BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

dokumen-dokumen yang mirip
Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

2 BARISAN BILANGAN REAL

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

Barisan Dan Deret Arimatika

Solusi Pengayaan Matematika

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

B a b 1 I s y a r a t

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n

PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

Barisan, Deret, dan Notasi Sigma

MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11

Bab 3 Metode Interpolasi

Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

Soal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta

BAB 2 LANDASAN TEORI

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Himpunan/Selang Kekonvergenan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Teorema Nilai Rata-rata

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

E-learning matematika, GRATIS 1

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL

Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

log b = b logb Soal-Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 12 Juni 2012 Jawab: BAB II Logaritma

Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma untuk Menghitung Bilangan Fibonacci


SILABUS PEMBELAJARAN

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

log b = b logb Soal-Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 12 Juni 2012 Jawab: BAB II Logaritma

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Definisi Integral Tentu

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK

BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

UKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Kompetisi Statistika Tingkat SMA

Sistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO

Induksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna

DERET Matematika Industri 1

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

Barisan dan Deret Bilangan

Fungsi. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]

III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL. : harga saham : tingkat harapan pendapatan. yaitu

Pendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual

: XII (Dua Belas) Semua Program Studi. : Gisoesilo Abudi, S.Pd

Transkripsi:

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal sampai sekarag dibagu pada masa hidupya, tetapi ia belum sempat megagumi kemegahaya. Meskipu Leoardo lahir di Pisa, tetapi ia lebih bayak meyerap ilmu pegetahua dari orag-orag Timur, karea ia ikut ayahya yag bekerja di Aljazair. Dialah salah seorag yag telah berjasa memperkealka agka Hidu-Arab dega sistem desimal da agka olya, meskipu pada saai tu bayak ditetag. Ia meulis sebuah buku Aljabar, Liber Abaci (Buku tetag Abacus), yag sebearya merupaka buku pegaga bagi pedagag dalam aritmetika da aljabar. Buku yag diselesaikaya pada tahu 0 itu memuat masalah sebagai berikut: Misalka pertumbuha jumlah kelici megikuti keadaa sebagai berikut. Sepasag kelicui mejadi dewasa dalam waktu satu bula, da setiap bula berikutya berturut-turut setiap bula melahirka sepasag aak kelici, jata da betia. Bila tidak ada kelici yag mati, bagaimaakah perkembaga jumlah pasaga kelici itu pada setiap awal bula? Situasi tersebut dapat digambarka dega diagram sebagai berikut: awal bula ke- Tambah +0 3 + 4 + 3 + 6 +3 8 7 + 3 8 +8 Terlihat, bahwa bayakya pasaga kelici pada setiap awal bula berturut-turut adalah:,,, 3,, 8, 3,,... () Barisa di atas disebut barisa Fiboacci. Dimulai dari suku ketigaya, setiap suku barisa itu dapat diperoleh dari mejumlahka dua suku tepat sebelumya. Jika suku-suku barisa Fiboacci dilambagka dega F, maka diperoleh betuk umum: F+ F+ + F ; F da F.... () Fiboacci sediri tidak bayak meyelidiki lebih lajut tetag barisa dari masalah yag dikemukakaya itu. Ia juga tidak memberi ama barisaya sebagai Barisa Fiboacci. Nama itu Barisa Fiboacci baru mucul pada abad ke-9 da diperkealka oleh Lucas, seorag matematikawa Peracis. Lucas megembagka barisa semacam atau yag mempuyai sifat seperti Barisa Fiboacci, yag selajutya disebut Barisa Lucas, yaitu:, 3, 4, 7,, 8,... (3) Jumlah

Sifat dasarya sama dega Barisa Fiboacci. Yag berbeeda suku keduaya. Jika suku ke- Barisa Lucas dapat dilambagka dega L maka: L+ L+ + L ; L da L 3.... (4) Hubuga Barisa Fiboacci da Barisa Lucas Limapuluh suku pertama Barisa Fiboacci da Barisa Lucas adalah sebagai berikut: Tabel. Limapuluh suku pertama Barisa Fiboacci da Barisa Lucas F L F 6 393 L 6 7443 F L 3 F 7 9648 L 7 43904 F 3 L 3 4 F 8 378 L 8 70647 F 4 3 L 4 7 F 9 49 L 9 498 F L F 30 83040 L 30 860498 F 6 8 L 6 8 F 3 34669 L 3 300349 F 7 3 L 7 9 F 3 78309 L 3 4870847 F 8 L 8 47 F 33 3478 L 33 78896 F 9 34 L 9 76 F 34 70887 L 34 7043 F 0 L 0 3 F 3 9746 L 3 063339 F 89 L 99 F 36 49303 L 36 33388 F 44 L 3 F 37 4787 L 37 408 F 3 33 L 3 F 38 3908869 L 38 87403803 F 4 377 L 4 843 F 39 634986 L 39 4434 F 60 L 364 F 40 0334 L 40 8867 F 6 987 L 6 07 F 4 6804 L 4 370484 F 7 97 L 7 37 F 4 679496 L 4 9907478 F 8 84 L 8 778 F 43 433494437 L 43 9693309 F 9 48 L 9 9349 F 44 70408733 L 44 68397607 F 0 676 L 0 7 F 4 3490370 L 4 3770636 F 0946 L 4476 F 46 8363903 L 46 406843 F 77 L 39603 F 47 97073 L 47 6643838879 F 3 867 L 3 64079 F 48 48076976 L 48 074997 F 4 46368 L 4 0368 F 49 777874049 L 49 739379600 F 70 L 6776 F 0 86690 L 0 84373 Dari tabel di atas terlihat di ataraya bahwa: L F + F 3, yaitu: 3 + L3 F + F 4, yaitu: 4 + 3 L4 F 3 + F, yaitu: 7 + L F 4 + F 6, yaitu: 3 + 8 M L49 F 48 + F 0, yaitu: 739379600 48076976 + 86690 Dapat diduga bahwa: L F + F+... ( Diperoleh juga bahwa utuk 3, F 3 L 3 F 6, yaitu: 4 8 F 4 L 4 F 8, yaitu: 3 7 F L F 0, yaitu: F 6 L 6 F, yaitu: 8 8 44 F 7 L 7 F 4, yaitu: 3 9 377 F 8 L 8 F 6, yaitu: 47 987 M F L F 6, yaitu: 70 6776 86690 Dapat diduga bahwa, utuk 3 berlaku hubuga: F L F,... (6) Persamaa Diophatus (yaitu persamaa yag haya memperhatika bilaga rasioal positif sebagai jawabaya) dega betuk x + 4 y teryata peyelesaiaya adalah bilaga-bilaga bulat haya apabila x da y adalah Bilaga Fiboacci da y adalah Bilaga Lucas dega omor suku yag sama. Misalya utuk, maka x da y, maka x da y 3 3, maka x da y 4 Bila dipilih satu di atara + 4 atau 4, aka dipeuhi hubuga: F + 4 L... (7) Perhatika cotoh berikut:, F 4 L, yaitu 4, F + 4 L, yaitu +4 3 3, F3 4 L3, yaitu 4 4 3 4

4, F4 + 4 L4, yaitu 3 + 4 7, F 4 L, yaitu 4 6, F6 + 4 L6, yaitu 8 + 4 8 M 49, F49 4 L49, yaitu 777874049 4 6008878648807840 4 30443934403900 4 30443934403900 739379600 0, F0 + 4 L0, yaitu 86690 + 4 84467969674406 + 4 79070839848373 + 4 790708398483739 843733 Dega kata lai, kuadrat sebuah suku Barisa Bilaga Lucas dikuragi 4 (jika omor sukuya gajil ) atau ditambah 4 (jika omor sukuya geap), besarya adalah lima kali kuadrat suku Barisa Bilaga Fiboacci pada omor baris yag sama. Teryata juga bahwa haya da 3 saja bilaga-bilaga yag merupaka suku persekutua atara kedua barisa. Barisa Fiboacci da Bilaga Keemasa Dari suku-suku Barisa Fiboacci pada Tabel diperoleh pula hasil bagi dua suku beruruta seperti pada Tabel sebagai berikut. F F : F F : F+ F F : F F : F+ F.000000000 F 0946.68033999 0.68033990 F.000000000 0.00000000 F 77.6803398 0.68033988 F3.000000000 0.666666667 F3 867.68033990 0.68033989 F4 3.00000000 0.600000000 F4 46368.68033988 0.68033989 F.666666667 0.6000000 F 70.68033989 0.68033989 F6 8.600000000 0.63846 F6 393.68033989 0.68033989 F7 3.6000000 0.6904769 F7 9648.68033989 0.68033989 F8.63846 0.6764709 F8 378.68033989 0.68033989 F9 34.6904769 0.68888 F9 49.68033989 0.68033989 F0.6764709 0.679778 F30 83040.68033989 0.68033989 F 89.68888 0.6806 F3 34669.68033989 0.68033989 F 44.679778 0.6807 F3 78309.68033989 0.68033989 F3 33.6806 0.680373 F33 3478.68033989 0.68033989 F4 377.6807 0.6803787 F34 70887.68033989 0.68033989 F 60.680373 0.68034448 F3 9746.68033989 0.68033989 F6 987.6803787 0.6803383 F36 49303.68033989 0.68033989 F7 97.68034448 0.6803406 F37 4787.68033989 0.68033989 F8 84.6803383 0.68033963 F38 3908869.68033989 0.68033989 F9 48.6803406 0.68033999 F39 634986.68033989 0.68033989 F0 676.68033963 0.6803398 F40 0334.68033989 0.68033989 Terlihat bahwa utuk setiap yag semaki besar ilai F : F utuk yag beruruta selalu aik da turu secara bergatia da semaki medekati atau sama dega,68033989, ilai pedekata sampai dega delapa tempat desimal dari,680339887498948480486834366... Sebalikya ilai F : F + yag ilaiya juga bergatia aik da turu, semaki medekati atau sama dega 0,68033989, ilai pedekata sampai dega 8 tempat desimal dari bilaga 0,680339887498948480486834366. Utuk setiap ilai gajil da semaki besar, ilai F : F da F : F+ cederug turu medekati ilai batasya dari atas, sedagka utuk setiap ilai geap, ilai F : F da F : F+ cederug aik medekati ilai batasya dari bawah. Kedua ilai batas tersebut selisihya adalah. Bilaga,680339887498948480486834366... dikeal sebagai bilaga keemasa. Bilaga itu dilambagka dega Φ (phi). Jadi Φ,680339887498948480486834366... Rumus Umum Suku ke- Barisa Fiboacci. Utuk meetuka rumus suku ke- Barisa Fiboacci, berikut ii disampaika pejabara meurut Biet. Jika diperhatika ilai perbadiga atara sukusukuya yag beruruta, tampak adaya faktor yag mempegaruhi besar ilai sebuah suku, yaitu oleh bilaga yag diperoleh dari hasil bagi dua suku yag dikeal sebagai Φ tersebut di atas. Barisa yag setiap hasil bagi u : u 6

merupaka kostata adalah barisa geometri dega suku umumya adalah u ar. Utuk meetuka rumus umum barisa Fiboacci kita berasumsi bahwa F merupaka suatu fugsi suatu variabel, misalya x, yag berderajat, sehigga: (8) F Cx... Daaari () da (8) diperoleh hubuga: Cx + Cx + + Cx Jika kedua ruas dibagi Cx diperoleh: x x + x x 0 x, ± + 4 + x da x Betuk umum suku ke- dari F dapat diubah mejadi F Ax + Bx atau: F A + + B... (9) dega F F. Jika ilai F da F disubstitusika ke persama (9) diperoleh: + A + B... (0) A + + B 6 + A + B 4 6 4 3 + 3 A + B... () Dari (0) da () diperoleh A F F Karea x da B, sehigga + atau ( + (... () +,6803398... Φ, maka φ +. Betuk () dapat diubah mejadi: F φ ( ) φ... (3) Dega cara rumus suku ke- barisa Lucas, 3, 4, 7,, 8,... adalah L +... (4) Barisa Dua Lagkah Misalka disusu barisa dega suku ketiga diperoleh melalui cara yag sama seperti pada Barisa Fiboacci, sedagka kedua suku awalya dipilih sembarag bilaga. Jika suku ke--ya dilambagka dega u, maka barisaya dikeal dega Barisa Dua Lagkah (Two Steps Sequece), yag rumus umumya: ( Cotoh: u+ u+ + u ;... u da u bilaga tertetu. ), 4,, 9, 4, 3, 37, 60,... ) 3,,, 7,, 9, 3, 0,... 3) 4,,, 6,, 7, 8, 4,... 7 8

4), 3, 8,, 9, 30, 49, 79,..., 3, 4, 7,, 8, 9, 47,... Fakta pertama dari berisa dua lagkah teryata sagat uik. Perhatikalah barisa yag terbetuk dari hasil peguraga setiap suku dega suku di depaya. Kemudia dega melakuka hal serupa, aka diperoleh hasil yag berbeda haya pada beberapa suku pertama, 4,, 9, 4, 3, 37, 60,... ), 4,, 9, 4, 3, 37, 60,... 3 4 9 4 3 3 4 9... 3 4... Setiap barisa memiliki bagia barisa:, 4,, 9, 4, 3, 37, 60,... ) 3,,, 7,, 9, 3, 0,... 3 7 9... 4 3 7... 4 3... Setiap barisa memiliki bagia barisa: 3,,, 7,, 9, 3, 0,... Hal di atas sesugguhya buka hal yag megejutka. Perhatika kembali secara umum: u+ u + u+ u+ u+ u Dega meggati diperoleh: u+ u u Ii meujukka bahwa barisa yag sukiu-sukuya yag beruruta terbetuk oleh hasil peguraga setiap suku dega suku di depaya adalah juga barisa dua lagkah. Fakta berikutya meujukka, bahwa teryata berapa pu suku pertama da kedua ditetuka, utuk yag semaki besar ilai u+ : u semaki medekati Φ da u : u + semaki medekati Φ φ. Dega demikia maka 9 setiap barisa dua lagkah memiliki sifat yag sama, yaitu lim (F + : F) Φ da lim (F : F+ ) φ Barisa dua lagkah pada cotoh terakhir di atas yaitu:, 3, 4, 7,, 8, 9, 47,... diamaka Barisa Lucas, sesuai ama peyusu awalya da pemberi ama bagi Barisa Fiboacci. Barisa Lucas Seperti dissebutka di atas, Barisa Lucas adalah barisa dua lagkah dega suku pertama da kedua berturutturut da 3. Berikut ii dipaparka 40 pasaga pertama suku-suku Barisa Fiboacci da Barisa Lucas. F L F L F L F 0946 L 4476 F L 3 F 77 L 39603 F 3 L 3 4 F 3 867 L 3 64079 F 4 3 L 4 7 F 4 46368 L 4 0368 F L F 70 L 6776 F 6 8 L 6 8 F 6 393 L 6 7443 F 7 3 L 7 9 F 7 9648 L 7 43904 F 8 L 8 47 F 8 378 L 8 70647 F 9 34 L 9 76 F 9 49 L 9 498 F 0 L 0 3 F 30 83040 L 30 860498 F 89 L 99 F 3 34669 L 3 300349 F 44 L 3 F 3 78309 L 3 4870847 F 3 33 L 3 F 33 3478 L 33 78896 F 4 377 L 4 843 F 34 70887 L 34 7043 F 60 L 364 F 3 9746 L 3 063339 L 6 987 L 6 07 F 36 49303 L 36 33388 F 7 97 L 7 37 F 37 4787 L 37 408 F 8 84 L 8 778 F 38 3908869 L 38 87403803 F 9 48 L 9 9349 F 39 634986 L 39 443 F 0 676 L 0 7 F 40 0334 L 40 886 0

Fakta yag tampak pada tabel di atas di ataraya: F + F 3 + 3 L F + F 4 + 3 4 L 3 F 3 + F + 7 L 4 F 4 + F 6 3 + 8 L F + F 7 + 3 8 L 6 Dapat diduga bahwa: F + F + L + Perhatika juga yag berikut ii: F L F F 3 3 F 4 3 4 8 F 6 4 3 7 F 8 F 0 6 8 8 44 F 7 3 9 377 F 4 M Dega memperhatika papara di atas dapat diduga bahwa: F L F ( A) Salah satu sifat yag dapat diamati di ataraya ialah: Sifat-sifat Barisa Fiboacci Telah ditujukka bahwa Barisa Fiboacci termasuk barisa dua lagkah yag rumus rekursifya F+ F + F+, rumus umum suku ke- adalah F ( + ( dega F F. Dari hubuga di atas diperoleh: F F + F 4) F (F + F 3) + F (meggati F dega F + F 3) F + F 3 (F 3 + F 4) + F 3(meggati F dega F 3 + F 3 F 3 + F 4 3(F 4 + F + F 4 (meggati F 3 dega F 4 + Dega memperhatika betuk di atas da dari rumus rekursifya diperoleh bahwa: F, F, F 3, F 4 3, F, F 6 8, F 7 3, da seterusya Dapat diduga pula bahwa: F Fk+ F k + Fk F k, utuk k < atau Fm+ Fm+ F + Fm F.... (6) Jika m maka diperoleh: F+ F+ F + F F. F F (F+ + F ) Rumus-rumus:. F F(F+ + F)... (7) Bukti: F ( + ( + ( ( ( + + ( ( + ( + ( F F(F+ + F)

( + ( ( + + ( + ( + ( + + ( (+ ( (+ ( ) ( ) ( (+ ( ) + (( + ( ) + ( + + ( ( + ( ) + (( + + ( ) ( ) ( + (. F + F + F3 + + F F+ Bukti: Fk+3 Diadaika rumus di atas bear utuk k, maka F + F + F 3 + + Fk Fk+ Dibuktika rumus bear utuk k +. Berarti harus dibuktika bahwa: F + F + F 3 + + Fk + Fk+ Fk+3 Bukti: F + F + F 3 + + Fk + Fk+ Fk+ + Fk+ Fk++Fk+ ; sedagka Fk++Fk+ Fk+3 (terbukti) Dicoba utuk : F F 3 ; sedagka pada barisa Fiboacci F da F 3 bear Karea bear utuk k da k + serta bear utuk maka bear utuk setiap ilai. Rumus-rumus berikuit ii dapat Ada buktika sediri kebearaya seperti kedua cotoh di atas. 3. F+ (F+) +( F) 4. F (F+) ( F ). F + F3 + F + + F F 6. F + F4 + F6 + + F F+ 7. F+ F F ( ) F + F F F + F ( + ( + ( + ( + ( + + ( + ( + ( + ( + ( + ( )( + ( + F. + ( (. + ( + ( + 4. ( Beberapa catata: ( + ( (. (. ( ( + ( + ( + + ( ( ( + ( ( + (. Dapat ditujukka, bahwa F geap haya bila kelipata 3.. Utuk setiap, ilai satua pada F+60 da F sama. 3. Dua Bilaga Fiboacci beruruta merupaka pasaga prima relatif (pembagi persekutuaya haya sebuah, yaitu ). 3 4

4. Utuk setiap Bilaga Fiboacci F yag merupaka bilaga prima, maka pastilah juga prima.

2024 © DocPlayer.info Pengaturan dan alat privasi | Ketentuan | Tanggapan