Mohammad Fal Sadikin

Mohammad Fal Sadikin

Purcell, Varberg, Rigdon, Kalkulus, Erlangga, 2004. Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, Penerbit BPFE Yogyakarta, 1996.

Himpunan : kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas Contoh: Himpunan Mahasiswa Pencinta Alam Himpunan Tumbuhan Tropis Himpunan Asdos Himpunan Bilangan Bulat Himpunan Bilangan Prima

P A berarti bahwa obyek p adalah merupakan anggota (atau unsur, atau elemen) dari himpunan A. Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpuan lain B, dengan perkataan lain P A juga P B, maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B. Notasi : A B berarti bahwa A merupakan himpunan bagian dari B

A = B berarti bahwa himpunan A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya A B serta B A Pernyataan ingkaran atau bantahan terhadap p A, A B dan A = B masing-masing dituliskan dengan notasi P A, A B dan A B, dengan demikian,notasi : P A artinya obyek P bukan merupakan anggota dari himpunan A A B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari B A B artinya himpunan A tidak sama dengan himpunan B.

Dengan mendaftar seluruh anggotanya di antara kurung kurawal buka dan tutup (tabular form) A = {1,2,3,4,5} Dengan menyatakan sifat anggotanya A = himpunan bilangan asli yang lebih kecil daripada 6 Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan A = {x x adalah bil. Asli yang lebih kecil dari 6} A = {x; 0 < x < 6} A = {x; 1 x 5}

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan 1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15 2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari 10 3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20 Jawaban : 1. B = { x 3 < x 15, x A} 2. C = { x -5 x < 10, x B } 3. D = { x x < 20, x L }

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya Jawaban: 1. B = { x 3 < x 15, x A} = { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } 2. C = { x -5 x < 10, x B } = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 3. D = { x x < 20, x P } = { 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19 }

Diagram Venn Langkah-langkah menggambar diagram venn 1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah 4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi 5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6. Selanjutanya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu 7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Contoh: Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 } A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 } Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab: S 0 7 9 12 C 13 11 1 3 6 2 4 8 10 5 A B 14 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C 3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C 2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

Himpunan kosong Himpunan yang tidak memiliki anggota, dilambangkan dengan { } atau Φ Himpunan berhingga dan tak berhingga Kesamaan himpunan Himpunan A sama dengan himpunan B bila seluruh elemen himpunan A ada dalam himpunan B dan seluruh elemen himpunan B ada dalam himpunan A

2 A atau P(A) power set dari A 2 A = {B B A} (mengandung semua himpunan bagian dari A) Contoh: (1) A = {x, y, z} 2 A = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} (2) A = 2 A = { } Catatan : A = 0, 2 A = 1

Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota yang berlainan, n N, kita menyebut S sebagai himpunan berhingga dengan kardinalitas n. Contoh: A = {Mercedes, BMW, Porsche}, A = 3 B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6} B = 4 C = Φ C = 0 D = { x ε N x 7000 } D = 7001 E = { x ε N x 7000 } E tak berhingga!

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4

Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A atau obyek-obyek milik B A U B = {x, x A atau x B}

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B, adalah himpunan yang beranggotakan baik obyek milik A maupun obyek milik B. A B = {x, x A dan x B}

Jika A B =, maka A B disebut disjoint

Selisih dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A dan bukan obyek milik B A B = AB = {x, x A tetapi x B}

Pelengkap (complement) dari sebuah himpunan A, dituliskan dengan notasi A adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh A; dengan perkataan lain, A adalah sama dengan selisih antara himpunan universal U dan himpunan A A = {x; x U tetapi x A} = U A

5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } 32

Contoh 20. Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) Semua mahasiswa yang mendapat nilai A : P Q (ii) Semua mahasiswa yang mendapat nilai B : P Q (iii) Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C : U (P Q) 33

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif) 34