BAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima

BAB II KETERBAGIAN 2.1 Pendahuluan Pada pertemuan minggu ke-3, dan 4 ini dibahas konsep keterbagian, algoritma pembagian dan bilangan prima pada bilangan bulat. Relasi keterbagian pada himpunan semua bilangan bulat memunculkan banyak sifat menarik. Dari relasi ini dapat didefinisikan pengertian hasil bagi dan sisa pembagian, sehingga dapat membangkitkan operasi pembagian bilangan bulat dan konsep modulo. Dengan mempelajari bab ini, diharapkan: 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima 3. Mahasiswa bisa menjelaskan pengertian algoritma pembagian 4. Mahasiswa bisa menerapkan sifat-sifat keterbagian dan algoritma pembagian pada masalah bilangan bulat 2.2 Keterbagian Sejak di sekolah dasar telah dikenal beberapa operasi pada bilangan bulat, diantaranya penjumlahan(+), pengurangan( ), perkalian( atau ) dan pembagian(: atau /). Untuk sebarang dua bilangan bulat berlaku jumlah, selisih dan hasil kalinya masing-masing merupakan bilangan bulat, tetapi pembagian bilangan yang satu dengan yang lain belum tentu merupakan bilangan bulat. Definisi 2.2.1. Diberikan bilangan bulat m dan n (n 0). Bilangan m dikatakan habis dibagi oleh n atau n membagi m, ditulis n m, jika terdapat bilangan bulat k dengan sifat m = kn. Jika m habis dibagi oleh n, maka m disebut kelipatan dari n dan n disebut pembagi atau faktor dari m. Jika m tidak habis dibagi oleh n, dituliskan n m. Karena 0 = 0.n, diperoleh bahwa n 0 untuk setiap bilangan bulat n. Sebaliknya, 0 m untuk 11

setiap bilangan bulat tak nol m, sebab m 0 = k.0 untuk setiap bilangan bulat k. Dari definisi keterbagian diperoleh beberapa sifat dasar sebagai berikut. Teorema 2.2.2. Diberikan bilangan bulat x, y dan z. a. x x; b. Jika x y dan y z, maka x z; c. Jika x y dan y 0, maka x y ; d. Jika x y dan x z, maka x αy + βz untuk setiap bilangan bulat α dan β; e. Jika x y dan x y ± z, maka x z; f. Jika x y dan y x, maka x = y ; g. Jika x y dan y 0, maka y x y; h. Untuk z 0 berlaku x y jika dan hanya jika xz yz. Diperhatikan bahwa untuk sebarang bilangan bulat tak nol n, faktor positif dari n ada sebanyak ganjil jika dan hanya jika n merupakan kuadrat sempurna, yaitu n = m 2 untuk suatu bilangan bulat m. (Jika suatu bilangan bulat tidak habis dibagi oleh sebarang bilangan kuadrat, maka bilangan tersebut disebut square free.) Hal ini dikarenakan jika n bukan kuadrat sempurna, maka semua faktor positif dari n dapat dinyatakan ke dalam pasangan-pasangan berbentuk (x, n x ). Contoh 2.2.3. Tentukan semua bilangan bulat n sehingga n + 20 n 13 merupakan bilangan bulat. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa n + 20 n 13 = n 13 + 33 n 13 = 1 + 33 n 13. Jika n + 20 n 13 bulat, maka 33 bulat. Artinya n 13 33 atau n 13 faktor n 13 dari 33. Karena faktor dari 33 adalah 33, 11, 3, 1, 1, 3, 11 dan 33, maka diperoleh nilai n yang mungkin adalah 20, 2, 10, 12, 14, 16, 24 atau 46. Dapat 12

dicek bahwa semua nilai n tersebut memenuhi kondisi yang diberikan. Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 20, 2, 10, 12, 14, 16, 24 dan 46. Contoh 2.2.4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan sifat 2 m + 3 n = 1. Penyelesaian. Misalkan bilangan bulat positif n dan m memenuhi maka berlaku 2n + 3m = mn (m 2)(n 3) = 6. 2 m + 3 n = 1, Diperoleh bahwa m 2 dan n 3 merupakan faktor dari 6. Karena m bilangan bulat positif, maka m 2 > 2. Diperoleh nilai m 2 yang mungkin adalah 1, 2, 3 atau 6, sehingga nilai m yang mungkin adalah 3, 4, 5 atau 8. Akibatnya diperoleh pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (3, 9), (4, 6), (5, 5) dan (8, 4). Contoh 2.2.5. Pada suatu ruangan terdapat 20 kotak kosong, bernomor 1 sampai 20. Sebanyak 20 anak secara bergiliran melakukan ekperimen terhadap kotakkotak tersebut. Anak pertama memasukkan satu bola ke masing-masing 20 kotak tersebut. Anak kedua mengambil bola yang ada pada kotak bernomor 2, 4,..., 20. Anak ketiga melakukan eksperimen terhadap kotak-kotak bernomor 3, 6,..., 18: jika pada kotak tidak terdapat bola, maka dia memasukkkan satu bola ke kotak tersebut dan jika pada kotak terdapat bola, maka dia mengambil bola pada kotak tersebut. Anak ke i melakukan eksperimen terhadap kotak-kotak bernomor kelipatan i: jika pada kotak tidak terdapat bola, maka dia memasukkkan satu bola ke kotak tersebut dan jika pada kotak terdapat bola, maka dia mengambil bola pada kotak tersebut. Tentukan banyak kotak yang berisi bola setelah semua anak menyelesaikan eksperimennya? Penyelesaian. Diperhatikan bahwa anak ke i melakukan eksperimen terhadap kotak bernomor j jika dan hanya jika i j. Berdasarkan sifat g. pada Teorema 2.2.2, hal ini terjadi jika dan hanya jika anak ke j melakukan eksperimen terhadap kotak tersebut. Akibatnya, hanya kotak bernomor 1, 4, 9 dan 16 yang i 13

dikenai eksperimen sebanyak bilangan ganjil, sehingga hanya kotak-kotak tersebut yang berisi bola setelah semua anak menyelesaikan eksperimennya. Jadi, jawabannya adalah 4. Berikut diberikan suatu karakteristik terkait keterbagian dari hasil kali bilangan bulat berurutan. Teorema 2.2.6. Hasil kali n 1 bilangan bulat berurutan selalu habis dibagi oleh n!. (n! = 1 2... n) Bukti. Pertama-tama, akan ditunjukkan perkalian n bilangan bulat positif berurutan habis dibagi oleh n!. Akan digunakan induksi matematika untuk membuktikannya. Basis induksi. Untuk n = 1, cukup jelas bahwa perkalian 1 bilangan bulat positif pasti habis dibagi oleh 1. Jadi, pernyataan benar untuk kasus n = 1. Langkah induksi. Diasumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu perkalian k bilangan bulat positif berurutan habis dibagi oleh k!. Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk kasus n = k + 1, yaitu perkalian k + 1 bilangan bulat positif berurutan habis dibagi oleh (k+1)!. Misalkan k+1 bilangan berurutan dimaksud adalah m, m+1, m+2,..., m+k untuk suatu bilangan bulat positif m. Akan ditunjukkan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif m berlaku m(m + 1)(m + 2)... (m + k) habis dibagi oleh (k + 1)!. Basis induksi. Untuk m = 1, diperoleh 1(1 + 1)(1 + 2)... (1 + k) = (k + 1)! = 1.(k + 1)!. Artinya, 1(1 + 1)(1 + 2)... (1 + k) habis dibagi oleh (k + 1)!. Jadi, pernyataan benar untuk m = 1. Langkah induksi. Diasumsikan pernyataan benar untuk m = p, yaitu p(p + 1) (p + 2)... (p + k) habis dibagi oleh (k + 1)!. Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk kasus m = p + 1, yaitu (p + 1)(p + 2)(p + 3)... (p + k + 1) habis dibagi oleh (k + 1)!. Diperhatikan bahwa (p + 1)(p + 2)(p + 3)... (p + k + 1) = (p + 1)(p + 2)... (p + k)p +(p + 1)(p + 2)... (p + k)(k + 1) = p(p + 1)(p + 2)... (p + k) +(k + 1)(p + 1)(p + 2)(p + 3)... (p + k). 14

Berdasarkan asumsi induksi, diperoleh p(p+1)(p+2)... (p+k) habis dibagi (k + 1)!. Karena (p + 1)(p + 2)(p + 3)... (p + k) merupakan perkalian k bilangan bulat positif berurutan, maka (p + 1)(p + 2)(p + 3)... (p + k) habis dibagi k!, sehingga diperoleh (k + 1) (p + 1)(p + 2)(p + 3)... (p + k) habis dibagi (k +1)!. Jadi, (p+1)(p+2)(p+3)... (p+k +1) habis dibagi (k +1)!. Terbukti pernyataan benar untuk m = p + 1. Jadi, terbukti bahwa perkalian n bilangan bulat positif berurutan habis dibagi oleh n!. Selanjutnya, jika diantara n bilangan bulat berurutan terdapat 0, maka hasil kalinya sama dengan 0, sehingga pasti habis dibagi oleh n!. Untuk kasus, jika n bilangan berurutan tersebut semua merupakan bilangan negatif, dapat dibuktikan dengan cara yang sama seperti bagian pertama dengan mengalikan hasil kalinya dengan ( 1) n. Contoh 2.2.7. Tunjukkan bahwa n 6 n 2 selalu habis dibagi oleh 60 untuk semua bilangan bulat positif n. Penyelesaian. Diberikan sebarang bilangan bulat positif n. Diperhatikan bahwa n 6 n 2 = n 2 (n 4 1) = (n 1)n 2 (n + 1)(n 2 + 1) = (n 1)n 2 (n + 1)(n 2 4) + 5(n 1)n 2 (n + 1) = (n 2)(n 1)n(n + 1)(n + 2)n + 5(n 1)(n 2 2n)(n + 1) +10(n 1)n(n + 1) = (n 2)(n 1)n(n + 1)(n + 2)n + 5(n 2)(n 1)n(n + 1) +10(n 1)n(n + 1). Diperhatikan bahwa 5! (n 2)(n 1)n(n+1)(n+2), 4! (n 2)(n 1)n(n+1) dan 3! (n 1)n(n+1). Karena 5! = 120, 4! = 24 dan 3! = 6, maka diperoleh 120 (n 2) (n 1)n(n + 1)(n + 2)n, 120 5(n 2)(n 1)n(n + 1) dan 60 10(n 1)n(n + 1). Karena 60 120, maka 60 (n 2)(n 1)n(n+1)(n+2)n, 60 5(n 2)(n 1)n(n+1) dan 60 10(n 1)n(n + 1), sehingga diperoleh 60 n 6 n 2. Berdasarkan konsep keterbagian terkait bilangan 2, himpunan bilangan 15

bulat yang dinotasikan Z dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian, himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan genap: {±1, ±3, ±5,...} dan {0, ±2, ±4,...}. Beberapa konsep dasar yang dimiliki oleh bilangan ganjil dan genap sebagai berikut: a. Bilangan ganjil berbentuk 2k + 1 untuk suatu bilangan bulat k; b. Bilangan genap berbentuk 2k untuk suatu bilangan bulay k; c. Jumlahan dua bilangan ganjil adalah bilangan genap; d. Jumlahan dua bilangan genap adalah bilangan genap; e. Jumlahan bilangan ganjil dan bilangan genap adalah bilangan genap; f. Perkalian dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil; g. Perkalian dua bilangan bulat merupakan bilangan genap jika dan hanya jika salah satunya merupakan bilangan genap. Konsep ini sangat bermanfaat dalam menyelesaikan beberapa masalah teori bilangan. Contoh 2.2.8. Diberikan bilangan bulat positif n 1. Tunjukkan bahwa a. 2 n dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua bilangan ganjil berurutan. b. 3 n dapat dinyatakan sebagai jumlahan tiga bilangan bulat berurutan. Penyelesaian. Untuk a., persamaan 2 n = (2k 1)+(2k +1) memberikan penyelesaian k = 2 n 2, sehingga diperoleh 2 n = (2 n 1 1) + (2 n 1 + 1). Untuk b., persamaan 3 n = (s 1)+s+(s+1) memberikan penyelesaian s = 3 n 2, sehingga diperoleh 3 n = (3 n 1 1) + 3 n 1 + (3 n 1 + 1). Contoh 2.2.9. Diberikan bilangan ganjil a, b dan c. Tunjukkan bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 bukan bilangan bulat. 16

Penyelesaian. Diandaikan bilangan bulat n merupakan akar persamaan ax 2 + bx+c = 0. Diperoleh an 2 +bn+c = 0. Akan ditinjau dua kasus, yaitu n bilangan genap dan n bilangan ganjil. Kasus n bilangan genap. Karena a dan b bilangan ganjil, maka an 2 dan bn merupakan bilangan ganjil, sehingga diperoleh an 2 + bn bilangan genap. Karena c bilangan ganjil, maka an 2 +bn+c bilangan ganjil, sehingga diperoleh an 2 +bn+c 0 (0 genap), suatu kontradiksi. Kasus n bilangan ganjil. Karena a dan b bilangan ganjil, maka an 2 dan bn merupakan bilangan genap, sehingga diperoleh an 2 + bn bilangan genap. Karena c bilangan ganjil, maka an 2 +bn+c bilangan ganjil, sehingga diperoleh an 2 +bn+c 0 (0 genap), suatu kontradiksi. Jadi, akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 bukan bilangan bulat. Contoh 2.2.10. Diberikan k bilangan genap. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan ganjil n 1, n 2,..., n k dengan sifat 1 = 1 + 1 +... + 1. n 1 n 2 n k Penyelesaian. Diandaikan terdapat bilangan ganjil n 1, n 2,..., n k dengan sifat 1 = 1 + 1 +... + 1. n 1 n 2 n k Dengan menyamakan penyebut pada ruas kanan, diperoleh n 1 n 2... n k = s 1 + s 2 +... + s k dengan s 1, s 2,..., s k bilangan ganjil. Diperhatikan bahwa ruas kiri merupakan bilangan ganjil, sedangkan ruas kanan merupakan bilangan genap, suatu kontradiksi. 2.3 Algoritma Pembagian Berikut diberikan salah satu konsep yang disebut Algoritma Pembagian yang memiliki peranan penting dalam teori bilangan. Teorema 2.3.1 (Algoritma Pembagian). Untuk setiap bilangan bulat positif a dan b terdapat dengan tunggal pasangan bilangan bulat non-negatif (q, r) dengan sifat b = aq + r dan r < a. Lebih lanjut, q disebut hasil bagi dan r disebut sisa ketika b dibagi oleh a. 17

Bukti. Diberikan sebarang bilangan bulat positif a dan b. Pertama-tama, ditunjukkan eksistensi dari pasangan (q, r). Diperhatikan bahwa ada 3 kasus yang mungkin yaitu a < b, a = b atau a > b. 1. Kasus a > b. Dipilih q = 0 dan r = b < a, diperoleh (q, r) = (0, b) memenuhi kondisi b = aq + r dan r < a. 2. Kasus a = b. Dipilih q = 1 dan r = 0 < a, diperoleh (q, r) = (1, 0) memenuhi kondisi b = aq + r dan r < a. 3. Kasus a < b. Diperhatikan bahwa terdapat bilangan bulat positif n sehingga na > b. Dipilih q bilangan bulat positif terkecil dengan sifat (q + 1)a > b, maka berlaku qa b. Dipilih r = b aq. Diperoleh (q, r) memenuhi kondisi b = aq + r dan 0 r < a. Selanjutnya, akan ditunjukkan ketunggalan pasangan (q, r) tersebut. Diandaikan (q, r ) memenuhi kondisi b = aq + r dan 0 r < a. Diperoleh aq + r = aq + r, ekuivalen dengan a(q q ) = r r, yang berarti a r r. Akibatnya r r a atau r r = 0. Karena 0 r, r a, maka r r < a. Diperoleh r r = 0, artinya r = r, sehingga berakibat q = q. Contoh 2.3.2. Diketahui bilangan 1059, 1417 dan 2312 memiliki sisa yang sama ketika dibagi oleh d > 1. Tentukan nilai d. Penyelesaian. Misalkan sisanya adalah r. Berdasarkan Algoritma Pembagian, diperoleh 1059 = q 1 d + r 1417 = q 2 d + r 2312 = q 3 d + r, untuk suatu bilangan bulat q 1, q 2 dan q 3. Diperoleh (q 2 q 1 )d = 1417 1059 = 358 = 2.179 (q 3 q 1 )d = 2312 1059 = 1253 = 7.179 (q 3 q 2 )d = 2312 1417 = 895 = 5.179, 18

yang berarti d merupakan faktor dari 2.179, 7.179 dan 5.179. Karena d > 1, maka diperoleh d = 179. Contoh 2.3.3. Diberikan bilangan bulat positif n. Tunjukkan bahwa 3 2n +1 habis dibagi oleh 2 tetapi tidak habis dibagi oleh 4. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa 3 2n merupakan bilangan ganjil, sehingga diperoleh 3 2n + 1 bilangan genap, yang berarti habis dibagi oleh 2. Karena 3 2n = (3 2 ) 2n 1 = 9 2n 1 = (8 + 1) 2n 1, maka berdasarkan teorema Binomial Newton: ( ) ( ) ( ) m m m (x + y) m = x m + x m 1 y + x m 2 y 2 +... + xy m 1 + y m, 1 2 m 1 dengan mengambil m = 2 n 1, x = 8 dan y = 1 diperoleh ( ) ( ) ( ) 2 n 1 2 (8 + 1) 2n 1 = 8 2n 1 + 8 2n 1 1 n 1 2 + 8 m 2 n 1 +... + 8 + 1. 1 2 2 n 1 1 Akibatnya 3 2n + 1 = (8 + 1) 2n 1 + 1 = (8K + 1) + 1 = 4(2K) + 2 untuk suatu bilangan bulat positif K. Jadi, 3 2n +1 habis dibagi oleh2 tetapi tidak habis dibagi oleh 4. Algoritma Pembagian tidak hanya berlaku untuk bilangan bulat positif saja, tetapi dapat diperluas untuk bilangan bulat. Bukti diserahkan sebagai latihan. Teorema 2.3.4. Untuk setiap bilangan bulat a dan b (a 0), terdapat dengan tunggal pasangan bilangan bulat non-negatif (q, r) dengan sifat b = aq + r dan 0 r < a. 2.4 Bilangan Prima Pada bagian ini dijelaskan mengenai konsep bilangan prima dan bilangan komposit. Definisi 2.4.1. Bilangan bulat p > 1 dikatakan prima jika untuk setiap bilangan bulat d dengan d > 1, d p berlaku d p. Bilangan bulat n > 1 yang tidak prima dikatakan komposit. 19

Diperhatikan bahwa setiap bilangan bulat n > 1 mempunyai setidaknya satu faktor prima. Untuk n prima, faktor primanya adalah n sendiri. Untuk n bukan prima, misalkan a adalah faktor positif terkecil dari n. Diperoleh a merupakan bilangan prima, sebab jika a bukan prima, maka a = a 1 a 2 untuk suatu 1 a 1, a 2 < a dan a 1 n, kontradiksi dengan fakta bahwa a faktor positif terkecil dari n. Berikut diberikan suatu sifat yang bermanfaat dalam menentukan suatu bilangan adalah prima atau tidak. Teorema 2.4.2. Diberikan bilangan bulat n > 1. Jika n komposit, maka n memiliki faktor prima yang kurang dari atau sama dengan n. Bukti. Diketahui n komposit. Misalkan n = ab untuk suatu a, b dengan 1 < a b dan a faktor positif terkecil dari n. Diperoleh n = ab a 2, sehingga diperoleh a n. Diperhatikan bahwa 2 merupakan bilangan prima genap dan semua bilangan genap lebih dari dua merupakan bilangan komposit. Bilangan prima yang lain merupakan bilangan ganjil. Bilangan-bilangan prima yang kurang dari 50 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Contoh 2.4.3. Diketahui p dan q bilangan prima yang memenuhi p + q = 2013 dan p > q. Tentukan nilai dari p q. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa salah satu diantara p dan q bilangan genap sebab jika keduanya ganjil atau keduanya genap, maka p + q genap, kontradiksi dengan fakta bahwa p + q = 2013 bilangan ganjil. Karena bilangan prima genap hanya 2 dan p > q, maka diperoleh q = 2, sehingga didapat p = 2011. Diperhatikan bahwa 2011 tidak habis dibagi oleh sebarang bilangan prima yang kurang dari 2011, yaitu 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41 atau 43. Jadi, 2011 merupakan bilangan prima. Akibatnya diperoleh p q = 2011 2 = 2009. Contoh 2.4.4. Tentukan semua bilangan bulat positif n dengan sifat 3n 4, 4n 5 dan 5n 3 merupakan bilangan prima. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa jumlah ketiga bilangan tersebut adalah bilangan genap, maka setidaknya salah satu diantaranya merupakan bilangan 20

genap. Satu-satunya bilangan prima genap adalah 2. Dari ketiga bilangan tersebut, hanya 3n 4 dan 5n 3 yang mungkin bernilai genap. Untuk kasus 3n 4 = 2, diperoleh n = 2. Untuk kasus 5n 3 = 2, diperoleh n = 1. Dapat dicek bahwa hanya n = 2 yang memenuhi kondisi ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan prima. Contoh 2.4.5. Tunjukkan bahwa n 4 + 4 merupakan bilangan prima jika dan hanya jika n = 1. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa n 4 + 4 = n 4 + 4n 2 + 4 4n 2 = (n 2 + 2) 2 (2n) 2 = (n 2 2n + 2)(n 2 + 2n + 2) = ((n 1) 2 + 1)((n + 1) 2 + 1). Diperhatikan bahwa untuk n > 1 berlaku (n 1) 2 + 1 > 1 dan (n + 1) 2 + 1 > 1. Akibatnya, n 4 + 4 bukan bilangan prima untuk n > 1. Contoh 2.4.6. Carilah 20 bilangan bilangan bulat berurutan yang masing-masing merupakan bilangan komposit. Penyelesaian. Diperhatikan 20 bilangan berurutan berikut 21!+2, 21!+3,..., 21!+ 21. Untuk setiap i = 2,..., 21, 21! + i merupakan bilangan komposit sebab i (20! + i). Lebih dari 2000 tahun yang lalu, Euclid telah menunjukkan bahwa ada tak hingga banyak bilangan bulat positif yang merupakan bilangan prima. Teorema 2.4.7. Ada tak hingga banyaknya bilangan prima. Bukti. Diandaikan bilangan prima hanya berhingga banyak, katakan p 1 < p 2 <... < p m. Diperhatikan bilangan P = p 1 p 2... p m + 1. Jika P prima, maka P > p m, kontradiksi dengan fakta bahwa p m bilangan prima terbesar. Akibatnya P haruslah komposit. Artinya P memiliki faktor prima, katakan p > 1. Diperhatikan bahwa p = p k untuk suatu k {1, 2,..., m}. Diperoleh bahwa p k p 1 p 2... p k... p m + 1. Artinya p k 1, suatu kontradiksi. Jadi, ada tak hingga 21

banyaknya bilangan prima. Walaupun telah diketahui bahwa banyaknya bilangan prima ada tak berhingga, namun sampai saat ini masih belum ditemukan suatu formula untuk menentukan semua bilangan prima yang ada. Soal Latihan 1. Tunjukkan bahwa 1 5 +2 5 +...+99 5 +100 5 habis dibagi 10100, namun tidak habis dibagi 3. 2. Diketahui p dan p + 2 adalah bilangan prima yang lebih besar dari 3. Tentukan sisa dari p ketika dibagi oleh 6. 3. Tentukan bilangan bulat positif n terbesar sehingga n + 10 habis membagi n 3 + 100. 4. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n berlaku n 5 5n 3 +4n habis dibagi oleh 120. 5. Diketahui x, y dan z adalah bilangan prima yang memenuhi persamaan 34x 51y = 2012z. Tentukan nilai dari x + y + z. 6. Tentukan semua bilangan bulat positif n sehingga n 4 + 4 n merupakan bilangan prima. 7. Diketahui m dan n adalah bilangan bulat yang memenuhi m 2 + 3m 2 n 2 = 30n 2 + 517. Tentukan nilai dari 2m 2 n 2. 8. Tunjuukan bahwa jika ab = 1, maka a 4 +4b 4 merupakan bilangan komposit. 9. Diberikan polinomial p(x) = x n +a 1 x n 1 +...+a n 1 x+a n dengan a 1, a 2,..., a n bilangan bulat. Jika p(0) dan p(1) keduanya bilangan ganjil, tunjukkan bahwa p(x) tidak memiliki akar bulat. 22

10. Tentukan semua bilangan positif p dengan sifat p, p+8 dan p+16 merupakan bilangan prima. 11. Tentukan semua bilangan bulat n yang memenuhi 3n2 + 4n + 5 2n + 1 bulat. bilangan 12. (a) Tunjukkan bahwa jika bilangan bulat a dan b bersisa 1 ketika dibagi oleh 4, maka ab bersisa 1 ketika dibagi oleh 4. (b) Tunjukkan ada tak hingga banyaknya bilangan prima berbentuk 4k 1. 13. Tentukan semua pasangan bilangan prima berbeda (p, q) sehingga p 2 +7pq+ q 2 merupakan bilangan kuadrat sempurna. 23

BAB III FAKTORISASI PRIMA 3.1 Pendahuluan Sebagai kelanjutan dari konsep bilangan prima dan keterbagian, pada bagian ini dibahas mengenai faktorisasi prima pada bilangan bulat dan aplikasinya untuk menentukan banyak faktor dan jumlah faktor suatu bilangan bulat. Materi ini disampaikan pada Minggu ke-5 dan 6. Dengan mempelajari bab ini, diharapkan: 1. Mahasiswa bisa melakukan faktorisasi prima sebarang bilangan bulat. 2. Mahasiswa bisa menentukan banyak faktor bilangan bulat 3. Mahasiswa bisa menentukan jumlah faktor-faktor bilangan bulat 4. Mahasiswa bisa menerapkan sifat-sifat faktorisasi prima masalah bilangan bulat 3.2 Teorema Fundamental Aritmatik Salah satu sifat dasar dari teori bilangan terkait dengan faktor prima diberikan sebagai berikut. Teorema 3.2.1 (Teorema Fundamental Aritmatik). Setiap bilangan bulat n > 1 dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima secara tunggal. Bukti. Diberikan bilangan bulat n > 1. Pertama-tama, akan ditunjukkan eksistensinya. Misalkan p 1 faktor prima dari n. Jika p 1 = n, maka n = p 1 merupakan faktorisasi prima dari n. Jika p 1 < n, maka n = p 1 r 1 dengan r 1 > 1. Jika r 1 prima, maka n = p 1 p 2 dengan p 2 = r 1 merupakan faktorisasi yang dimaksud. Jika r 1 komposit, maka r 1 = p 2 r 2 dengan p 2 prima dan r 2 > 1, sehingga n = p 1 p 2 r 2. Jika r 2 prima, maka n = p 1 p 2 p 3 dengan p 3 = r 3 merupakan faktorisasi yang dimaksud. Jika r 2 komposit, maka secara rekursif diperoleh barisan bilangan bulat 24

r 1 > r 2 >... 1. Setelah sejumlah langkah, diperoleh p k+1 = 1, sehingga didapat n = p 1 p 2... p n merupakan faktorisasi yang dimaksud. Selanjutnya, akan ditunjukkan ketunggalannya. Diasumsikan n memiliki dua faktorisasi prima berbeda, yaitu: n = p 1 p 2... p k = q 1 q 2... q h dimana p 1, p 2,..., p k, q 1, q 2,..., q h bilangan prima dengan p 1 p 2... p k dan q 1 q 2... q h sehingga k-tupel (p 1, p 2,...) tidak sama dengan h-tupel (q 1, q 2,..., q h. Jelas bahwa k, h 2. Misalkan n merupakan bilangan terkecil yang memiliki dua faktorisasi prima. Akan ditunjukkan terjadi suatu kontradiksi dengan menemukan bilangan yang lebih kecil dari n yang memiliki dua faktorisasi prima. Diperhatikan bahwa p i q j untuk setiap i = 1, 2,..., k, j = 1, 2,..., h sebab jika ada yang sama, misalkan p k = q h = p, maka n = n/p = p 1 p 2... p k 1 = q 1 q 2... q h 1 dan 1 < n < n, kontradiksi dengan fakta bahwa n bilangan terkecil yang memiliki dua faktorisasi prima berbeda. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan p 1 q 1. Berdasarkan Algoritma Pembagian diperoleh: q 1 = p 1 c 1 + r 1 q 2 = p 1 c 2 + r 2. q h = p 1 c h + r h dengan 1 r i < p 1, i = 1,..., h. Diperoleh bahwa n = q 1 q 2... q h = (p 1 c 1 + r 1 )(p 1 c 2 + r 2 )... (p 1 c h + r h ) Dengan menjabarkan bentuk pada ruas kanan persamaan tersebut diperoleh n = mp 1 + r 1 r 2... r h untuk suatu bilangan bulat m. Dengan mengambil n = r 1 r 2... r h, maka diperoleh n = p 1 p 2... p k = p 1 m + n. Diperoleh bahwa p 1 n, yang artinya n = p 1 s untuk suatu bilangan bulat s. Berdasarkan pembuktian eksistensi faktorisasi prima diperoleh s dapat dituliskan sebagai perkalian bilanganbilangan prima, katakan s = s 1 s 2... s i dengan s 1, s 2,..., s i bilangan prima. Di lain pihak, dengan menggunakan faktorisasi r 1, r 2..., r h sebagai perkalian bilangan-bilangan prima, diperoleh n = t 1 t 2... t j dengan t 1, t 2,..., t j bilangan 25

prima. Diperhatikan bahwa t u < p 1 untuk setiap u = 1, 2..., j, sehingga faktorisasi n = t 1 t 2... t j berbeda dengan n = p 1 s 1 s 2... s i. Akan tetapi n < n, kontradiksi dengan fakta bahwa n bilangan terkecil yang memiliki dua faktorisasi prima berbeda. Berdasarkan Teorema 3.2.1, diperoleh bahwa setiap bilangan bulat n > 1 dapat dituliskan secara tunggal dalam bentuk n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k dengan p 1, p 2,..., p k bilangan prima berbeda dan α 1, α 2,..., α k. Representasi ini dinamakan faktorisasi prima (faktorisasi kanonik ) dari n. Contoh 3.2.2. Tunjukkan bahwa m 5 + 3m 4 5m 3 15m 2 + 4m + 12 33 untuk setiap bilangan bulat positif m dan n. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa m 5 + 3m 4 5m 3 15m 2 + 4m + 12 = (m 2)(m 1)(m + 1)(m + 2)(m + 3). Di lain pihak, 33 dapat dinyatakan sebagai perkalian maksimal sebanyak empat bilangan bulat berbeda, yaitu 33 = ( 11)( 3)1( 1). Berdasarkan Teorema Fundamental Aritmatik, m 5 + 3m 4 5m 3 15m 2 + 4m + 12 33 sebab 33 dapat dinyatakan sebagai perkalian maksimal sebanyak empat bilangan bulat berbeda, sedangkan m 5 + 3m 4 5m 3 15m 2 + 4m + 12 dapat dinyatakan sebagai perkalian lima bilangan bulat berbeda. Contoh 3.2.3. Tentukan semua bilangan bulat positif n sehingga 2 8 + 2 11 + 2 n merupakan bilangan kuadrat sempurna. Penyelesaian. Misalkan 2 8 + 2 11 + 2 n bilangan kuadrat sempurna. Artinya, k 2 = 2 8 +2 11 +2 n = 2304+2 n = 48 2 +2 n. Diperoleh 2 n = k 2 48 2 = (k 48)(k+48). Berdasarkan ketunggalan dari faktorisasi prima, diperoleh k 48 = 2 s dan k +48 = 2 t untuk suatu bilangan bulat positif s, t dengan s+t = n. Diperhatikan bahwa 2 t 2 s = 96 = 3.2 5 atau 2 s (2 t s 1) = 3.2 5. Berdasarkan ketunggalan dari faktorisasi prima, diperoleh s = 5, s t = 2, sehingga diperoleh n = s+t = 12. 26

Dapat dicek bahwa faktorisasi prima dari perkalian dua bilangan bulat sama dengan perkalian dari faktorisasi prima dua bilangan tersebut. Hal ini memberikan suatu karakteristik lain terkait bilangan prima. Teorema 3.2.4. Diberikan bilangan bulat a dan b. Jika bilangan prima p membagi ab, maka p membagi a atau p membagi b. Bukti. Karena p ab, maka p harus muncul pada faktorisasi prima dari ab. Karena faktorisasi prima dari a, b dan ab tunggal dan faktorisasi prima dari ab merupakan perkalian faktorisasi prima dari a dan b, maka p harus muncul setidaknya pada salah satu faktorisasi prima dari a atau b, yang berarti p a atau p b. Definisi 3.2.5. Diberikan bilangan bulat n > 1 dan bilangan prima p. Bilangan p k dikatakan membagi penuh n, ditulis p k n, jika k adalah bilangan bulat positif terbesar sehingga p k n. Contoh 3.2.6. Tentukan faktor terbesar dari 1001001001 yang kurang dari 10000. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa 1001001001 = 1001 10 6 + 1001 = 1001(10 6 + 1) = 7 11 13 (10 6 + 1). Karena x 6 +1 = (x 2 ) 3 +1 = (x 2 +1)(x 4 x 2 +1), maka diperoleh 10 6 +1 = 101 9901. Jadi, 1001001001 = 7 11 13 101 9901. Dapat dicek bahwa faktor terbesar dari 1001001001 yang kurang dari 10000 adalah 9901. Contoh 3.2.7. Tentukan bilangan bulat positif n yang memenuhi 2 n 3 1024 1. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa 2 1 0 = 1024 dan x 2 y 2 = (x + y)(x y), sehingga diperoleh 3 210 = (3 29 + 1)(3 29 1) = (3 29 + 1)(3 28 + 1)(3 28 1) =... = (3 29 + 1)(3 28 + 1)(3 27 + 1)... (3 21 + 1)(3 20 + 1)(3 1). Berdasarkan Contoh 2.3.3, 2 3 2k untuk setiap bilangan bulat positif k. Jadi, jawabannya adalah 9 + 2 + 1 = 12. 27

Berdasarkan Teorema 3.2.1, diperoleh bahwa setiap bilangan bulat dibangun oleh bilangan-bilangan prima. Karena pentingnya konsep bilangan prima, banyak peneliti telah memcoba menemukan rumus eksplisit dari bilangan-bilangan prima. Namun, sejauh ini usaha tersebut belum berhasil. Salah satu hasil yang diperoleh Goldbach dalam penelitiannya terkait bilangan prima diberikan sebagai berikut. Teorema 3.2.8. Untuk setiap bilangan bulat n tidak ada polinomial p(x) dengan koefisien bulat dengan sifat p(n) merupakan bilangan prima untuk setiap bilangan bilat n m. Bukti. Diberikan bilangan bulat m. Diandaikan terdapat polinomial yang memenuhi kondisi tersebut, katakan P (x) = a k x k + a k 1 x k 1 +... + a 1 x + a 0 dengan a k, a k 1,..., a 0 bilangan bulat dan a k 0. Diperoleh p(m) = p bilangan prima. Diperhatikan bahwa p(m + pi) = a k (m + pi) k + a k 1 (m + pi) k 1 +... + a 1 (m + pi) + a 0 dan untuk setiap bilangan bulat positif i berlaku ( ) ( ) j j (m + pi) j = m j + m j 1 (pi) + m j 2 (pi) 2 i 2 ( ) j +... + m(pi) j 1 + (pi) j j 1 untuk setiap j = 1, 2,..., k. Diperoleh bahwa (m + pi) j m j kelipatan dari p, sehingga berlaku p(m+pi) p(m) merupakan kelipatan dari p. Karena p(m) = p, maka diperoleh p(m + pi) merupakan kelipatan dari p untuk setiap bilangan bulat positif i. Berdasarkan asumsi diperoleh bahwa p(m + pi) prima untuk setiap bilangan bulat positif i. Akibatnya nilai yang mungkin untuk p(m + pi) adalah 0, p atau p. Diperhatikan bahwa total akar persamaan p(x) = 0, p(x) = p dan p(x) = p paling banyak 3k. Akibatnya terdapat tak hingga banyaknya i dengan sifat m + pi bukan solusi dari ketiga persamaan tersebut. Terjadi suatu kontradiksi. Jadi, untuk setiap bilangan bulat n, tidak ada polinomial p(x) dengan koefisien bulat dengan sifat p(n) merupakan bilangan prima untuk setiap 28

bilangan bilat n m. Walaupun belum ada rumus eksplisit dari bilangan prima, rata-rata banyaknya bilangan prima diantara bilangan bulat telah diketahui 100 tahun yang lalu. tahun 1896, yaitu: Fakta ini diberikan oleh Hadamard dan de la Vallée Poussin pada lim n π(n) n/ log n = 1 dengan π(n) merupakan banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan n. 3.3 Banyak Faktor Untuk setiap bilangan bulat positif n, banyaknya faktor positif dari n dinotasikan dengan τ(n). Jelas bahwa τ(n) = 1. d n Teorema 3.3.1. Jika n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k faktorisasi prima dari n, maka τ(n) = (α 1 + 1)(α 2 + 1)... (α k + 1). Bukti. Diperhatikan bahwa berdasarkan faktorisasi prima dari n, setiap faktor positif dari n berbentuk p b 1 1 p b 2 2... p b k k, dengan 0 b i α i, i = 1, 2,..., k. Diperoleh banyaknya faktor positif dari n sama dengan banyaknya kemungkinan nilai dari b 1, b 2,..., b n. Karena untuk setiap i, ada (α i +1) kemungkinan untuk b i, maka diperoleh banyaknya faktor positif dari n adalah (α 1 +1)(α 2 +1)... (α k +1). Teorema 3.3.2. Untuk setiap bilangan bulat positif n berlaku d n d = n τ(n) 2. 29

Bukti. Diperhatikan bahwa d d n 2 = d n = d n d d = d n d d n d n d n ( d. n ) = n = n τ(n). d d n Jadi, d n d = n τ(n) 2. Contoh 3.3.3. Tentukan peluang sebarang bilangan dipilih dari faktor positif 10 20 merupakan kelipatan 10 13. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap faktor positif dari 10 20 berbentuk 2 a 5 b dengan 0 a, b 20, sedangkan 10 13 = 2 13 5 13. Diperoleh faktor positif dari faktor positif 10 20 yang merupakan kelipatan 10 13 berbentuk 2 a 5 b dengan 13 a, b 20, sehingga didapat banyaknya faktor yang memenuhi kondisi tersebut ada 8 8 = 64. Di lain pihak, banyak faktor positif dari 10 20 adalah 21 21 = 441. Jadi, peluang sebarang bilangan dipilih dari faktor positif 10 20 merupakan kelipatan 10 13 adalah 64 441. Teorema 3.3.4. Untuk setiap bilangan bulat positif n berlaku τ(n) 2 n. Bukti. Misalkan d 1 < d 2 <... < d k faktor-faktor positif dari n yang kurang dari atau sama dengan n. Diperoleh bahwa faktor lain yang tersisa adalah n d 1, n d 2,..., n d k. Akibatnya diperoleh τ(n) 2k 2d k 2 n. 30

3.4 Jumlah Faktor Untuk setiap bilangan bulat positif n, jumlah semua faktor positif dari n, termasuk 1 dan n, dinotasikan dengan σ(n). Jelas bahwa σ(n) = d n d. Teorema 3.4.1. Jika n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k σ(n) = pα 1+1 1 1 p 1 1 faktorisasi prima dari n, maka... pαk+1 k 1 p k 1. Bukti. Diperhatikan bahwa setiap faktor positif dari n berbentuk p a 1 1 p a 2 2... p a k k dengan 0 b i α i, i = 1, 2,..., k. Setiap faktor positif dari n muncul tepat sekali pada penjabaran perkalian Akibatnya diperoleh (1 + p 1 +... + p α 1 1 )... (1 + p k +... + p α k k ). σ(n) = (1 + p 1 +... + p α 1 1 )... (1 + p k +... + p α k k ) = pα 1+1 1 1 p 1 1... pαk+1 k 1 p k 1. Contoh 3.4.2. Tentukan jumlah semua faktor positif genap dari 10000. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap faktor positif dari 10000 berbentuk 2 a 5 b dimana a, b bilangan bulat dengan 1 a 5 dan 0 b 5. Setiap faktor genap dari 10000 muncul tepat sekali pada penjabaran perkalian Akibatnya diperoleh (2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 )(1 + 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 ). (2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 )(1 + 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 ) = 62. 56 1 5 1 = 242172. 31

Diperhatikan bahwa p prima jika dan hanya jika faktor positif dari p hanya 1 dan p, yang berarti σ(p) = p + 1. Akibatnya diperoleh karakteristik dari jumlah faktor terkait bilangan prima. Teorema 3.4.3. Bilangan bulat positif p merupakan bilangan prima jika dan hanya jika σ(p) = p + 1. Teorema 3.4.4. Untuk setiap bilangan komposit n berlaku σ(n) > n + n. Bukti. Diberikan sebarang bilangan komposit n. Karena n komposit, maka berdasarkan Teorema 2.4.2 terdapat a faktor positif dari n dengan 1 < a n. Karena a faktor dari n, maka n a merupakan faktor dari n dengan n a n n = n. Diperoleh 1, a, n, n merupakan faktor positif dari n, sehingga didapat σ(n) a 1 + a + n + n > n + n. a Soal Latihan 1. Tentukan bilangan bulat positif terkecil yang memiliki tepat 12 faktor positif. 2. Diketahui n = 2 31 3 19. Tentukan banyaknya faktor positif dari n 2 yang kurang dari n tetapi tidak membagi n. 3. Berapa banyak pembagi genap dan pembagi ganjil dari 5 6 1. 4. Tentukan bilangan bulat positif terkecil n yang mempunyai tepat 2013 faktor positif dan merupakan kelipatan dari 2013. 5. Tentukan semua nilai n sehingga σ(n) merupakan bilangan ganjil. 6. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n berlaku τ(n) 3n. 7. Diberikan polinomial p(x) dengan koefisien bilangan bulat dan terdapat bilangan bulat berbeda a, b, c, d dengan sifat p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat k dengan sifat f(k) = 8. 32

8. Diberikan n = p a 1 1 p a 2 2... p a k k dan m = p b 1 1 p b 2 2... p b k k bilangan prima berbeda dan a 1, a 2,..., a k, b 1,..., b k dengan p 1, p 2,..., p k bilangan bulat nonnegatif. Tentukan banyaknya faktor positif dari n yang merupakan faktor dari m. 9. Bilangan bulat positif n dikatakan sempurna jika n sama dengan jumlahan semua faktor positif dari n yang kurang dari n. Tunjukkan bahwa (a) jika n bilangan sempurna, maka d n 1 d = 2. (b) untuk setiap bilangan bulat positif k dan bilangan prima p, p k bukan bilangan sempurna. 10. Diberikan bilangan bulat positif k. Tunjukkan bahwa hanya ada berhingga banyak bilangan bulat positif n dengan sifat σ(n) = n + k. 11. Diberikan bilangan bulat positif n dengan sifat 24 n + 1. Tunjukkan bahwa 24 σ(n). 33

BAB IV FAKTOR PERSEKUTUAN DAN KELIPATAN PERSEKUTUAN 4.1 Pendahuluan Pada bagian ini dibahas konsep mengenai faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil bilangan-bilangan bulat. Faktorisasi prima yang telah dibahas pada Bab 2, pada pertemuan Minggu ke-8 dan 9 memunculkan konsep faktor persekutuan dan kelipatan persekutuan antara lebih dari satu bilangan bulat. Dengan mempelajari bab ini, diharapkan: 1. Mahasiswa bisa menjelaskan pengertian faktor persekutuan dan faktor persekutuan terbesar. 2. Mahasiswa bisa menentukan FPB dua atau lebih bilangan bulat 3. Mahasiswa bisa menjelaskan pengertian kelipatan persekutuan dan kelipatan persekutuan terkecil 4. Mahasiswa bisa menentukan kelipatan persekutuan terkecil 5. Mahasiswa bisa menerapkan sifat-sifat FPB dan KPK pada masalah bilangan bulat 4.2 Faktor Persekutuan Terbesar Untuk setiap bilangan bulat positif k, didefinisikan D k sebagai himpunan semua faktor positif dari k. Jelas bahwa D k merupakan himpunan berhingga. Definisi 4.2.1. Diberikan bilangan bulat positif m dan n. Anggota terbesar dari himpunan D m D n disebut faktor persekutuan terbesar (greatest common divisor) dari m dan n, dinotasikan dengan gcd(m, n). Bilangan m dan n dikatakan relatif prima jika gcd(m, n) = 1. 34

berikut. Beberapa sifat dasar dari faktor persekutuan terbesar diberikan sebagai Teorema 4.2.2. Diberikan bilangan bulat positif m, n dan p. a. Jika p prima, maka gcd(p, m) = p atau gcd(p, m) = 1. b. Jika d = gcd(m, n), m = dm, n = dn, maka gcd(m, n ) = 1. c. Jika d = gcd(m, n), m = d m, n = d n, gcd(m, n ) = 1, maka d = d. d. Jika d faktor persekutuan dari m dan n, maka d membagi gcd(m, n). e. Jika p x m dan p y n, maka p min(x,y) gcd(m, n). Lebih lanjut, jika m = p α 1 1... p α k k dan n = p β 1 1... p β k k, α i, β i 0, i = 1, 2,..., k, maka gcd(m, n) = p min(α 1,β 1 ) 1... p min(α k,β k ) k. f. Jika m = nq + r, maka gcd(m, n) = gcd(n, r). Contoh 4.2.3. Diberikan d = gcd(7n + 5, 5n + 4), dimana n adalah bilangan bulat positif. a. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n berlaku d = 1 atau d = 3. b. Buktikan bahwa d = 3 jika dan hanya jika n = 3k + 1 untuk suatu bilangan bulat positif k. Penyelesaian. Diambil sebarang bilangan bulat positif n. a. Diperhatikan bahwa d 7n + 5 dan d 5n + 4, maka d 5(7n + 5) dan d 7(5n + 4). Akibatnya d 5(7n + 5) 7(5n + 4) atau d 3. Artinya, d faktor positif dari 3. Jadi, d = 1 atau d = 3. b. Diperhatikan bahwa n dapat dinyatakan dalam salah satu bentuk berikut: 3k, 3k + 1 atau 3k + 1, untuk suatu bilangan bulat positif k. Jika n = 3k, maka 7n + 5 = 21k + 5 = 3(7k + 1) + 2 dan 5n + 4 = 15k + 4 = 3(5k + 1) + 1. Jika n = 3k + 1, maka 7n + 5 = 21k + 12 = 3(7k + 4) dan 5n + 4 = 15k + 9 = 3(5k + 3). Jika n = 3k + 2, maka 7n + 5 = 21k + 19 = 3(7k + 6) + 1 dan 35

5n + 4 = 15k + 14 = 3(5k + 4) + 2. Diperoleh 3 7n + 5 dan 3 5n + 4 jika dan hanya jika n = 3k + 1 untuk suatu bilangan bulat positif k. Diperhatikan bahwa 3 7n + 5 dan 3 5n + 4 berakibat 3 gcd(7n + 5, 5n + 4) atau 3 d. Karena d 3 dan 3 d, maka d = 3. Jadi, d = 3 jika dan hanya jika n = 3k + 1 untuk suatu bilangan bulat positif k. Contoh 4.2.4. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, pecahan 21n + 4 tidak dapat disederhanakan. 14n + 3 Penyelesaian. Diambil sebarang bilangan bulat positif n. Diperhatikan bahwa 3(14n + 3) 2(21 + 4) = 1. Akibatnya diperoleh gcd(21n + 4, 14n + 3) 1, yang berarti gcd(21n + 4, 14n + 3) = 1. Dengan kata lain, pecahan 21n + 4 14n + 3 sudah dalam bentuk yang sederhana. Definisi dari faktor persekutuan terbesar dapat diperluas untuk lebih dari dua bilangan. Untuk sebarang bilangan bulat positif a 1, a 2,..., a n, gcd(a 1, a 2,..., a n ) didefinisikan sebagai faktor persekutuan terbesar dari semua bilangan a 1, a 2,..., a n. Berikut beberapa sifat terkait dengan faktor persekutuan terbesar dari beberapa bilangan bulat. Teorema 4.2.5. Diberikan a 1, a 2,..., a s, m, n, p, d bilangan bulat positif. a. gcd(gcd(m, n), p) = gcd(m, gcd(n, p)). b. Jika d a i, i = 1, 2..., s, maka d gcd(a 1, a 2,..., a s ). c. Jika a i = p α 1i 1... p α ki, i = 1,..., s, maka k gcd(a 1,..., a s ) = p min(α 11,...,α 1s ) 1... p min(α k1,...,α ks ) k. Bilangan a 1, a 2,..., a n dikatakan relatif prima jika gcd(a 1, a 2,..., a n ) = 1. Diperhatikan bahwa gcd(a 1, a 2,..., a n ) = 1 belum tentu berakibat gcd(a i, a j ) = 1 untuk 1 i < j n. Jika a 1, a 2,..., a n memenuhi gcd(a i, a j ) = 1 untuk 1 i < j n, maka a 1, a 2,..., a n dikatakan sepasang-sepasang relatif prima. 36

Contoh 4.2.6. Tentukan gcd(2 6 2 2, 3 6 3 2, 4 6 4 2, 5 6 5 2, 6 6 6 2, 7 6 7 2 ). Penyelesaian. Misalkan d = gcd(2 6 2 2, 3 6 3 2, 4 6 4 2, 5 6 5 2, 6 6 6 2, 7 6 7 2 ). Berdasarkan Contoh 2.2.7, untuk setiap bilangan bulat positif n berlaku 60 n 6 n 2. Akibatnya diperoleh 60 d. Diperhatikan bahwa karena 2 6 2 2 = 60, maka diperoleh d 60. Jadi, d = 60. 4.3 Algoritma Euclid Faktorisasi prima dapat membantu menentukan faktor persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan bulat positif. Akan tetapi, untuk bilangan yang cukup besar faktorisasi prima tidak mudah dilakukan. Berikut dijelaskan salah satu algoritma yang bermanfaat dalam menentukan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat positif m dan n, yaitu Algoritma Euclid. Algoritma ini menggunakan algoritma pembagian yang dilakukan berulang-ulang: m = nq 1 + r 1, 1 r 1 < n, n = r 1 q 2 + r 2, 1 r 2 < r 1,. r k 2 = r k 1 q k + r k, 1 r k < r k 1, r k 1 = r k q k+1 + r k+1, r k+1 = 0. Persamaan-persamaan tersebut ada sebanyak berhingga sebab n > r 1 > r 2 >... > r k. Berdasarkan sifat f. pada Teorema 4.2.2, diperoleh gcd(m, n) = gcd(n, r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) =... = gcd(r k 1, r k ) = r k. Contoh 4.3.1. Jika sebuah bilangan bulat positif kelipatan 305 dipilih secara acak, dengan setiap kelipatan mempunyai peluang yang sama untuk dipilih, tentukan peluang bilangan tersebut habis dibagi 2013? 37

Penyelesaian. Berdasarkan Algoritma Euclid: 2013 = 6.305 + 183 305 = 1.183 + 122 183 = 1.122 + 61 122 = 2.61 + 0, diperoleh gcd(2013, 305) = gcd(305, 183) = gcd(183, 122) = gcd(122, 61) = 61. Diperoleh 2013 = 61.33 dan 305 = 61.5. Akibatnya, peluang yang dimaksud sama dengan peluang suatu bilangan kelipatan 5 habis dibagi 33, yaitu 1 33. Contoh 4.3.2. Tentukan nilai dari gcd(2014 + 2, 2014 2 + 2, 2014 3 + 2,...). Penyelesaian. Misalkan d = gcd(2014+2, 2014 2 +2, 2014 3 +2,...). Diperhatikan bahwa 2014 2 + 2 = 2014 2 4 + 6 = (2014 2)(2014 + 2) + 6 = 2012(2014 + 2) + 6. Berdasarkan Algoritma Euclid diperoleh gcd(2014 + 2, 2014 2 + 2) = gcd(2016, 6) = 6. Akibatnya d 6. Di lain pihak, setiap bilangan pada barisan 2014 + 2, 2014 2 + 2, 2014 3 + 2,... habis dibagi 2. Lebih lanjut, karena 2014 = 2013 + 1 = 671.3 + 1, maka untuk setiap bilangan bulat positif k berlaku 2014 k = 3a k + 1 untuk suatu bilangan bulat positif a k. Diperoleh 3 2014 k +2 untuk setiap bilangan bulat positif k. Karena 2 dan 3 relatif prima, maka setiap bilangan pada barisan tersebut habis dibagi oleh 6, sehingga diperoleh 6 d. Karena d 6 dan 6 d, maka d = 6. 4.4 Identitas Bézout Algoritma Euclid memberikan karakteristik penting terkait eksistensi penyelesaian persamaan linear dua variabel sebagai berikut. Teorema 4.4.1 (Identitas Bézout). Untuk setiap bilangan bulat positif m dan n, terdapat bilangan bulat x dan y dengan sifat mx + ny = gcd(m, n). 38

Bukti. Berdasarkan Algoritma Euclid diperoleh bahwa r 1 = m nq 1, r 2 = mq 2 + n(1 + q 1 q 2 ),.... Karena r i+1 = r i 1 + r i q i+1, maka secara umum diperoleh r i = mα i + nβ i untuk i = 1, 2,..., k dengan α i+1 = α i 1 + q i+1 α i β i+1 = β i 1 + q i+1 β i untuk i = 2, 3,..., k 1. Akibatnya diperoleh gcd(m, n) = r k = α k m + β k n. Identitas Bézout memberikan karakteristik terkait penyelesaian persamaan berbentuk ax + by = c. Akibat 4.4.2. Diberikan bilangan bulat a, b, c. Persamaan ax + by = c memiliki penyelesaian bulat (x, y) jika dan hanya jika gcd(a, b) membagi c. Identitas Bézout juga memberikan karakteristik lain terkait konsep keterbagian. Teorema 4.4.3. Diberikan bilangan bulat positif a, b dan bilangan bulat c. Jika a bc dan gcd(a, b) = 1, maka a c. Bukti. Kasus c = 0 cukup jelas. Diasumsikan c 0. Karena gcd(a, b) = 1, maka berdasarkan Identitas Béout, ax + by = 1 untuk suatu bilangan bulat x dan y. Akibatnya diperoleh acx = bcy = c. Karena a acx dan a bcy, maka a c. Teorema 4.4.4. Diberikan bilangan bulat positif a, b yang relatif prima. Jika c bilangan bulat dengan sifat a c dan b c, maka ab c. Bukti. Karena a c, maka c = ax untuk suatu bilangan bulat x. Akibatnya b ax. Karena gcd(a, b) = 1 dan b ax, maka b x. Diperoleh x = by untuk suatu bilangan bulat y, sehingga didapat c = aby atau ab c. Contoh 4.4.5. Tunjukkan bahwa untuk( setiap ) bilangan prima p dan bilangan p bulat k dengan sifat 1 k < p berlaku p. k 39

Penyelesaian. Diambil sebarang bilangan prima p dan bilangan bulat k dengan sifat 1 k < p. Diperhatikan bahwa ( ) ( ) p p 1 k = p. k k 1 ( ) p Diperoleh bahwa p membagi k. Karena gcd(p, k) = 1, maka diperoleh bahwa ( ) k p p membagi. k 4.5 Kelipatan Persekutuan Terkecil Untuk setiap bilangan bulat positif k, didefinisikan M k sebagai himpunan semua kelipatan dari k. Berbeda dengan himpunan D k yang didefinisikan sebelumnya, M k merupakan himpunan tak hingga. Definisi 4.5.1. Diberikan bilangan bulat positif s dan t. Anggota terkecil dari himpunan M s M t disebut kelipatan persekutuan terkecil (least common multiple) dari s dan t, dinotasikan dengan lcm(m, n). Teorema 4.5.2. Diberikan bilangan bulat positif s dan t. a. Jika lcm(s, t) = m, m = ss = tt, maka gcd(s, t ) = 1. b. Jika m kelipatan persekutuan dari s dan t dan m = ss = tt, gcd(s, t ) = 1, maka m = lcm(s, t). c. Jika m; kelipatan persekutuan dari s dan t, maka lcm(s, t) m. d. Jika m s dan n s, maka lcm(m, n) s. e. Untuk setiap bilangan bulat n berlaku n.lcm(s, t) = lcm(ns, nt). f. Jika s = p α 1 1... p α k k dan t = p β 1 1... p β k k, α i, β i 0, i = 1, 2,..., k, maka lcm(s, t) = p max(α 1,β 1 ) 1... p max(α k,β k ) k. Sifat berikut memberikan hubungan antara faktor persekutuan terbesar dengan kelipatan persekutuan terkecil. 40

Teorema 4.5.3. Untuk sebarang bilangan bulat positif m dan n berlaku mn = gcd(m, n).lcm(m, n). Bukti. Misalkan m = p α 1 1... p α k k dan n = p β 1 1... p β k k, α i, β i 0, i = 1, 2,..., k. Berdasarkan Teorema 4.2.2 bagian e. dan Teorema 4.5.2 bagian f. diperoleh gcd(m, n).lcm(m, n) = p max(α 1,β 1 )+min(α 1,β 1 ) 1... p max(α k,β k )+min(α k,β k ) k = p α 1+β 1 1... p α k+β k k = mn. Contoh 4.5.4. Diketahui a dan b bilangan bulat positif dengan a + b = 52 dan lcm(a, b) = 168. Tentukan nilai dari ab. Penyelesaian. Misalkan d = gcd(a, b). Diperoleh d 52 dan d 168, sehingga d gcd(52, 168). Karena 168 = 3.52+12, 52 = 4.12+4, 12 = 3.4, maka berdasarkan Algoritma Euclid diperoleh gcd(168, 52) = 4, sehingga d 4. Diperhatikan bahwa 4 lcm(a, b), maka 4 a atau 4 b. Karena 4 a+b, maka 4 a dan b, sehingga diperoleh 4 d. Jadi, d = 4. Berdasarkan Teorema 4.5.3, diperoleh ab = 4.168 = 724. Lebih lanjut, untuk setiap bilangan bulat positif a 1, a 2,..., a n, kelipatan persekutuan terkecil dari a 1, a 2,..., a n adalah bilangan bulat positif terkecil yang merupakan kelipatan dari masing-masing a 1, a 2,..., a n, dinotasikan dengan lcm(a 1, a 2,..., a n ). Soal Latihan 1. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, pecahan n2 + n 1 n 2 + 2n tidak dapat disederhanakan. 2. Tentukan nilai dari 2013 gcd(k, 7). k=1 41

3. Diberikan bilangan bulat positif a, b dan c. Tunjukkan bahwa (a) gcd(ca, cb) = c gcd(a, b). (b) gcd(a, bc) = gcd(a, gcd(a, b)c). (c) gcd(a 2, b 2 ) = (gcd(a, b)) 2. (d) jika gcd(a, b) = 1, maka gcd(a + b, a 2 ab + b 2 ) = 1 atau 3. 4. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif k dengan sifat lcm(6 6, 8 8, k) = 12 12. 5. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi gcd(a, b) + lcm(a, b) = a + b + 6. 6. Tentukan bilangan bulat positif m dan n yang memenuhi m 2 + n 2 = 85113 dan lcm(m, n) = 1764. 7. Tentukan banyaknya tripel bilangan bulat positif berurutan (a, b, c) dengan sifat lcm(a, b) = 1000 dan lcm(b, c) = lcm(a, c) = 2000. 8. Tiga bilangan bulat positif a 1 < a 2 < a 3 memenuhi gcd(a 1, a 2, a 3 ) = 1 dan gcd(a 1, a 2 ), gcd(a 2, a 3 ), gcd(a 3, a 1 ) > 1. Tentukan nilai minimal yang mungkin dari a 1 + a 2 + a 3. 9. Diberikan bilangan bulat positif n. Tunjukkan bahwa jika n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k faktorisasi prima dari n, maka terdapat sebanyak (2α 1 + 1)(2α 2 + 1)... (2α k + 1) pasangan bilangan bulat positif berbeda (a, b) dengan sifat lcm(a, b) = n. 10. Diberikan p 1, p 2,..., p k bilangan prima berbeda dan a 1, a 2,..., a k bilangan bulat positif berbeda. Tentukan banyaknya cara memfaktorkan p a 1 1 p a 2 2... p a k k menjadi perkalian dua bilangan bulat positif xy yang memenuhi x > y > 1 dan gcd(x, y) = 1. 11. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif a, b dan c berlaku (lcm(a, b, c)) 2 lcm(a, b)lcm(a, c)lcm(b, c) = (gcd(a, b, c)) 2 gcd(a, b) gcd(a, c) gcd(b, c). 42

12. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif a dan b berlaku jika lcm(a, a + 5) = lcm(b, b + 5), maka a = b. 13. Diberikan bilangan bulat positif m dan n dengan m ganjil. Tunjukkan bahwa gcd(2 m 1, 2 n + 1) = 1 14. Diberikan bilangan bulat positif n. Tentukan faktor persekutuan terbesar dari ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n,,...,. 1 3 2n 1 43

BAB V KEKONGRUENEN 5.1 Pendahuluan Pada bagian ini dibahas konsep kekongruenan dan kelas residu. Topik ini menjadi bahan bahasan untuk Minggu ke-11. Beberapa teorema terkenal dalam Teori Bilangan yang berkaitan dengan kekongruenan, seperti Teorema Euler dan Teorema Kecil Fermat, diberikan pada bagian ini. Setelah mempelajari topik bahasan pada bab ini yang meliputi modulo, kelas residu: 1. Mahasiswa mampu menjelaskan konsep kekongruenan, kelas residu 2. Mahasiswa mampu membuktikan Teorema Euler dan Teorema Wilson 3. Mahasiswa mampu menerapkan konsep kongruensi beserta sifat-sifat untuk memecahkan masalah yang berkaitan 5.2 Kekongruenan Konsep kekogruenan pada bilangan bulat dikembangkan berdasarkan konsep Algoritma Pembagian. Definisi 5.2.1. Diberikan bilangan bulat a, b dan m dengan m 0. Bilangan a dan b dikatakan kongruen modulo m jika m membagi a b, dinotasikan dengan a b (mod m). Jika m tidak membagi a b, maka bilangan a dan b dikatakan tidak kongruen modulo m dan dinotasikan a b (mod m). Relasi pada definisi tersebut dinamakan relasi kongruensi. Beberapa karakteristik dasar terkait dengan kekongruenan diberikan sebagai berikut. Teorema 5.2.2. Diberikan bilangan bulat a, b, c, d dan m. a. a a (mod m). b. Jika a b (mod m) dan b c (mod m), maka a c (mod m). 44

c. a b (mod m), maka b a (mod m). d. Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka a + c b + d (mod m) dan a c b d (mod m). e. Jika a b (mod m), maka untuk setiap bilangan bulat k berlaku ka kb (mod m). f. Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka ac bd (mod m). Secara umum, jika a i b i (mod m), i = 1,..., k, maka a 1... a k b 1... b k (mod m). Lebih lanjut, jika a b (mod m), maka untuk setiap bilangan bulat positif k berlaku a k b k (mod m). g. a b (mod m i ), i = 1,..., k jika dan hanya jika a b (mod lcm(m 1,..., m k )). Secara khusus, jika m 1,..., m k sepasang-sepasang relatif prima, maka a b (mod m i ), i = 1,..., k jika dan hanya jika a b (mod m 1... m k ). Contoh 5.2.3. Tentukan sisa pembagian 6 2013 oleh 37. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa 36 = 1 (mod 7), maka diperoleh 6 2013 6.6 2012 6.(6 2 ) 1006 6.( 1) 1006 1 (mod 37). Jadi, sisa pembagian 6 2013 oleh 37 adalah 6. Contoh 5.2.4. Tentukan dua digit terakhir dari 3 2013. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa 3 2013 = (3 5 ) 402 3 3 = (243) 402 27 43 402 27 (1849) 201 27 (49) 201 27 (2401) 100 49.27 (1) 100 1323 23 (mod 100). 45

Jadi, dua digit terakhir dari 3 2013 adalah 23. Contoh 5.2.5. Tunjukkan bahwa 7 habis membagi 3 2n+1 + 2 n+2 bilangan bulat positif n. untuk setiap Penyelesaian. Diambil sebarang bilangan bulat positif n. Diperhatikan bahwa 3 2n+1 3.9 n 3.2 n (mod 7) dan 2 n+2 4.2 n (mod 7). Akibatnya 3 2n+1 + 2 n+2 7.2 n 0 (mod 7). Teorema 5.2.6. Diberikan bilangan bulat a, b dan n, n 0 dengan sifat a = nq 1 + r 1, b = nq 2 + r 2, 0 r 1, r 2 < n. a b (mod n) jika dan hanya jika r 1 = r 2. Bukti. Diperhatikan bahwa a b = n(q 1 q 2 )+(r 1 r 2 ), maka diperoleh n (a b) jika dan hanya jika n (r 1 r 2 ). Karena r 1 r 2 < n, maka diperoleh n (a b) jika dan hanya jika r 1 = r 2. Diperhatikan bahwa Teorema 3.2.4 dapat dinyatakan dalam konsep kekongruenan sebagai berikut. Akibat 5.2.7. Diberikan bilangan prima p. Jika x dan y bilangan bulat dengan sifat xy 0 (mod p), maka x 0 (mod p) atau y 0 (mod p). Hal ini merupakan salah satu contoh kesamaan yang terdapat dalam beberapa konsep teori bilangan: p xy (notasi keterbagian), xy 0 (mod p) (notasi kekongruenan) dan p = kxy (notasi persamaan Diophantine). Beberapa aplikasi dari Teorema 4.4.3 dan Teorema 4.4.4 diberikan sebagai berikut. Akibat 5.2.8. Diberikan bilangan bulat positif m dan bilangan bulat a, b dan c dengan c 0. Jika ac bc (mod m), maka a b (mod m gcd(c, m) ). 46