JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 3, 118-70, Desember 003, ISSN : 1410-8518 INTERVAL SELISIH RATA-RATA DENGAN METODE BOOTSTRAP PERSENTIL Akhmad Fauzy Statistika FMIPA UII Yogyakarta & siswa Ph.D Statistika UPM Malaysia N. A. Ibrahim, Isa Daud da Mohd. Rizam Abubakar Istitut Peyelidika Matematik (INSPEM) da Jabata Matematik Uiversiti Putra Malaysia Abstrak We usually use traditioal method to costruct iterval for the differece betwee two populatio meas. This iterval eeds a assumptio that sample is radom ad has ormal distributio (symmetric). This article will discuss aother method, amely bootstrap percetile. Bootstrap percetile method is more potetial i costructig this iterval ad give shorter iterval tha the traditioal method. This method does ot eed a assumptio that the sample has to have a ormal distributio. Kata Kuci : differece meas, iterval, traditioal method, bootstrap percetile 1. PENDAHULUAN Suatu idustri biasaya mempuyai lebih dari satu mesi produksi yag sama. Walaupu mesi-mesi produksi tersebut mempuyai spesifikasi yag sama, aka tetapi jumlah produksi yag dihasilka dapat berbeda. Biasaya maajeme idustri igi melakuka perhituga tetag selisih rata-rata produksi utuk masig-masig mesi. Dalam meetuka ilai iterval utuk selisih rata-rata biasaya diguaka metode tradisioal. Rumus yag diguaka dalam metode tersebut memerluka asumsi bahwa kedua sampel adalah radom da berdistribusi ormal. Apabila dalam pegambila kedua sampel tersebut radom da berdistribusi ormal, maka sebearya kita dapat dega mudah membuat iterval selisih rata-rataya (Walpole ad Myers, 1978). Telah diketahui bahwa metode bootstrap persetil adalah suatu metode berbasis komputer yag sagat potesial utuk diperguaka pada masalah- 110
Iterval Selisih Rata-rata (Akhmad Fauzy dkk) masalah ketidakbiasa da keakurasia, khususya dalam meetuka iterval. Pada kodisi sampel radom berdistribusi ormal, perlu dicoba apakah metode bootstrap persetil masih yag terbaik dalam meduga iterval selisih rata-rata (Efro ad Tibshirai, 1993). Tulisa ii bertujua utuk meujukka bahwa iterval selisih rata-rata pada sampel berdistribusi ormal yag dihasilka oleh metode bootstrap persetil aka lebih baik apabila dibadigka dega megguaka metode tradisioal seperti yag selama ii kita guaka.. METODOLOGI PENELITIAN Data yag diguaka pada peelitia ii adalah data buata (artificial). Data tersebut meujukka jumlah produksi (dalam to) yag dihasilka oleh mesi dega spesifikasi yag sama selama 1 tahu. Lagkah pertama adalah membuat pedugaa iterval selisih rata-rata dega metode tradisioal. Lagkah selajutya adalah mecari ilai ulaga bootstrap yag meujukka kodisi koverge. Setelah diketahui kodisi kovergeya, maka iterval dega metode bootstrap persetil dapat dicari. Kemudia hasil pedugaa iterval dega metode tradisioal da metode bootstrap persetil dibadigka..1 Metode Tradisioal Dalam meetuka ilai iterval yag dicari dega megguaka metode tradisioal utuk selisih rata-rata pada sampel berdistribusi simetris da variasi populasi tidak diketahui, para peggua statistik biasaya megguaka rumus ( x - x ) z s /( ) + ( s ) ( ) ± α utuk jumlah sampel besar da 1 / 1 1 / ( x - x ) t s /( ) + ( s ) ( ) 1 ± α / 1 1 / utuk jumlah sampel kecil. x 1, x da s 1, s masig-masig meyataka rata-rata sampel da deviasi stadar sampel. Agka 1 da masig-masig meyataka sampel kelompok 1 da. z α/ da t α/ meyataka ilai dari distribusi z da t dega derajat bebas 1 + -, dimaa 1 adalah jumlah sampel 1 da adalah jumlah sampel. Rumus tersebut 111
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 3, 118-70, Desember 003, ISSN : 1410-8518 memerluka asumsi bahwa kedua sampel adalah radom da berdistribusi ormal (Steel ad Torrie, 1980). Apabila dalam pegambila kedua sampel tersebut radom da berdistribusi ormal, maka sebearya kita dapat dega mudah membuat iterval selisih rata-rataya. Aka tetapi apabila kedua sampel tersebut belum diketahui distribusiya, maka perlu diuji apakah kedua sampel berdistribusi ormal. Apabila teryata hasilya tidak berdistribusi ormal, maka biasaya kita terpaksa memberika asumsi bahwa kedua sampel tersebut berdistribusi ormal (Koopmas, 1987).. Metode Bootstrap Persetil Metode bootstrap adalah suatu metode berbasis komputer yag sagat potesial utuk diperguaka pada masalah ketakstabila da keakurasia, khususya dalam meetuka iterval. Istilah bootstrap berasal dari pull oeself up by oe s bootstrap, yag berarti berpijak di atas kaki sediri, berusaha dega sumber daya miimal. Dalam sudut padag statistika, sumber daya yag miimal adalah data yag sedikit, data yag meyimpag dari asumsi tertetu, atau data yag tidak mempuyai asumsi apapu tetag distribusi populasiya (Fauzy, 000). Tujua dari pegguaa metode bootstrap adalah utuk medapatka pedugaa yag sebaik-baikya yag berasal dari data yag miimal. Dega demikia pegguaa komputer dalam metode bootstrap mutlak diperluka (Fauzy, 1998). Efro telah meujukka bahwa bootstrap dapat megatasi berbagai persoala yag mucul dalam pedugaa. Salah satu kedala dalam peerapa bootstrap pada awal peemuaya adalah pegguaa komputasi yag besar. Aka tetapi pada saat sekarag sejala dega perkembaga peragkat keras da peragkat luak komputer yag semaki caggih, peelitia dalam bidag 11
Iterval Selisih Rata-rata (Akhmad Fauzy dkk) statistika yag berbasis komputer seperti bootstrap dapat berkembag sagat cepat (Zulela, et. al, 1997). Secara umum prosedur bootstrap persetil utuk meduga iterval selisih ratarata adalah sebagai berikut : 1. Berika peluag yag sama 1/ 1 da 1/ pada setiap pegamata sampel berukura 1 da,. Megambil suatu sampel berulag secara radom berukura 1 da dega pegembalia, kemudia hitug selisih ilai rata-rata dari sampel 1 dega sampel, 3. Ulagi lagkah sebayak B kali utuk medapatka idepedet bootstrap replicatios ˆ *1, ˆ * β,...., ˆβ da mecari pada ulaga keberapa tercapai β * B kodisi koverge. Hitug selisih rata-rataya, yaitu: 1 B i i βˆ = ( βˆ * * βˆ ) * 1 B i=1 4. Iterval bootstrap persetil pada tigkat (1-α) didefiisika dega persetil * ke-100(α/) da ke-100(1-α/) pada β ˆ, sehigga iterval persetil dapat diyataka dega: ˆ * ( α/) *( 1- /), ˆ α β β. [ ] 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Data yag diguaka pada peelitia ii adalah data buata (artificial). Misalka sebuah idustri meghasilka produk (dalam to) yag dihasilka oleh mesi (X da Y) dega spesifikasi yag sama selama 1 tahu. 113
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 3, 118-70, Desember 003, ISSN : 1410-8518 Tabel 1. Jumlah produksi (dalam to) mesi X da Y selama tahu 00 bula mesi X mesi Y bula mesi X mesi Y Jauari 563.8 379.0 Juli 534.4 477.8 Pebruari 494.7 47.6 Agustus 458.0 584.7 Maret 58.7 538.8 September 51. 470.4 April 51.1 40.6 Oktober 468.1 53.3 Mei 578.4 433.9 Nopember 586.8 466.3 Jui 533.9 504.4 Desember 48.7 41. (data artificial) Idustri tersebut berkeigia utuk mecari iterval selisih rata-rata produksi atara mesi X da Y, sehigga atiya diperoleh gambara tetag kapasitas dari mesi tersebut. 3.1 Metode Tradisioal Karea jumlah dataya kurag dari 30, maka utuk mecari iterval selisih ratarataya diguaka rumus: ( x - x ) t s /( ) + ( s ) ( ) 1 ± α / 1 1 / Dega megguaka rumus di atas maka batas bawah, batas atas da lebar iterval pada tigkat kepercayaa 99 % da 95 % dapat diperoleh. Tabel. Batas bawah (BB), batas atas (BA) da lebar iterval (LS) pada tigkat kepercayaa (TK) 99 % da 95 % utuk selisih rata-rata produksi mesi X da Y TK BB BA LS 99 % (-14.1573) 108.9573 13.1146 95 %.1000 9.690 90.590 114
Iterval Selisih Rata-rata (Akhmad Fauzy dkk) 3. Metode Bootstrap Persetil Utuk mecari pada ulaga keberapa aka tercapai kodisi koverge, maka perlu dibuat plot atara bias dega ulaga. Plot tersebut dapat dilihat pada grafik 1. 7 6 5 4 bias 3 1 0-1 - 0 500 1000 1500 ulaga 000 500 Grafik 1. Plot atara bias dega ulaga pada selisih rata-rata Dari grafik 1 terlihat bahwa kodisi koverge tercapai pada ulaga ke-300. Iterval bootstrap persetil pada tigkat kepercayaa 99 % da 95 % dapat dilihat pada tabel 3 di bawah ii. Tabel 3. Batas bawah (BB), batas atas (BA) da lebar iterval (LS) pada tigkat kepercayaa (TK) 99 % da 95 % utuk selisih rata-rata produksi mesi X da Y TK BB BA LS 99 % (-9.1667) 99.3917 108.5584 95 % 5.8583 88.3083 8.4500 115
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 3, 118-70, Desember 003, ISSN : 1410-8518 3.3 Perbadiga Lebar Iterval Perbadiga lebar iterval selisih rata-rata pada jumlah sampel kecil atara metode tradisioal dega metode bootstrap persetil dapat dilihat pada tabel 4. Tabel 4. Lebar iterval pada tigkat kepercayaa (TK) 99 % da 95 % utuk selisih rata-rata produksi mesi X da Y Metode TK 99 % 95 % Tradisioal 13.1156 90.590 Bootstrap persetil 108.5584 8.4500 Selisih iterval 14.557 8.140 Iterval yag dihasilka oleh metode bootstrap persetil lebih pedek dari pada yag dihasilka oleh metode tradisioal. Hal ii bisa dilihat pada tabel 4, dimaa terjadi selisih lebar iterval yag cukup besar atara kedua metode tersebut. Dega demikia dapat disimpulka bahwa metode bootstrap persetil jauh lebih baik dari pada metode tradisioal, karea metode bootstrap persetil meghasilka lebar iterval yag lebih pedek. 4. KESIMPULAN Metode yag lebih baik di dalam meduga iterval selisih rata-rata pada sampel kecil adalah metode bootstrap persetil. Metode tersebut meghasilka lebar iterval yag lebih sempit apabila dibadigka dega metode tradisioal. 116
Iterval Selisih Rata-rata (Akhmad Fauzy dkk) DAFTAR PUSTAKA 1. Efro, B. ad Tibshirai R.. A Itroductio to the Bootstrap. New York: Chapma & Hall. 1993.. Fauzy, Akhmad.. Iterval Kofidesi utuk Koefisie β1 dari Garis Regresi apabila Ragam Galat Tidak Homoge dega Metode OLS, WLS da Bootstrap. Thesis. Bogor: IPB Bogor. Tidak dipublikasika. 1998. 3. Fauzy, Akhmad. Estimasi Iterval Kofidesi Nilai Rata-rata pada Sampel Berdistribusi t dega Metode Bootstrap Persetil. Badug: Jural MIHMI ITB, Volume 6 No. 5 ISSN 0854-1380 tahu 000 Akreditasi DIKTI No. 08/D/T/1996. 4. Koopmas, L. H. Itroductio to Cotemporary Statistical Methods. Secod Editio. Bosto: PWS Publisher 1987. 5. Steel, Robert G. D. ad James H. Torrie.. Priciples ad Procedures of Statistics. New York: McGraw-Hill. 1980 6. Walpole, Roald E. ad Raymod H. Myers. Probability ad Statistics for Egieers ad Scietists. Secod Editio. New York: Macmilla Publishig Co. 1978. 7. Zulaela, et. al. Simulasi Bootstrap utuk Estimasi Iterval. Lapora Peelitia bidag Statistika. Lembaga Peelitia, Yogyakarta: Uiversitas Gadjah Mada. Tidak dipublikasika. 1997. 117