SOLUSI ANALITIK PESAMAAN TANSPOT DAN DISTIBUSI AMONIAK Ipung Stawan, Wdowat,Juruan Matmatka FMIPA UNDIP E-mal : wwd_mathundp@yahoo.com ABSTAK Aplka tranforma Laplac pada pramaan tranport dan drbu amonak dkaj pada papr n. Modl matmatka yang mrprntakan prlaku analtk prubahan konntra amonak trhadap po dan waktu pada praran dformulakan. Modl matmatka untuk tranport dan drbu amonak trbut dkontruk brdaarkan prwa advk dan dfu-dpr. Modl matmatka yang dprolh brupa pramaan dfrnal paral. Pramaan n juga dbangun mlalu pro tranforma dar amonak mnjad ntrt dalam pro ntrfka. Slanjutnya, pramaan dfrnal paral yang trbntuk dcar olunya dngan mngaplkakan tranforma Laplac. Solu yang dprolh brupa olu analtk yang rupa dngan fung rror komplmntr. Dar hal mula dprolah bahwa makn bar nla kofn dfu-dpr maka prgrakan konntra amonak k arah brkurangnya konntra makn lambat. Kata Kunc : Advk, dfu-dpr, tranport amonak, pramaan dfrnal paral, tranforma Laplac. Pndahuluan Tranforma Laplac baa dgunakan untuk mnylakan pramaan dfrnal baa, namun dalam makalah n tranforma Laplac akan dgunakan untuk mnylakan pramaan dfrnal paral untuk modl tranport dan drbu amonak. Modl matmatka mngna pnybaran ntrogn (amonak) pada praran yang dkmbangkan olh P.G. Whthad dan.j. Wllam (98) mmbntuk pramaan dfrnal paral. Modl n dbangun brdaarkan prwa advk dan dfu-dpr pada uatu praran rta pro ntrfka tahap prtama pada klu ntrogn yatu pro tranforma dar amonak mnjad ntrt. Pada klu n okgn angat dprlukan untuk mngubah amonak mnjad ntrt kmudan ntrt mnjad ntrat, akbatnya kadar DO (Dolvd Oxygn) pada praran akan mnurun. Tahapan ntrfka pada klu ntrogn dnyatakan dalam bagan klu ntrogn (Whthad dan Wllam,
98). Ntrfka mrupakan uatu pro okda nzmatk yang dlakukan olh klompok jaad rnk/baktr dan brlangung dalam dua tahap yang trkondkan baga brkut :. Tahap prtama yatu ntrta. Pada pro n rak brlangung dar amonak dubah mnjad ntrt yang mlbatkan baktr Ntroomona dan Ntroococcu dngan pramaan rak (Whthad dan Wllam, 98) baga brkut. 3 NH 4 + O NO + H + HO + nrg (.). Tahap kdua yatu ntrata. Pada pro tahap kdua rak dprankan olh baktr Ntrobactr dan Ntrococcu pp yang mlakukan okda dar ntrt k ntrat dngan pramaan rak NO + O NO3 + nrg (Whthad dan Wllam, 98).. Modl Pramaan Tranport dan Drbu Amonak Modl tranport dan drbu amonak dkontruk pada praran yang mmlk fat ady at flow dan unform flow. Sm maa polutan (amonak) pada alran n mngkut hukum kkkalan maa (law of conrvaton of ma) yang mnyatakan bahwa maa d dalam uatu m alran akan ttap mnurut waktu (Wlty, dkk, ). Trdapat bbrapa pndkatan untuk mnnjau kualta ar. Pndkatan yang dbaha dn mnganggap bahwa pada tap ttk d uatu ruang brhubungan dngan nla unur yang dtnjau. Dalam hal n unur yang dtnjau adalah konntra matr dar volum yang mlngkupnya. Mlalu pndkatan n, ar dngan jumlah komponn yang htrogn dapat djlakan baga uatu paduan dar jumlah kkontnuan yang brbda, alng brntrak atu ama lan dan mnmpat po yang ama d uatu ruang dmkan hngga unur-unur pada mang-mang kkontnuan dapat ddntfka pada tap ttk d ruang trbut. Prwa tranport dan drbu amonak trjad cara advk dan dfu-dpr. Advk mrupakan uatu mkanm tranporta maa uatu matr dar uatu ttk k ttk lan yang trjad pada alran fluda. Scara matmatka grakan fluda dalam fnomna advk dnyatakan baga mdan vktor dan bahan yang dangkut dnyatakan baga uatu kalar konntra matr yang trkandung dalam caran. Tranport cara advk barnya adalah hal kal antara barnya dbt alran dngan konntra maa uatu matr. Dfu dapat dartkan baga prpndahan partkl-partkl uatu matr dar darah yang konntranya tngg mnuju darah yang konntranya rndah baga akbat adanya gaya
pndorong. Sdangkan dpr mrupakan pro pnybaran partkl-partkl uatu matr olh karna pro dfu. Brdaarkan hukum Fck yang kdua barnya prubahan konntra drumukan dngan x t t x (, ) ( x, t) = E dngan E adalah kofn dfu-dpr ( L T ). Kmbangan maa polutan (amonak) mnurut hukum kkkalan maa (law of conrvaton of ma) pada alran atu dmn [] dformulakan baga brkut. akumula dalam tap gmn = tranport nput advk + tranport nput dpr tranport output advk tranport output dpr ± rak kma. Modl mtmatka untuk tranport dan drbu amonak (Whthad dan Wllam, 98) alah ( x, t) ( x, t) ( x, t) = v + E k( x, t) t x x (.) dngan v : kcpatan alran ( LT ) k : ttapan laju rak amonum mnjad ntrt ( T ) 3. Solu Pramaan Tranport dan Drbu Amonak dngan Aplka Tranforma Laplac Tranforma Laplac mrupakan uatu mtod opraonal yang dapat dgunakan untuk mnylakan pramaan dfrnal. Dngan mnggunakan tranforma Laplac, bbrapa fung umum prt fung nuoda, fung nuoda trdam dan fung kponnal dapat dubah mnjad fung-fung aljabar varabl komplk [4]. Dfn 3. (Ogata, K., 97) Malkan f ( t ) adalah uatu fung yang kontnu pada ntrval [, ) maka tranforma Laplac dar f ( t) ddfnkan dngan ntgral t L ( f ( t)) = F( ) = f ( t) dt, (3.) f ( t ) : fung waktu ( t ) dmkan rupa hngga f ( t ) = komplk. untuk t <. : varabl 3
Nla ntgral pramaan (3.) ada jka t f ( t) dt = lm f ( t) dt. a a Torma 3. (Ogata, K., 97) Tranforma Laplac dar turunan fung f ( t) dnyatakan dalam pramaan d L f ( t ) = F ( ) f () dt dngan f () adalah nla awal f ( t) yang dhtung pada t =. Dfn 3. (Ogata, K., 97) Tranforma Laplac Balk untuk f ( t) ddfnkan c+ f ( t) = F( ) d ( t > ) dngan c adalah konanta pada umbu ral potf yang dplh dmkan hngga lbh bar dar mua ttk ngulr dar F( ). Torma 3. (Munch, A.D., 994) Mal F( ) adalah tranforma Laplac dar f ( t) yang mmpunya jumlah ttk ngulr brhngga,,,..., yang trltak d blah kr gar vrtkal ( ) = c. Jka F( ) trbata 3 k olh Bukt M dngan M dan, maka L k = c n t ( F( )) = F( ), = Dtntukan lntaan = L + ua dngan Gambar 3. hngga mua ttk ngulrnya trltak d blah kr gar L : = c hngga = c +. Karna k analtk dmanapun pada t bdang hngga F( ) mmpunya ngulrta yang ama dngan fung F( ) dmkan n k= dngan F( ) d = F( ), = k Brdaarkan lntaan pada Gambar 3. maka F( ) d = F( ) d + F( ) d. L 4
Im = c+ c c L = c Gambar. Lntaan tngah lngkaran Pada gmn, = c + θ untuk 3 < θ < maka d = θ dθ hngga 3 ( c+ ) t F( ) d = F( c + ) dθ (3.) Jka F( ) trbata olh M maka F( ) M. Brdaarkan prtdakamaan gtga dan fat-fat harga mutlak dar pramaan (3.) ddapatkan 3 3 ( c+ ) t F( ) d = F( c + ) dθ F( c + ) ( c+ ) t dθ 3 ( ct + t ) F( c ) d = + θ 5
3 3 ct t ct t( coθ + nθ ) θ 3 ct t coθ t nθ Mdθ 3 ct t coθ t nθ Mdθ 3 3 ct t coθ ct t coθ M dθ M d M d = M dθ = = = = θ Dngan dmkan 3 ct t coθ F( ) d M dθ (3.3) Mal dambl maka dθ = dφ dan coθ co = φ + = nφ t nφ dprolh hngga dφ. Brdaarkan prtdakamaan kurva Jordan yatu φ t t nφ t n φ dφ = dφ dφ = akbatnya t θ = φ + 3 t coθ dθ mnjad t nφ φ t dφ dφ maka 3 t coθ dθ. Dar t ct ct pramaan (3.3) dprolh F( ) d M = M. Karna M untuk t t maka F( ) d =. Shngga untuk, dprolh 6
c+ F( ) d = F( ) d c n = F( ), = k k=. t Dar dfn tranforma Laplac balk L ( F ( )) = F ( ) d maka trbukt bahwa n ( ( )) ( ), L t F = F = k. k= Tranforma Laplac untuk fung konntra amonak yatu L ( ( x, t)) = xp( ) ( x, t) dt = ( x, ). Untuk dapat mnntukan olu dar pramaan (.) maka nla awal dan nla bata harulah dtntukan. Dar pramaan (.) maka barnya prubahan + NH 4 + konntra untuk amonum adalah = k NH 4 t untuk lm t mmbntuk pramaan dfrnal d = k hngga mmpunya olu dt xp( kt). Nla awal dan nla bata untuk mnylakan pramaan (.) ( ) x, = untuk < x < c + c (, ) xp( ) ( x t) t = kt lm, = x untuk t > (3.4) Tranforma Laplac untuk pramaan (3.4) ( x,) = ; (, ) = ; ( x ) + x k lm, = (3.5) 3. Solu Pramaan Tranport dan Drbu Amonak dngan Dbt Alran Dabakan Pada bagan n dkaj pnylaan pramaan tranport dan drbu amonak dngan dbt alran dabakan. Hal n brart v =. Shngga tranforma Laplac pramaan (.) dngan yarat pramaan (3.4) mnjad 7
( x, t) ( x, t) L E k( x, t) t = L x ( x, ) ( x, ) ( x,) = E k( x, ) x ( x, ) E ( + k) ( x, ) = x Pramaan dfrnal paral d ata mmpunya pramaan karaktrk Er ( + k ) =. Solu umumnya alah + k + k ( x, ) = B xp x + B xp x E E Brdaarkan pramaan (3.5) maka ddapat x x + k = + k E (, ) xp x t + k = x + k E (, ) L xp = xp( kt) L xp x E (3.6) Brkut durakan cara mnntukan xp x E L. Mal F( t) = L xp x dar dfn tranforma Laplac balk E xp x c+ E F( t) = xp( ) d dambl c, xp x c+ E I = xp( ) d dan akan dtmukan nla I dngan ntgral lntaan. Pada F ( ) = xp x mmpunya ttk E ngulr d = dan mrupakan cabang trpotong (branch cut) hngga c 8
n t F ( ) d = F ( ), = k Sua dngan Gambar 3. dambl c mndkat k = ttk ngular yatu c mndkat nol dan mndkat tak hngga maka brdaarkan gambar trbut dprolh ntgral prlntaan baga brkut. χ F( ) d + F( ) d + F( ) d + F( ) d + F( ) d + F( ) d = Shngga dprolh F( ) d + n K out L F( ) d + F( ) d + F( ) d + F( ) d = n K out L Z F( ) d (3.7) Im = c+ n out K χ c L = c Gambar. Lntaan trtutup drhana tngah lngkaran Brkut akan durakan nla ntgral prlntaan.. Pada gmn K (lngkaran kcl) trlbh dahulu varabl komplk dtranforma k dalam bntuk polar. Mal = ξ θ dngan ξ mrupakan radu lngkaran kcl pada gmn K yang barnya mndkat nol dan θ baga bata pngntgralan brgrak dar mnuju θ hngga dprolh d θ = ξ dθ dan = ξ. K x E tξ tξ E F( ) d = d = ξ dθ dθ = ξ K ξ x E ξ x 9
olh karna ξ maka pramaan trbut mnjad F( ) d = dθ =. Sama halnya dngan gmn K maka pada gmn n dmalkan bahwa K = r θ dngan θ = hngga ddapatkan = r = r. Akbanya d = dr dan = r = r. Pada gmn n r baga bata pngntgralan brgrak dar radu mnujuξ maka dprolh ξ r ξ r rt x rt x E E F( ) d = lm ( dr ) = lm dr r r n ξ ξ 3. Sama halnya dngan gmn n, pada gmn out dambl = r θ dngan θ = ( ) hngga ddapatkan = r. Akbatnya d = dr dan = r = r Pada gmn n r baga bata pngntgralan brgrak dar radu ξ mnuju hngga r r rt x rt x E E F( ) d = lm ( dr ) = lm dr r r out ξ ξ ξ ξ n F( ) d + F( ) d ξ out r r rt x r t x E E = lm dr + lm dr r r ξ ξ ξ r rt r x x E E = lm dr r ξ ξ r t r = lm n x dr r E ξ ξ x = rf Et 4. Pada gmn dambl x E F( ) = maka dprolh = c + θ untuk < θ < maka d ( c+ ) ( ) t F d θ θ θ = F( c + ) d = θ dθ rta θ
Pada lntaan Gambar 3. dplh c mndkat nol hngga θ lm c θ + = akbatnya = =. Jka F( ) trbata pada M maka F( ) M dngan x E E M = = hngga dprolh Torma 3. maka dprolh F( ) d = x 5. Pada gmn L, dambl x E F( ) = maka dprolh Pada gmn yatu jka F( ) F ( ) d = L Jad dprolh nla M = c + L θ untuk L c x E = lm =. Brdaarkan 3 < θ < maka d 3 ( c + L ) t θ θ F( ) d = F ( c + L) L dθ = L θ dθ rta L barnya nla L = dngan dmkan brdaarkan Torma 3. trbata olh M = maka F( ) M L L. Dngan dmkan I = F( ) d = rf χ x = rfc Et x Et. Olh karna F ( t) = I hngga dprolh x F ( t ) xp x = L = rfc E Et Solu untuk modl tranport dan drbu amonak dngan kcpatan alran dabakan adalah x ( x, t) = xp( kt)rfc Et.
3. Solu Pramaan Tranport dan Drbu Amonak dngan Dbt Alran Tdak Dabakan Tranforma Laplac untuk pramaan (.) dngan yarat pramaan (3.4) ( x, t) ( x, t) ( x, t) L v E k( x, t) t = L + x x ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x,) = v + E k( x, ) x x ( x, ) ( x, ) E v ( k + ) ( x, ) = x x Pramaan karaktrknya Er vr k ( + ) =. Dar n dprolh olu umumnya (, ) 4 ( ) 4 ( ) xp v v E k x B x B xp x v v E k = + + + + + + E E Dngan mmaukkan yarat bata pada pramaan (3.5) dprolh ( x, ) xp x v v 4 E( k) = + + + k E (3.8) Dngan mncar tranforma Laplac balk pramaan (3.8) maka dprolh olu (Lj, F.J and Tord, N. 995) ( x, t) = x vt vx x + vt xp( kt) rfc + xp rfc Et E Et Plotng konntra ammonak trhadap x dan t drpntakan dalam gambar brkut.
Gambar 3. Plotng advk-dpr amonak Dar Gambar 3.3 trlhat bahwa konntra amonak akan mnurun rng dngan brtambahnya nla x hal n trjad akbat pro dfu-dpr. Brdaarkan modl yang tlah dkonruk, maka pola tranport dan drbu amonak brdaarkan fnomna advk dan dfudpr dtunjukkan gambar brkut. Grafk olu advk-dpr amonak trhadap jarak rupa dngan grafk fung rror komplmntr (complmntary rror functon) yang mmpunya arah gradn ngatf. Dar grafk olu trlhat bahwa konntra amonak makn lama makn mnurun. Prlaku olu n ua dngan hukum daar yang mmbangun modl yatu Hukum Fck yang mnrangkan bahwa pro dfu trjad k arah brkuangnya dfuan. Dalam prwa tranport dan drbu amonak d praran angat dpngaruh olh kcpatan alran dan kofn dfu-dpr. Barnya kofn dfu-dpr angat mmpngaruh prgrakan konntra amonak. Hal n dbabkan karna barnya kofn dfu-dpr brbandng trbalk trhadap gradn konntra.. Brkut akan dtamplkan mula grafk olu yang mmprlhatkan adanya prbdaan nla kofn dfu-dpr. Mal uatu praran A mmlk nla E = 3m, v =.5 m, k =, = mg l dan t = maka grafk olu amonak ua pramaan (3.7) dtunjukkan pada Gambar 4. 3
Gambar 4. Grafk olu amonak dngan nla E = 3 m ; Gambar 5. Grafk olu amonak dngan nla E = 5m Mal uatu praran B mmlk nla E = 5m, v =.5 m, k =, = mg l dan t = maka olu amonak dtunjukkan pada Gambar 3.6. Pada Gambar 3.5 trlhat bahwa pada pro tranport dan dtrbu amonak, prgrakan pnurunan konntranya lbh cpat darpada Gambar 5. 4
4. Pnutup Tranforma Laplac dapat dtrapkan untuk mncar olu pramaan dfrnal paral prt halnya pada pramaan tranport dan drbu amonak d praran. Solu yang dprolh brupa olu analtk dar pramaan modl. Dar olu yang dprolh dapat dktahu pola tranport dan drbu amonak d praran yang brupa grafk fung rror komplmntr. Dar mula dktahu bahwa makn bar nla kofn dfu-dpr maka prgrakan konntra amonak k arah brkurangnya konntra makn kcl/lambat. Daftar Puaka [] Hum, M and Mllr, W.B. 99. Boundary Valu Problm and Partal Dffrnal Equaton. Boon : PWS-KENT Publhng ompany. [] Lj, F.J and Tord, N. 995. Dcrt Tm and Lngth Avragd Soluton of th Advcton-Dpron Equaton. Watr ourc arch, Vol. 3, NO.7, Pag 73-74. [3] Munch, A.D. 994. omplx Varabl wth Applcaton : Scond Edton. Addon-Wly Publhng ompany, Inc. [4] Ogata, K. 97. Modrn ontrol Engnrng, Fr Edton. Prtc-Hall, Inc. [5] Wlty, J., Wck,.E, Wlon,.E and orrr, G.. Daar-daar Fnomna Tranport : Ed Kmpat. Jakarta : Erlangga. [6] Whthad, P.G. and Wllam,.J. 98. A Dynamc Ntrogn Balancd Modl for vr Sym, IAHS Publ. no.39, 89-99. 5