Transformasi Bidang Datar

Bab Transformasi Bidang Datar Sumber: img07.imageshack.us Pada bab ini, nda akan diajak untuk menentukan kedudukan, jarak ang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam dimensi dua sehingga nda dapat menerapkan transformasi bangun datar menentukan kedudukan, jarak, ang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi dua, serta menerapkan transformasi bangun datar. Pada Bab, nda telah mempelajari pemetaan pada bilangan real, aitu suatu aturan ang menghubungkan suatu bilangan real dengan bilangan real lainna. Pada bab ini, nda akan mempelajari pemetaan pada bangun geometri, aitu transformasi geometri. Transformasi geometri adalah suatu aturan ang menghubungkan suatu titik di suatu bidang geometri (misalna bidang datar) dengan titik lain pada bidang tersebut. Pada bab ini, nda akan mempelajari empat macam transformasi geometri pada bangun datar, aitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), dilatasi (perbesaran atau perkalian), dan rotasi (perputaran). Tranformasi-transformasi tersebut sangat erat kaitanna dalam kehidupan sehari-hari, contohna adalah baangan suatu objek pada cermin datar merupakan hasil transformasi objek tersebut pada cermin. Jika tinggi objek itu cm dan tinggi cermin lebih besar dari tinggi objek? Berapakah tinggi baangan objek pada cermin? nda akan dapat menjawabna setelah mempelajari bab ini dengan baik.. Translasi B. Refleksi C. Rotasi D. Dilatasi E. Komposisi Transformasi Transformasi Bidang Datar

Peta Konsep Materi tentang Transformasi Bidang Datar dapat digambarkan sebagai berikut. Transformasi Bidang Datar Jenis-jenis Transformasi Komposisi Transformasi Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi (, ) a b baanganna ' ( + a, + b) baangan terhadap garis baangan terhadap pusat rotasi baangan terhadap pusat dilatis (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 0 0 a b ' (, ) ' (, ) ' (, ) ' (, ) ' (a, ) ' (, b ) Pusat Rotasi (0, 0) ' cos θ sin θ ' sin θ+ cos θ Pusat Rotasi (a, b) ' a + ( a)cos θ ( b)sin θ ' b + ( a)sin θ + ( b)cos θ Pusat Dilatasi [O, k] (, ) Æ '(k, k) Pusat Dilatasi [p, k] (, ) Æ '(a + k( a), b + k( b)) Soal Pramateri Kerjakan soal-soal berikut, sebelum nda mempelajari bab ini.. Tuliskanlah ciri-ciri bidang datar berikut. a. Jajargenjang c. Belahketupat b. Trapesium d. Laang-laang. Tuliskanlah rumus luas dari bidang datar berikut a. Segitiga c. Belahketupat b. Trapesium d. Persegipanjang. Jelaskan ang dimaksud dengan: a. absis c. transformasi b. ordinat d. isometri 6 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Translasi Sebelum mempelajari materi translasi, perhatikan transformasi pada titik (, ) berikut. Y ' T (,) ' '(',') Baangan titik (, ) oleh transformasi T menghasilkan baangan dari titik, aitu titik '(', '). Jika titik-titik ang ditransformasikan terletak pada suatu bangun geometri maka akan terbentuk suatu bangun baru ang bentukna sama dengan bangun semula, hana berbeda posisi. Jadi dapat disimpulkan bahwa Transformasi pada bangun geometri merupakan suatu aturan ang memindahkan suatu bangun geometri dari satu posisi ke posisi lain dengan tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Transformasi ang tidak mengubah ukuran dan bentuk bangun disebut transformasi isometri, di antarana translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), dan rotasi (putaran). dapun transformasi ang tidak isometri adalah dilatasi (perkalian) karena ukuran baangan dapat diperbesar atau diperkecil. Pada subbab ini nda akan mempelajari konsep translasi, sedangkan transformasi lain akan dipelajari pada subbab-subbab selanjutna. Translasi (pergeseran) adalah transformasi ang memetakan suatu titik pada titik lain sebagai baanganna. Fungsi ang memetakan titik tersebut sepanjang sumbu- (horizontal) dan dilanjutkan pada sumbu- (vertikal). Translasi dinatakan oleh pasangan terurut dengan a merupakan b komponen translasi pada arah sumbu- dan b merupakan komponen translasi pada arah sumbu-. Translasi dapat dibaangkan dengan memindahkan objek-objek di sekitar kita. Misalna pada pemindahan meja. pada gambar a X Gambar. Transformasi titik (, ) menjadi '(', ') Kata Kunci transformasi translasi koordinat cartesius absis ordinal isometri Transformasi Bidang Datar 7

berikut. Gambar. Translasi sebuah meja meja dipindah sepanjang garis lurus meja posisi meja mula-mula T meter meja' ' meter posisi meja setelah dipindah T a b Gambar. Titik (, ) ditranslasikan oleh diperoleh baangan '(', ') aitu '( + a, + b) Pada Gambar., meja dipindahkan sepanjang garis lurus sejauh m ke kanan dan m ke atas oleh suatu translasi T, sehingga meja berpindah ke meja. Dengan membaangkan meja adalah suatu titik pada bidang koordinat Cartesius maka diperoleh Gambar.. Y ' (,) + a T '(',') ' b + b Pada Gambar. tampak, titik (,) ditranslasikan a oleh translasi T sepanjang garis lurus sejauh a satuan b ke kanan dan b satuan ke atas. Baangan dari titik ang X diperoleh titik (+a, +b). Contoh tersebut memperjelas definisi berikut. a Jika titik (,) ditranslasikan oleh translasi T b maka diperoleh baangan dari, aitu (, ) dengan + a dan + b a Translasi T pada titik (, ) dapat ditulis b di mana T a b : (, ) (, ) 8 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

jika a > 0, maka arah pergeseranna adalah a satuan ke kanan (menuju positif) jika a < 0 maka arah pergeseranna adalah a satuan ke kiri (menuju positif). jika b > 0 maka arah pergeseranna adalah b satuan ke atas (menuju positif). Contoh Soal. Tentukanlah baangan titik-titik berikut terhadap translasi T. a. (, ) jika ditranslasikan oleh T b. B( 4, ) jika ditranslasikan oleh T c. C(, ) jika ditranslasikan oleh T Sumber : www.vill.nishiokoppe. hokkaido.jp Gambar.4 Mendorong benda adalah contoh translasi d. D(, ) jika ditranslasikan oleh T Untuk menentukan baanganna, gunakan persamaan translasi berikut. ' + a dan ' + b a. Diketahui (, ) dan T maka,, a, dan b. Diperoleh ' + a + 4 ' + b + Jadi, baangan dari titik (, ) jika ditranslasikan oleh T adalah '(4,). b. Diketahui B( 4, ) dan T maka 4,, a, dan b. Diperoleh, ' + a 4 + ( ) ' + b + 4 Jadi, baangan dari titik B( 4, ) jika ditranslasikan oleh T adalah B'(,4). c. Diketahui C(, ) dan T maka,, a, dan b. Diperoleh ' + a + ' + b ( ) + ( ) Transformasi Bidang Datar 9

B' 4 B - -4 - - - 0 - D - - D' -4 - ' 4 C C' Gambar. Jadi, baangan dari titik C(, ) jika ditranslasikan oleh T adalah C'(, ). d. Diketahui D(, ) dan T dan b. Diperoleh, maka,, a, ' + a ( ) + ( ) ' + b ( ) + ( ) Jadi, baangan dari titik D(, ) jika ditranslasikan oleh T adalah D'(, )., B, C, dan D beserta baanganna ', B', C' dan D' oleh translasi T. jika b < 0 maka arah pergeseranna adalah b satuan ke bawah (menuju positif). Contoh Soal. Jika baangan dari titik (, ) adalah '(, ) maka tentukanlah aturan translasina. Diketahui (, ) dan '(, ) maka,, ', dan '. Dengan menggunakan persamaan translasi ' + a dan ' + b diperoleh + a a + a b 4 Jadi, translasi ang memetakan titik (, ) ke titik '(, ) adalah T 4. nda juga dapat menentukan aturan tranlasi jika diketahui titik asal dan baanganna. Pelajarilah contoh soal berikut. Pada Contoh Soal. dan., nda telah mempelajari translasi sebuah titik. Selanjutna, translasi juga dapat dilakukan Contoh Soal. Cermatilah sketsa denah penataan satuan ruangan sebuah kantor berikut. Keterangan,,,dan 4 kursi tamu 7 6 meja tamu 4 6 kursi sekretaris 7 meja sekretaris 8 lemari arsip 8 60 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Kemudian tata ruang kantor tersebut hendak diubah menjadi seperti denah berikut. 8 6 7 4 Tentukanlah translasi dari setiap benda ang terletak pada ruang kantor tersebut. Perhatikanlah translasi ang dilakukan oleh kursi tamu (), dan lemari arsip (8) berikut Kursi tamu () berpindah satuan ke kanan 8 dan satuan ke bawah maka translasina adalah T, sedangkan lemari arsip (8) berpindah satuan ke kanan dan 4 8 satuan ke atas maka translasina adalah T 8 4 Dengan cara ang sama, diperoleh tranlasi benda-benda dalam, ruang kantor sebagai berikut. Translasi pada (), (), (4), (), (6), dan (7) berturut-turut adalah T 4, T, T 4, T, T 6 6, T 4 7. Evaluasi Materi. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan nda.. Tentukan baangan dari titik-titik berikut 4 ang ditranlasikan oleh T. a. (, ) b. B(, ) c. C(6, 7) d. D(0, ). Baangan dari titik P(4, ) ang di translasikan oleh T dalah P'(,6). Tentukan translasi T. Transformasi Bidang Datar 6

. Perhatikan gambar berikut. 4 ' 4 6 7 8 Tentukan translasi T ang memetakan segitiga BC ke ' B' C'. C B C' B' 4. Diketahui koordinat titik sudut suatu segiempat BCD adalaah (,), B(,), C(, 4), dan D(,4). a. Jika titik-titik sudut tersebut ditranslasi - kan oleh translasi T ang memetakan segitiga BC pada soal nomor, tentukan koordinat baangan dari titiktitik tersebut. b. Gambarkan segiempat BCD dan baang an na pada bidang koordinat Cartesius (gunakan kertas berpetak), kemudian tentukan keliling dan luas segiempat BCD. B Refleksi Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi ang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan menggunakan sifat benda dan baanganna pada cermin datar. Pada refleksi, jarak benda dengan cermin sama dengan jarak baanganna pada cermin. Garis ang menghubungkan titiktitik pada benda dengan titik-titik pada baanganna tegak lurus dengan cermin, serta ukuran dan bentuk baangan sama dengan bentuk benda. Perhatikan gambar berikut. Sumber : www.aquahobb.com Gambar.6 orang ang sedang bercermin cermin baangan dari orang ang sedang bercermin Ukuran dan bentuk ikan sama dengan baanganna. Kata Kunci refleksi sumbu refleksi matriks refleksi Pada bidang geometri, cermin dilukis sebagai sebuah garis lurus, seperti sumbu-, sumbu, garis, garis, dan lain sebagina. Misalkan (, ) adalah titik pada bidang koordinat Cartesius, sumbu- adalah cermin, dan '(', ') adalah baangan dari terhadap sumbu- maka jarak ke sumbu- sama dengan jarak ' ke sumbu- dan garis 'tegak lurus 6 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

dengan sumbu-. ' 0 Gambar.7 Refleksi titik terhadap sumbu- Garis-garis ang berfungsi sebagai cermin disebut sumbu cermin atau sumbu refleksi. Pada subbab ini, nda akan mempelajari refleksi terhadap sumbu-, refleksi terhadap sumbu-, refleksi terhadap garis, refleksi terhadap garis, refleksi terhadap garis a, dan refleksi terhadap garis b. Pelajarilah uraian berikut.. Refleksi Terhadap Sumbu- Misalkan (, ) adalah titik pada bidang koordinat Cartesius dan '(',') adalah baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu-. Bagaimanakah menentukan titik '? Perhatikan grafik berikut. B' B 0 Pada gambar.8, titik (, ) dan B(, ) direfleksikan terhadap sumbu-, sehingga diperoleh titik '(, ) dan B'(, ). Lihatlah, jarak titik dan ' dengan sumbu- adalah sama, aitu satuan dan garis ' tegak lurus dengan sumbu-. Jadi, baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, ). Perhatikan diagram berikut. ' Gambar.8 Refleksi titik dan B terhadap sumbu- Transformasi Bidang Datar 6

Jelajah Matematika Leonardo da Vinci (4 9) Seorang seniman dan ahli teknik berkebangsaan Italia, Leonardo da Vinci adalah salah seorang jenius dari zaman Renaissance. Ia ang membuat lukisan paling terkenal sepanjang massa, aitu "monalisa" dan "The Last Supper", Da vinci selalu mengisi buku catatanna dengan berbagai penemuan dan inovasi ilmiah. Ia dapat menggambar dengan tangan kanan dan menulis dengan tangan kiri serta menggunakan tulisan cermin untuk mencatat pekerjaanna. Sumber: www.hschamberlain.net tetap (, ) Æ '(, ) absis : Æ ordinat : Æ berubah tanda Jarak titik B dan B' dengan sumbu- sama, aitu satuan dan garis BB' tegak lurus dengan sumbu-. Jadi baangan dari titik B(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah B'(, ). Perhatikan diagram berikut. tetap B(, ) Æ B'(, ) absis : Æ ordinat : Æ berubah tanda Dari contoh tersebut tampak koordinat baangan ang dihasilkan mempunai absis (koordinat ) ang nilai dan tandana sama dengan absis titik sebelumna. dapun, ordinatna hana berubah tanda. tetap (, ) Æ '(, ) absis : Æ ordinat : Æ berubah tanda Jadi, secara umum definisi refleksi adalah sebagai berikut. Contoh Soal.4 Tentukan baangan dari titik-titik berikut ang direfleksikan terhadap sumbu, kemudian gambarkan baanganna pada bidang koordinat Cartesius. a. (, ) c. C(, 4) b. B(, ) d. D(, ) a. Titik (, ) fi dan maka diperoleh ' dan '. Jadi, baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, ). b. Titik B(, ) fi dan maka ' dan ' ( ). Jadi, baangan dari titik B(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, ). 64 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

c. Pada titik C(, 4) fi dan 4 maka ' dan ' 4. Jadi, baangan dari titik C(, 4) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(,-4). d. Pada titik D(, ) fi dan maka ' dan ' ( ). Jadi, baangan dari titik D(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, ). C 4 D' B' 0 4 B Gambar.9 D C' 4 ' Titik (, ), B (,), C (, 4) dan D (, ) direfleksikan terhadap sumbu diperoleh ' (, ), B' C' (, 4), dan D' (, ) Jika (, ) direfleksikan terhadap sumbu- maka diperoleh baanganna, aitu '(', '), dengan persamaana sebagai adalah ' dan ' Ditulis Contoh Soal. Diketahui segitiga BC dengan titik-titik sudutna, aitu (, 4), B(, ), dan C(4, 6). Gambarlah baangan dari segitiga BC ang direfleksikan terhadap sumbu- pada bidang koordinat Cartesius. Diketahui titik-titik sudut segitiga (, 4), B(, ), dan C(4, 6). Untuk mendapatkan baangan dari segitiga BC ang direfleksikan terhadap sumbu, tentukan terlebih dahulu koordinat baangan dari titik-titik sudutna. Baangan dari (, 4) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, 4). Baangan dari B(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah B'(, ). Transformasi Bidang Datar 6

Baangan dari C(4, 6) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah C'(4, 6). Baangan dari segitiga BC diperoleh dengan menghubungkan titik-titik '(, 4), B'(, ), dan C'(4, 6) seperti pada Gambar. berikut. 6 C 4 B 0 B Gambar.0 Segitiga BC direfleksikan terhadap sumbu- menghasilkan segitiga 'B'C' 4 6 ' C' sumbu- (, ) '(, ) Persamaan ' dan ' disebut persamaan transformasi refleksi. Seperti pada translasi, nda juga dapat menentukan refleksi pada beberapa titik ang membentuk suatu bidang datar. Bidang datar ang dihasilkan akan sama bentuk dan ukuranna. Perhatikan Contoh Soal. berikut. Pada gambar tersebut terlihat segitiga BC kongruen dengan segitiga 'B'C'. Persamaan transformasi dapat diterjemahkan dalam bentuk matriks. nda dapat menentukan baangan suatu titik ang transformasikan dengan menggunakan operasi perkalian dua buah matriks. Untuk refleksi terhadap sumbu-, perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut. ' dan ' Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh ' + 0 66 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Contoh Soal.6 Dengan menggunakan matriks refleksi terhadap sumbu-, tentukan baangan titik-titik berikut. a. (, ) c. C(, 4) b. B(, ) d. D(, ) a. Pada titik (, ), dan maka diperoleh ' 0 ' 0 0 0 + 0 0 + ( ) Diperoleh ' dan '. Jadi, baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu-' adalah '(, ). b. Pada titik B(, ), dan maka diperoleh ' 0 ' 0 0 0 + 0 ( ) 0+ ( ) ( ) Diperoleh ' dan '. Jadi, baangan dari titik B(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, ). c. Pada titik C(, 4), dan 4 maka diperoleh ' 0 ' 0 0 0 4 ( ) ( ) ( ) + 04 0 + 4 4 Notes Matriks refleksi terhadap 0 sumbu- adalah 0 Transformasi Bidang Datar 67

Diperoleh ' dan ' 4. Jadi, baangan dari titik C(, 4) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, 4). d. Pada titik D(, ), dan maka diperoleh ' 0 ' 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 0 0 + Diperoleh ' dan '. Jadi, baangan dari titik D(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, ). Gambar. Refleksi terhadap sumbu- ' 0 + ( ) maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' ' 0 0 0 0 disebut matriks refleksi terhadap sumbu-.. Refleksi terhadap Sumbu- nda telah mempelajari cara menentukan baangan ang direfleksikan pada sumbu-. Sekarang, nda akan mempelajari sumbu-. Sebelumna perhatikan Gambar. berikut. ' 4 4 B B' Pada gambar tersebut, titik dan B tegak lurus terhadap sumbu-. Perhatikan, jarak titik dan ' dengan sumbu- sama, aitu satuan dan garis ' tegak lurus dengan sumbu-. Jadi, baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, ). Perhatikan diagram berikut. 68 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

berubah tanda (, ) Æ '(, ) absis : Æ ordinat : Æ tetap Jarak titik B dan B' dengan sumbu- sama, aitu 4 satuan dan garis BB' tegak lurus dengan sumbu-. Jadi, baangan dari titik B( 4, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah B'(4, ). berubah tanda B( 4, ) Æ B'(4, ) absis : 4 Æ 4 ordinat : Æ tetap Dari contoh-contoh tersebut tampak koordinat baangan ang dihasilkan mempunai absis ang nilaina sama dengan absis titik sebelumna tetapi tandana berubah. Untuk ordinatna, nilai dan tandana sama dengan ordinat titik sebelumna. Search Ketik: www.e-edukasi.net/ mapok. Pada situs ini, nda dapat mempelajari transformasi geometri ang terdiri atas translasi, refleksi, rotasi, dilatsi, serta komposisina. berubah tanda (, ) Æ '(, ) absis : Æ ordinat : Æ tetap Secara umum, refleksi terhadap sumbu- dapat didefinisikan sebagai berikut Contoh Soal.7 Tentukan baangan dari (, 4) dan B(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu-. (, 4) maka dan Dengan menggunakan persamaan transformasi refleksi terhadap sumbu-, aitu ' dan ' diperoleh, ' ' 4 Jadi, baangan dari (,4) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, 4). B(, ) maka dan ' ( ) ' Transformasi Bidang Datar 69

Jadi, baangan dari B(, 4) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah B'(, ). ' 4 B B' Gambar. Refleksi titik (, 4) dan B(-, ) terhadap sumbu- diperoleh '(-, 4) dan B'(, ) 0 Jika (, ) direfleksikan terhadap sumbu-, maka di peroleh baanganna, aitu '(', '), dengan Contoh Soal.8 Koordinat-koordidat titik sudut suatu bidang BCD adalah (, ), B(6, ), C(, ), dan D(0, ). Gambarkan baangan dari bangun tersebut jika direfleksikan terhadap sumbu- dan tentukan nama bangun dari baangan ang terbentuk. Pertama tentukan baangan dari titik-titik (, ), B(6, ), C(, ), dan D(0, ) ang direfleksikan terhadap sumbu-. Baangan dari (, ) adalah '(, ) Baangan dari B(6, ) adalah B'( 6, ) Baangan dari C(, ) adalah C'(, ) Baangan dari D(0, ) adalah D'(0, ) Pada refleksi, baangan ang terbentuk akan memiliki bentuk dan ukuran ang sama dengan benda. Bidang BCD merupakan belahketupat sehingga 'B'C'D' adalah belahketupat. C' C Gambar. B' D' D B Benda dan hasil refleksi sama bentuk dan ukuran 6 ' 0 6 70 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

' dan ' ditulis sumbu- (, ) '(, ) Persamaan ' dan ' disebut persamaan transformasi refleksi terhadap sumbu-. Contoh soal berikut adalah contoh refleksi suatu bangun terhadap sumbu-. Pelajarilah dengan baik, agar nda memahami na. Sama seperti terhadap sumbu-, refleksi terhadap sumbu- juga memiliki persamaan matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut. ' ' Jika persamaan tersebut diuraikan akan, diperoleh Contoh Soal.9 Notes Matriks refleksi terhadap 0 sumbu- adalah 0 Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu-. Diketahui (, ) maka dan. Persamaan matriks refleksi terhadap sumbu - adalah sebagai berikut Diperoleh ' ' 0 0 ' 0 ' 0 ( ) + ( ) + 0 0 Jadi, baangan (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu- adalah '(, ). Transformasi Bidang Datar 7

Gambar.4 Refleksi terhadap garis ' ( ) + 0 ' 0 + maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' ' 0 0 0 0 disebut matriks refleksi terhadap sumbu-.. Refleksi terhadap Garis Perhatikan Gambar.4 berikut. Q ' 4 0 4 P Pada Gambar.4 tersebut, titik (, 4) direfleksikan terhadap garis. Jarak ke garis sama dengan jarak ' ke garis. Garis ' tegak lurus dengan garis. Jadi '(4, ) adalah baangan dari titik (, 4). Bagaimanakah hubungan antara koordinat titik dengan koordinat baanganna? Pada Gambar.4 tampak panjang OP OQ dan P 'Q. Jadi panjang O O'. Jadi, segitiga 'OQ sama dengan segitiga OP sehingga diperoleh, OQ OP atau ordinat ' absis 'P P atau absis ' ordinat 7 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Contoh Soal.0 Tentukan baangan dari titik (, ) dan B(4, ) ang direfleksikan terhadap garis. Baangan ditentukan dengan menggunakan rumus ' ' Pada (, ), dan diperoleh ' ' Jadi, baangan dari titik (, ) adalah '(, ). Pada B(4, ), 4 dan diperoleh ' ' 4 Jadi, baangan dari titik B(4, ) adalah B'(, 4). B' 4 0 4 ' B Gambar. Titik (, ) dan B(4, ) direfleksikan terhadap garis diperoleh '(, ) dan B(, 4) Contoh Soal. Koordinat-koordinat titik sudut suatu segiempat BCD adalah (, 0), B(, 4), C(7, 0), dan D(, ). Tentukan: a. baangan dari titik-titik sudut segiempat BCD jika titik-titik sudut tersebut direfleksikan terhadap garis, b. luas segiempat BCD dan 'B'C' D' tersebut. a. (, 0) Æ '(0, ) Jadi, baangan dari (, 0) adalah '(0, ). B(, 4) Æ B'( 4, ) Transformasi Bidang Datar 7

Gambar.6 Jadi, baangan dari B(, 4) adalah B'( 4, ). C(7, 0) Æ C'(0, 7) Jadi, baangan dari C(7, 0) adalah C'(0, 7). D(, ) Æ D'(, ) Jadi, baangan dari D(, ) adalah D'(, ). b. Berikut adalah gambar segiempat BCD dan baanganna, aitu ', B', C', D'. B' 4 C' 7 6 4 ' 0 D' D 4 6 C 7 Luas BCD sama dengan luas 'B'C'D'. 4 B Segiempat ang terbentuk adalah laang-laang BCD dengan panjang diagonal C 4 satuan dan panjang diagonal DB 6 satuan. Rumus luas laang-laang adalah diagonal diagonal, maka diperoleh L C DB 4 6 Luas laang-laang BCD adalah satuan luas, sehingga luas laang-laang 'B'C'D' juga satuan luas. Notes Matriks refleksi terhadap 0 garis adalah 0 sama (, 4) '(4, ) sama Secara umum, refleksi terhadap garis dapat didefinisikan sebagai berikut. Jika (, ) direfleksikan terhadap garis maka diperoleh baangan dari, aitu '(', '), dengan ' dan ' ditulis (, ) '(, ) Persamaan ' dan ' disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis. Berikut adalah contoh soal refleksi beberapa titik ang membentuk 74 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Contoh Soal. Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan baangan dari titik ( 7, ) ang direfleksikan terhadap garis dengan menggunakan matriks refleksi. Diketahui ( 7, ) maka 7 dan. Dari persamaan matriks ' ' 0 0 diperoleh ' 0 ' 0 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 7 + 7 + 0 7 Jadi, baangan dari ( 7, ) ang direfleksikan terhadap garis adalah '(, 7). suatu bidang pada garis. Sama seperti refleksi terhadap sumbu- dan sumbu-, refleksi terhadap garis dapat ditentukan dengan menggunakan matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut. ' ' Jika persamaan di atas diuraikan, diperoleh ' 0 + ' + 0 maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' ' 0 0 0 0 disebut matriks refleksi terhadap garis. 4. Refleksi terhadap Garis Garis adalah kedudukan titik-titik koordinat ang memenuhi persamaan atau. Contohna titik (, Gambar.7 Titik (, ) dan B(4, ) direfleksikan terhadap garis diperoleh '(, ) dan B(, 4) Transformasi Bidang Datar 7

) dan (, ) terdapat pada garis. Perhatikanlah uraian berikut, agar nda memahami refleksi terhadap garis. 0 P ' Pada gambar misalkan, titik (, ) direfleksikan terhadap garis. Jarak baangan dari, aitu titik ', ke garis sama dengan jarak ke garis. Garis ' tegak lurus dengan garis. Jadi, '(, ) adalah baangan dari titik (, ). Kemudian, hubungan antara koordinat titik dan koordinat baanganna adalah sebagai berikut. Pada gambar tampak panjang OP OQ dan P 'Q. Jadi Contoh Soal. Tentukan baangan dari titik ( 6, ) ang direfleksikan terhadap garis. Baangan ditentukan dengan menggunakan persamaan transformasi refleksi terhadap garis, aitu ' ' Pada ( 6, ), 6 dan maka diperoleh ' ' ( 6) 6 Jadi, baangan dari titik ( 6, ) adalah '(, 6). panjang O O'. Jadi, segitiga 'OQ sama dengan segitiga OP. OQ OP atau ordinat ' absis 76 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Contoh Soal.4 Koordinat-koordinat titik sudut suatu segiempat BCD adalah (, 0), B(8, 0), C(6, ), dan D(, ). Tentukan: a. baangan dari titik-titik sudut segiempat BCD jika direfleksikan terhadap garis. b. luas segiempat BCD tersebut. a. (,0) Æ '(0, ) Jadi, baangan dari (, 0) adalah '(0, ). B(8, 0) Æ B'(0, 8) Jadi, baangan dari B(8, 0) adalah B'(0, 8). C(6,) Æ C'(, 6) Jadi, baangan dari C(6, ) adalah C'(, 6). D(, ) Æ D'(, ) Jadi, baangan dari D(, ) adalah D'(, ). b. Bidang datar dan baangan ang terbentuk terlihat pada gambar berikut. D C B 4 6 8 D' C' 6 B' 8 Segiempat ang terbentuk adalah trapesium BCD dengan panjang B 7 satuan tinggi DP satuan, dan panjang DC satuan. Oleh karena itu, luas trapesium BCD adalah (B + DC)DP (7 + ) 0 satuan. 'P P atau absis ' ordinat Transformasi Bidang Datar 77

Notes Matriks refleksi terhadap garis adalah 0 0 berubah tanda (, ) '(, ) berubah tanda Jadi, secara umum refleksi terhadap garis dapat di definisi kan sebagai berikut. Jika (, ) direfleksikan terhadap garis, maka diperoleh baangan dari, aitu '(', '), dengan ' dan ' Contoh Soal. Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan baangan dari titik (8, ) ang direfleksikan terhadap garis. Diketahui (8, ) maka 8 dan. Oleh persamaan matriks refleksi terhadap garis adalah sebagai berikut. ' ' 0 0 Dengan demikian, diperoleh ' ' 0 8 0 08+ ( ) 8+ 0 ( ) 8 Jadi, baangan dari titik (8, ) adalah '(, 8). ( ) ( ) ditulis (, ) '(, ) Persamaan ' dan ' disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis. 78 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Pelajarilah contoh soal berikut, agar nda memahami refleksi beberapa titik ang membentuk bangun datar terhadap garis. Seperti refleksi pada garis-garis lain, refleksi pada garis juga dapat dilakukan menggunakan matriks. Persamaan transformasi refleksi pada garis adalah sebagai berikut. ' ' Jika persamaan tersebut diuraikan diperoleh ' 0 + ( ) ' ( ) + 0 sehingga diperoleh persamaan matriks berikut. ' ' 0 0 0 0 disebut matriks refleksi terhadap garis.. Refleksi terhadap Garis a Garis a adalah garis ang sejajar sumbu- dan berjarak a satuan dari sumbu-, contohna. Pelajarilah uraian berikut agar nda memahami refleksi terhadap garis a. Gambar.8 Titik (-, ) direfleksikan terhadap garis a diperoleh '(, -) dengan ' a dan ' Contoh Soal.6 Koordinat-koordinat titik sudut suatu segitiga BC adalah (4, 0), B(6, ), dan C(, 4). Tentukan baangan dari titik-titik tersebut jika direfleksikan terhadap garis. Diketahui garis a Baangan ditentukan dengan persamaan refleksi garis a berikut. ' a ' Transformasi Bidang Datar 79

Pada titik (4, 0), 4 dan 0 diperoleh ' a ( ) 4 8 ' 0 Jadi, baangan dari (4, 0) adalah '( 8, 0) Pada titik B(6, ), 6 dan, diperoleh ' a ( ) 6 0 ' Jadi, baangan dari B(6, ) adalah B'( 0, t) Pada titik C(, 4), dan 4, diperoleh ' a ( ) ' 4 Jadi, baangan dari C(, 4) adalah C'(, 4). Segitiga BC dan baangan ', B', C' ang terbentuk tampak seperti gambar berikut. C' 4 C B' B Gambar.9 Segita BC' direfleksikan terhadap garis diperoleh 'B'C'. 0 9 ' 8 7 6 4 0 4 6 a (, ) '(', ') 0 a a a ' a Gambar.0 Refleksi titik (, ) terhadap garis b diperoleh '(', ') dengan ' dan ' b ' a + a a Pada Gambar.8, tampak bahwa baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap garis a adalah sebagai berikut. ' + (a ) + a a 80 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

' sehingga diperoleh '(a, ). Secara umum, refleksi terhadap garis a dapat didefinisikan sebagai berikut. Jika (, ) direfleksikan terhadap garis a, maka diperoleh baangan dari, aitu '(', '), dengan ' a ' atau dapat ditulis a (, ) '(a, ) ' a dan ' disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis a. 6. Refleksi terhadap Garis b dapun, garis b adalah garis ang sejajar sumbu- dan bejarak b satuan dari sumbu-. Perhatikan Gambar.0 Contoh Soal.7 Koordinat-koordidat titik sudut suatu segiempat BCD adalah (, ), B(, ), C(, ), dan D(, ). Tentukan baangan dari titik-titik tersebut jika direfleksikan terhadap garis. Diketahui garis b Baangan ditentukan dengan persamaan refleksi terhadap garis b berikut. ' ' b Pada titik (, ), dan, diperoleh ' ' b ( ) 7 Jadi, baangan dari (, ) adalah '(, 7) Pada titik B(, ), dan diperoleh ' ' b Jadi, baangan dari B(, ) adalah B'(, ) Pada titik C(, ), dan diperoleh ' ' b Jadi, baangan dari C(, ) adalah C'(, ) Pada titik D(, ), dan, diperoleh ' ' b Jadi, baangan dari D(, ) adalah D'(, ). Segiempat BCD dan baanganna 'B'C'D' ang terbentuk tampak pada gambar berikut. Transformasi Bidang Datar 8

7 ' 6 4 D' B' C' C D B Gambar. Refleksi segiempat BCD terhadap garis. 0 4 Evaluasi Materi. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan nda.. Tentukan baangan dari titik P(, ) dan Q (-4, 7) ang direfleksikan terhadap a. sumbu- b. sumbu-. Tentukan baangan dari titik (, ) dan B( 6, ) ang direfleksikan terhadap a. garis b. garis. Tentukan baangan dari titik S(, 6) dan T(, ) ang direfleksikan terhadap a. garis 4 b. garis 4. Diketahui koordinat-koordinat titik sudut segiempat BCD adalah (0, ), B(6, ), C(8, ), dan D(, ) a. Tentukan baangan dari titik-titik sudut tersebut jika titik tersebut direfleksikan terhadap sumbu-. b. Gambarkan segiempat tersebut dan baanganna pada bidang koordinat Cartesius. (gunakan kertas berpetak) c. Tentukan luas segiempat BCD. Kata Kunci rotasi pusat rotasi sudut rotasi C Rotasi Rotasi (perputaran) adalah suatu transformasi ang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan memutar titik tersebut terhadap titik pusatna. Untuk mudahna, baangkan suatu rotasi pada sebuah roda. Jika pada roda tersebut terdapat titik, posisi titik akan berpindah ketika roda tersebut diputar atau dirotasikan terhadap titik pusat roda tersebut. rtina, titik berpindah akibat putaran roda. Perhatikan gambar berikut. 8 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

' P Q P P O " titik pusat roda roda sebelum diputar a roda setelah diputar sejauh θ 4 berlawanan arah dengan arah jarum jam b Gambar. (a) dan (b) menunjukkan suatu rotasi pada titik pada roda terhadap pusat roda P. rah rotasi dapat berlawanan dengan arah putaran jarum jam atau searah dengan arah putaran jarum jam. Jika arah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam maka dinamakan arah positif (+). Jika arah rotasi searah dengan arah jarum jam maka dinamakan arah negatif ( ). Besar sudut rotasi q adalah sudut ang terbentuk dari besarna rotasi ang terjadi. Suatu rotasi R, terhadap pusat rotasi P dan sudut rotasi q dinotasikan dengan R [P, q]. Contoh Soal.8 roda setelah diputar setelah θ 4 searah dengan arah jarum jam c Gambar. Posisi dan baangan ' setelah berotasi Untuk membahas hasil pemasaran suatu produk selama tahun ang dilakukan oleh 7 kantor cabang maka diadakan rapat ang dilakukan menggunakan meja bundar seperti gambar. G H F 7 6 8 E O 4 B D Jika kursi ditempati oleh direktur pemasaran kantor pusat, kemudian kursi B, C, D, E, F, G, dan H ditempati oleh direktur pemasaran kantor cabang daerah B, C, D, E, F, G, dan H. Selanjutna, jika meja tersebut diputar (dirotasikan) dengan rotasi, R [O, 90 ] tentukanlah pasangan nomor pada meja dengan huruf pada kursi ang terjadi sebagai hasil rotasi. Rotasi ang dinatakan oleh R []090,0 berarti rotasi terhadap titik 0 sebesar 900 searah putaran jarum jam, perhatikan gambar berikut. Setelah meja diputar sejauh 900 searah jarum jam maka seluruh titik berputar bersama meja, pada ilustrasi di samping, diperlihatkan titik ang mula-mula berpasangan dengan kursi berputar sejauh 900 dan menebabkan titik berpasangan dengan kursi C, demikian juga titik ang mula-mula berpasangan C G 90 E O 90 C Transformasi Bidang Datar 8

dengan kursi E berputar sejauh 900 dan menebabkan titik berpasangan dengan kursi G Setelah meja diputar sejauh 900, maka pasangan titik,,,4,,6,7, dan 8 pada meja terhadap kursi, B, C, D, E, F,G, dan H adalah sebagai berikut. H 6 7 8 B G O C F 4 E Diperoleh, titik,,, 4,, 6, 7, dan 8 masing-masing berpasangan dengan kursi C, D, E, F, G, H,, dan B. D. Rotasi terhadap Titik Pusat O(0, 0) Misalkan titik pada roda dipindahkan pada bidang koordinat cartesius, maka koordinat titik adalah (, ). Jika titik (, ) dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh q dan baangan ang dihasilkan adalah '(', '), dapatkah nda tentukan koordinat (', ')? Perhatikanlah Gambar. berikut. Gambar. Titik (. ) dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh θ berlawanan arah putaran jarumjam. '(', ') ' ' O (, ) Terdapat hubungan antara ' dan ' dengan dan dan sudut putaran q, aitu ' cos q sin q ' sin q + cos q Jika titik (, ) dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh q atau dinotasikan R [O, q] maka baangan dari titik adalah '(', '), di mana ' cos q sin q dan ' sin q + cos q atau ditulis (, ) Æ ' ( cos q sin q, sin q + cos q) 84 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Persamaan ' cos q sin q dan ' sin q + cos q disebut persamaan transformasi rotasi terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh q atau R [O, q]. Contoh Soal.9 Tentukan baangan dari titik P(, ) jika dirotasikan terhadap: a. R [0, 0 ] b. R [0. 0 ] Titik P(, ) maka dan. cos 0, sin 0, cos( 0 ), sin( 0 ) Baangan titik P ditentukan dengan menggunakan persamaan transformasi R [O, q] ' cos q sin q ' sin q + cos q a. R [O, 0 ] diperoleh ' cos 0 sin 0 ' sin 0 + cos 0 + + Jadi, baangan dari titik P(, ) ang dirotasikan sejauh 0 terhadap titik pusat O (0, 0) adalah P', + Gambar.4 Sumber : ndonetwork.co.id unan adalah contoh tranformasi rotasi. b. R [O, 0 ] diperoleh ' cos (0 ) sin( 0 ) + ' sin( 0 ) + cos( 0 ) + + Jadi, baangan dari titik P(, ) jika dirotasikan sejauh 0 terhadap titik pusat O (0,0) adalah P' +, +. Rotasi terhadap titik pusat O(0, 0) dapat pula dinatakan dalam bentuk matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi rotasi berikut. ' cos q sin q ' sin q + cos q Notes Matriks rotasi terhadap pusat O(0, 0) adalah cos sin sin cos Transformasi Bidang Datar 8

Jelajah Matematika Sumber: www.accesslin.com Huruf Braille digunakan oleh para tuna netra untuk membaca. Huruf Braille berupa kode titik ang timbul dan dapat dibaca dengan menentuhna. Kode ini digunakan pertama kali oleh siswa tuna netra berusia tahun asal Prancis, aitu Louise Braille. B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Perhatikan oleh nda, huruf Braille pada gambar. Huruf E merupakan refleksi dari huruf I. Huruf D merupakan rotasi dari huruf H. Dapatkah nda menemukan pasangan huruf-huruf lain hasil refleksi dan rotasi pada huruf Braille? Sumber: Kalkulus dan Geometri nalisis Jilid, 990 Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh ' cos q sin q ' sin q + cos q maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' cos sin ' sin cos cos sin O(0, 0). sin cos Contoh Soal.0 disebut matriks rotasi terhadap titik pusat Dengan menggunakan matriks rotasi, tentukan baangan dari titik P(, ) ang dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh 90. Diketahui P(, ), maka dan. cos 90 0 dan sin 90. maka diperoleh sin cos cos sin cos90 sin 90 sin90 cos90 0 0 Jadi, baangan dari titik P(, ) adalah P'(, ).. Rotasi terhadap Titik Pusat P(a, b) Jika titik P(, ) dirotasikan terhadap titik pusat P(a, b) sejauh q, maka baangan dari titik adalah '(', '), dengan ' a + ( a)cos q ( b) sin q ' b + ( a) sin q + ( b) cos q Persamaan tersebut merupakan persamaan transformasi rotasi terhadap titik pusat (a, b) sejauh q pelajarilah contoh soal berikut. 86 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Contoh Soal. Tentukan baangan dari titik P(, ) ang dirotasikan terhadap titik pusat M(, ) sejauh 90. Diketahui P(, ) maka dan. Titik pusat M(, ) maka a dan b. cos 90 0 dan sin 90. Baangan ditentukan dengan menggunakan persamaan ' a + ( a) cos q ( b) sin q ' b + ( a) sin q + ( b) cos q maka diperoleh ' + ( ) cos 90 ( ) sin 90 + 0 ' + ( ) sin 90 + ( ) cos 90 + + 0 Jadi, baangan titik P(, ) adalah P'(, ). P' Gambar. M Titik P(, ) dirotasikan sejauh 90 terhadap pusat M(, ) P Evaluasi Materi. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan nda.. Titik (, 4) dirotasikan sejauh 90 terhadap titik pusat O(0, 0), tentukan baanganna jika arah putaranna a. berlawanan dengan arah putaran jarum jam, b. searah dengan arah putaran jarum jam (sin 90, cos 90 0, sin ( 90 ), cos ( 90 ) 0).. Tentukan baangan dari titik P(4, 4) jika dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh a. 0 c. 60 b. 4 d. 90 (sin 0, cos 0, sin 4, cos 4, sin 60, cos 60 ).. Diketahui koordinat-koordinat titik sudut segitiga BC adalah (, ), B(8, ), dan C(4, ). Tentukan baangan dari titik-titik sudut segitiga tersebut jika dirotasikan terhadap titik pusat O(0, 0) sejauh 90 searah dengan arah putaran jarum jam. 4. Tentukan baangan dari titik P( 4, ) ang dirotasikan terhadap titik pusat M(, ) sejauh 90. Transformasi Bidang Datar 87

Kata Kunci dilatasi pusat dilatasi faktor dilatasi Gambar.6 Ilustrasi dilatasi pada perpindahan lemari D Dilatasi nda telah mempelajari tiga jenis transformasi, aitu translasi, refleksi, dan rotasi. Ketiga jenis transformasi ini termasuk transformasi isometri, aitu transformasi ang menghasilkan baangan kongruen (sama ukuran dan sebangun) dengan benda. Sekarang, nda akan mempelajari transformasi keempat, aitu dilatasi ang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi tidak termasuk transformasi isometri karena tidak menghasilkan baangan ang kongruen. Dilatasi (perkalian) adalah suatu transformasi ang memindahkan suatu titik pada bangun geometri ang bergantung pada titik pusat dilatasi dan faktor (skala) dilatasi. kibatna, baangan dari bangun geometri ang didilatasi berubah ukuranna (membesar atau mengecil). Untuk mudahna, baangkan bangun ang didilatasi adalah mobil ang sedang melaju ke arah nda. Dari jauh mobil tampak kecil. Ketika mendekat mobil tampak semakin besar, dan ketika menjauh mobil tampak mengecil kembali. Dilatasi dapat pula dianalogikan dengan mendekatkan suatu objek atau menjauhkan suatu objek dari nda. Perhatikan Gambar.6 berikut. tembok posisi lemari mula-mula tembok titik pusat dilatasi O m posisi lemari setelah dipindahkan sejauh m mendekati orang a tembok lantai posisi lemari setelah dipindahkan sejauh m dari posisi mula-mula menjauhi orang m O m m 4 m m lantai 0, m O m m m m lantai b c faktor dilatasi faktor dilatasi 88 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Pada gambar (a), posisi lemari sebelum dipindahkan adalah m dari titik pusat dilatasi O, aitu perpotongan antara tembok dengan lantai. Tinggi lemari mula-mula (menurut orang ang sedang berdiri) adalah m. Pada gambar (b), lemari dipindahkan ke arah orang ang sedang berdiri sejauh m. Jarak lemari dengan titik pusat dilatasi menjadi 4m atau kali posisi mula-mula. Lemari tampak membesar. Tinggi lemari menjadi m atau tinggi mula-mula. 4 m m m m Jelajah Matematika faktor dilatasi faktor dilatasi Dengan demikian lemari dikatakan mengalami dilatasi dengan titik pusat O dan faktor dilatasi. Begitu juga ketika lemari dipindahkan ke arah kiri sejauh m dari posisi awalna. Jarak lemari dengan titik pusat dilatasi menjadi m atau posisi mula-mula. Lemari tampak mengecil. Tinggi lemari menjadi 0, m atau tinggi mulamula. m m 0,7 m m faktor dilatasi faktor dilatasi Jadi, lemari mengalami dilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala dilatasi atau ditulis O,. pa ang dimaksud dengan faktor dilatasi? Faktor dilatasi adalah perbandingan antara jarak baangan dari pusat dilatasi dengan jarak titik mula-mula dari titik pusat dilatasi. faktor dilatasi 4m m jarak lemari dari titik O setelah dipindahkan jarak lemari dari titik O mula-mula Sumber: www.marquetr.org Beberapa seniman, dalam melukis miniatur bisana menggunakan Pantograf untuk memberikan rincian ang lebih besar. Pantograf tersebut tersusun atas jajargenjang-jajargenjang ang disambung menambung. Pada pantograf terdapat suatu titik, ang menentukan apakah gambar akan diperbesar atau diperkecil (dilatasi), atau bahkan dapat dirotasikan. faktor dilatasi m m jarak lemari dari titik O setelah dipindahkan jarak lemari dari titik O mula-mula Misalkan k adalah faktor dilatasi maka berlaku hubungan berikut. Jika k > maka bangun baangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika 0 < k < maka bangun baangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Transformasi Bidang Datar 89

Jika < k < 0 maka bangun baangan diperkecil dan terletak berlawanan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika k < maka bangun baangan diperbesar dan terletak berlawanan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.. Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0) Telah nda ketahui, bahwa faktor dilatasi adalah perbandingan antara jarak baangan dari pusat dilatasi dengan titik mula-mula dari pusat dilatasi. Misalkan k adalah faktor dilatasi, (, ) adalah titik ang didilatasikan, dan '(', ') adalah baangan dari. Jika pusat dilatasi adalah O(0, 0), maka faktor dilatasi k adalah sebagai berikut. k O ' O Perhatikan Gambar.7 berikut. ' '(', ') Gambar.7 Dilatasi titik (, ) terhadap titik O(0, 0) O P (, ) Q ' Pada Gambar.7, tampak segitiga PO dan segitiga 'QO sebangun. Oleh karena k O ' kemudian segitiga PO dan O 'QO sebangun maka berlaku OQ OP k atau ' k atau ' k Q P k atau k atau ' k Jadi, diperoleh baangan dari (, ) adalah '(k, k) Dengan demikian, uraian tersebut memperjelas definisi dilatasi berikut. Jika titik (, ) didilatasikan terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi k, maka baangan dari adalah '(', ') dengan ' k ' k ditulis [O, k] (, ) '(k, k) 90 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Persamaan ' k dan ' k disebut persamaan transformasi dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi k. Contoh Soal. Diketahui segitiga BC dengan koordinat-koordinat titik-titik sudutna adalah (, ), B(, ), dan C(, ).Tentukan: a. baangan dari titik-titik sudutna jika dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi. b. luas dari baangan bangun BC. a. Diketahui faktor dilatasi k. (, ) B(, ) C(, ) [ O, ] [ O, ] [ O, ] ' ( ( ), ( )) ' (6, 6) B' ( ( ), ( )) B' (, 6) C' ( ( ), ( )) C' (4, ) b. Gambar segitiga BC dan baanganna segitiga 'B'C' terlihat pada gambar berikut. 0 C B 6 B' 4 C' 4 6 ' Gambar.8 Dilatasi segitiga BC oleh faktor dilatasi terhadap pusat O(0, 0) segitiga 'B'C' diperbesar dan berlawanan arah dengan segitiga BC. Pada segitiga ' B' C', panjang 'B' 6 4 satuan, dan panjang CP 4 satuan. Luas segitiga 'B' ' B' C' CP 4 4 8 satuan. Sama seperti transformasi sebelumna, dilatasi juga dapat dilakukan dengan perkalian dua matriks. Perhatikan kembali persamaan dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) berikut. ' k ' k Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh ' k + 0 ' 0 + k Transformasi Bidang Datar 9

Notes Matriks dilatasi adalah k 0 0 k dengan k adalah faktor dilatasi Maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' k ' 0 0 k k 0 disebut matriks dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0). 0 k Contoh Soal. Dengan menggunakan matriks, tentukan baangan dari titik (, ) ang dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor dilatasi. Diketahui (, ) atau dan dan k. Baangan ditentukan dengan persamaan matriks berikut. ' k ' 0 0 k maka diperoleh ' 0 ' 0 ( ) + 0 ( ) 0 ( ) + ( ) 9 Jadi, baangan dari titik (, ) adalah '(, 9).. Dilatasi terhadap Titik Pusat P(a, b) Sebelumna, nda telah belajar dilatasi terhadap titik pusat O(0, 0). Sekarang, nda pelajari dilatasi terhadap titik pusat P(a, b). Perhatikanlah gambar berikut. ' '(', ') Gambar.9 Titik (, ) didilatasi oleh faktor dilatasi k terhadap titik pusat P(a, b) b O '(, ) b k'( b) P b + k ( b) a ' a k( a) ' a + k( a) 9 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Secara umum, definisi dilatasi terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor skala k adalah sebagai berikut. Jika titik (, ) didilatasikan terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor dilatasi k maka baangan titik adalah '(', ') dengan ' a + k( a) ' b + k( b) ditulis [P, k] (, ) '(a + k( a), b+ k( b)) ' a + k( a) dan ' b + k( b) disebut persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a, b). Contoh Soal.4 Gambarlah baangan segitiga BC dengan titik-titik sudutna (, 0), B(6, ), dan C(, ) ang didilatasi terhadap titik pusat dilatasi P(, ) dengan faktor dilatasi. Pertama tentukan terlebih dahulu baangan dari titik-titik sudutna. Diketahui titik pusat dilatasi adalah P(, ) maka a dan b. Faktor dilatasi k. Baangan ditentukan dengan menggunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a, b) ' a + k( a) ' b + k( b) Untuk (, 0) maka dan 0. ' + ( )( ) + ( 8) 7 ' + ( )(0 ) + Jadi, baangan dari (, 0) adalah '( 7, ). Untuk B(6, ) maka 6 dan. ' + ( )(6 ) + 0 9 ' + ( )( ) + ( ) Jadi, baangan dari B(6, ) adalah B'( 9, ). Untuk C(, ) maka dan. ' + ( )( ) + ( 4) ' + ( )( ) + ( 4) Jadi, baangan dari C(, ) adalah C'(, ). Bangun datar ang terbentuk adalah sebagai berikut. 9 B' ' 7 0 C' P C B 4 6 Gambar.0 Segitiga BC dilatasi oleh faktor dilatasi k terhadap pusat P(, ) Transformasi Bidang Datar 9

Tugas Siswa Sebuah perusahaan memiliki gudang ang memiliki ukuran panjang dan lebar sebagai berikut. D C Jika gudang tersebut direnovasi bentuk atau posisina menjadi persegi panjang ' B' C' D' 8 m seperti ang terlihat pada point a), b), dan c) berikut, maka tentukanlah titik pusat dilatasi dan faktor dilatasina. 6 m B a) D' C' b) B' 6 m ' 8 m 6 m D C D C C' D' 8 m ' B m D' 6 m B Evaluasi Materi.4 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan nda.. Tentukan baangan titik (4, ) jika didilatasi oleh: a. (O, ) c. O, b. (O, ) d. (O, ). Diketahui titik-titik sudut segitiga BC adalah (, ), B(4, ), dan C(, ). a. Tentukan baangan dari titik-titik sudut segitiga BC jika didilatasi oleh (O, ) b. Gambarkan segitiga BC dan baanganna pada kertas berpetak.. Jika P'(8, 4) adalah baangan dari P(, ) ang didilatasi oleh (O, k), tentukan nilai k. 4. Titik Q(, 7) didilatasi terhadap titik pusat P(, ) dengan faktor dilatasi. Tentukan: a. baangan dari titik Q, b. gambarkan titik Q dan baanganna pada kertas berpetak, 94 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

E Komposisi Transformasi Pada subbab-subbab sebelumna, nda telah mempelajari transformasi-transformasi tunggal. Pada subbab ini, nda akan mempelajari komposisi transformasi, aitu transformasi ang dikerjakan dua kali atau lebih secara berurutan. Transformasi T ang dilanjutkan dengan transformasi T terhadap suatu titik dapat ditulis (To T) () Æ (T ()). Lambang To T(dibaca T dot T ) menatakan transformasi T dikerjakan dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T. Sebaikna ToTmenatakan transformasi T dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan T. Untuk lebih jelasna, pelajarilah Contoh Soal. berikut. Contoh Soal. Kata Kunci komposisi Jika T adalah translasi terhadap, T adalah refleksi terhadap sumbu-, dan T adalah rotasi terhadap pusat O(0, 0) sejauh 90 searah jarum jam. Tentukan baangan titik ( 4, ) oleh transformasi berikut. a. To T b. To T a. To T() artina titik ditranslasikan terhadap T, kemudian dilanjutkan oleh T, aitu refleksi terhadap sumbu -. (, ) T ' ( + a, + b) '( + a, + b) T ''( + a, ( + b)) ( 4, ) maka 4,, a, dan b Diperoleh, ( 4, ) maka 4,, a, dan b b. Jadi, baangan titik ( 4, ) oleh ToTadalah ''(, ). To T() artina titik ditransformasi oleh T, aitu dirotasikan oleh R(0, 90 ), kemudian dilanjutkan oleh transpormasi oleh T, aitu translasi terhadap. cos ( 90 ) 0 dan sin ( 90 ) (, ) T '( 0 ( ), ( ) + 0) '(, -) T '( + a, + b) ( 4, ) maka 4,, a dan b Diperoleh ( 4, ) To T ''( +, ( 4) + ) Transformasi Bidang Datar 9

Solusi Cerdas Baangan titik (4, ) oleh pencerminan terhadap garis dilanjutkan pencerminan terhadap garis adalah... a. ''(8, ) b. ''(0, ) c. ''(8, ) d. ''(4, ) e. ''(0, ) Jawab (, ) Æ ''((n m)+, ) (4, ) Æ ''(( )+ 4, ) Jadi, baangan titik adalah '' adalah ''(0, ) Jawaban: b UN SMK,004 Selain dengan cara seperti pada contoh soal.6 komposisi transformasi juga dapat dilakukan dengan menggunakan perkalian matriks ang sesuai dengan transformasi ang ditanakan. Sebelumna lakukanlah kegiatan berikut. Kegiatan Siswa Menemukan Hubungan antara Komposisi Transformasi T o T atau T o T dan Matriks Transformasi M dan M. Langkah Kerja:. Misalkan sebuah titik sembarang (, ) akan ditransformasikan oleh transformasi T dahulu kemudian dilanjutkan dengan transformasi T. Misalkan, matriks transformasi T dan T aitu M dan M memiliki bentuk umum M M a c p r b d dan q s. Tentukan hasil transformasi (, ) oleh T. ' M ' + + Kemudian, lanjutkan dengan transformasi T. ' ' + M...(*) ' ' + Dalam persamaan (*). nda telah memperoleh matriks komposisi transformasi dari T ot ( ), aitu + ( ToT)...(**) +. Untuk melihat kaitan matriks ( ToT)dengan matriks M dan M, coba nda lakukan perkalian M M dan M M. nalisis: M M M M a c p r b d q s p q r s + + a b c d + +...(***)...(****) Perhatikan matriks komposisi transformasi ToTdalam (**) dan perkalian matriks transformasi M M dan M M. Kemudian, natakan persamaan ang menghubungkan ToTdengan M 96 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

Jika T adalah transformasi ang bersesuaian dengan a a matriks M dan T adalah transformasi ang a a b b bersesuaian dengan matriks M maka komposisi b b transformasi sebagai berikut. To T bersesuaian dengan perkalian matriks M M a a a a b b b b T ot bersesuaian dengan perkalian matriks M M b b b b a a a a Pada subbab-subbab sebelumna, nda telah mempelajari matriks-matriks ang mewakili suatu transformasi untuk mengingatkan nda, berikut adalah tabel matriks-matriks ang mewakili suatu transformasi. No Jenis Transformasi Pemetaan Matriks. Translasi (, ) Æ '( + a, + b) [a b]. Refleksi terhadap sumbu- (, ) Æ '(, ) 0 0 terhadap sumbu- terhadap garis terhadap garis - (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(, ) 0 0 0 0 0 0. Rotasi [O, 90 ] (, ) Æ '(, ) 0 0 [O, -90 ] (, ) Æ '(, ) 0 0 4 [O. 80 ] Dilatasi [O, k] (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(k, k) 0 0 k o o k Transformasi Bidang Datar 97

Pelajarilah Contoh Soal.6 berikut, agar nda dapat mengkomposisikan transformasi dengan menggunakan matriks. Contoh Soal.6 Jika M adalah pencerminan terhadap sumbu-, R adalah rotasi oleh (0, 90 ). Tentukan baangan titik (6, ) jika ditransformasikan oleh M o R () Matriks M dan R ang bersesuain adalah M 0 0 dan R 0 0 sehingga diperoleh M o R () M R. () 0 0 0 0 0 6 0 6 6 Jadi, (6, ) M or '(, 6). Evaluasi Materi. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan nda.. Diketahui T adalah translasi terhadap 4. dan T adalah translasi terhadap 0. Tentukan baangan titik (, -8) oleh transformasi: 7 a. To T() b. T o T (). Jika T adalah refleksi terhadap garis 4, T adalah rotasi terhadap [O, 80 ], dan T adalah dilatasi [O, ], tentukan baangan titik (, 4) oleh transformasi: a. To T() c. To T() b. To T() d. ToTo T(). D i k e t a h u i M a d a l a h pencerminan terhadap g a r i s dan D adalah dilatasi O,. Tentukan baangan titik P(7, -) jika ditransformasikan 98 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi