DINAMIKA JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Analisis respon gepa pada bangunan: Analisis sai eivalen Beban gepa diodelan sebagai beban erpusa pada asingasing inga/lanai sruur gedung, diana beban beerja seara sais. Hanya eninjau respon asiu gepa. Digunaan unu sise sruur sederhana Analisis dinais Didasaran pada eori eania vibrasi yang eperhiungan faor sipangan, eepaan dan perepaan assa bangunan sebagai fungsi wau. Keseibangan gaya elasis, gaya inersia dan gaya redaan berubah dari wau e wau

STATIS P DINAMIS P()

MODEL BANDUL SEDERHANA EI K K P() P() K K K K P() Model Sruur Model SDOF Model Maeais Digunaan unu eodelan gearan pada sruur sederhana dan bangunan ida beringa.

Pegas Paralel Pegas Seri K K K K y y P e e

Benu urva gera haronis Geraan Haronis

PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN Gaya yang beerja dan berada pada eseibangan dinais yaiu: Gaya pegas aiba deforasi (P) P. = eauan pegas = perpindahan () Gaya inersia aiba perubahan eepaan (F) F. a. = assa a = perepaan d d d d. (). K..a K ()

SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL GERAK Solusi Uu: Aos Asin ASin BCos (4) (5) (6) ω = freuensi naural (radian/dei) = wau (dei) Menari besarnya freuensi naural (ω) Aos d d d d....... A. A A sin os Subsiusian e pers. () Cos ACos ACos (7)

: Menari besarnya onsana A dan B Jia diasuan asalah ondisi awal ( = ) yaiu: Perpindahan: Keepaan:.. V (8) (9) Maa: ASin BCos ASin () BCos () B d V A Cos B Sin d V A Cos () B Sin () A V () Sin ()

KEKAKUAN KOLOM Kolo berassa seraga dengan edua ujung erjepi /a beroasi, eauan pegasnya adalah: EI L PL EI P Kolo berassa seraga dengan sau ujung erjepi dan ujung lain berengsel/bebas, eauan pegasnya adalah: EI L PL EI () P (5) () (4) L P P Δ Δ

E I L I EI L P GA L Deforasi lenur Deforasi geser

Conoh CONTOH KASUS EI=4 KN/ L= = g K = N/ Tenuan besarnya freuensi naural sruur pada gabar di saping. Jawab Keauan balo: EI L 4 N, N/ Keauan balo dan pegas: K paralel balo pegas,, N/ g/d Freuensi naural:,56 rad dei

Conoh Tenuan persaaan-persaaan gera (perpindahan, eepaan dan perepaan) sruur pada gabar onoh. Gunaan syara awal gearan pada =, perpindahan () = dan eepaan (d/d) = 5 /dei. Jawab Freuensi naural:,56 rad dei Keepaan awal (V) = 5 /d Persaaan gera: Asin A V d d d d 5,56... sin,56 A os A sin V os V 5os,56 sin,8sin,56

Conoh F() lb/f W84 5 f F() SDOF Daa yang dieahui: E =. 6 psi I = 8,5 in 4 W = 5 = 5 lb g = 86 f/d Tenuan persaaan eseibangan sruur pada gabar diaas. Tenuan besarnya freuensi naural sruur ersebu

Jawab K F() f s F() I (Model aeais) (Freebody Diagra) Persaaan eseibangan: I fs F.... F Freuensi naural: K E I L.. 6 5..8,5 85 lb / in W g 5 86 85.86 5 8,4rad / d aau f 85.86 5 4.46 sps

Conoh 4 EI= 8 lb/in = lb/in W = lb/in = lb/in L= in Jia bera W epunyai perpindahan awal = ini dan eepaan awal V = ini/dei, enuan perpindahan dan eepaan pada dei eudian. Jawab Keauan balo: Keauan pegas: balo pegas EI L 8 lb/in 4 lb/in Keauan oal: K oal balo pegas 4 4 lb/in

Freuensi naural: 4 86,5 rad dei = inhi dan V = in/d ASin BCos V Sin Cos (,5 Sin(,5) 85Sin(,5) de i),89 in () Cos(,5) Cos(,5).. ( 9,99Cos (,5) de i),66 in/dei,5sin(,5)

REDAMAN Redaan adalah julah energi yang erhabur aau lenyap eia erjadi sau silus gera bola bali Redaan ibul arena ada gesean inernal dala bahan eia engalai geraan. Redaan bisa juga berasal dari banalan esernal yang sengaja dipasang seperi pada rel erea api Redaan inernal dapa berasal dari gesean iro bahan, dapa pula dari gesean dala sabungan ida rigid. Model redaan yang paling sering dipaai adalah odel dashpo. Selain odel dashpo, dapa juga dipaai odel Coulob, yaiu redaan yang berasal dari frisi dan berbanding lurus dengan sipangan dan arah geraan

MODEL REDAMAN DASHPOT Model redaan dashpo enghasilan penurunan sipangan engiui fungsi esponen Gearan bebas redaan visous

MODEL REDAMAN COULOUMB Sruur dengan redaan ouloub epunyai persaaan geraan diferensial linier sehingga enjadi lebih udah diselesaian unu asus respon gearan bebas aaupun respon aiba adanya gaya luar Dala prae, redaan ini biasanya erjadi aiba hilangnya sabungan, gesean anar oponen dan redaan dari aerial yang seuanya enyebaban perilau sruur enjadi nonlinier.

Model persaaan eseibangan: d d fs f D (9) f s f D N g (4)

MODEL BANDUL DENGAN REDAMAN Redaan digunaan unu enghenian gearan bebas dari suau sruur. Gaya redaan berbanding linier erhadap onsana dashpo () dan eepaan gera (V) P() P() K K K, K I P() fs fd I P()

PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN Persaaan eseibangan dapa diulis: H I f f P( ).. I... d f d s P( ). Solusi persaaan difensial: d d d d Ae p pae p p Ae p (6) f s (7) (8) (9)

Subsiusi pers. (7, 8, 9) e dala pers. (6) p p p Ae p pae p Ae Solusi nonrivial: p Ae p p p Ae p () () Aar-aar dari persaaan sb. adalah: p, () Karena ada nilai p, aa solusi persaaan differensial enjadi: p p Ae Be () Nilai p bisa bersifa riil aau iaginer, erganung dari faor dibawah aar apaah posiif aau negaif. p riil persaaan gera berupa fungsi esponen p iaginer persaaan gera berupa fungsi berulang

Kasus Redaan Kriis, FAKTOR REDAMAN Berdasaran pers., jia nilai variabel didala anda aar = p Maa, r Cr disebu dengan faor redaan riis Keadaan redaan riis adalah baas anara redaan berlebih (over daped) dan redaan urang (under daped)

Pada ondisi redaan riis, p p, Sehingga, solusi persaaan geranya adalah: p e e (4) (5) Kasus Redaan Kurang (Under-daped) Jia nilai oefisien redaan lebih eil dari oefisien redaan riis ( < r),, i p p (6)

Unu enyelesaian persaaan dengan bilangan iaginer, aa digunaan persaaan Euler: i e Cos i Sin (7) i e Cos i Sin (8) Sehingga, solusi persaaan gera adalah: e D ACos D B Sin D (9) () Persaaan dapa juga diulis dala benu: D D 4 r r () () ()

Kasus Redaan Berlebih (Over-daped) Pada sise redaan superriis, oefisien redaannya lebih besar dari oefisien redaan riis yaiu: r (4) r Sehingga solusi persaaan geranya enggunaan solusi dasar unu gearan bebas ereda, yaiu enggunaan persaaan ().. p p Ae Be Kurva hubungan perpindahan-wau unu ondisi redaan yang berbeda

MENENTUKAN FAKTOR RASIO REDAMAN Terdapa dua eode unu enenuan besarnya faor rasio redaan, yaiu: Meode seengah apliudo Meode pengurangan logarii METODE SETENGAH AMPLITUDO P Q T D e T D D (5) (6) Diana: P = perpindahan awal Q = perpindahan seelah silus ξ = faor rasio redaan ω = freuensi naural TD = periode ereda

METODE PENGURANGAN LOGARITMIK T D ln D P Q T D T D (7) (8) Diana: P = perpindahan awal Q = perpindahan seelah silus ξ = faor rasio redaan ω = freuensi naural TD = periode ereda δ = pengurangan logarii ωd = freuensi ereda Kurva hubungan anara julah puaran (N) dan faor rasio redaan:

Conoh 5 Freuensi naural dari balo anilever dengan assa erpusa bergera dinais. Massa bergera dengan apliudo A = in eudian dilepasan. Geraan yang erjadi diunjuan gabar di bawah yang engindiasian bahwa redaan pada sruur sanga eil. Hiung freuensi naural pada ii a dala radian/dei dan herz. Hiung pula periodennya.

Jawab Pada ii a, assa elah bergear sepanjang,5 puaran. f n.5 puaran.4 s.5 Hz n f n (6.8)(.5) 9.6 rad/s T. n f.5 n s

Conoh 6 Sebuah sise bergear erdiri dari bera W = lb dan pegas dengan eauan K = lb/in. Aiba redaan visous (lia) sehingga erjadi apliudo puna, dan,85. Tenuan: Freuensi naural Pengurangan logarii Faor rasio redaan Faor redaan Freuensi ereda Jawab Freuensi naural: / 86 7,78 rad dei f 7,78 4,4 SPS

Pengurangan logarii: ln ln,85,65 Faor rasio redaan:,65,4,65,56 Faor redaan: r,56 Freuensi ereda: 86,7 d lb in rad D 7,78,56 7,4 d

Conoh 7 Sebuah lanai sebera W = 4 lb diunjang oleh 4 buah olo yang saa dan diia pada pondasi, deiian pula pada lanai. Seara esperienal elah dienuan gaya sais sebesar P = lb beerja horizonal pada lanai iu dan engaibaan perpindahan sebesar, in. Diperiraan redaan sruur sebesar 5% dari redaan riis. Tenuan: Freuensi naural a ereda Koefisien redaan absolu dan redaan riis Julah silus dan wau yang diperluan supaya apliudo geraan berurang dari harga awal, in enjadi, in. Jawab Freuensi naural: P. lb / in, 4 / 86,6 rad dei

Faor redaan riis: r.4 / 86 Faor redaan absolu: r,5 64,8,9 Pengurangan logarii: d lb in 64,8 lb. d in,4,5,5,4 ln P Q,4 P Q,7 Freuensi ereda: rad D,6,5, d

P Q P.... Q Q ln P Q... ln,,,4 ln,4 7, 8 silus Periode ereda: T D D,4,,5 de Wau unu 8 silus: 8silus 8T D 8,5 de,6 de

Conoh 8 EI=4 KN/ = g/d L= = g K = N/ Tenuan solusi persaaan gera dari sruur pada gabar disaping. Jawab Keauan balo: EI L 4 KN, KN/, N/ Keauan balo dan pegas: K paralel balo pegas,, N/ g/d Freuensi naural:,56 rad dei

p,,,,, Keadaan redaan urang (under-daped) D 4,56 4,55i,55 Persaaan solusi gearan beban dengan redaan unu ondisi redaan urang (under-daped) adalah: e e, ACos D ACos,55 B Sin D B Sin,55 Misalan syara awal gearan pada = adalah =, dan d/d = Maa didapaan nilai onsana A =, dan B = e,,cos,55 Pengurangan sipangan seelah dei adalah,69 ali sipangan awal.

GETARAN PAKSA STRUKTUR TANPA REDAMAN Gearan pasa adalah gearan yang disebaban beban luar yang bergear Gearan bebas adalah gearan yang diaibaan beban luar pada eadaan awal saja. Selanjunya sruur bergear bebas anpa beban. P K P K K Model persaaan eseibangan: d d.. P Sin (4)

Persaaan (4) erupaan persaaan diferensial non-hoogin. Sehingga solusi persaaan geranya erdiri dari: Solusi hoogin (solusi uu) yaiu solusi yang enghasilan persaaan gera gearan bebas Solusi husus (disesuaian dengan benu beban) Benu solusi uu: ASin BCos ASin BCos (4) Benu solusi husus: d d d d X X Sin X Cos Sin (4) (44) (45)

Subsiusi persaaan solusi husus e dala persaaan eseibangan, enghasilan persaaan: X P P r (46) r (47) Diana X adalah apliudo gearan dan r adalah rasio anara freuensi beban luar dan freuensi alai Sehingga, solusi persaaan gera seara lengap yang erdiri dari solusi uu dan solusi hus adalah P ASin BCos r Sin (48)

RESONANSI DAN PEMBESARAN DINAMIS Persaaan (4) enunjuan bahwa benu solusi persaaan gera adalah superposisi dari gearan bebas dan gearan aiba beban luar. P ASin BCos r Sin Gearan bebas Gearan beban luar Pada suu eiga (aiba gearan beban luar), bila freuensi gearan luar endeai freuensi alai sruur, (r endeai ) aa nilai suu eiga ersebu aan endeai a hingga. Keadaan ini disebu resonansi. P r Sin P,9999... P,...

Nilai asiu aan erjadi bila: Sin a P P r r (47) Sipangan sais (s) Faor pebesar dinais D r (48) Kurva hubungan anara rasio freuensi dan faor pebesar dinais

Conoh 9 Suau sise epunyai = 4 lb/in dan bera benda 8,6 lb. Jia = d/d = dan gaya luar P() = os (), enuan persaaan geranya dan sesa hasilnya. Jawab Dari persaaan (4) P os Asin r Bos. P / r sin A os B sin

Freuensi naural: n g W 4(86) (8.6) rad/s Sipangan sais: X s P 4.5 in. Rasio freuensi: r.5 a P / r.5 (.5).5.5. in Gunaan ondisi awal unu enenuan A dan B. () A A P / P / ( ) B B r r,in

P r os Asin B os,os, os,os os

GETARAN PAKSA STRUKTUR DENGAN REDAMAN Model persaaan eseibangan: d d. d d P Sin (49) Solusi dari persaaan eseibangan ersebu erdiri dari solusi uu dan solusi husus.

Solusi uu (solusi persaaan gearan bebas ereda) e ACos D B Sin D Solusi husus (erganung pada benu beban luar) bisa berbenu fungsi rigonoeri aau fungsi esponen. CSin CCos Aau d d d d Ce i i Ce i Ce i (5) (5) (54) Subsiusi pers. (5) e pers. (49) C. C. i P C i C P (55) (5) (5)

Sehingga, solusi husus dapa diulis: Ce i P i e. i (56) Unu enghilangan bilangan iaginer pada ruas penyebu, aa digunaan banuan persaaan rigonoeri dan Euler.Didapaan hasil ahir: r Pe i. (57) Persaaan (57) dapa juga diulis dala benu: r P r e i (57) sais

RESONANSI PADA GETARAN PAKSA Dari persaaan (57) Pe r i r Sehingga didapaan: D r r Sipangan sais i Nilai asiu e (58) s P Pada eadaan resonansi (r = ) D (59)

Tabel Nilai Rasio Redaan pada berbagai jenis sruur berdasaran SNI-76- Tipe Bangunan Ranga baja erbua, sabungan las, dinding lenur Ranga baja, sabungan las, eaai lanai dan dinding sea Ranga baja, sabungan bau, eaai lanai dan dinding sea Ranga beon dengan dinding lenur Ranga beon dengan dinding sea Ranga beon dengan dinding baa Dinding geser beon Ranga ayu dan dinding geser Rasio Redaan,,5,,5,7,,,5

Conoh Sebuah balo pada engah benangnya eiul sebuah esin dengan bera W = lb. Balo ini erbua dari profil sandard S8 dengan benang bersih L = f dan dengan oen inersia penapang oal I = 64, = 8,4 in 4. Moor beroasi pada rp (puaran per eni), dengan eidaseibangan roornya sebesar W =4 lb pada jari-jari e = in. Berapa besar perpindahan sais jia redaan lia (redaan visous) dianggap eivalen dengan % redaan riis.

Jawab 48EI L 48 44 6 8,4 69 lb/in Freuensi naural: n g W 69(86) (6) 8,65 rad/s Freuensi beban = roasi per eni, aa 6,4rad/s,4 8,65 Rasio freuensi: r, 8 Gaya luar: P 4 Perpindahan sais:,4 r /86 P lb r / 69,8,8,,44 in

GETARAN AKIBAT BEBAN IMPULS Beban dinai ida selalu bergear periodi seperi fungsi sinus aau osinus, eapi dapa juga berubah seara a enu. Salah sau benu beban dinais adalah beban ipuls, yaiu beban yang beerja sesaa eapi dapa enibulan gearan seelah beban esebu dihilangan. Conoh benu-benu beban ipuls: P() P o r

Perepaan yang ibul aiba beban ipuls: d d Fd (6) Gearan yang dihasilan aiba beban ipuls adalah gearan bebas ereda. Sehingga, solusi persaaan geranya adalah: e ACos D B Sin D (6) d d e A D Sin D B D Cos D (6) d d 4 e A D Cos D B D Sin D (6) dengan D

Masuan syara baas: d d d d () Didapaan: A B Fd Fd Sehingga, solusi pers. Gera aiba beban ipuls unu sise dengan redaan adalah: e Fd D Sin D (64) Dan solusi persaaan gera unu sise anpa redaan: D F Fd Sin (65)

GETARAN AKIBAT BEBAN DINAMIS KOMPLEKS Beban dinais oples adalah julah dari beban ipuls, sehingga pengaruhnya adalah superposisi dari sejulah besar beban ipuls. Digunaan variabel wau beban (τ) dan wau gearan () unu enjabaran pebebanan dinais oples.

Solusi persaaan gera aiba beban ipuls sauan adalah: Fd Sin (66) Sehingga superposisi/gabungan dari sejulah beban ipuls sauan enghasilan solusi persaaan gera: FSin d (67) Benu persaaan inegral diaas disebu dengan inegral duhael/inegral onvolusi

BEBAN MERATA YANG BEKERJA TIBA-TIBA DARI = O P o P() s F F F Cos Sin d F Cos (68) Nilai asiu dari (-os ω) =. Sehingga nilai pebesaran sipangan adalah ali sipangan sais (s) Grafi hubungan pebesaran sipangan dan wau unu sise SDOF ereda

BEBAN SEGI EMPAT YANG BEKERJA DENGAN INTERVAL WAKTU TERBATAS Misal: Daerah pada saa ipuls asih beerja ( < < d),aa d = 5/4 Tn Daerah pada saa ipuls asih beerja ( > d),aa d = /8 Tn

Gearan pasa erjadi sapai inerval wau d. Seelah wau d, erjadi gearan bebas dengan syara awal posisi pada d. Solusi persaaan gera pada wau sebelu d ( < < d), F F Cos Sin d d d d d F Cos (69) Solusi persaaan gera pada saa d ( = d), F d F d Cos Sin d d (7) (7)

Solusi persaaan gera seelah wau ( > ) epunyai benu gearan bebas: ACos BSin F Cos Cos Sin Sin Faor Pebesaran Dinais: FBD F s (7) (7) Unu ( < < ), FBD Cos Cos Unu ( > ), FBD Cos Cos T T T T (74) (75)

Kurva hubungan Faor Pebesaran Dinais asiu unu osilaor a ereda yang dibebani dengan beban eraa segi epa unu wau erbaas:

BEBAN IMPULS SEGITIGA Sehingga, unu inerval wau F Solusi persaaan geranya enggunaan persaaan (66) FSin d F F F unu unu Cos Sin. (78) Unu inerval wau F Sin Cos Cos Sin. (76). (77). (79) (76)

Kurva hubungan Faor Pebesaran Dinais asiu unu osilaor a ereda yang dibebani dengan beban eraa segi iga:

Conoh Sebuah eranga baja dipengaruhi gaya horizonal pada balo. Gaya brurang seara linier dari 5 ip pada saa = enjadi nol pada saa =,6 dei.tenuan lenduan horizonal pada saa =,5 dei dan lenduan horizonal asiu (dengan anggapan bahwa olo ida berassa, balo sanga au dan redaan diabaian.

Jawab 5 EI L 6 EI L 8,8 6 8,8 565, lb in 565, 86,44 rad/s F Daa beban: F=5 ips =,6 s

Dari pers. (78) unu =,5 dei: F Cos Sin 5 565,,5,6 Cos,44,5,44,6 Sin,44,5 -,47 in Perpindahan asiu: Dari urva hubungan Faor Pebesaran Dinais asiu unu osilaor a ereda yang dibebani dengan beban eraa segi iga, T T a s,6,6,55,44,997 a,6 s dr urva didapaan,55 s F,55,55 (FBD)a 5 565,,7 in,55

Conoh Sebuah gedung yang diujuan unu endapaan gaya leda dibua odel dengan sise SDOF. Tenuan gaya leda asiu yang dapa diahan bila perpindahan dibaasi sapai 5 dan apabila : () =.4 s, () =.4 s Jawab Freuensi naural: 9 6 9 6 rad/s T,s

Berdasar urva Faor Pebesaran Dinais (FBD) unu beban segiiga: Unu =,4 s dan = 5 =,5 T FBD s,95 P s FBD,75,86 a,5 s P 9.,75 9 s P,86 5,7 Unu =,4 s dan = 5 =,5 T FBD s,9 P s FBD,9,6 a,5 s P 9.,58 9 P s 77,6,6 6 6 N N

SISTEM BANYAK DERAJAT KEBEBASAN

PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUA DERAJAT KEBEBASAN Persaaan Keseibangan Massa : d d d d Persaaan Keseibangan Massa : d d d d d. (85) d (86)

Kedua persaaan ersebu disusun dala benu aris: d d d d d d d d (87) d d C K d d M (88) Unu redaan = K d d M (89)

Solusi persaaan hoogen ersebu adalah: d d Dengan ω adalah freuensi alai gearan. Subsiusi persaaan (9) e dala persaaan (89): M K (9) Aau: K K M I (9) M D dan (9) [D] adalah aris dinais Maa diperoleh persaaan hoogen: D I (9) Yang enghasilan nilai eigen λ dan eigen veor () elalui persaaan penenu: (94) De D I

Conoh 5 Tenuan benu raga (odeshape) dari sruur disaping Jawab Maris eauan: Maris assa: M K 4 K 4

Maris dinai: M K D 4 I D 4 4 I D De,5,8 9 5 4 4 4,

,9,,744,4 Raga gearan diperoleh dengan easuan nilai freuensi alai e dala persaaan gera: I M K M K D 4 Raga,744 4,744

,,7,48,48,48,99 Raga,9 4,9,,,,, 4,

Conoh 6 Model bangunan penahan geser digunaan unu eranga seperi gabar. Tenuan freuensi naural dan benu raganya. Jawab K K

in ips L I E K in ips L EI L EI L I E K,889 in ) ( 6,8 in 8 8 ) ( 6 6 in K d g W in K d g W,554 d 86in f,7 d 86in 4 f,554,7 M,889,889,889 9,97 K

Dengan ara yang saa seperi onoh 5, didapaan hasil: D De K D M dan I 5,7 (raga ) 7, (raga ) K M I Raga Raga,,6,,7

PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN TIGA DERAJAT KEBEBASAN Gaya inersia: F F F i i i Gaya elasis: X F X X F X X F i E E (95) (96) (97) (98) (99) ()

d d d d d d d d d d d d d d d d Persaaan eseibangan unu asing-asing inga: Dala benu aris: d d d d d d d d d d d d d d C K d d M (4) () () () (5)

Unu redaan nol: d M K (6) d d d (7) Dengan ara yang saa dengan sise deraja ebebasan, didapaan nilai eigen dan veor eigen (λ): De D I (8) Perhiungan raga sruur dengan enari aris D aau invers aris K unu sruur dengan banya deraja ebebasan, sanga susah unu dilauan. Oleh arena iu, digunaan eode ierasi unu eperudah perhiungan. Meode ierasi yang biasa dipaai adalah eode STODOLA dan HOLZER.

METODE ALTERNATIF: M d d K d d M K K M (9) Nilai eigen: K M () Benu raga perpindahan sruur dapa diperoleh enggunaan persaaan (9)

Conoh 7 Suau sruur yang diodelisasian sebagai sise berderaja ebebasan iga dengan daa-daa seperi pada gabar. Tenuan freuensi naural dan benu raganya. Jawab K K K 5 lb/in 4 lb/in lb/in W W W ips 6 ips 4 ips 5,9lb.d 5,54 lb.d,6 lb.d / in / in / in

Dala benu aris: 7 4 4 9,6 5,54 5,9 M K De,6 5,54 7 4 4 5,9 9 De

6,7 45466 469,64 )],6 4( 4( )() ( ),6 )( 5,54 )[(7 5,8 (9 4 6 8,64 rad/d 6996 56,96 rad/d 44 5,7 rad/d 6,78 M K Raga :,6 5,54 7 4 4 5,9 9

Raga :,6 5,54 7 4 4 5,9 9 Raga :,6 5,54 7 4 4 5,9 9,6,6,55,84,49,896

METODE STODOLA Digunaan unu sise MDOF anpa redaan. Jia sise bergear anpa redaan, aa erjadi eseibangan anara gaya inersia dan gaya elasis. M d d K () M K () M K () K M (4) D Maris dinais

Analisa ode-ode baas: Mode erendah: D (5) Mode eringgi: E E M K (6) Mode anara S n I S (8) D n S n D (7) S Misal, unu gedung 4 lanai: Didapa dari raga yang seinga lebih rendah. Misal: aris S unu ode didapa dari benu raga ode S 4. 4... (9)

METODE HOLZER Perbedaan poo eode Sodola dan Holzer: Cara Holzer eaai perupaaan pada naural frequeny Cara Holzer dapa enenuan ode e-n yang diehendai anpa harus engeahui ode e-(n-) erlebih dahulu. Persaaan dasar ara Holzer: M K ()

Conoh 8 Suau bangunan dengan buah assa sauan = dan eauan = seperi pada gabar dianggap bergear horizonal. Tenuan benu raga sruur ersebu.

Menyusun aris eauan: K 5

5 5 5 6 K K F Maris Flesibilias: Maris assa: 4 6 6,5 M M Maris dnais: M F D 4 4 7,5 5 4 7,5 6,5 5 5 5 6 D

Benu raga dan freuensi naural dari ode : D Abil harga sebarang unu perulaan, isalnya: Ierasi-:,5, 7,5 4 5,95 5,95 5 7,5 4,5 9,95 6 6 6 4, 4,7,68,947 Ierasi-: 6 5 ds...! 7,5 7,5 4 4 4 sapai dengan nilai,68,947 6 onvergen. 6,857,857 5,5 6,857 6,644,996

Pada ierasi e-7 didapaan: 7,5 4 7,74 7,74 5 7,5 4,6485,74 6 6 6 4,9 5,5,6485,9 Benu raga Benu raga dan freuensi naural dari ode : E E E M 6 4 6 6 5 K 6 4 6 6 8 5

Abil harga sebarang unu perulaan, isalnya: Ierasi-: 6 6 4 8 4 6 6 6 5,75 Ierasi-: 6 6 4 6 6 8 5,75 6 8 4 8,5,, ds...! sapai dengan nilai onvergen.

Pada ierasi e- didapaan: 6 6,5,5 4 8,54 54 6 6 6 6 5,44 5,8 Ierasi-:,54,44 Benu raga Benu raga dan freuensi naural dari ode anara/ode (enggunaan nilai dari ode ): S,87,5

,5,87,5,87 S I S,6,5,5,5,7 6,5,87 4 4 7,5 5 4 7,5 6 S D D D Persaaan ierasi:

Ierasi :,7,5,57,57,5,5 4,65 6 6 6,6 4,6 Ierasi :,7,5,57 4,48,5,5, 4,65 6 6 6,6,9 4,6,,9,,6 Ds Sapai nilai () onvergen. 4,48 6 6 4,48,45,,5

Noe: Mode anara (ode ) unu gedung 4 lanai (gunaan nilai () dari ode ) D D S D S S S S 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ' '

METODE HOLZER Mode

PERSAMAAN GERAK DENGAN METODE ENERGI Selain dengan persaaan eseibangan, persaaan gera gearan juga dapa diurunan dengan eode energi. Berdasaran huu eealan energi aa energi gera ibul aiba perubahan dari energi regangan, energi inei dan energi redaan. Unu asus gearan bebas anpa redaan, energi yang erliba adalah energi regangan dan energi inei dari assa yang endapa perepaan. Energi regangan pada pegas yang berdeforasi dari posisi seibang adalah: E ()

P = E Energi oal: Energi inei dari assa yang endapa perepaan : V dv d d d dv d d d () arena variasi energi saa dengan nol, aa didapa persaaan d () d ()

Energi regangan pada balo aau iang anilever dengan perpindahan ujung epa assa erpusa X adalah: X = X y E L l d // EI dy EI( X ) dy dy KX (4) K L // EI dy (5) K = onsana pegas balo dinyaaan dala fungsi raga

Besar energi inei jia assa erpusa diujung adalah: V dv d d d X (6) dengan prinsip eealan energi, didapa persaaan eseibangan: KX d d X (7)

MODEL GERAK BENDA KAKU DAN TUMPUAN ELASTIS y L y X (8) L X() Geraan sruur, selain disebaban sifa elasis sruur, juga disebaban sifa elasis upuannya. Bila sruur dianggap au, aa sipangan salah sau ii dapa digunaan unu enghiung sipangan di ii lain. Jia pusa assa pada posisi y, aa perepaan assa adalah: d d d d y L X y L d X d (9)

Sehingga, persaaan eseibangan enjadi: y L y L d X d y d X d KXL KX () () X Asin L y B os () Conoh 9 San Teni gepa hal 77

Sebuah balo au erdiri dari upuan sendi dan pegas, dua assa dan sau redaan. Jia oordina uu diwaili oleh sipangan X, aa sipangan dari assa adalah (-,5X), sipangan assa adalah (,5X) dan sipangan redaan sebesar (,5X), aa didapa persaaan gera: d X d X dx,5 a,5 a,5 a 4a X d d d () Aau:,5 a d X dx a d d 4a X Aau: M * d X d C * dx d K * X (5) (4) Diana M* adalah assa uu, C* adalah redaan uu dan K* adalah eauan bersaa.

SISTEM MASSA TERDISTRIBUSI Tida seua bangunan dapa diodelan dengan sise assa erpusa pada beberapa ii. Beberapa bangunan (seperi enara), eilii asa yang erdisribusi pada seluruh bangunan. Naun sise ini eap dapa bergear dengan beberapa raga gear Pada sise assa erdisribusi ini, fungsi raga gear dinyaaan dala rasio erhadap salah sau ii paoan yaiu: X(y,) = f(y).x () (6) f(y) adalah fungsi raga, X(y,) adalah fungsi gearan aau perpindahan pada ii y, X () adalah fungsi gearan aau perpindahan pada ii paoan yang ewaili gearan bersaa

Sipangan pada ii paoan X, eudian dinyaaan dala persaaan gera haronis yaiu: X Asin (7) Bos jia fungsi raga dieahui dan ini ida dipengaruhi oleh variabel-, aa persaaan gera dapa dinyaaan dala oordina uu yaiu X. Unu enari assa uu, redaan uu dan eauan uu, digunaan eode eergi

onoh sebuah olo anilever prisais dengan assa dan redaan erdisribusi Geraan selaa gearan adalah: X(y,) = f(y)x () (8) V H Energi regangan aiba sipangan elasis adalah: EI dy EI Energi ini harus saa dengan energi regangan eauan uu K * yaiu: V K * X d dy (9) (4) d dy f dy X

Dari persaaan energi ini dapa diperoleh nilai eauan uu: H * d f K EI dy (4) dy Dengan ara yang saa didapa nilai redaan uu C * dan assa uu M * C H df dy * * (4) M f dy dy H (4) Persaaan gearan bebas sisi assa dan redaan erdisribusi searang dapa dinyaaan dala persaaan gera sau deraja ebebasan yaiu M * d d X C Berdasaran fungsi raga yang dipilih, persaaan ini berlau unu raga peraa aau raga yang lebih inggi. * dx d K * X (44)

dipilih fungsi raga peraa H y y f os H y H dy df sin H y H dy f d os 8 os * H dy H y M H Massa uu: 4 4 * os H EI dy H y H EI K H Keauan uu: H dy H y H C H 8 sin * Redaan uu:

Selanjunya persaaan gera aan eilii odel saa dengan odel bandul sau deraja ebebasan dengan redaan. M *, K *, dan C * adalah assa uu, eauan-uu dan redaan uu dari sise Besaran uu: Massa uu ini nilainya berganung pada fungsi raga dan fungsi assa. Jadi ada perbedaan anara assa uu pada raga peraa dan raga edua. Dengan eaai hasil dari sise bandul sederhana unu gearan bebas, aa aan diperoleh nilai freuensi alai sisi erdisribusi K M Tanpa redaan * (45) * D K M * * C * M Dengan redaan * (46)

Raga peraa anpa redaan M H * y H os dy H 8 K * H EI 4 4 y EI os dy H H H

KOMBINASI RAGAM Gearan aual sruur erupaan obinasi beberapa raga gearan Salah sau ara engobinasian elalui analisis raga Analisis raga didasaran pada sifa orogonal raga yang erupaan eigen-veor dari persaaan gera siulan sisi dengan banya deraja ebebasan. Sifa orogonal anara dua raga dinyaaan dala benu: (47) sifa orogonal raga-i dan raga-j dengan assa (48) sifa orogonal raga-i dan raga-j dengan eauan

Persaaan eseibangan sise dengan banya deraja ebebasan: M d d K C d d (49) Diana: (5) (5) (5)

(5) (54) (55) Perepaan Aiba Beban Gepa Gaya inersia = d d X g X (56) Merupaan variabel yang dipengaruhi oleh perepaan pondasi

Gaya elasis = K(X + Xg) (X + Xg) = K(X - X) (Merupaan variabel yang ida dipengaruhi oleh sipangan pondasi) Sipangan relaif dan sipangan absolu Jia perepaan erjadi aiba gepa aau pergeraan horizonal anah aa () adalah nilai perpindahan relaif, dan (X) adalah nilai perpindahan absolu. Hubungan eduanya adalah: X g (57) X X X Perpindahan absolu epengaruhi gaya inersia, dan perpindahan relaif epengaruhi gaya elasis dan gaya redaan anar inga. g g

Maris Persaaan Keseibangan: d d C K d d d d M g d d M d d C K d d M g (58) (59) ) ( d d d d d d g Persaaan eseibangan assa : Ds Sehingga persaaan eseibangan assa oal: d d d d d d d d d d d d d d d d d d g g g (6) (6)

PERCEPATAN GEMPA PADA SDOF Gaya gepa pada bangunan berasal dari gaya inersia arena assa bagunan endapa persepaan anah. Jia perepaan anah yang dirabaan oleh gepa berubah enuru fungsi wau, aa gaya gepa juga berubah. g FD FE Fi Persaaan eseibangan: d d d d d g d d d d d d X F F F D E d X d d d g g i g d. (84) d d. (8). (8). (8) d d. (8)

Salah sau eode unu enari besarnya nilai g adalah eaai urva speru respon sise elasis unu gepa El Cenro 94..

Besarnya peerpindahan anah juga dapa diari dengan enggunaan speru dasar renana yang dinoralisasi unu, g

Conoh Sebuah sruur dengan odel sise assa-pegas seperi gabar, dianggap dipengaruhi pada penyoongnya oleh gepa bui El Cenro 94. Anggaplah sruur ini bersifa elasis dan gunaan grafi speru respon yang epa unu endapaan perpindahan relaif asiu anara assa dan penyoong. Juga hiung gaya asiu yang beerja pada pegas. Abaian redaan.

Jawab Freuensi naural: f,778 8 86 4,44 spd,778 rad/s Dari gabar respon speru, didapaan SD = in F s a K S D 8 88 ips

Conoh Sebuah sruur dengan odel sise berderaja ebebasan unggal epunyai freuensi naural T =,5 s. Gunaan eode speru respon unu enenuan perepaan absolu asiu, perpindahan relaif asiu dan eepaan palsu asiu pada daerah elasis unu: a) Geraan pondasi yang saa dengan gepa bui El Cenro 94 b) Speru renana dengan perepaan anah asiu sebesar,g (abaian redaan). Jawab a) Dari urva respon speru gepa El Cenro dengan f = /T = /,5 = spd S S S D V a f 4 in 5, in/de,6 g,566 rad/s b) Dari urva respon speru renana dengan f = spd, ξ = dan perepaan anah asiu,g S S S D V a 6,6,,, 4,8 in 6 in/de,96 g

PERCEPATAN GEMPA PADA MDOF Conoh W = 5 lb/f W W = lb/f W 45 ' ' 5' Bangunan eranga baja sederhana au. Bera lanai dan dinding dianggap erasu bera sruur lainnya. Bangunan diodelan sebagai bangunan penahan geser dengan spesifiasi sruur erera pada gabar. Bila eranga ersebu dipengaruhi seara iba-iba oleh perepaan onsan sebesar,8g pada dasar pondasi. Hiung besarnya perpindahan asiu yang erjadi pada asing-asing lanai. Jawab

Keauan olo : K K K E I L.... 6 5. 6..48,6..6,. 7 lb/in 44 lb/in Dengan ara yang saa seperi pada onoh 5 aau 6, didapaan harga freuensi naural dan benu raga: 4,8 rad / d 8,6,9 rad / d,69

Pola noral dari benu raga:,94,8,687,647,8,8 4,,6,647 4,,8,69) 66( 6(). ode 4, 66(,6) 6(). ode. a a a a a n j n j n j ij

Mendapa perepaan onsan sebesar,8 g paa dasar pondasi: d d g,8.86 8,47 in de Faor parisipasi: a a a a Persaaan eseibangan: a a a a 4,,6 d d d d d d g d d g g.. g.. g g.. y s.. y s

Sehingga,.. g.. g 4g 8g 8,47 8,47 Masuan ondisi baas dengan eisalan perpindahan dan eepaan pada awal geraan =. Karena gaya ipuls bersifa onsan, aa persaaan respon perpindahan adalah: P() P o y ys os g g 8,47 4 8,47 8 os,8 os,89

Perpindahan asiu yang erjadi: u u u u a a u g g,75 a,74 os,8 a g,874 g,9 os,8,9 os,89,5os,89 u a a g a a g a u a g a a g os a a g a u u a a,49 in,8 in