C. Cari dkk, Peyelesaia Persamaa PENYELESAIAN PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL ROSEN- MORSE HIPERBOLIK TERDEFORMASI DAN POSCHL-TELLER NON-SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI C. Cari,,*, A.Suparmi,, U.A. Deta, H. Yuliai, A.S. Husei Jurusa Fisika, FMIPA, Sebelas Maret Uiversity, Idoesia Theoretical Physics Group, Physics Departmet of Postgraduate Program, Sebelas Maret Uiversity, Idoesia * Email: caril@yahoo.com Abstrak. Persamaa Dirac dega potesial skalar da vektor yag sama yag merupaka potesial o-setral hasil kombiasi potesial Rose-Morse hiperbolik terdeformasi dega potesial o-setral Poschl-Teller diselesaika dega poliomial Romaovski. Spektrum eergi da fugsi gelombag relativistik terdeformasi diperoleh dari persamaa Dirac bagia radial sedagka dari persamaa Dirac bagia sudut polar diperoleh bilaga kuatum orbital terdeformasi da fugsi gelombag polar relativistik terdeformasi. Spektrum eergi relativistik tereduksi mejadi spektrum eergi o-relativistik pada batas o-relativistik. Hadirya potesial Poschl-Teller meyebabka meigkatya spektrum eergi sistem. Kata kuci: persamaa dirac, potesial rose-morse hiperbolik terdeformasi, potesial o-setral poschl-teller, da poliomial romaovski. PENDAHULUAN Persamaa Dirac yag mediskripsika perilaku beda-beda subatomik yag ber-spi ½ utuk potesial shape ivariat setral maupu o-setral telah dikaji oleh beberapa peeliti dega megguaka metode NU (Alhaidari, 00; Ikhdair, 00; Qua et.all, 009). Potesial fisis tewrsebut bayak diguaka utuk mediskripsika efek relativistik pada eergi vibrasi-rotasi yag kompleks dari molekul yag berstruktur kompleks (Qua et.all, 009). Dega megasumsika bahwa potesial skalar sama dega potesial vektor maka persamaa Dirac tereduksi mejadi persamaa mirip/tipe Schrodiger. Dega demikia Pewrsamaa Dirac satu dimesi dapat dipescahka dega metode yag diguaka utuk memecahka persmaa Schrodiger. Dalam makalah ii eergi relativistik da fugsi gelombag utuk potesial Rose-Morse hiperbolik plus potesial Poschl-Teller yag terdeformasi secara spasial diaalisis dega poliomial Romaovski terbatas. Potesial hiperbolik terdeformasi potesial fugsi hiperbolik yag terdeformasi dega parameter, yag diusulka oleh Arai (Arai, 99). Meurut Dutra (005), deformasi yag diusulka Arai tidak lai sejeis dega peskala-a pada koordiat spasial dega megguaka traslasi atau trasformasi variabel spasial. Deformasi kuatum telah ditelaah secara itesif dalam dua dasa warsa terakhir karea dapat diaplikasika utuk megkaji terjadiya deformasi pada iti (Housek, Viduska, da Wage, 99; Sviratcheva, et.all, 00), pada rotasi-vibrasi yag dipegaruhi oleh potesial osilator harmoik (Ballesteros, Civitarese, & Reboiro, 005; Boatsos, Daskaloyais, & Kokkotas, 99), da sebagaiya. Poliomial Romaovski terbatas merupaka metode tradisioal yag megubah persamaa
Jural Fisika Vol. 3 No., Mei 03 5 tipe Schrodiger mejadi persamaa tipe hipergeometrik melalui substitusi variabel da fugsi gelombag. Poliomial Romaovski pada awalya diusulka oleh E.J Routh (Routh, 88) da 5 tahu kemudia dikaji ulag oleh V.I. Romaovski (99). Kata terbatas pada poliomial Romaovski berarti bahwa bayakya poliomial Romaovski yag orthogoal terbatas (Alvarez-Castillo da Kirbach, 007). Potesial Rose-Morse trigoometrik telah diaplikasika sebagai model utuk telaah uark gluo (Flugge) sedagka potesial Poschl-Teller diguaka utuk mediskripsika vibrasi-rotasi pada molekul (Greee da Aldrich, 976). REVIEW POLINOMIAL ROMANOVSKI, PERSAMAAN DIRAC DAN DEFORMASI FUNGSI TRIGONOMETRIK Review Poliomial Romaovski Dega substitusi variabel yag sesuai da dega megguaka fugsi gelombag baru pada persamaa tipe Schrodiger maka diperoleh persamaa tipe hipergeometrik yag secara umum diyataka sebagai y y y s s 0 () dega as bs c sd e ; ( ( p) () Utuk poliomial Romaovski, ila-ilai parameter pada pers. () a =, b = 0, c =, d = ( p) da e =, p > 0 (3) Poliomial Romaovski (, ) R dibagu berdasarka fugsi bobot w(x) yag diperoleh dari peyelesaia persamaa Pearso, d ( x) w( x) ( x) w( x) dx w( s) p ta s e () R ( p, ) s p e ta (5) d p ta ( s s e ) ds Dega memasukka pers. (), (3), da () ke dalam pers. () diperoleh pers.diferesial Romaovski, ( s R ) s p, ( p, ) ( ) ( p) R 0 s( p ) R s p, (6) dega. Persamaa tipe Schrodiger aka berubah mejadi persamaa diferesial Romaovski bila disubstitusika variabel yag sesuai, r = f(s), da fugsi gelombag baru, ta, s e D ( g (7) pada persamaa tipe Schrodiger, dega (8) Review Deformasi pada Fugsi Hiperbolik da Trigoometrik Defiisi fugsi hiperbolik terdeformasi yag diusulka oleh Arai aplikasiya pada sistem kuatum telah dikaji dega megguaka metode NU [5]. Aalogi dega defiisi fugsi hiperbolik terdeformasi, kita usulka defiisi fugsi trigoometrik terdeformasi da traslasi variabel spasial sebagai berikut : ir ir ir ir e e e e si r ; cos r i si r cos r si r ; ta r (9) cos r Traslasi variabel spasial pada fugsi trigoometrik juga aalogi dega usula Dutra yaitu l l r y da y r (0) i i sehigga diperoleh si r si r ; cos r cosr
6 C. Cari dkk, Peyelesaia Persamaa si r cos r si r ; cosr () Dega megguaka defiisi pada pers. () aka dikaji aplikasi fugsi trigoometrik terdeformasi. Persamaa Dirac utuk Potesial No- Setral Rose-Morse da Poschl-Teller Terdeformasi Persamaa Dirac dega potesial skalar potetial S( da vektor V( [3] c. p Mc S( ( E V( ( () dega M massa relativistik partikel, E eergi total, da p operator mometum liier, 0 I 0 (3) 0 0 I dega matriks Pauli 3 dimesi, I matriks idetitas. Dega megambil, potesial da fugsi gelombag terdiri dari ( r ) ( r ) () ( r ) maka dari pers. () - (), diperoleh p V ( ( M E) ( ( E M ) ( r (5) ) p V ( ( M E) ( ( E M ) ( (6) Persamaa Dirac pada pers ( 6) tereduksi mejadi persamaa Schrodiger pada batas orelativistik bila,, eergi o-relativistik,, masa orelativistik sehigga pers. (a) da (b) tereduksi mejadi persamaa Schrodiger tetapi eergi potesialya V p V ( ( ENR ( (7) da p V ( ( ENR ( (8) Persamaa (8) mejadi pers. Schrodiger bila kita set [7]. Peyelesaia Persamaa Dirac utuk Potesial No-Setral Rose-Morse Plus Poschl-Teller Terdeformasi Megguaka Poliomial Romaovski Persamaa Dirac dega potesial vektorya potesial o-setral trigoometrik Rose-Morse plus Poschl-Teller terdeformasi utuk yag diperoleh dari pers. (8) ( ) r cot r ()( E, M,) si r ( )( ) r si cos ()(,,) E M r dega (9) r 0, kostata dega dimesi pajag, 0, 0, yag merupaka fugsi kedalama potesial. Dega megguaka metode pemisaha variabel utuk, diperoleh R ( ) r r () E M r cot R r r r si r ()( E ) M l l (0a) P si Psi si ( )( ) ()( E M) l l si cos (0b) Dari peyelesaia pers. ( 0a) diperoleh eergi relativistik da fugsi gelombag relativistik bagia radial, bilaga kuatum radial terdeformasi da fugsi gelombag agular relativistik diperoleh dari pers. (0b). Peyelesaia Persamaa Dirac Bagia Radial dega Poliomial Romaovski Jika,, da r
Jural Fisika Vol. 3 No., Mei 03 7 maka ilai pedekata utuk faktor setrifugal [] r d / si 0 r dega, maka pers. (0a) mejadi ()( E M)( ) l l r si r r ()cot E M l( l ) do () E M 0 () Dega mesubstitusika variabel r cot x pada pers. () diperoleh ()( E M)( ) l l () E M x () x x 0 x x () x l( l ) do () x () Bila pada pers. ( ) disubstitusika fugsi gelombag baru pers (7) diperoleh D x x D ( x ) x x ()( E ) M x l l do x D 0 ()( E M)( ) l l (3) Dega membadigka pers ( 6) da (3 ) diperoleh p,, ()( E M)( ) l l ( () p () ( E M ) l ( l ) d ( E M ) l ( l ) d o (5) Nilai yag diperoleh dari pers. () da (5) ( E M ) ( ) l ( l ) (6) da o l( l ) d o l( l ) do () E M (7) Dega megguaka pers ( 6) da ( 7) diperoleh eergi relativistic yag mempuyai arti fisis ()( E)( M ) l l E M () E M ()( E M)( ) l l l( l ) d (8) Nilai da yag sesuai dega pers. ( 8) da ( E M ) ( ) l( l ) ( E ( E M M ) ( ) l ( l ) ) () Pada batas orelativistik ketika,, eergi o-relativistik,, da bila parameter potesial ( ) vektor diset ( ) serta bila = da l=0 maka yag diperoleh dari pers. (8) da o
8 C. Cari dkk, Peyelesaia Persamaa ENR ( ) ( ) (9) Fugsi bobot, poliomial Romaovski da fugsi gelombag bagia radial dari pers. ( ) b( b ) ( )( E M ) Bila fugsi gelombag dimasukka ke pers. (3), diperoleh: (35b) (36) (30) (37) Dega membadigka pers. ( 6) da ( 37) diperoleh (38a) (3) Peyelesaia Persamaa Dirac Bagia Polar Dega memisalka P Q / si da m pada pers. (0b) diperoleh d Q () E M m/ si Q d ( )() E/ cos M l l Q 0 (3) Dega mesubstitusika variabel cos is (33) pada pers (3) maka pers (3) mejadi (38b) (38c) (38d) Dega memaipulasi keempat pers. pada pers. (38) diperoleh (39) da dari pers. (J) da (K) diperoleh harga l yag mempuyai arti fisis maka (0) dega a a ( E M ) (3) (35a) da (a)
Jural Fisika Vol. 3 No., Mei 03 9 Dega memisalka da (b) (a) (b) maka dari pers. ( 37) diperoleh fugsi bobot, poliomial Romaovski da fugsi gelombag bagia sudut sebagai SIMPULAN (3) () (5) Eergi da fugsi gelombag relativistik utuk potesial o-setral Rose-Morse da Poschl-Teller terdeformasi dihitug dega megguaka poliomial Romaovski dari persamaa Dirac 3 dimesi. Pada batas orelativistik eergi relativistik tereduksi mejadi eergi Rose Morse utuk = da l=0, fugsi gelombag radial tereduksi mejadi fugsi gelombag potesial Rose-Morse, da bilaga kuatum orbital tereduksi mejadi bilaga kuatum bola spheris. Peelitia ii didaai oleh Peelitia Hibah Pascasarjaa dega omor kotrak 30/UN7.0/PG/0. DAFTAR PUSTAKA Alhaidari, A. D., Joural of Physics A, vol. 3, o. 6, pp. 987 9833, 00. Alvarez, D.E -Castillo ad Kirbach, M.., Rev. Mex. Fis.E53 (), 007, 3-5. Arai, A., 99, Exactly solvable supersymmetric uatum mechaics. Joural Mathematical Aalysis Applicatio 58(63), 63-79. Ballesteros, A., Civitarese, O.& Reboiro, M., 005 Nostadard -deformed realizatios of the harmoic oscillator, Physics Review C 7, 0305. Boatsos, D., Daskaloyais, C. & Kokkotas, K. 99, Classical potetials for - deformed aharmoic oscillators, Physics Review A 5, 653 656. Dutra, A.S., 005 Mappig deformed hyperbolic potetials ito o-deformed oes, arxiv:uat-ph/05009v. Flugge, S., Practical Quatum Mechaics I, Spriger Verlag, New York. Greee, R.L., ad Aldrich, C., Physical Review A, vol., o. 6, pp. 363 366, 976. Housek, M., Viduśka, M. & Wage, V., 99, Rotatioal spectra of deformed uclei ad the uatum group SU (), Czechoslovak Joural of Physics, Vol. (), 337-3. Ikhdair, S. M., Commu. Theor. Phys. (Beijig, Chia) 53.00. pp. 6. Nikiforov, A.F., ad Uvarov, V.B., Special Fuctios of Mathematical Physics, Birkhauser, Basel, 988. Qua, H. X., Guag, L., Mi, W. Z., Bi, N. L., Ya, M., Commu. Theor. Phys. 5. 009 pp. 83 86. Romaovski, V I. 99. Compt. Red. Ac. Sci. Paris 88 03. Routh, E J., 88. Proc. Lodo Math. Soc. 6 5. Sviratcheva, K.D., Bahri, C., Georgieva, A.I. & Draayer, J.P., 00, "Physical Sigificace of Deformatio ad May-
30 C. Cari dkk, Peyelesaia Persamaa Body Iteractios i Nuclei," Physical Review Letter 93, 550.