DISUSUN OLEH KELOMPOK III

FUNGSI BESSEL DISUSUN OLEH KELOMPOK III Nama Aggoa : Desaah 7.. T Yua 7..5 Oa Helaa 7.. Sea ula 7..78 Dessy Adea 7.. Esca Oaa 7..59 Semese : L Pogam Sud : Pedda Maemaa Maa Kulah : Maemaa Lajua FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 9/

FUNGSI BESSEL PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL Fugs Bessel dbagu sebaga eyelesaa esamaa dfeesal. y y y, yag damaa esamaa dfeesal Bessel. Peyelesaa umum dbea oleh y c c Y Peyelesaa, yag memuya lm behgga uu medea ol damaa fugs Bessel jes eama da beode. eyelesaa Y yag a memuya lm behgga [yau a ebaas] uu medea ol damaa fugs Bessel jes edua da beode- aau fugs Neuma. a eubah bebas ada dga λ d maa λ suau osaa, esamaa yag dhasla adalah y y λ y Yag memuya eyelesaa umum y c λ c Y λ FUNGSI BESSEL ENIS PERTAMA Ddefsa fugs Bessel jes eama beode sebaga Γ... 5 Aau! Γ D maa Γ adalah fugs gamma [Bab 9]. a blaga bula osf, Γ!, Γ. Uu, maa

... 7 Dee ovege uu sea. Gaf da dujua ada Gamba -. a seegah aau blaga gajl osf, daa dyaaa dalam suu-suu sus da cosus. Lha Soal. da.7. Sebuah fugs, > daa ddefsa dega megga oleh ada 5 aau. a suau blaga bula, maa a daa meujua bahwa [lha Soal.] 8 a bua suau blaga bula, maa da bebas lea, da uu asus eyelesaa umum adalah y A B,,,,,... 9 FUNGSI BESSEL ENIS KEDUA Ka aa medefsa fugs Bessel jes edua beode sebaga Y cos,,,,... s cos lm,,,,... s Uu asus d maa,,,, deoleh uaa dee beu uu Y. Y! l γ { Φ Φ }!! D maa γ,5775... adalah osaa Eule da Φ..., Φ

FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK GENERATING FUNCTION Fugs e damaa fugs embag uu fugs Bessel jes eama beode bula, yag saga baya guaya dalam memeoleh sfa-sfa fugs uu la bula da emuda segal daa dbua belau uu semua. RUMUS-RUMUS PENGULANGAN RECURRENCE FORMULA Hasl beu belau uu sea la... [ ].. d d [ ] 5. d d. [ ] a adalah suau blaga bula umus esebu daa dbua dega fugs embag. Pehaa bahwa hasl da beuu-uu seaa dega 5 da. Fugs Y memeuh hasl yag sama see d aas, d maa meggaa. Y FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL.Fugs Hael es Peama da Kedua, yag beuu-uu ddefsa oleh

H Y, H Y I K.Fugs Bessel yag Dmodfas. Fugs Bessel yag dmodfas jes eama beode ddefsa oleh e a blaga bula, I I 5 Tea ja bua blaga bula, I da I bebas lea. Fugs Bessel yag dmodfas jes edua beode ddefsa oleh I I,,,,... s I I lm,,,,... s Fugs memeuh esamaa dfeesal y" y y 7 da eyelesaa umum esamaa adalah c K y c I 8 aau ja,,,,... y AI BI 9.Fugs Be, Be, Ke, Ke. Fugs Be da Be adalah baga l da maje da d maa e, yau Be Be Fugs Ke da Ke adalah baga l da maje da e K d maa e, yau

e K Ke Ke Fugs-fugs begua sehubuga dega esamaa y" y y yag membagu e elsa da laaga laya. Peyelesaa umum da esamaa adalah y c ck PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM PERSAMAAN BESSEL Pesamaa y β y" α y d maa, α,, β osaa memuya eyelesaa umum y α α c cy 5 d maa β α K. a, esamaaya daa dselesaa sebaga esamaa Eule aau Cauchy [lha halama 8] RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL Uu la besa a memuya umus asmo beu ~ cos, Y ~ s NILAI NOL FUNGSI BESSEL Ka daa meujua bahwa ja suau blaga l, memuya a behgga bayaya aa yag semuaya l. Pebedaa d aaa aa-aa yag beuua medea ja la aaya membesa.

I daa dlha da. Ka daa juga meujua bahwa aa-aa elea d aaa da juga dbua uu Y.. Caaa seua daa KETEGAK-LURUSAN ORTHOGONALITY FUNGSI BESSEL a λ da µ dua osaa bebeda, a daa meujua [lha Soal.] bahwa λ µ λ µ λ µ λ µ d 7 λ µ sedaga [lha Soal.] λ d λ λ 8 λ Da 7 a lha bahwa λ da µ adalah dua aa bebeda da esamaa S R 9 d maa R da S osaa, maa d λ µ yag meyaaa bahwa fugs λ da µ egaluus ada,. Pehaalah bahwa sebaga asus husus 9 a melha bahwa λ da µ daa meuaa dua aa bebeda da aau Ka daa juga megaaa bahwa fugs-fugs λ, ehada fugs eadaa.. µ egaluus DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL See ada asus Dee Foue, a daa meujua bahwa ja f memeuh syaa Dchle [d halama 97] maa d sea eoua f ada selag < < edaa suau uaa dee Bessel yag bebeu

f A A λ A λ λ... R d maa λ, λ,... adalah aa-aa osf 9 dega, S da S A λ λ R S λ λ f d D ea-oua dee d uas aa ovege e [ f ]. f yag daa dguaa uu meggaa uas Dalam asus S sehgga,... A λ λ adalah aa-aa da, λ λ f d, a R da, maa dee dmulas dega suu ea A f d SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL. Guaa meode Fobeus uu meeua dee eyelesaa esamaa dfeesal Bessel y" y y da. Adaa suau jawaba bebeu β y c d maa begea sama da c uu <, maa β β β y c c c y β c β β β y" c β Kemuda, dega mejumlahaya deoleh c β

[ β β c β c c c ] y" β da aea oefse [ ] c c β haus ol, deoleh β Adaa ada ; aea c maa deoleh esamaa awal c β ; aau adaa c, β. Kemuda, jaulah dua asus, β da β. Peama aa dadag asus eama β, da asus edua deoleh dega meggaa oleh. Kasus, β. Dalam asus mejad c c Ambllah,,,,... secaa beuua ada, a memuya c, c c, ad dee yag dga adalah c c, c c, y c Kasus, c β. c... c Galah oleh ada Kasus, deoleh... y c... Seaag, ja edua dee sama. a,,... dee edua da mug ada. Tea bla,,,... edua dee esebu daa dujua bebas lea sehgga uu asus eyelesaa umumya adalah y C... D... 5

Kasus uu,,,,... aa dbcaaa emuda [lha Soal.5 da.]. FUNGSI BESSEL ENIS PERTAMA Guaa defs 5 da yag dbea ada halama uu meujua bahwa ja,,,,... maa eyelesaa umum ada esamaa bassel adalah y A B uu asus,,,,....bualah a s, b cos, 5 9...!! 5/! 7 / a b 5 /!/ / /!!!... 5! / 5 / / / 7 / s / /... s 7 / /! 5/ / /!!!... cos.huglah a d, b d a Meode.Meode egala asal membea d [ d] d [ ] [ ][ ] d c b Meode. Guaalah, deahu d d d { d} d [ d] [ ] [ ][ d] d { d}...

Maa d [ { }] c 8 d 5 [ d] 5 [ ] [ ] 5 d d [ ]d 5 [ ] [ ] d d d [ ] d d d d Maa d 5 [ d] 5 5 5 d { } Iegal d da daa deoleh dalam beu euu.secaa umum, d daa deoleh dalam beu euu ja q da q gea haslya daa deoleh dalam suu-suu d a Bualah. s b Bahaslah a hasl a dadag da ebegauga lea da c Kaea, da,,beuu-uu dsga da, memeuh esamaa bassel,maa ", " aaalah esamaa eama dega Maa yag daa duls d d da edua dega da uagalah. " " [ ] [ ] [ ] [ ]

d Aau { [ ]} d Iegalalah,a memeoleh Uu meeua c guaalah uaa dee da,deoleh c...,...,...,... Da emuda subsusa ada, a memeoleh s c Dega megguaa hasl,dhalama 7. I membea hasl yag dga. a Beu ada a adalah deema Wos da da. a blaga bula a lha da a bahwa deema wos ol;sehgga da begauga lea da da juga jelas da soal.a. dalam hal la,ja bua blaga bula, da eduaya bebas lea aea ada asus deema wosya a ol. FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL LAINNYA Bualah e e Ka memuya Adaa mejad e e!! sehgga begea da!! sama, maa jumlahya!!!! Bualah a cos sθ cos θ cos θ... Adaa b s sθ sθ s θ 5 s 5θ... θ e ada soal,maa

e θ θ e e sθ θ e e [ cos θ s θ ] { [ ] cosθ [ ] cosθ...} { [ ] sθ [ ] s θ...} { cos θ...} { sθ s...} θ Dmaa a elah megguaa soal.a. samaa baga l da majeya uu eoleh hasl yag dga. Bualah cos θ sθ dθ,,,,... Kala hasl eama da edua soal.beuu-uu dega caa cos θ da s θ da egala da sama dega megguaa m cosm θ cos θdθ m sm θ s θdθ Kemuda ja gea aau ol deoleh : m m cos sθ cos θdθ, s sθ s θdθ Da dega mejumlahaya deoleh : [ cos sθ cos θ s sθ s θ ] dθ cos θ sθ dθ Dega caa seua,ja gajl,maa s sθ s θdθ, cos sθ s θdθ Da dega mejumlahaya deoleh θ θ dθ cos s ad a memeoleh hasl yag belau uu gea aua gajl,yau,,, Bualah hasl soal.b uu la bula dega megguaa fugs embag. Dfeesala edua uas fugs embag ehada aa meulsa lm sama uu des.

e Aau Yau I daa duls sebaga Aau Yau Kaea oefse haus sama,maa Da da s hasl yag dga deoleh dega megga oleh -. FUNGSI BESSEL ENIS KEDUA atujua bahwa ja blaga bula,eyelesaa umum esamaa Bessel adalah y E F s cos belasalah bagamaa ada daa megguaa baga a uu memeoleh eyelesaa umum esamaa bessel dalam asus bula. FUNGSI BESSEL a Kaea da bebas lea,peyelesaa umum esamaa bessel daa duls : y c c

da hasl yag dga deoleh dega megga osaa sebaag c oleh E dmaa c F cos c E, c s F s Pehaalah bahwa a medefsa fugs bessel jes edua bla bua suau blaga bula dega Y b Beulah cos s cos s Mejad suau a eu / deemae yag bebeu / uu asus suau blaga bula.hal dsebaba uu suau blaga,deahu cos da lha soal.. beu a eu daa dhug dega umus L Hosal,yau cos lm s Guaalah soal uu memeoleh eyelesaa umum esamaa uu Dalam asus haus dhug cos lm s Guaalah umus L Hosal uua emblag da eyebu ehada ada lm,deoleh lm / cos cos P / P P

Dmaa lambag yag dguaa meyaaa bahwa a megambl uua asal da da P ehada da emuda megambl.kaea. / / P lm yag dga juga sama dega Uu memeoleh / duua dee! / Tehada da deoleh /! P Seaag ja seadaya G /, maa L l / l G Sehgga uuaya ehada membea / l G G Maa uu deoleh / l / G Guaa da, deoleh / l! / { }... / l γ

Dmaa dee eah deoleh dega megguaa hasl dhalama.dee eah adalah dee uu Y.Dega caa yag sama a daa memeoleh dee dhalama uu Y dmaa sebuah blaga bula.a sebuah blaga bula,maa eyelesaa umumya y c c Y dbea oleh FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL. Bualah umus egulaga uu fugs bessel jes eama yagelah dmodfas l yag dbea oleh I I I Da soal.ba memeoleh Galah dega uu memeoleh Seaag meuu defsya I aau I sehgga mejad I I I Baglah dega,maa hasl yag dga ecaa.. a bua suau blaga bula,ujualah bahwa e a H s Meuu defs H day, maa cos H Y s s cos s cos s s

e s e s b e H s Kaea, Y H deha megga oleh ada hasl a maa deoleh e H s e s. Tujualah a Be... 8 8 Be... 8 FUNGSI BESEEL Deahu:...... 8... 8... 8... 8 8 8 8 8 9 8 Da hasl yag dga ecaa dega megga bahwa da Be Be meyamaa baga l da majeya.elu

dca bahwa adag-adag meghlaga des ol dalam Be dabe. PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN NKE DALAM PERSAMAAN BESSEL.. eua eyelesaa umum esamaa y y ay. Pesamaa esebu daa duls sebaga y y ay da meuaa suau ------husus da esamaa d halama dmaa, a a,, β maa eyelesaa see dbea adalah y c a c y a KETEGAK LURUSAN FUNGSI BESEEL.Bualah λ µ λ µ λ µ λ µ d ja λ µ. λ µ Da da dhalama,elhaa bahwa y λ y µ da Adalah eyelesaa esamaa y y λ y, y y µ y Dega egala esamaa dega y da dega y da emuda uaga, a memeoleh [ y y y y ] [ y y y y ] µ λ y y Seelah dbag dega daa duls sebaga beu Aau d d [ y y y y ] [ y y y y ] µ λ y y { [ y y y y ]} µ λ y y d d Kemuda egala da hlaga osaa egegalaya,

µ λ y y d [ y y y y ] Lalu guaa y λ y maa, µ da baga dega µ λ, λ µ ad λ µ d [ λ µ λ µ λ µ ] λ d µ λ µ λ µ λ µ µ λ Yag evale dega hasl yag dga. λ µ λ ada hasl soal o.dega meguaa umus L hosal. bua λ d λ λ. msala deoleh λµ d λ µ λ λ µ µ λ µ λ µ λ lm µ λ λ λ λ λ λ Tea aea λ λ λ λ λ λ, uu λ dega meyelesaa da mesubsusaya deoleh λ d λ λ.bua bahwa ja λda µ adalah dua aa bebeda da samaa N R S λ µ d Yau λ da dmaa R da S osaa, maa µ salg ega luus ada,. Kaea λ da µ aa da, R S a memuya λ

R λ S N, R S µ µ µ Kemuda, ja R, S da a memeoleh λ µ µ µ λ µ Sehgga da soal.a medaaa hasl yag dga λ λ d Dalam asus R, S aau R, S, hasl esebu juga daa dbua dega mudah. DERET FUNGSI BESSEL.a f A, λ < >, dmaa λ,,,,..., aa osf da, dujua bahwa A P λ λ f d Kala dee uu f dega da sama.maa λ f d A λ λ A λ da egala suu dem suu λ AK N λ Dmaa a elah meggua soal..da. besama-sama dega eyaaa bahwa d d A K λ λ f d Uu memeoleh hasl yag dga da s,dguaa umus egulaga dhalama yag evale dega umus dhalama u, a memeoleh λ λ λ λ λ

Aau aea λ λ λ.uaa f dalam suau dee yag bebeu A Uu <<,ja λ A λ d λ X λ,,,,, adlah aa osf da, λ λ λ λ v v λ λ λ v λ Dmaa a elah megguaa eggaa v λ dalam egalya da hasl soal.8 dega ad a memeoleh dee yagdga f λ λ λ v dv Yag daa duls sebaga λ λ λ λ λ... λ SOAL-SOAL TAMBAHAN PERSAMAAN DEFERENSIAL BESSEL.. Tujualah bahwa ja dga oleh λ dmaa λ osaa, maa esamaa Bessel y y y dasfomasa mejad y y λ y FUNGSI BESSEL ENIS PERTAMA

5 selag eovegea adalah X 5 7 8 <<.7.a ujua....8.ujua. d d.9. ujualah [ ]..Huglah a 5 da b 5 da esalah bahwa dalam suu-suu sus da cosus...eualah dalam suu-suu da... bualah bahwa a Da bualah eumusa hasl., [ ] [ ]. huglah a d b. d c. d. huglah a d b. d s d..5.huglah FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL TAMBAHAN. guaalah fugs embag uu membua bahwa [ ] uu asus dmaa bula..7 guaalah fugs embag uu megejaa soal. dalam asus bula. s d θ.8 ujualah cos θ.9 ujualah d FUNGSI BESSEL ENIS KEDUA.. Bualah Y Y

.. huglah a. Y, b.. Y..bualah Y Y.5. Tujualah I θ cosh s dθ..55. Tujualah a sh I I... b cosh I I I [ ] [...] sh.5. Tujualah a I cosh cosh b I sh..57. a Tujualah K K K b elasalah megaa fugs K memeuh umus egulaga yag sama see uu I dega I dga dega K..58. Bea umus asmo uu a I, b H..59. Tujualah Ke { l γ } Be Be!! 8 PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DUTRANSFORMASIKAN KEDALAM PERSAMAAN BESSEL.. Selesaa y y y... Selesaa a y y y, b y y... Selesaalah y e y. msala e u... Tujualah dega egaa lagsug bahwa y adalah suau eyelesaa da y " y da b ulsalah eyelesaa umumya....

.. a Tujua dega egaa lagsug bahwa y adalah suau jawaba da y y da b ulsa eyelesaa umumya.,,,.5. a Tujualah bahwa esamaa Bessel y y y daa d u dasfomasa edalam u dmaa y u. d b Bahaslah asus dmaa besa da jelasa hubugaya dega umus asmo dhalama. DERET TEGAK LURUS FUNGSI-FUNGSI BESSEL.. Legalah soal. dhalama 5 uu asus a R, S, b R, S.7. Tujualah d λ λ αλ.8. Bualah hasl.9. Tujualah 8 da λ..7. Tujualah λ da λ..7. Tujualah [ ] λ λ c λ λ λ... < < λ λ... < < λ λ λ... < λ λ 8 λ osf da. dmaa λ adalah aa osf dmaa λ adalah aa osf dmaa λ adalah aa.7. Guaalah soal.7 da.75 uu meujua adalah aa osf da λ. λ dmaa λ

AWABAN SOAL-SOAL TAMBAHAN.8. a 8.9. s cos b s cos.. a c b c d.. a c b j d.. s cos c.. a a b b a b b a b a a b a c b a b.8. a cos b s.5. a Y c b Y Y / c c Y Y Y Y d 5 5 5 5.. A BY y.. a As Bcos y b y A / B.5. A e BY e y