad atural Scieces ITB Badug hal 726 730. [4]. DeWitt D & Gray J. (992) Parallel Database Systems: The Future of High Performace Database Systems Commuicatio of the ACM vol 35 o 6 pp. 85-98. [5]. Ha Y. (200) Improved fast iteger sortig i liear space Iformatio ad Computatio Vol. 70 Issue hal 8 94. [6]. Leug C.H.C & Ghogomu H.T. (993) A High Performace Parallel Database Architecture Proceedigs of the 7 th ACM Iteratioal Cofrece o Supercomputig hal. 377-386. [7]. Matias Y. & Vishki U. (99) O parallel hashig ad iteger sortig Joural of Algorithm Vol. 2 Issue 4 hal 573 606. [8]. Taiar D. & Rahayu J. W (998) Divide ad Partial Broadcast Method 5
Pasru Adam Edi Cahyoo (Aalisis Matematika Perbadiga Metode Devide da Broadcast da Metode..) for Parallel Collectio Joi Queries High-Performace Computig ad etworkig Lecture otes i Computer Sciece vol. 40 Spriger verlag pp 937-939. 6