BAB I ANALISIS VEKTOR

BAB I ANALISIS VEKTOR A. Deskripsi Materi ini akan membahas tentang pengertian, sifat, operasi dan manipulasi besaran fisik scalar dan vector. Pada pembahasan materi medan elektromagnetik berikutna akan melibatkan perhitungan matematis ang melibatkan vector. Diharapkan dengan memahami vector akan memudahkan memahami gejala-gejala medan elektromagnetik dengan mudah. B. Pengertian skalar dan vektor Dalam mempelajari dasar-dasar fisika, terdapat beberapa macam kuantitas kelompok besaran aitu Vektor dan Skalar. ¾ Skalar adalah besaran ang dicirikan sepenuhna oleh besarna (magnitude) Contoh : masssa, panjang, waktu, suhu, intensitas cahaa, energi, muatan listrik dsb. ¾ Vektor adalah besaran ang dicirikan oleh besar (magnitude) dan arah Contoh : berat, gaa, kecepatan, medan listrik, medan magnet, kuat medan listrik, percepatan gravitasi dsb. C. Notasi dan aljabar vektor Besaran vektor dinotasikan dengan memakai simbol huruf tebal/huruf besar/huruf besar atau kecil ang di garis atasna, sedangkan untuk vektor satuan (vektor dengan harga absolut/magnitude) dinatakan dengan huruf kecil ang di tebalkan. ƒ Simbol vektor : A atau A atau Α atau a ƒ Simbol vektor satuan : a A atau a atau a ** note : permisalan vektor A Secara grafis vector digambarkan dengan segmen garis berarah (anak panah). Panjang segmen garis (pada skala ang sesuai) menatakan besar vector dan anak panah menunjukkan arah vector. Berikut ini merupakan contoh penggambaran vector A dan 1

B. Hasil penjumlahan Vektor A dan B atau A + B ditunjukkan dengan hokum jajaran genjang. A B A + B Gambar 1. Penggambaran vector secara grafis Vektor satuan dalam arah vektor A dapat ditentukan dengan membagi A dengan nilai absolutna : Α a A = dimana A = A = Α. Α Α Pada Aljabar vektor, ada beberapa peraturan baik itu pada penjumlahan, pengurangan maupun perkalian. Aturan operasi vektor direpresentasikan dalam hukum mataematis sebagai berikut : Hukum komutatif Î A + B = B + A Hukum asosiatif Î A + (B+C) = (A+B) + C Hukum asosiatif distributif ( perkalian vektor dengan skalar) Î (r + s)(a+b) = r(a+b)+ s(a+b)= ra +rb +sa +sb Contoh soal : 1. Sebuah vektor A= (a + 3a + a) dan B = (a + a - a). Hitunglah : a. A+ B b. A B Penelesaian : A+ B = ( + 1)a + (3 + 1)a +(1 1)a =3a +4a A+ B = ( - 1)a + (3-1)a +(1+1)a =a +a + a

D. Sistem koordinat Vektor adalah besaran ang ditentukan oleh besar dan arahna. Dalam aplikasina vector selalu menempati ruang. Untuk menjelaskan fenomena vector di dalam ruang dapat digunakan bantuan sstem koordinat untuk menjelaskan besar dan arah vector. Ada banak sistem koordinat ang dikembangkan tetapi dalam materi ini hana 3 koordinat ang akan dibahas. 1. Koordinat kartesian Koordinat kartesian digunakan untuk menatakan suatu benda ang memiliki bentuk siku seperti garis lurus, bidang datar siku dan ruang siku-siku. Bentukbentuk siku akan mudah digambarkan dalam koordinat kartesius baik dimensi maupun 3 dimensi. Dalam koordinat kartesius dimensi terdiri dari sumbu aitu sumbu horiontal (mendatar) aitu sumbu dan sumbu tegak (vertical) aitu sumbu. untuk lebih jelasna dapat dilihat pada gambar berikut ini : Sumbu Titik A Sumbu Gambar. Koordinat kartesian Dimensi Koordinat kartesius dimensi digunakan untuk menggambarkan objek 1 dimensi dan dimensi. Contoh objek satu dimensi aitu garis baik garis lurus maupun garis lengkung. Sedangkan contoh objek dimensi aitu bidang datar. Objek 1 dimensi dan dimensi dapat digambarkan pada koordinat 3 dimensi dengan baik, sedangkan untuk objek 3 dimensi harus digambarkan pada koordinat 3 dimensi. 3

Koordinat Kartesius 3 Dimensi Koordinat kartesius 3 dimensi digunakan untuk menggambarkan suatu objek baik 1 dimensi, dimensi maupun 3 dimensi. Koordinat kartesius 3 dimensi mempunai 3 sumbu koordinat aitu sumbu,, dan. Untuk lebih jelasna silahkan perhatikan gambar berikut : P (,,) Gambar 3. Koordinat kartesian 3 Dimensi Sudut ang dibentuk antar sumbu koordinat adalah 90 0 atau dengan kata lain sumbu tegak lurus dengan sumbu dan sumbu, demikian juga sumbu tegak lurus dengan sumbu dan dan juga sumbu tegak lurus dengan sumbu dan sumbu. Gambar 4. koordinat kartesius 3 dimensi 4

Gambar 5. vector dalam koordinat kartesius 3 dimensi. Koordinat silindris Tidak semua benda mempunai bentuk siku-siku seperti balok, kubus, bujur sangkar, dan bentuk-bentuk siku lainna. Benda-benda seperti tabung, botol, pipa, tampat sampah, kerucut memiliki bentuk lingkaran dengan simetri ang khas. Bentuk-bentuk seperti ini akan susah untuk digambarkan pada koordinat kartesius karena simetri lingkaran sulit untuk digambarkan. Atas dasar inilah muncullah ide untuk mengembangkan sstem koordinat untuk benda-benda seperti ini aitu dengan membuat koordinat silinder. Koordinat silinder terdiri dari 3 sumbu koordinat aitu koordinat r, φ, dan. P(r, φ, ) φ r Gambar 6. Koordinat silindris Tiga unit vector satuan kearah sumbu r, φ dan adalah sebagai berikut : a r =r a = a = a r = 1 a = 1 a = 1 5

Dengan operasi sebagai berikut : a r a =a a a r =-a a a =a r a a =-a r a a r =a a r a =-a Gambar 7. koordinat silinder Konversi dari koordinat silinder ke koordinat kartesius adalah sbb : = r cos φ, = r sin φ, = Konversi dari koordinat koordinat kartesius ke silinder adalah sbb : r = = ϑ = tan + 1 Contoh visualisi penggambaran objek dalam koordinat silinder untuk kasus, r konstan, φ konstan dan konstan. Dari gambar ini dapat dibaangkan kirakira suatu objek ang menempati koordinat silinder akan seperti pada gambar di bawah ini. Gambar 8. 6

3. Koordinat bola Koordinat bola digunakan untuk menatakan suatu objek ang mempunai bentuk simetri bola. Sebagai contoh adalah bumi ang kita tempati. Posisi atau kedudukan objek-objek ang berada dibumi akan sulit dijelaskan dengan koordinat kartesius maupun tabung karena bentuk bumi ang bundar. Oleh karena itu digunakan sstem koordinat bola agar mudah dibaangkan. Untuk menatakan besaran vektor, koordinat bola menggunakan 3 sumbu koordinat aitu r,, dan φ. P(r, φ) r φ Gambar 9. Koordinat bola 9HNWRU VDWXDQGDODPDUDKU GDQφ a R =R a = a = a R = 1 a = 1 a = 1 Dengan operasi sebagai berikut : A R a =a a a R =-a a a =a R a a =-a R a a R =a a R a =-a Gambar 10 7

Vektor pada koordinat bola dapat dinatakan dengan A = a R A R +a A +a A Konversi koordinat bola ke koordinat kartesian = R sin cos = R sin sin = R cos Konversi koordinat kartesian ke koordinat bola R = θ = tan ϑ = tan 1 1 + Rsinθ ) ( = tan + 1 + Gambar 11. suatu objek dalam koordinat bola Contoh soal : 1. Gambarlah dalam koordinat kartesian besaran vektor berikut : A = a+ 3a + 3a Penelesaian : 8

P (,3,3) Gambar 1 E. Produk-produk Vektor 1. Produk Skalar (Perkalian titik) Produk Skalar atau perkalian titik didefinisikan sebagai perkalian antara besar Vektor A dan besar Vektor B, dikalikan dengan kosinus sudut terkecil antara kedua vektor tersebut. Secara matematis perkalian titik buah vector dituliskan sbb : A. B = A B cosθ AB Perkalian titik dua vektor dapat ditulis sebagai berikut : Jika vector A dan B terletak pada koordinat kartesius 3 dimensi dengan komponen ke masing-masing sumbu koordinat dinatakan dengan A : komponen vector A kea rah sumbu X A : komponen vector A kea rah sumbu Y A : komponen vector A kea rah sumbu Z B : komponen vector B kea rah sumbu X B : komponen vector B kea rah sumbu Y B : komponen vector B kea rah sumbu Z Karena sudut antara sumbu, dan adalah 90 0, maka cos 90 0 = 0 sehingga jika dikalikan A.B,A.B,A.B,A.B,A.B,A.B = 0. dank arena cos 0 0 =1, maka A.B,A.B,A.B = 1. Maka perkalian vector A dengan vector B akan menjadi sbb : A. B =A B +A B +A B 9

Perkalian titik antara vektor dengan dirina sendiri akan menghasilkan kuadrat dari besar vektor tersebut. Perkalian titik antara vektor satuan dengan dirina sendiri sama dengan 1. Dituliskan sebagai berikut : Contoh A. A =A = A B a A.a A =1 a A Jika A GDQ_%_ GDQ AB = 60 0, maka Proeksi vector B terhadap A = 4 sehingga A.B = B.A = 4.6 = 4 Jika kita proeksikan ke arah B, maka Proeksi vector A terhadap B = 3 sehingga A.B = B.A = 3.8 = 4 Sudut antara vektor A dan B Terkadang besar sudut antara vector A dan B tidak diketahui, sehingga harus dicari dengan persamaan dasar A. B = A B cosθ AB Cos Teta = A.B/ A. B Teta = Cos -1 A.B/ A. B Jika A dan B tegak lurus atau membentuk sudut 90 0, maka A.B = 0 karena cos 90 0 = 0.. Produk Vektor Produk vector atau perkalian silang antara vektor A dengan vektor B dapat dirumuskan sebagai berikut : A B _$ %_VLQ AB a n a n : vector satuan 10

Hasil perkalian silang antara vektor akan menghasilkan vector juga tidak seperti pada perkalian titik. Sehingga perlu ditambahkan smbol a n aitu vector satuan ang menatakan arah vector hasil perkalian vector A dan B. Perkalian silang A dan B bisa dinatakan dalam sembilan perkalian silang atau dengan menggunakan metode matrik, sebagai berikut : Ingat bahwa sudut antara sumbu, dan masing-masing adalah 90 0. Sin 90 0 = 1, sedangkan sin 0 0 = 0. Dengan demikian a a =0, a a =0, a a =0, a a =a, a a =-a, a a = a, a a =-a, a a = a, a a =-a, Sehingga perkalian silang vector A dan B dapat dituliskan dalam bentuk persamaan determinan matriks 33 sebagai berikut : a a a A B = A A A B B B Keterangan : a,a dan a merupakan vector satuan kearah sumbu, dan. A : besar vector ke arah A : besar vector ke arah A : besar vector ke arah B : besar vector ke arah B : besar vector ke arah B : besar vector ke arah F. Contoh soal dan penelesaian 1. Sebuah vektor A = (a 3a + a ) dan vektor B = ( - 4a a + 5a). Tentukamn perkalian silang A B? Penelesaian : 11

a a a A B = 3 1 = - 13a - 14a 16a 4 5 Tugas 1. Gambarlah vector-vektor berikut ini pada koordinat kartesius 3 dimensi ang mempunai besar dan arah sebagai berikut : a. Vektor A = a 3a +4a b. Vektor M = -a +a +a c. Vektor R = a +3a -a d. Vektor H= -a -a -3a. Mengacu pada soal No. 1 Hitunglah operasi vector berikut ini a. A + M H b. A M c. R. H d. A (M.H) 3. Carilah sudut ang dibentuk oleh a. Vektor A dan M b. Vektor M dan H c. Vektor H dan (RM) d. Vektor A dan (M+H) 4. Sebuah segitiga ang dibentuk oleh titik-titik A(, -1, ), B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1). Carilah a. Vektor R AB dan R AC b. Sudut ang dibentuk oleh vector R AB dan R AC c. Luas Segitiga tersebut 5. Carilah sebuah kasus nata di lapangan ang dapat menerapkan konsep vector 6. Buatlah soal tentang materi vector (Masing-masing harus berbeda) 1