MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran. Contohnya gambar di atas, yaitu bola, ban, cd, cincin dan masih banyak lagi. Benda-benda tersebut adalah benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran. Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar XY) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Bola adalah himpunan titik-titik tertentu (pada bidang XYZ). yang berjarak sama dari suatu titik Pada bab ini terdiri atas 3 kegiatan belajar. Tujuan dari ke tiga kegiatan belajar ini adalah anda akan merumuskan persamaan lingkaran dan bola, bentuk umum persamaan lingkaran dan bola, menentukan garis singgung lingkaran dan menentukann bidang singgung bola.

2 KEGIATAN BELAJAR 7 Persamaan Lingkaran dan Bola Setelah mempelajari kegiatan belajar 7 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari, tentu Anda banyak sekali melihat atau menemukan bangun-bangun yang permukaanya berbentuk lingkaran, bola, dan sebagainya. Coba Anda catat bangun-bangun apa saja yang permukaannya berbentuk lingkaran, bukan lingkaran, bola dan bukan bola. Pelajari ciri-ciri apa saja yang Anda temukan pada bangun-bangun yang termasuk lingkaran dan bola. Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan lingkaran dan bola. A. Menentukan Persamaan Lingkaran Ilustrasi 7.1: 7 Anda tentu sangat mengenal sekali benda yang bernama sepeda. Sepeda merupakan salah satu alat transportasi yang memanfaatkan bangun berbentuk lingkaran untuk bergerak. Bangun lingkaran pada sepeda diantaranya terdapat pada roda depan, roda belakang, roda-roda gigi depan dan belakang. Perhatikan gambar sepeda di bawah ini (Gambar 7.1).

3 Sumber: www.google.co.id Gambar 7.1 7 sepeda balap Lingkaran-lingkaran tersebut mempunyai ukuran dan letak yang berbeda-beda. Ukuran lingkaran ditentukan oleh panjang jari-jarinya sedangkan letaknya ditentukan oleh posisi titik pusatnya. Definisi 1: Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran (radius). Sekarang kita pindahkan gambar roda sepeda (Gambar 7.1) pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 7.2 di bawah ini. Sumber: www.google.co.id Gambar 7.2 7 roda sepeda balap dan lingkaran pada koordinat cartesius

4 Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan lingkarannya? Untuk menentukan persamaan lingkaran berdasarkan panjang jari-jari dan letak titik pusatnya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 7.1 Menentukan Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) Langkah-langkahnya: 1. Gambarkan sebuah lingkaran dengan mengambil titik pusat di sebarang titik selain titik (0,0) (beri nama titik tersebut yaitu titik (, )) dan jarijarinya. 2. Kemudian buatlah sebuah titik sebarang pada lingkaran tersebut, misalkan (, ). Jarak antara titik T dan titik P adalah ( ) + ( ). 3. Karena jarak titik T dan titik P merupakan jari-jari lingkaran yaitu, maka diperoleh hubungan yaitu ( ) + ( ) = atau ( ) + ( ) = (1) Karena (, ) sebarang titik pada lingkaran, maka setiap titik pada lingkaran tersebut memenuhi persamaan (1). Sehingga diperoleh persamaan (1) adalah kumpulan titik itu membentuk persamaan lingkaran yang berpusat di titik (, ) dengan jari-jari satuan. Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat lingkaran (, ) adalah (0,0), maka persamaan (1) menjadi: ( 0) + ( 0) =, sehingga diperoleh persamaan + = (2) Persamaan (2) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jarijari. Cara lain dalam menemukan konsep persamaan lingkaran yang berpusat (, ) yaitu dengan menggunakan rumus translasi sumbu koordinat seperti yang terlihat pada Gambar 7.3 di bawah ini.

5 Gambar 7.3. 7 Translasi (0,0) (a,b) Menemukan hubungan antara dan serta dan. Garis, adalah sumbu baru sejajar, sumbu lama dan melalui (, ). Dengan menggeser titik pusat (0, 0) ke titik (, ), maka didapat hubungan bahwa: = + = = = Terhadap sistem, maka persamaa lingkaran (, ) yang oleh sistem dinyatakan dengan (0, 0) dan jari-jari adalah ( ) + ( ) = yang jika dinyatakan dalam susunan sistem menjadi: ( ) + ( ) = Jika diganti dengan dan diganti dengan maka persamaan di atas sama dengan bentuk pada persamaan (1) yaitu ( ) + ( ) =. Masalah 7.1 Tentukan koordinat pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan 4 + 4 4 + 16 19 = 0 Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari persamaan 4 + 4 4 + 16 19 = 0 akan dibentuk menjadi persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) yaitu ( ) + ( ) =. Maka persamaan 4 + 4 4 + 16 19 = 0 dibagi 4 pada kedua ruas sehingga diperoleh + + 4 = 0.

6 Selanjutnya + + 4 = 0 dijadikan kuadran sempurna yaitu + + + 4 + 4 = Sehingga diperoleh + ( + 2) = 9 Jadi koordinat pusat lingkaran adalah, 2 dan jari-jari adalah 3. Setelah memahami persamaan lingkaran di atas, sekarang Anda lanjutkan untuk memahami materi bola di bawah ini. + + 4 B. Menentukan Persamaan Bola Ilustrasi 7.2: Mungkin Anda tidak asing dengan benda yang namanya bola. Benda yang berbentuk bola ini sering Anda gunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam permainan basket, voly, sepak bola, golf, kasti, dan lain sebagainya. Bola memiliki ukuran yang berbeda-beda tergantung jenis permainannya. Perhatikan Gambar bola di bawah ini. Sumber: www.google.co.id Gambar 7.4 7 Bola Sesuai dengan namanya, bola termasuk bangun ruang. Tahukah Anda apa itu bola? Definisi 2: Bola (permukaan bola) adalah himpunan titik-titik di ruang dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut dengan jari-jari bola sedangkan titik tertentu itu dinamakan dengan titik pusat bola. Definisi 3: 3 Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung vektor di dalam ruang yang titik pangkalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik pangkal tertentu itu disebut titik pusat bola, dan panjang vektor yang konstan

7 itu disebut jari-jari bola. Sekarang kita pidahkan gambar bola tersebut pada Koordinat Cartesius tiga dimensi. Seperti yang terlihat pada (Gambar 7.5) di bawah ini. Sumber: www.google.co.id Gambar 7.5 bola sepa ak dan bola pada sistem koordinat Tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan bola jika unsur-unsur bolanya diketahui? Untuk menentukan persamaan bola dengan pusat (,, ) lakukanlah kegiatan 7.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. Kegiatan 7.2 Menentukan Persamaan bola dengan pusat (,, ) Langkah-langkahnya: 1. Gambarkan sebuah bola pada ruang dimensi tiga, dengan titik pusat (,, ) dan jari-jari.. 2. Ambil atau buat sebuah titik sebarang (,, ) pada permukaan bola tersebut. Gamba ar 7.6 7 Bola pada sistem koordinat 3. Vektor =,, dengan =, = =,, Kemudian kuadratkan vektor tersebut, sehingga persamaannyaa menjadi

8 = ( ) + ( ) + ( ) = = jari-jari bola atau = ( ) + ( ) + ( ) 4. Karena (,, ) adalah sebarang titik pada permukaan bola, maka persamaan ( ) + ( ) + ( ) = merupakan persamaan bola dengan pusat (,, ) dan jari-jari =. Persamaan bola dengan pusat (,, ) dan jari-jari = adalah ( ) + ( ) + ( ) = (3) Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika pusat persamaan bola ( ) + ( ) + ( ) = adalah titik pangkal (0, 0, 0), maka persamaan itu menjadi: ( 0) + ( 0) + ( 0) = atau + + = (4) Sehingga persamaan (4) merupakan persamaan bola dengan pusat (0, 0, 0) dan jari-jari =. Masalah 7.2 Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik (1,2,3) dan melalui titik (2,4,1). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Jari-jari bola adalah jarak dua titik yang diketahui tersebut, yaitu = (2 1) + (4 2) + (1 3) = 1 + 4 + 4 = 3 Dari kegiatan 7.4 diketahui bahwa persamaan bola yaitu ( ) + ( ) + ( ) = Selanjutnya dengan menggunakan persamaan tersebut substitusikan jari-jari 3 dan titik pusat (1,2,3) sehingga diperoleh ( 1) + ( 2) + ( 3) = 3 Sehingga diperoleh persamaan bola yaitu ( 1) + ( 2) + ( 3) = 9

9 Setelah memahami persamaan lingkaran dan persamaan bola di atas, kita lanjutkan materi selanjutnya, yaitu bentuk umum persamaan lingkaran dan bola. C. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan bola jika unsur-unsur bolanya diketahui? Untuk menentukan persamaan bola dengan pusat (,, ) lakukanlah kegiatan 7.3 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. Kegiatan 7.3. 7 Menentukan persamaan umum lingkaran Langkah-langkahnya: 1. Tulis kembali bentuk persamaan lingkaran pada kegiatan 9.1 yang berpusat di (, ) yang telah dilakukan, yaitu ( ) + ( ) = 2. Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh 2 + + 2 + = 3. kemudian semua variabel dipindahkan ke ruas kiri sehingga diperoleh persamaan 2 + + 2 + = 0 4. dengan memisalkan persamaan di atas dengan = 2, = 2, dan = + atau = 2, = 2, = 1 2 + 1 2 Sehingga diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran adalah + + + + = (3) Dengan pusat di, dan jari-jari = + Sehingga diperoleh = + Dari persamaan (5) dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga kemungkinan, yaitu: 1. Jika + > 0 atau < +, maka lingkaran itu dinamakan lingkaran nyata (sejati). 2. Jika + < 0 atau > +, maka lingkaran itu disebut lingkaran khayal.

10 3. Jika + = 0 atau = +, maka lingkaran itu disebut lingkaran titik. Jadi, lingkaran titik adalah lingkaran yang mempunyai jarijari = 0. Masalah 7.3: 7 Jika diketahui tiga buah titik (1,3), (6, 2) dan ( 3, 5) yang tidak segaris pada suatu persamaan umum lingkaran, yaitu + + + + = 0 yang mengandung tiga parameter yaitu,, dan, bagaimanakah bentuk persamaan lingkaran tersebut? Gambar 7.7 7.7. Lingkaran Yang Melalui Tiga Buah Titik Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. untuk menentukan persamaan umum lingkaran tersebut dapat digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi. Misalkan tiga buah titik (, ), (, ) dan (, ) yang tidak segaris pada suatu persamaan umum lingkaran, yaitu + + + + = 0 yang mengandung tiga parameter yaitu,, dan. a. Dengan cara Determinan Secara determinan menentukan persamaan lingkaran yang melalui ke tiga titik dengan menggunakan rumus di bawah ini.

11 + + + = (6) + Substitusikan nilai (, ), (, ) dan(, ) ke dalam persamaan (6) dan cari determinan dari L tersebut menggunakan ekspansi kofaktor. b. Dengan cara Substitusi-eliminasi Misalkan bentuk umum persamaan lingkaran yang akan ditentukan: + + + + = (, ) pada, berarti: + + + + = 0 (7.1) (, ) pada, berarti: + + + + = 0 (7.2) (, ) pada, berarti: + + + + = 0 (7.3) Dari persamaan (7.1), (7.2), dan (7.3), tentukan nilai,, dan. Atau dengan menggunakan persamaan lingkaran yaitu: ( ) + ( ) = (8) Dimana ( ) = + begitu juga sebaliknya untuk ( ). (, ) pada, berarti: ( ) + ( ) = (8.1) (, ) pada, berarti: ( ) + ( ) = (8.2) (, ) pada, berarti: ( ) + ( ) = (8.3) (7) Dengan mensubstitusi nilai (, ) pada persamaan (8.1), nilai (, ) pada persamaan (8.2), dan nilai (, ) pada persamaan (8.3) maka diperoleh nilai,, dan. Setelah memperoleh nilai,, dan maka substitusi,, dan ke persamaan (8), selanjutnya persamaan (8) dijabarkan sehingga terbentuk persamaan umum lingkaran seperti persamaan (7). Setelah memahami materi di atas, selesaikanlah masalah 9.3 dengan menggunakan cara determinan dan eliminasi-substitusi dengan teman Anda. Buatlah dikertas kegiatan Anda. D. Menentukan Bentuk Umum Persamaan Bola Untuk menentukan bentuk umum bola lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan 7.4. 7 Menentukan persamaan umum bola Langkah-langkahnya: 1. Tulis kembali bentuk persamaan bola pada kegiatan 1.2 yang berpusat di (,, ) yang telah dilakukan, yaitu ( ) + ( ) + ( ) = 2. Jabarkan persamaan tersebut, sehingga diperoleh

12 + + 2 2 2 + + + = 0 3. Kemudian dimisalkan = 2, = 2, = 2 dan + + = Maka persamaan bola tersebut dapat ditulis menjadi, + + + + + + = (9) Dari bentuk umum persamaan bola tersebut maka dapat disimpulkan bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam, dan dengan ciri-ciri sebagai berikut a. Tidak memuat suku-suku, atau, b. Koefisien-koefisien,, dan selalu sama. Selanjutnya, akan ditentukan koordinat titik pusat dan jari-jari dari bola dari persamaan + + + + + + = 0. Persamaan ini diubah dalam bentuk kuadrat sempurna dari, dan sebagai berikut: + + + + + + + + = + + Selanjutnya, persamaan tersebut dijadikan ke dalam bentuk + 1 2 + + 1 2 + + 1 2 = 1 4 + 1 4 + 1 4 Persamaan di atas sama bentuknya dengan persamaan bola yang telah diperoleh pada kegiatan 1.2, dari persamaan tersebut diperoleh titik pusat bola yaitu,, dan jari-jarinya adalah = + +. atau Dari persamaan umum bola + + + + + + = 0, dengan = 2, = 2, = 2 dan = + +, maka diperoleh =, =, dan =. Berarti pusat bola itu adalah (,, ) = ( 1 2, 1 2, 1 2 ) Kemudian = + +, atau = + + = + + = 1 4 + 1 4 + 1 4

13 Maka = + +, ini merupakan rumus untuk menghitung jari-jari bola. Dari persamaan dan jari-jari di atas, dapat disimpulkan tiga kemungkinan, yaitu: (i) Jika + + > 0, maka > 0. Kondisi ini memperlihatkan bentuk bola yang disebut bola nyata (sejati). (ii) Jika + + = 0, maka = 0. Kondisi ini memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola titik. (iii) Jika + + < 0, maka imajiner. Kondisi ini memperlihatkan bentuk bola yang disebut dengan bola khayal (imajiner). Masalah 7.4: Jika diketahui tiga buah titik (2, 1,8), ( 3, 1,3), (2,4,3) dan (2,2, 1) yang tidak sebidang pada suatu persamaan umum bola, yaitu + + + + + + = 0 yang mengandung empat parameter yaitu,,, dan D bagaimanakah bentuk persamaan bola tersebut?. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. untuk menentukan persamaan umum bola tersebut dapat digunakan cara determinan dan cara subsitusi-eliminasi. Misalkan empat buah titik yaitu (,, ), (,, ), (,, ) dan (,, ) yang tidak sebidang. Maka persamaan bola tersebut dapat dicari dengan menggunakan cara di bawah ini. a. Dengan cara determinan Secara determinan menentukan persamaan bola yang melalui ke empat titik dengan menggunakan rumus di bawah ini. + + + + + + + + = + + (10)

14 Substitusikan nilai (,, ), (,, ), (,, ) dan (,, ) ke dalam persamaan (9) dan cari determinan dari S tersebut menggunakan ekspansi kofaktor. b. Dengan eliminasi atau subsitusi-eliminasi Misalkan bentuk umum persamaan bola yang akan ditentukan: + + + + + + =...(10) (,, ) pada, berarti: + + + + + = 0 (10.1) (,, ) pada, berarti: + + + + + = 0 (10.2) (,, ) pada, berarti: + + + + + = 0 (10.3) (,, ) pada, berarti: + + + + + = 0 (10.4) Dari persamaan (10.1), (10.2), dan (10.3), tentukan nilai,, dan. Atau dengan menggunakan persamaan bola yaitu ( ) + ( ) + ( ) = (11) (,, ) pada, berarti:( ) + ( ) + ( ) =..(11.1) (,, ) pada, berarti: ( ) + ( ) + ( ) =..(11.2) (,, ) pada, berarti:( ) + ( ) + ( ) =.(11.3) Dengan mensubstitusi nilai (,, ) pada persamaan (11.1), nilai (,, ) pada persamaan (11.2), dan nilai (,, ) pada persamaan (11.3) maka diperoleh nilai,,, dan. Setelah memperoleh nilai,,, dan maka substitusi,,, dan ke persamaan (11), selanjutnya persamaan (11) dijabarkan sehingga terbentuk persamaan umum lingkaran seperti persamaan (10). Setelah memahami materi di atas, selesaikanlah masalah 7.4 dengan menggunakan cara determinan dan eliminasi-substitusi dengan teman Anda. Buatlah dikertas kegiatan Anda. Rangkuman 1. Lingkaran adalah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. 2. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) adalah + + = 3. Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan berjari-jari r adalah

15 ( ) + ( ) = 4. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah + + + + = dengan pusat di, dan jari-jari = + 5. Bola adalah himpunan titik-titik di ruang dimensi tiga yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut jari-jari bola dan titik tertentu itu disebut titik pusat bola. Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik-titik ujung vektor di dalam ruang yang titik pangkalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik pangkal tertentu itu disebut titik pusat bola, dan panjang vektor yang konstan itu disebut jari-jari bola. 6. Persamaan bola dengan pusat (0,0,0) adalah + + = 7. Persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a,b,c) adalah ( ) + ( ) + ( ) = 8. Bentuk umum persamaan bola adalah + + + + + + = dengan titik pusat bola yaitu,, dan jari-jarinya adalah = + +.

16 KEGIATAN BELAJAR 8 Garis Singgung Lingkaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran. Pernahkah Anda memperhatikan suatu benda yang berbentuk lingkaran yang berada pada suatu daerah datar seperti yang terlihat pada gambar 8.1 di bawah ini? Sumber: www.google.co.id Gambar 8.1 lingkaran menyinggung suatu daerah datar Berikut ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran bergradien, persamaan garis singgung melalui titik (, ) pada lingkaran, dan persamaan garis singgung melalui titik (, ) di luar lingkaran.

17 Masalah 8.1 Jika Gambar 8.1 di atas kita pindahkan gambar lingkaran yang menyinggung suatu daerah datar pada Koordinat Cartesius di bidang, seperti yang terlihat pada Gambar 8.2 di bawah ini. Gambar 8.2 lingkaran dengan pusat (, ) jari-jari dan Menyinggung garis Jika unsur-unsur lingkaran tersebut diketahui, tahukah Anda bagaimana menentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut? A. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Berpusat di (, ) dan (, ) bergradien. Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0) dan (, ) bergradien lakukanlah kegiatan 8.1 dan perhatikan Gambar 8.3 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda. Gambar r 8.3 8 lingkaran dengan pusat (, ) jari-jari dan sebuah garis di luarnya

18 Kegiatan 8.1. Gradien garis singgung diketahui dan d lingkaran berpusat di (0,0) Langkah-langkahnya: 1. potonglah antara lingkaran + = dan garis = + sebagai berikut. 2. + = dipotongkan = + 3. Subsitusikan garis = + ke persamaan lingkaran + = sehingga diperoleh: + ( + ) = + + 2 + = (1 + ) + 2 + = 0 (12) 4. Persamaan (13) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel. Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (12) mempunyai nilai: Diskriminan ( ) positif atau > 0, diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis = + memotong lingkaran + = pada dua titik. < 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis = + tidak memotong lingkaran + = atau garis = berada di luar lingkaran. = 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis = + menyinggung lingkaran + = pada suatu titik. 5. Agar garis = + menyinggung lingkaran + =, maka ambil = 0, yaitu: (2 ) 4(1 + )( ) = 0 4 4 + 4 4 + 4 = 0 4 + 4 + 4 = 0 4( ) = 0 (1 + ) = 0 = ± 1 + Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran + = dengan gradien atau yang sejajar dengan garis = + memiliki dua buah garis singgung yaitu: = + + = + (13) Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( ) + ( ) = dengan gradien. Geser titik pusat lingkaran (0, 0) ke titik (, ).

19 Akibatnya persamaan garis singgung = + 1 + bergeser menjadi = ( ) + 1 + atau = ( ) + ( 1 + ) Dan persamaan garis singgung = 1 + bergeser menjadi = ( ) 1 + atau = ( ) + ( 1 + ). Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran ( ) + ( ) = dengan gradien atau yang sejajar dengan garis = + memiliki dua buah garis singgung yaitu: = ( ) + + = ( ) + (14) B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik (, ) Pada Lingkaran yang berpusat di (, ) dan (, ) Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran berpusat di (0,0) dan (, ) yang melalui titik (, ) lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda. Kegiatan 8.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0) 1. Misalkan persamaan lingkaran + = dan titik (, ) dan (, ) yang terletak pada lingkaran. 2. Sehingga persamaan garis BC adalah = = ( ) (15) 3. Karena titik (, ) dan (, ) berada pada lingkaran maka berlaku persamaan berikut + = dan + = Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan atau + = 0 = = ( ) ( )( + ) = ( )( + ) = 4. Subsitusikan persamaan (16) ke persamaan (15) sehingga diperoleh: y y = (x x ) = + + ( ) (16) (17)

20 5. Apabila titik (, ) bergerak mendekati titik (, ), sehingga titik (, ) dan (, ) berimpit, dan garis akan menjadi garis singgung lingkaran di titik (, ), akibatnya = dan =. Sehingga persamaan (18) menjadi: y y = (x + x ) (y + y ) (x x ) y y = 2x 2y (x x ) (kalikan semuanya dengan ) = + + = + + = Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (, ) pada lingkaran + = adalah: + = Perhatikan perubahan persamaan lingkaran + = menjadi: + = kita menggunakan kaidah membagi adil. (18) Kaidah Membagi Adil: Digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik (, ). Penerapannya dengan cara mengubah variabel pada persamaan lingkaran dengan aturan sebagai berikut: diubah menjadi diubah menjadi ( ) diubah menjadi ( )( ) ( ) diubah menjadi ( )( ) diubah menjadi ( + ) diubah menjadi ( + ) Caranya dengan prinsip translasi yaitu dengan menggeser pusat lingkaran (0, 0) ke (, ) seperti yang terlihat pada Gambar 8.4 di bawah ini.

21 Gambar 8.4 8 Tranlasi (0,0) ke (a,b) Maka persamaan garis singgung + = atau ( 0)( 0) + ( 0)( 0) = berubah menjadi: ( )( ) + ( )( ) = Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran ( ) + ( ) = dengan titik singgung (, ) adalah: ( )( ) + ( )( ) = Dengan menggunakan Kaidah Membagi Adil yang tertera di atas, maka persamaan garis singgung yang melalui titik (, ) pada lingkaran adalah: + + + + = 0 (19) + + ( + ) + ( + ) + = (20) C. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik (, ) di Luar Lingkaran Agar dapat menentukan persamaan garis singgung melalui titik (, ) di luar lingkaran, maka diskusikan kegiatan 8.3 dengan teman Anda. Kegiatan 8.3 8.3. Menentukan Kuasa Titik (, ) Terhadap Lingkaran + = Jika titik (, ) terletak di luar lingkaran yang berpusat di (0, 0) seperti yang terlihat pada Gambar 8.5 di bawah ini:

22 Gambar 8.5 8 Titik di Luar Lingkaran Persamaan garis singgung yang melalui titik (, ) tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut denagn langkah-langkahnya adalah: 1. Titik (, ) berada di luar lingkaran + =. 2. Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran yaitu dan. Garis menyinggung lingkaran di (, ); garis menyinggung lingkaran di (, ). Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung dan. 3. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu + =. Titik (, ) pada, sehingga diperoleh + =. Itu berarti (, ) pada garis + =.(1) 4. Tentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh + =. Itu berarti (, ) pada persamaan + =.(2) 5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis (garis penghubung antara titik dan ) yaitu + =, yang juga di sebut garis kutub atau garis polar dari titik (, ) terhadap lingkaran + = adalah + = (21) Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1. Persamaan garis kutub (polar) dari titik (, ) terhadap lingkaran ( ) + ( ) = adalah ( )( ) + ( )( ) = (22)

23 2. Persamaan garis kutub (polar) dari titik (, ) terhadap lingkaran + + 2 + 2 + = 0 adalah + + + + + + = (23) Kegiatan 8.4. 8 Menentukan persamaan garis singgung dari titik (, ) di luar lingkaran baik yang berpusat di (, ) maupun yang berpusat di (, ) diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membuat garis kutub (polar) dari titik terhadap lingkaran. 2. Mencari koordinat titik potong garis kutub dengan lingkaran. 3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis kutub (polar) dan lingkaran tersebut. D. Kuasa Lingkaran Masalah 8.2 8 Roda telah digunakan dalam transportasi selama lebih dari lima tahun, kendaraan pertama pribadi praktis dengan menggunakan roda yaitu sepeda, ditemukan lebih dari seratus tahun yang lalu. Sepeda moderen adalah salah satu transportasi yang paling efisien, dengan jumlah energi yang diperlukan untuk membawa sejumlah berat. Untuk mencegah rangka sepeda goyang, maka posisi titik temu rangka harus diperhitungkan dengan tepat dan memperhatikan posisi roda pula. Bidang olah raga juga menggunakan konsep kuasa lingkaran untuk memperhitungkan posisi pemain untuk melakukan lemparan, tendang dan lainnya. Contohnya dalam kasus berikut: Misalkan seorang pemain bola berlari di garis sisi lapangan dan dia ingin melepaskan tendangan. Pada posisi mana seharusnya dia menendang sehingga memberikannya kesempatan terbaik menggolkannya. Permasalahan di atas adalah menentukan titik pada garis sisi lapangan sehingga memaksimumkan sudut terhadap garis gawang. Diilustrasikan pada Gambar 8.6 di bawah ini:

24 Gambar 8.6 8 titik pada garis sisi lapangan E. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran Definisi 2.1: Misalkan persamaan lingkaran (, ) = + = dan titik (, ). Kuasa titik (, ) terhadap lingkaran adalah suatu konstanta dengan = (, ) = +. Ada tiga jenis kemungkinan nilai, yaitu: > 0, berarti titik (, ) di luar lingkaran + = = 0, berarti titik (, ) pada lingkaran + = < 0, berarti titik (, ) di dalam lingkaran + = Selanjutnya kita akan membahas mengenai kuasa suatu titik terhadap lingkaran. Agar lebih memahaminya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 8.5 Kuasa suatu titik terhadap lingkaran 1. Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusat, jari-jari, satu titik diluar lingkaran dan 4 titik berada pada lingkaran yang terlihat pada gambar di bawah ini.

25 Gambar 8.7 8 Titik di Luar Lingkaran 2. Pada gambar di atas dapat dilihat melalui titik dapat ditarik banyak sekali garis-garis yang memotong lingkaran masing-masing di dua titik, dan menyinggung lingkaran dititik dan. Gambar di atas dalam geometri berlaku bahwa: = = = = =. Maka hasil kali ini disebut kuasa titik terhadap lingkaran. Sekarang akan dihitung besarnya kuasa titik terhadap lingkaran tersebut. Misalkan (, ) dan persamaan lingkaran adalah + + + + = 0 dengan pusat, dan kuadrat jari-jarinya adalah = +. Kuasa titik T terhadap lingkaran tersebut adalah = ( )( + ) = = + 1 2 + + 1 2 = + + + + Jadi, kuasa titik (, ) pada lingkaran adalah + + + + = 0 adalah + + + +. Kuasa suatu titik dapat bernilai positif, nol atau negatif berturut-turut apabila titik itu diluar, pada atau di dalam lingkaran. Jika persamaan lingkaran dalam bentuk ( ) + ( ) =, maka kuasa titik (, ) terhadap adalah: = ( ) + ( ) (24)

26 F. Garis Kuasa Sudut perpotongan dua lingkaran adalah sudut antara garis singgunggaris singgung pada salah satu titik potong ke dua lingkaran itu, atau sudut antara jari-jari yang mengarah ke titik potong tersebut. Gambarkan dua lingkaran dan yang masing-masing berpusat di dan. Misalkan ke dua lingkaran itu berpotongan di titik dan. Gambar 8.8.8. perpotongan antara dua lingkaran adalah sentral ke dua lingkaran. Garis (atau garis ) adalah garis singgung lingkaran dan garis (atau garis ) adalah garis singgung lingkaran. Misalkan adalah sudut antara dan (yaitu sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis singgung dan ). G. Titik Kuasa Misalkan,, adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titik kuasa seperti yang terlihat pada Gambar 8.9 di bawah ini. Dilambangkan dengan: = 0 = = atau = 0 = 0

27 Gambar 8.9 tiga buah lingkaran membentuk satu titik kuasa Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga. Rangkuman 1. Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran + = dengan gradien m dititik pusat O(0,0) adalah = + + dan = + 2. Persamaan lingkaran garis singgung lingkaran lingkaran + = dengan gradien m dititik (a,b) adalah = ( ) + + dan = ( ) + 3. Persamaan garis singgung lingkaran + = di titik (, ) yang berpusat di O(0,0) adalah + = 4. Persamaan garis singgung lingkaran ( ) + ( ) = di titik (, ) yang berpusat di (a,b) adalah ( )( ) + ( )( ) = 5. Persamaan garis singgung lingkaran + + + + = 0 di titik (, ) yang berpusat di (a,b) adalah + + ( + ) + ( + ) + = 6. Lingkaran dengan pusat membagi dua lingkaran, maka sikusiku, sehingga =.

28 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan pertandingan sepak bola seperti yang terlihat pada Gambar 9.1 di bawah ini? Bola di sepak pada suatu daerah/bidang datar yaitu lapangan bola yang berumput. Gambar 9.1 9 Bola dan bidang Rata Pada kegiatan belajar 9 ini kita akan membahas kedudukan suatu bola pada bidang rata. Untuk lebih memahami kedudukan bola dan bidang rata, selesaikanlah masalah di bawah ini.

29 A. Kedudukan Bola dan Bidang Rata Masalah 9.1 9 Jika Bola ( ) + ( ) + ( ) = 0 berjari-jari, pusat (,, ). Bidang rata + + + = 0, dengan adalah jarak antara pusat bola (,, ) ke bidang rata + + + = 0, maka ada 3 kemungkinan kedudukan antara bola = 0 dengan bidang = 0. Bagaimana hubungan bola dengan bidang rata? Untuk menentukan hubungan antara bola dan bidang rata lakukan kegiatan 9.1 di bawah ini. Kegiatan 9.1. 9 Hubungan antara bola dan bidang rata Langkah-langkahnya: 1. Lukislah suatu lingkaran dengan >, berarti bola = 0 berpotongan dengan bidang rata = 0, seperti yang terlihat pada Gambar 3.1 di bawah ini. Gambar 9.1 9 Bola berpotongan dengan Bidang Rata Perpotongan Bola = 0 dengan bidang rata = 0 akan membentuk sebuah lingkaran dengan persamaan lingkaran adalah: = 0 = 0 Bagaimanakah cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut? Untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkaran berpotongan tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini. a. Perhatikan siku-siku di. adalah titik pusat lingkaran. b. Untuk menentukan jari-jari lingkaran kita dapat menggunakan dalil phytagoras yaitu = + sehingga diperoleh:

30 = + = = Jadi, jari-jari lingkaran yang disimbolkan dengan adalah: = (25) c. Untuk menyatakan persamaan lingkaran di dalam ruang, kita dapat mengambil sebuah bola = 0 dan sebuah bidang rata = 0 yang saling berpotongan menurut lingkaran tersebut. Jadi, persamaan lingkaran dinyatakan dengan dua persamaan yaitu: = = (26) d. Selain berpotongan bola dan bidang rata, suatu lingkaran dapat pula dinyatakan sebagai berikut: (1) Perpotongan antara bola = 0 dengan bola = 0 (2) Perpotongan silinder (tabung) atau kerucut lingkaran tegak lurus dengan bidang paralelnya(=bidang yang tegak lurus poros) seperti yang terlihat pada Gambar 9.2 (a) dan (b) di bawah ini. Gambar 9.2 9 (a) Bidang Rata dan Tabung Gambar 9.2 9 (b) Bidang Rata dan Kerucut

31 e. Dari persamaan (26) di atas, kita dapat menentukan titik pusat lingkaran tersebut yaitu dengan cara: (1) Pusat lingkaran adalah titik tembus antara garis dengan bidang rata = 0. Garis tegak lurus dengan bidang rata = 0, berarti vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata atau dapat di tulis menjadi,, =,,. = + Persamaan garis = = + (1) = + (2) Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan bola sehingga diperoleh nilai. (3) Setelah nilai di dapatkan maka subsitukan nilai tersebut ke persamaan (1) sehingga diperoleh titik pusat lingkaran. 2. = berarti bola = 0 menyinggung bidang rata = 0, seperti yang terlihat pada Gambar 9.3 di bawah ini. Gambar 9.3 9 Bola menyinggung bidang rata Jika bidang rata = 0 menyinggung bola = 0 maka bidang rata = 0 disebut juga dengan bidang singgungnya. Bagaimana menentukan bidang singgung tersebut? Untuk menentukan bidang singgung tersebut lakukanlah langkah-langkah di bawah ini dan diskusikanlah dengan teman Anda. a. Misalkan + + + + + + = 0 dengan pusat bola (,, ) dan (,, ) adalah titik singgung bola = 0 dan bidang rata = 0.

32 b. Vektor tegak lurus terhadap bidang rata = 0, berarti vektor arah garis sama dengan vektor normal bidang rata yaitu:,, =,, sehingga diperoleh: = +, +, +..(1) Bidang rata melalui titik (,, ) maka persamaan bidang rata adalah: ( ) + ( ) + ( ) = 0..(2) c. Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan bidang singgung bola = 0 di titik (,, ) adalah: + + + + + + = (27) Berdasarkan proses di atas, dapat di simpulkan bahwa: 1) Jika + + + + + + = 0, maka persamaan bidang singgung di titik (,, ) adalah: + + + + + + + + + = 2) Jika ( ) + ( ) + ( ) =, maka persamaan bidang singgung di titik (,, ) adalah: ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = 3) Jika + + =, maka persamaan bidang singgung di titik (,, ) adalah: + + = Persamaan bidang singgung di atas mengikuti kaidah Membagi Adil yaitu pergantian: menjadi, menjadi, menjadi menjadi ( + ), menjadi ( + ), menjadi ( + ) menjadi ( + ). 3. < berarti bola = 0 tidak memotong dan tidak menyinggung bidang rata = 0 seperti yang terlihat pada Gambar 9.4 di bawah ini.

33 Gambar 9.4 9 bola tidak memotong maupun menyinggung bidang rata Kuasa Titik Misalkan bola (,, ) + + + + + + = 0 dan misalkan titik (,, ). Definisi 1: Kuasa titik (,,, ) terhadap bola (,, ) di defenisikan sebagai: = (,, ) + + + + + + = 0 ada 3 kemungkinan nilai yaitu: Titik di luar bola jika dan hanya jika > 0 Titik pada bola jika dan hanya jika = 0 Titik di dalam bola jika dan hanya jika < 0 Anti Geometri dari Kuasa Titik Masalah 9.2 9 Misalkan bola (,, ) + + + + + + = 0 dan titik (,, ) adalah titik sebarang. Bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung bola jika titiknya di luar bola. Untuk menentukan persamaan garis lurus tersebut lakukanlah kegiatan di bawah ini dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Perhatikan Gambar 9.5 di bawah ini.

34 Gambar 9.4 9 Titik di Luar Bola 2. Tarik garis melalui (,, ). Misalkan cosinus arah garis adalah: cos, cos, cos sehingga persamaan parameter garis adalah: = + cos = + cos (1) = + cos Garis ada yang menembus bola, ada yang menyinggung bola, dan ada yang tidak menyinggung atau tidak menembus bola. 3. Andaikan garis tersebut menembus bola pada titik dan untuk mencari titik tembus, subsitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan bola = 0 sehingga di peroleh: + + + + + + + + + + + + + =.(2) Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalam, ada beberapa ketentuan persamaan kuadrat tersebut yaitu: (1) Jika > 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang berbeda. (2) Jika = 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang konstan (sama). (3) Jika < 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 buah akar dan yang imaginer. 4. Andaikan persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar yang berbeda yaitu dan. Berarti garis menembus bola pada dua titik. Misalkan titik itu adalah titik dan dengan: ( + cos, + cos, + cos ) dan

35 ( + cos, + cos, + cos ) = ( ( + cos )) + ( ( + cos )) + ( ( + cos )) = + + = ( + + ) =. 1 =. Akar dari persamaan kuadrat (1) = ( ( + cos )) + ( ( + cos )) + ( ( + cos )) = + + = ( + + ) =. 1 =. Akar dari persamaan kuadrat (1) ( ). ( ) = = = + + + + + + = + + + + + + Jadi, ( ). ( ) = (,, ) = + + + + + + = harga mutlak kuasa titik (,, ) terhadap Bola (28) Atau : Bila dari titik tertentu ditarik garis sebarang yang memotong bola di dan maka harga ( ). ( ) adalah konstan. Kalau di luar bola maka harganya = kuasa, dan kalau di dalam bola maka harga negatifnya = kuasa. Bidang Kutub Masalah 9.3 9 Misalkan persamaan Bola (,, ) + + + + + + = 0 dan sebarang titik (,, ). Bagaimanakah persamaan bidang kutubnya? Untuk menentukan persamaan bidang kutub, lakukanlah kegiatan di bawah ini. Kegiatan 9.4. Persamaan Bidang Kutub

36 Langkah-langkahnya adalah: 1. Perhatikan Gambar 9.5 (a) di bawah ini. Gambar 9.5 9 (a) Bola dan garis 2. Tarik garis melalui titik (,, ) sehingga menembus bola di dan. 3. Misalkan titik (,, ) pada garis sehingga titik dan sekawan haromonis dengan titik dan. Artinya jika = 1 maka = 1. Seperti yang terlihat pada Gambar 9.5(b) di bawah ini. Gambar 9.5(b) 9 Bola dan garis 4. Jika garis digunakan, maka tempat kedudukan titik merupakan suatu bidang rata, yang disebut dengan bidang kutub (bidang polar) bola = 0, dengan titik kutubnya adalah titik. 5. Misalkan persamaan Bola + + = 0, dengan titik kutubnya (,, ) maka koordinat titik adalah + + 1, + + 1, +. (1) + 1

37 Agar maka + + = 0..(2) 6. Subsitusikan persamaan (1) ke (2) sehingga diperoleh persamaan bidang kutub adalah + = Rangkuman 1. Persamaan bidang singgung bola ( ) + ( ) + ( ) = yang melalui titik (,, ) adalah ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = 2. Persamaan bidang singgung bola + + + + + + = 0 yang melalui titik (,, ) adalah + + + 1 2 ( + ) + 1 2 ( + ) + 1 2 ( + ) + = 0 3. Kuasa suatu titik (,, ) terhadap persamaan bola + + + + + + = 0 adalah + + + + + + = 0 4. Jika titik (,, ) terletak pada, di dalam atau di luar bola, maka kuasa titik terhadap bola berturut-turut mempunyai nilai nol, negatif atau positif.