JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices over a commutative rig A matrices over commutative rigs is a matrices whose etries are the elemets of the commutative rig We ivestigates the structure of the set of the matrices over the commutative rig We obtai that the set of the matrices over the commutative rig equipped with a additio ad a multiplicatio operatio of matrices is a rig with a uit elemet Keywords : set, matrices, rig, matrices over commutative rigs ABSTRAK Makalah ii membahas tetag matriks atas rig komutatif Matriks atas rig komutatif yaitu matriks dega etri-etriya merupaka eleme pada rig komutatif Selajutya, diselidiki struktur yag terbetuk dari himpua matriks atas rig komutatif tersebut Hasil yag diperoleh adalah himpua matriks atas rig komutatif yag dilegkapi operasi pejumlaha da perkalia matriks merupaka rig dega eleme satua Kata kuci : himpua, matriks, rig, matriks atas rig komutatif, rig poliomial 1 PENDAHULUAN Sistem matematika merupaka satu himpua tak kosog atau lebih yag dilegkapi dega satu operasi bier atau lebih yag memeuhi sifat-sifat tertetu Sistem matematika yag terdiri dari satu himpua tak kosog yag dilegkapi dega sebuah operasi bier diataraya yaitu grupoid, semigrup, mooid, da grup Adapu sistem matematika yag terdiri dari satu himpua tak kosog yag dilegkapi dega dua buah operasi bier diataraya yaitu rig, daerah itegral da lapaga Meurut Fraleigh (2002), himpua bilaga riil da kompleks yag dilegkapi dega operasi pejumlaha aritmatika merupaka sistem matematika grup Selajutya, jika himpua bilaga riil da kompleks dilegkapi operasi pejumlaha da perkalia aritmatika maka himpua bilaga riil da kompleks tersebut merupaka suatu rig
12 Ahmad Abdurrazaq, dkk Matriks merupaka susua eleme yag berbetuk persegi pajag yag disusu meurut baris da kolom Matriks merupaka salah satu kajia pada bidag aljabar yag memiliki operasi yag berbeda dari operasi aritmatika Pembahasa megeai matriks dega etri-etriya merupaka eleme himpua bilaga riil da kompleks telah dibahas oleh Ato (2010) Matriks yag dibahas oleh Ato merupaka suatu matriks atas rig riil atau rig kompleks Sukartii (2003) megkaji megeai kogruesi matriks hermite atas rig poliomial Pada peelitia tersebut matriks yag dibahas adalah matriks yag etri-etriya merupaka eleme pada rig poliomial Rig poliomial merupaka salah satu betuk khusus dari rig Peelitia ii membahas megeai pembetuka matriks dega memperumum etri-etriya yaitu eleme pada rig komutatif Selajutya, dega membetuk matriks atas rig komutatif ii maka secara otomatis struktur beserta sifat-sifat matriks yag dibahas pada Ato da matriks yag dikaji oleh Sukartii termuat di dalam matriks atas rig komutatif ii 2 METODE PENELITIAN Metode yag diguaka dalam peelitia ii adalah studi pustaka dega cara megkaji buku-buku teks yag berkaita dega pembetuka rig matriks atas rig komutatif Adapu lagkah-lagkah yag dilakuka dalam peelitia ii yaitu : (1) Medefiisika matriks dega memperumum etri-etriya yag merupaka eleme pada rig komutatif (2) Medefiisika himpua matriks atas rig komutatif serta operasi pada himpua tersebut (3) Membuktika struktur yag terbetuk dari sistem matematika himpua matriks atas rig komutatif merupaka rig
Rig Matriks atas Rig Komutatif 13 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada hasil da pembahasa ii dibahas megeai pembetuka matriks atas rig komutatif da selajutya aka ditujukka sistem matematika rig yag terbetuk dari matriks atas rig komutatif da rig poliomial atas rig tersebut 31 Matriks Atas Rig Komutatif Misalka R merupaka rig komutatif dega eleme olya adalah e 0 Apabila R merupaka rig komutatif dega eleme satua maka eleme satuaya diotasika e 1 Selajutya, pembahasa pada sub bab ii diawali dega medefiisika suatu matriks dega etri-etriya merupaka eleme pada rig komutatif Defiisi 1 Misalka R adalah rig komutatif Matriks berukura m disebut matriks atas rig komutatif R jika setiap etri matriks adalah eleme pada R Karea R da C masig-masig merupaka rig komutatif maka matriks yag etri-etriya eleme pada R da C seperti pada pembahasa Ato (2010) merupaka betuk khusus dari matriks atas rig komutatif dega etri-etriya eleme pada rig komutatif Matriks yag dibahas oleh Ato utuk selajutya disebut matriks biasa Berikut ii diberika defiisi himpua matriks atas rig komutatif meurut Brow (1993:10) Defiisi 2 Misalka R adalah rig komutatif, maka himpua semua matriks berukura m atas R, diotasika M ( R) disebut himpua matriks atas rig komutatif R m Berdasarka Defiisi 2, diperoleh bahwa betuk umum dari Mm ( R) adalah M m( R) a a R, i 1,2,, m, j 1,2,, (31)
14 Ahmad Abdurrazaq, dkk Pada peelitia ii matriks yag diguaka merupaka matriks persegi, sehigga himpua matriksya adalah M ( R) Operasi pejumlaha da perkalia matriks terdefiisi dega baik di M ( ) R Ambil sembarag A, B, C, D M ( R) dega A C da B D dimaa A a, B b, C c, D d, utuk setiap a, b, c, d R da i, j 1,2,, Karea A Cda B D maka a c da b d utuk setiap i, j 1,2,, Dega demikia berlaku A B a b a b c d c d C D AB aiqbqj ciqd qj C D q1 q1 Hal ii berarti operasi pejumlaha da perkalia matriks terdefiisi dega baik di M ( R) Pada suatu matriks, yag mempegaruhi betuk da sifat yag meyertaiya adalah etri-etri yag membetuk matriks tersebut 32 Struktur pada Matriks Atas Rig Komutatif Setelah membetuk matriks atas rig komutatif, selajutya ditujukka megeai sistem matematika rig yag terbetuk dari himpua matriks atas rig komutatif Sistem matematika yag dibahas merupaka sistem matematika yag terdiri dari himpua matriks atas rig komutatif yag disertai dega dua buah operasi, yaitu operasi pejumlaha da perkalia matriks Karea matriks atas rig komutatif merupaka perumuma dari matriks biasa, maka struktur yag terbetuk dari matriks atas rig komutatif juga memperumum struktur dari matriks biasa Berikut ii diberika lemma utuk himpua matriks atas rig komutatif yag disertai operasi pejumlaha matriks Lemma 3 Himpua matriks M ( R) yag dilegkapi dega operasi pejumlaha matriks merupaka grup Abel
Rig Matriks atas Rig Komutatif 15 Bukti Berikut ii aka ditujukka bahwa himpua matriks atas rig komutatif yag disertai operasi pejumlaha matriks merupaka grup Abel a Misalka A, B M ( R) dega A a da B b, utuk setiap a, b R da i, j 1,2,, Hasil pejumlaha dari matriks A da B adalah A B a b a b, utuk i, j 1,2,, Karea a, b R maka berlaku a b R, sehigga diperoleh bahwa AB M ( R) b Sifat assosiatif pejumlaha terpeuhi di M ( R), karea utuk setiap A, B, C M ( R) dega A a, B b, a, b, c R da i, j 1,2,, a b c A B C da C c, utuk setiap A B C a b c, berlaku c Terdapat matriks ol E d M ( R) dega d e0 utuk setiap i, j 1,2,,, sedemikia sehigga utuk setiap A M ( R) berlaku A E E A A Hal ii dapat ditujukka oleh A E a d d a a Jadi E merupaka eleme ol pada M ( R) d Utuk setiap A a M ( R) dega a R da i, j 1,2,,, terdapat ( ) utuk setiap a R yag merupaka ivers 1 A A a M R dari berlaku A a terhadap operasi pejumlaha pada rig komutatif R, sehigga 1 1 A A a a a a a a d E 1 1 A terbukti bahwa da a a a a a a d E Jadi A 1 pejumlaha di M ( R) A merupaka ivers matriks A terhadap operasi
16 Ahmad Abdurrazaq, dkk e Sifat komutatif pejumlaha terpeuhi di M ( R), karea utuk setiap A, B M ( R) dega A a da B b, berlaku A B a b a b b a a b B A Karea semua aksioma pada grup da sifat komutatif terpeuhi maka terbukti M ( ), R merupaka grup Abel Himpua matriks atas rig komutatif yag dilegkapi dega operasi perkalia matriks membetuk sistem matematika seperti delaska pada lemma berikut Lemma 4 Himpua matriks M ( R) yag dilegkapi dega operasi perkalia matriks merupaka semigrup Bukti Berikut ii ditujukka bahwa himpua matriks atas rig komutatif yag disertai dega operasi perkalia matriks merupaka semigrup Utuk setiap A, B, C M ( R) dega A a, B b, dimaa a, b, c R da i, j 1,2,,, berlaku da C c, a Hasil perkalia dari matriks A da B adalah AB c, dega c a b utuk i, j 1,2,, Karea a, b R maka iq qj q1 iq qj q1 a b iq qj R sehigga diperoleh bahwa AB M ( R) b Sifat assosiatif perkalia yaitu ABC aiqbqj c a bqrcrj a b c q1 r1 Karea setiap aksioma pada semigrup terpeuhi maka terbukti M ( ), R merupaka semigrup
Rig Matriks atas Rig Komutatif 17 Selajutya diberika lemma yag meyataka bahwa operasi perkalia matriks bersifat distributif terhadap pejumlaha pada M ( R) Lemma 5 Utuk setiap A, B, C M ( R) B C A B AC A berlaku, A B C AB A C da Bukti Ambil sembarag A, B, C M ( R) dega A a, B b, da C c, utuk setiap a, b, c R dega i, j 1,2,, Selajutya perhatika bahwa A B C a b a c a b a c A B AC iq qj iq qj iq qj iq qj ( ) ( ) da q1 q1 q1 B C A biq aqj ciqaqj biq aqj ciqaqj ( B A) ( C A) Jadi q1 q1 q1 terbukti bahwa sifat distributif operasi perkalia terhadap pejumlaha berlaku di M ( ) R Berdasarka uraia lemma 3, lemma 4, da lemma 5 diperoleh sistem matematika yag terdiri dari satu himpua yag dilegkapi dega dua buah operasi bier Teorema 6 Himpua matriks M ( R) yag dilegkapi dega operasi pejumlaha da perkalia matriks merupaka rig Bukti Berdasarka lemma 3 diperoleh bahwa M ( ), R merupaka grup Abel, da meurut lemma 4, sistem matematika M ( ), R merupaka semigrup Selajutya, meurut lemma 5 diperoleh bahwa sifat distributif
18 Ahmad Abdurrazaq, dkk perkalia terhadap pejumlaha berlaku di M ( R) Hal ii meujukka bahwa M ( ),, R merupaka rig Meurut Teorema 6 matriks atas rig komutatif yag dilegkapi operasi pejumlaha da perkalia matriks merupaka rig dega eleme satua Karea operasi perkalia matriks tidak bersifat komutatif, maka M ( ),, R buka rig komutatif Hal ii berarti sistem matematika M ( ),, R buka lapaga maupu daerah itegral 4 KESIMPULAN DAN SARAN Matriks atas rig komutatif adalah matriks yag etri-etriya merupaka eleme dari rig komutatif Himpua matriks atas rig komutatif yag dilegkapi dega operasi pejumlaha da perkalia matriks merupaka rig dega eleme satua, tetapi buka merupaka lapaga ataupu daerah itegral Utuk selajutya peelitia ii dapat dilakuka utuk ideal pada rig matriks atas rig komutatif Selai itu dapat juga dilakuka pegkajia matriks dega megubah etri dari matriks dega lapaga ataupu daerah itegral DAFTAR PUSTAKA Ato, H (2010) Dasar-Dasar Aljabar Liier, Jilid 1 Ciputat Tagerag: Biarupa Aksara Publisher Brow, W C (1993) Matrices Over Commutative Rigs New York: Marcell Dekker Ic Fraleigh, JB, & Katz, VJ (2002) A First Course i Abstract Algebra, 7 th Editio New York: Addiso-Wesley Publishig Compay Sukartii (2003) Meetuka Kogruesi Matriks Hermite Atas Rig Poliomial Skripsi S1 pada ITS Surabaya