ANALISA FUNGSI ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG DARI POTENSIAL ECKART PLUS HULTHEN DIMENSI-D DENGAN METODE NIKIFOROV UVAROV

Transkripsi

1 ANALISA FUNGSI ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG DARI POTENSIAL ECKART PLUS HULTHEN DIMENSI-D DENGAN METODE NIKIFOROV UVAROV Luqman Hakim 1, Cari 2, Suparmi 2 1 Mahasiswa Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta 23 Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta luqman_812_h@yahoo.com ABSTRAK Telah dilakukan analisis pendekatan persamaan Schrodinger dimensi-d pada potensial Eckart plus Hulthen dengan metode Nikiforov Uvarav (NU). Metode NU didasari oleh pereduksian persamaan diferensial orde dua menjadi persamaan umum diferensial orde dua tipe hipergeometrik.pendekatan analisis dengan metode NU digunakan untuk memperoleh fungsi energi dan fungsi gelombang dari potensial uji. Pendekatan fungsi gelombang diekspresikan dalam bentuk polinomial Jacobi. Kata kunci:dimensi-d;eckart plus Hulthen; Metode Nikiforov-Uvarov;Polinomial Jacobi PENDAHULUAN Pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20, semakin jelas bahwa fisika (konsep-konsep fisika) klasik memerlukan revisi atau penyempurnaan. Hal ini disebabkan semakin banyaknya hasil-hasil eksperimen dan gejala-gejala fisika yang tidak bisa dijelaskan dengan konsep-konsep fisika yang telah dikuasai pada saat itu (fisika klasik), sekalipun dengan pendekatan. Masalah-masalah yang telah berkembang terutama pada obyek-obyek fisis yang berukuran mikroskopik, seperti partikel-partikel elementer dan atom serta interaksinya dengan radiasi atau medan elektromagnetik.mekanika kuantummerupakan dasar untuk pemahaman tentang fenomena fisik pada skala mikroskopik. Sifat-sifat material dapat ditinjau dari gerakan partikel dan tingkat energi eigen terkait [1]. Persamaan gerak partikel dapat diselesaikan mengunakan persamaan Schrodinger, persamaan Klein Gordon dan persamaan Dirac [2]. Persamaan Schrödinger merupakan hal mendasar dalam mekanika kuantum, yang mendeskripsikan bagaimana keadaan kuantum (quantum state) suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu [3]. 226 Penyelesaian persamaan Schrödinger secara eksak hanya mungkin ketika bilangan orbital l 0, sedangkan ketika l 0, persamaan Schrödinger hanya bisa diselesaikan dengan pendekatan subtitusi yang sesuai [4]. Beberapa metode yang digunakan antara lain: metode polinomial Romanovsky [5], metode confluent hypergeometric [6,7], dan metode NU [8]. Salah satu metode yang sering digunakan saat ini adalah metode NU. Metode NU merupakan persamaan diferensial hipergeometrik yang memiliki bentuk penyelesaian yang paling umum karena persamaan diferensial fungsi lain dapat direduksimenjadi persamaan diferensial hipergeometrik. Beberapa penelitian yang menggunakan persamaan Schrodinger dimensi-d antara lain: pendekatan persamaan Schrodinger dimensi-d untuk potensial scarf hyperbolic dengan metode NU [9],solusi persamaan Schrodinger dimensi-d untuk energi yang bergantung potensial dengan metode NU [10], solusi pendekatan analisis scattering dari potensial Hulthen dimensi-d [11], dan solusi eksak dari potensial Kratzer termodifikasi plus potensial ring-shaped dalam persamaan Schrodinegr dimensi-d dengan metode NU [12]. Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan fungsi gelombang dari potensial Eckart plus

2 Hulthendimensi-D. Potensial Eckart sering digunakan untuk memperkirakan koreksi tunneling mekanika kuantum untuk konstanta laju kimia teoritis yang ditentukan [13]. Potensial Hulthen merupakan potensial berjangkauan pendek yang berperilaku seperti potensial Coulomb untuk nilai rkecil dan menurun secara eksponesial untuk r besar. Potensial Hulthen sering digunakan dalam fisika nuklir dan partikel, fisika atom, fisika zat padat, dan lain sebagainya [14]. Kombinasi kedua potensial diatas menjadi potensial Eckart plus Hulthen, secara matematis dituliskan sebagai [3]: dengan,, dan bernilai konstan positif. (1) Persamaan Schrodinger dimensi-d didasari dengan penggunaan koordinat polar D-dimensi dengan hypersperical coordinates dan dalam dimensi-d. Persamaan Schrodinger dalam dimensi-d dituliskan sebagai [16]: Schrodinger dimensi-d bagian sudut harus memenuhi persamaan nilai eigen: (6) Dengan mensubsitusikan persamaan nilai eigen (6) dalam persamaan operator Laplace (3) dan persamaan Schrodinger dimensi-d (2), maka (7) Persamaan (7) merupakan persamaan Schrodinger dimensi-d untuk bagian radial. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh fungsi energi dan fungsi gelombang radial dari potensial Eckart plus Hulthen. BAHAN DAN METODE Bahan Penelitian ini merupakan penelitian analisis dengan bahan berupa potensial uji, yaitu potensial Eckart plus Hulthen di persamaan (1). (2) dengan merupakan operator Laplace dalam dimensi-d, yaitu (3) Nilai merupakan operator momentum anguler dimensi-d, yaitu: (4) Penyelesaian persamaan Schrodinger dimensi-d dengan melakukan separasi variabel dengan memisalkan, (5) dengan dan adalah bagian radial dari persamaan adalah bagian sudutnya. Persamaan Metode Metode dalam penelitian ini adalah metode NU. Metode NU ini didasari oleh pereduksian persamaan diferensial orde dua menjadi persamaan umum diferensial orde dua tipe hipergeometrik. Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode NU memiliki bentuk [8] (8) dimana dan merupakan polinomial berderajat dua dan merupakan polinomial berderajat satu. Persamaan (8) dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel, yaitu (9) Persamaan (9) dapat direduksi dengan mensubsitusikan persamaan (8), sehingga (10) Persamaan (10) merupakan persamaan (8). Parameter-parameter dalam metode NU, dan didefinisikan sebagai 227

3 (11) (12) Harga pada persamaan (11) dapat dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polinomial derajat satu, sehingga diskriminan di bawah akar harus nol. Persamaan tingkat energi dapat dari persamaan (12) dengan hubungan dan ditentukan dengan persamaan (13) (14) Untuk mendapatkan tingkat energi dan fungsi gelombang yang terkait, diperlukan kondisi. Solusi bagian pertama dari fungsi gelombang dengan persamaan (15) Solusi bagian kedua fungsi gelombang yang bersesuaian dengan relasi Rodrigues ditunjukan oleh persamaan berikut: (16) dimana C n merupakan konstanta normalisasi yang berdasarkan orthogonal fungsi gelombang dan fungsi bobot harus tergantung pada kondisi (17) HASIL DAN DISKUSI Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh fungsi energi dan fungsi gelombang dari potensial Eckart plus Hulthen. Setelah dilakukan substitusi potensial Eckart plus Hulthen dalam persamaan Schrodinger dimensi-d dan dilakukan pemisahan variable persamaan (19) Dengan fungsi hiperbolik bahwa nilai (19) dapat ditulis sebagai Untuk, maka dimana dengan memisalkan dan, maka persamaan (20) (21). Persamaan diferensial orde dua persamaan (21), sehingga pada (18) Untuk memperoleh penyelesaikan persamaan (18), dilakukan pemisalan sehingga (22) Persamaan (22) merupakan persamaan diferensial orde dua hipergeometrik yang ditunjukkan oleh persamaan (8), sehingga hubungan 228

4 , (23), maka, (24), (25) Untuk memperoleh nilai, maka dilakukan subsitusi persamaan (23), persamaan (24) dan persamaan (25) ke persamaan (11), sehingga Energi nilai eigen dan fungsi eigen dapat kondisi bahwa, sehingga nilai diambil negatif. (31) (32) Kemudian dilakukan penghitungan untuk menentukan nilai dan pada kondisi umum dengan mengambil nilai negatif (keadaan bound state). (26) Harga pada persamaan (26) dapat dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat di bawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polinomial derajat satu sehingga determinan dari persamaan dibawah akar sama dengan nol, sehingga. (33) Tingkat energi dengan menyamakan nilai eigen dengan nilai eigen baru, dengan menyamakan persamaan (30) dan persamaan (32), yaitu (34). (27) Dengan memisalkan agar makna fisis, nilai adalah, maka. (35) Berdasarkan persamaan (35), dengan mengambil tanda akar yang sama, maka. (36) Untuk memperoleh energi nilai eigen, maka dilakukan dengan menyamakan persamaan (28) dan persamaan (36), sehingga dan nilai adalah (28). (29) Nilai sebesar. (30) 229. (37)

5 Dengan mengembalikan bahwa nilai, nilai energi dari potensial Eckart plus Hulthen dimensi-d, yaitu. (38) Pada kondisi khusus, maka. (42) Pada kondisi khusus, maka (39) Berdasarkan persamaan (39), dengan mengambil tanda akar yang berbeda, maka. (43) Berdasar persamaan (39) dan persamaan (42) nilai spektrum energi untuk potensial Eckart plus Hulten sesuai dengan penelitian terdahulu adalah persamaan (39), sehingga nilai spektrum energi untuk potensial Eckart plus Hulten dimensi-d adalah persamaan (38), yaitu[3]. (40) Langkah selanjutnya untuk menentukan nilai energi adalah dengan menyamakan persamaan (28) dengan persamaan (40), sehingga. (41) Dengan mengembalikan bahwa nilai, nilai energi dari potensial Eckart plus Hulthen dimensi-d, yaitu 230. (44) Untuk menentukan fungsi gelombang pada potensial Eckart plus Hulthen dimensi-d, langkah pertama adalah menentukan fungsi gelombang bagian pertama yang dari persamaan (24) dan persamaan (29) yang diselesaikan dengan persamaan (15), sehingga

6 (45). (46) Persamaan (46) digunakan untuk menggambarkan sebaran atau distribusi elektron (probabilitas ditemukannya elektron) jika dikombinasikan dengan persamaan fungsi gelombang radial bagian kedua.fungsi gelombang sudut bagian kedua dari potensial Eckart plus Hulthen ditentukan dengan mengetahui fungsi bobot terlebih dahulu. Fungsi bobot dengan mensubsitusikan persamaan (24) dan persamaan (33) ke persamaan (17), sehingga Fungsi gelombang lengkap pada potensial Eckart plus Hulthen dimensi-d adalah dengan mengalikan bagian pertama dan bagian kedua.. (54) Karena dan, maka (47) dan fungsi bobot sebesar (48) Solusi bagian kedua fungsi gelombang yang bersesuaian dengan relasi Rodrigues ditunjukan oleh persamaan (16) dengan fungsi bobot pada persamaan (48), sehingga. (49) Persamaan (49) merupakan polinomial Jacobi dalam bentuk Nilai dapat ditulis sebagai (50), (55) dengan merupakan konstanta normalisasi. KESIMPULAN 1. Fungsi energi dari potensial Eckart plus Hulthen dimensi-d dapat diselesaikan dengan metode NU. 2. Fungsi gelombang dari potensial Eckart plus Hulthen dimensi-d dapat diselesaikan dengan metode NU. 3. Analisis fungsi energi dan fungsi gelombang dari potensial Eckart plus Hulthen dapat dilakukan dengan metode yang lainnya. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan terima kasih kepada Rektor Universitas Palangkaraya dan Direktorat Jendral DIKTI atas pemberian beasiswa BPPDN dan Dikti nomer kontrak 351/UN 27.11/PN dengan dan, (51) (52). (53) DAFTAR PUSTAKA [1] M.O.Tjia dan Sutjahja,Orbital Kuantum Pengantar Teori dan Contoh Aplikasinya. Bandung: Karya Putra Darwati, [2] A. A. Rajabi dan M. Hamzavi, A new Coulomb Ring-shaped Potential via Generalized Parametric Nikiforov Uvarov 231

7 Method. Journal of Theoretical and intheory. Physics,vol. 55, pp , Applied Physics, [3] Cari dan Suparmi, Approximate Solution of Schrodinger Equation for Hulthen Potential plus Eckart Potential with Centrifugal Term [12] S. M. Ikhdair danr. Sever, Exact Solutions of The Modified Kratzer Potential Plus Ring-shaped Potential in The D-dimensional in terms of Finite Romanovski Schrodinger Equation by The Nikiforov Polynomials. International Journal of Uvarov Method. Journal of Quantum Applied Physics and Mathematics, vol. 2, Physics, vol.1, no. 3, [13] V. Vahidi dan H. Gourdarzi, [4] A. D. Antia, A. N. Ikot, danl. E. Akpabio, Supersymmetric Approach for Eckart Exact Solutions of The Schrödinger Potential Using the NU Method.Adv. Equation with Manning-Rosen Potential Plus A Ring-Shaped Like Potential by Studies Theor. Phys., vol. 5, no. 10, pp , Nikiforov Uvarov Method. European [14] A. K. Roy, The Generalized Pseudospectral Journal of Scientific Research, vol. 46, pp , Approach to The Bound States of The Hulthen and The Yukawa Potentials. [5] V. G. Romanovski dan D. S. Shafer, The Pramana-Journal of Physics,vol. 65, no.1, Center and Cyclicity Problems: A pp. 1 15, Computational Algebra Approach. [15] S. M. Ikhdair dan R. Sever, Approximate l- Birkhauser, Bassel, state Solutions of The D-dimensional [6] G. N. Georgiev dan M. N. Grosse, The Schrodinger Equation for Manning Rosen Kummer Confluent Hypergeometric Potential. Journal of Quantum Function and Some of Its Applications in Physics,vol.1, The Theory of Azimuthally Magnetized Circular Ferrite Waveguides. Journal of Telecommunications and Information Technology, vol. 3, [7] H. Nagoya, Hypergeometric Solutions to Schrodinger Equations for The Quantum Painlev e Equations.Journal of Math Physics, vol.52, [8] A. V. Nikiforov dan V. B. Uvarov, Special Functions of Mathematical Physics. Birkhauser, Bassel, [9] U. A. Deta, Suparmi, dan Cari. Approximate Solution of Schrödinger Equation in D-Dimensions for Scarf Hyperbolic Potential Using Nikiforov Uvarov Method. Adv. Studies Theor. Phys., vol. 7, no. 13, pp , [10] H. Hassanabadi, L. L. Lu, S. Zarrinkamar, G. H. Liu, dan H. Rahimov, Approximate Solutions of Schrodinger Equation under Manning Rosen Potential in Arbitrary Dimension via SUSYQM. ACTA PHYS POLONICAA,vol.122, no.4, [11] C. C. Yuan, S. D. Sheng, L. C. Lin, dan L. F. Lin. Approximate Analytical Solutions for Scattering States of D-dimensional Hulthen Potential. Communications 232