REGRESI KERNEL DENGAN METODE NADARAYA WATSON REGRESI KERNEL DENGAN METODE NADARAYA WATSON Ole : SKRIPSI Diajuka Kepada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetaua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta Utuk Memeui Sebagia Persyarata Gua Memeui Gelar Sarjaa Sais Ole: ESTY 073054403 Esty NIM 073054403 ABSTRAK Dalam aalisis regresi terdapat dua jeis pedekata dalam meetuka kurva regresi, yaitu pedekata parametrik da oparametrik Regresi kerel merupaka sala satu model dega pedekata oparametrik yag tidak megguaka asumsi tertetu megeai betuk kurva regresi maupu distribusi galat Tujua dari peelitia ii adala mejelaska pegguaa regresi kerel utuk megestimasi kurva regresi serta aplikasiya Metode yag diguaka dalam regresi kerel adala metode estimasi Nadaraya-Watso dega megguaka fugsi Kerel Gaussia Kosep estimasi Nadaraya-Watso bertujua utuk megestimasi kurva regresi yag tidak cocok dega dataya, tetapi juga memiliki derajat kemulusa tertetu, dimaa kemulusa kurva regresi dipegarui ole pemilia badwit () yag optimal yaitu ilai yag megasilka ilai terkecil dari CV (Cross Validatio) Peritugaya megguaka batua sofware MATLAB 70 da utuk meetuka ilai CV megguaka sofware ecel Lagka-lagka utuk meetuka estimasi kerel dega metode Nadaraya Watso adala: () megitug ilai bobot kerel dari data yag diketaui, () megitug ilai m ( ) dega megguaka rumus Nadaraya Watso, (3) megitug ilai Cross Validatio ( CV ), (4) memili ilai badwit yag megasilka Cross Validatio terkecil Coto peerapa dari skripsi ii diambil dari permasalaa yag dialami ole PT PLN megeai peurua tegaga teaga listrik Adapu data yag diguaka adala besarya peurua tegaga sesaat pada durasi setiap 0,5 detik sebayak 5 pegamata Hasil dari peerapa regresi kerel dega metode estimasi Nadaraya-Watso memperole grafik regresi yag sagat medekati plot data asli dega ilai optimalya adala =,8 dega da ilai CV 0,803 Seigga regresi kerel dega metode Nadaraya Watso adala metode yag baik utuk megestimasi grafik regresi yag belum diketaui fugsiya Kata kuci : Nadaraya Watso, fugsi Gaussia, badwit PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 04 i vii BAB I PENDAHULUAN Pedekata oparametrik merupaka pedekata regresi yag sesuai utuk pola data yag tidak diketaui betukya, atau tidak terdapat iformasi masa lalu tetag pola data (I Nyoma Budiatara, 00: ) Model regresi A Latar Belakag Aalisis regresi merupaka suatu metode statistika yag dapat diguaka utuk megetaui ubuga atara suatu variabel terikat (depede) Y teradap satu atau lebi variabel bebas (idepede) X seigga memperole persamaa da megguaka persamaa tersebut utuk membuat perkiraa atau prediksi Utuk sebua sampel berukura data pegamata (X, Y),, (X, Y), ubuga atara variabel-variabel tersebut dapat diyataka dega model regresi Y=m(X) Dimaa m adala fugsi matematik yag disebut sebagai fugsi regresi yag belum Dalam regresi parametrik, model regresi ada dua yaitu model regresi liear da oliear Model regresi liear merupaka metode statistika yag diguaka utuk megaalisis ubuga liear atara satu variabel atau lebi variabel bebas ( dega variabel terikat ( ) Model regresi o liear adala megaalisis ubuga o liear atara dua variabel yaitu variabel bebas da variabel terikat Beberapa betuk dari regresi liear diataraya regresi liear sederaa maupu regresi liear bergada yag diguaka utuk memperole model ubuga liear atara variabelvariabel bebas dega variabel terikat sepajag tipe dataya adala iterval atau rasio oparametrik yaitu kurva regresi berdasarka pedekata oparametrik diwakili ole suatu model Dalam regresi oparametrik fugsi regresi umumya aya diasumsika termuat dalam suatu ruag fugsi yag berdimesi tak igga Meurut Lilis Laome, (00: ) dalam juralya yag berjudul Perbadiga Model Regresi Noparametrik dega Regresi Splie da Kerel memberika kesimpula ada beberapa metode pedekata regresi oparametrik da di atara metode-metode yag palig serig diguaka yaitu metode oparametrik dega pedekata splie da kerel Kedua metode tersebut memiliki keuggula masig-masig Dalam pedekata kerel perituga matematisya muda disesuaika, sedagka pedekata splie dapat meyesuaika diri secara efektif teradap data seigga didapatka asil yag medekati kebeara I Nyoma Budiatara (00: ) megugkapka bawa terdapat beberapa tekik utuk megestimasi kurva regresi dalam regresi oparametrik, yaitu estimator kerel da istogram, splie, Deret Fourier da Wavelets, da Deret barisa estimasi ortogoal Meurut Siaa Halim, Idriati Bisoo (006: 74) dalam juralya yag berjudul Fugsi-Fugsi Kerel pada Metode Regresi Noparametrik da Aplikasiya pada memberika kesimpula jika asumsi teradap sebua model parametrik dibearka, maka fugsi regresi dapat diestimasi dega cara yag lebi efisie
3 4 jika dibadigka dega megguaka sebua metode oparametrik Tetapi jika asumsi teradap model parametrik ii sala, maka asilya aka memberika kesimpula yag sala teradap fugsi regresi Meurut I Komag Gede Sukarsa, (0:) dalam juralya yag berjudul estimator kerel dalam model regresi oparametrik megugkapka bawa regresi kerel adala tekik statistik oparametrik utuk megestimasi ilai E(Y X) = m(x) atau dalam suatu variabel Tujua regresi kerel yaitu utuk memperole ubuga oliear atara X dega Y Meurut Lilis Laome, utuk mecapai suatu pedekata fugsi regresi oparametrik perlu megestimasi ekspektasi bersyarat m(x) dega megguaka metode Nadaraya Watso Seigga dapat diketaui besarya bias da variasya B Rumusa Masala Berdasarka latar belakag masala di atas maka dapat dirumuska permasalaa sebagai berikut : Bagaimaa regresi kerel dega metode estimasi Nadayara-Watso dalam fugsi kerel Gaussia? Bagaimaa peerapa dalam pegguaa metode estimasi Nadaraya- Watso? C Tujua Peulisa Berdasarka rumusa masala tersebut maka tujua peulisa ii adala sebagai berikut : Terdapat beberapa jeis fugsi kerel, atara lai kerel uiform, kerel triagle, kerel epaecikov, kerel gaussia, kerel kuartik da kerel cosius (Hardle, 990) Dalam regresi kerel, pemilia parameter pemulus (badwidt) Mejelaska regresi kerel dega metode estimasi Nadaraya-Watso dalam fugsi kerel Gaussia Mejelaska pegguaa metode estimasi Nadaraya-Watso jau lebi petig dibadigka dega memili fugsi kerel Dalam regresi kerel yag mejadi permasalaa adala pemilia badwidt, buka pada pemilia fugsi kerel Fugsi kerel yag umum diguaka adala Kerel Gaussia Pada pembaasa skripsi ii aka diguaka metode Nadaraya Watso utuk megestimasi model regresi oparametrik dega fugsi berdistribusi ormal D Mafaat Mafaat dari peulisa skripsi ii adala : Bagi peulis Dapat memberika gambara da ilmu pegetaua tetag pegguaa regresi kerel dega metode Nadaraya-Watso 5 Bagi Jurusa Pedidika Matematika Dapat dijadika sebagai referesi maupu iformasi tambaa BAB II LANDASAN TEORI perpustakaa Jurusa Pedidika Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetaua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta Pada BAB II ii aka dibaas megeai Aalisis Regresi, Regresi Parametrik, Regresi Noparametrik, Estimasi Kerel, Sifat - Sifat Estimator, Fugsi Desitas Peluag da Deret Taylor Pembaasa - pembaasa tersebut aka dijadika sebagai ladasa teori pada bab selajutya A Aalisis Regresi Aalisis regresi adala suatu metode statistika yag dapat diguaka utuk megaalisis ubuga atara suatu variabel terikat (depede) Y teradap satu atau lebi variabel bebas (idepede) X Hubuga atar kedua variabel tersebut dapat digambarka ole suatu kurva regresi dega betuk fugsi regresi tertetu Diberika pegamata Hubuga atara da diasumsika megikuti model regresi : dega : : kurva regresi : variabel galat Dalam pegguaa regresi terdapat beberapa asumsi galat yag arus dipeui Asumsi-asumsi galat yag arus dipeui adala sebagai berikut: 6
7 8 Galat-galat merupaka variabel acak dega mea ol da variasi atau da Galat-galat ( da, ) tidak berkorelasi (salig bebas) seigga 3 Galat-galat berdistribusi ormal Model Regresi Liear Aalisis regresi liear merupaka model statistika yag diguaka utuk megaalisis ubuga liier atara satu variabel atau lebi variabel bebas ( dega variabel terikat (Y) Secara matematis dapat ditulis dalam model regresi liear sebagai berikut: Meurut Eubak (988: 3) da Hardle (990: 4) terdapat dua jeis pedekata dalam meetuka kurva regresi yaitu pedekata parametrik da pedekata o parametrik atau regresi o parametrik B Regresi Parametrik Apabila dalam aalisis regresi betuk kurva regresi tela diketaui, maka dega : : variabel terikat dalam pegamata keda : parameter : variabel bebas dari pegamata ke-j : variabel galat acak ) model regresi tersebut diamaka model regresi parametrik (Hardle, 990: 4) Regresi parametrik merupaka metode statistika yag diguaka utuk megetaui ubuga atara variabel bebas da variabel terikat, dega asumsi bawa betuk kurva regresi diketaui Pedekata parametrik megasumsika betuk fugsi regresi tertetu da distribusi galatya arus memeui asumsi tertetu seperti ormalitas, omokedastisitas, tidak terjadi autokorelasi da multikoliiearitas Asumsi-asumsi tersebut sagat berpegaru teradap model regresi Dalam model regresi parametrik, terdapat dua model yaitu model liear da o liear Pada kasus di maa model regresi pada persamaa () aya dibetuk ole satu variabel bebas maka disebut dega Regresi Liear Sederaa (Simple Liear Regressio) Persamaaya mejadi: 3) Asumsi-asumsi dalam aalisis regresi liear sederaa adala sebagai berikut: Galat memiliki ragam yag kosta Galat meyebar ormal 3 Galat bersifat salig bebas 9 0 Sedagka utuk variabel bebas lebi dari satu disebut Regresi Liier Bergada Dari persamaa () dapat diuba mejadi: Asumsi-asumsi yag arus dipeui dalam regresi poliomial, diataraya adala: Persamaa regresi dugaa utuk model Regresi Liear Bergada adala 4) Regresi Poliomial Sala satu coto tipe dari model parametrik adala persamaa regresi poliomial dimaa parameter-parameter tersebut adala koefisie dari variabel bebas (Hardle, 990: 4) Meurut Sembirig (995: 3), poliom bayak diguaka dalam megampiri suatu kurva, artiya suatu kurva selalu dapat diampiri ole suatu deret poliom Regresi poliomial adala betuk kusus dari model regresi liier umum dalam parametrik yag dibetuk dega mejumlaka pegaru masig-masig variabel bebas yag dipagkatka sampai orde ke- Secara umum, model ditulis sebagai berikut: 5) (tidak terjadi autokorelasi) 3 Ragam galat omoge (tidak terjadi eteroskedesitas 4 Tidak terjadi korelasi atar variabel bebas (multikoliearitas) 5 Galat berdistribusi ormal C Regresi Noparametrik Statistik oparametrik dapat diguaka pada data yag memiliki distribusi ormal ataupu tidak Istila oparametrik pertama kali diperkealka ole Wolfowitz pada tau 94 Pedekata oparametrik merupaka pedekata regresi yag sesuai utuk pola data yag tidak diketaui betukya, atau tidak terdapat iformasi masa lalu tetag pola data (Budiatara, 00) Meurut Hardle (990: 5) pedekata oparametrik merupaka pedugaa model yag dilakuka berdasarka pedekata yag tidak terikat asumsi betuk kurva regresi tertetu dega : : Variabel terikat dalam pegamata ke- : Variabel bebas ke- dega orde ke- : Koefisie regresi yag bersesuaia dega variabel bebas kedega orde ke- :Variabel galat acak Kurva regresi yag sesuai dega pedekata oparametrik diwakili ole model yag disebut dega model regresi oparametrik Regresi oparametrik merupaka suatu metode regresi utuk megetaui pola ubuga atara satu variabel bebas ( ) dega variabel terikat Regresi oparametrik tidak membutuka asumsi megeai betuk kurva
regresi maupu distribusi galat Ole karea itu, regresi oparametrik bersifat lebi fleksibel teradap perubaa pola data (Eubak, 988: 3) Regresi oparametrik yag aya memiliki satu variabel disebut regresi oparametrik sederaa Regresi oparametrik tersebut dimodelka sebagai berikut: 6) dega : : variabel terikat : fugsi regresi oparametrik : variabel galat acak Skala omial Skala omial merupaka skala yag palig lema di atara keempat skala pegukura yag ada Skala omial juga disebut skala klasifikasi karea skala ii diguaka utuk megklasifikasi suatu objek, orag atau sifat megguaka agka-agka atau lambag-lambag berdasarka ama atau predikat Sebagai coto, agka diguaka utuk meyebut kelompok barag-barag yag cacat da 0 utuk barag-barag yag tidak cacat dari suatu proses produksi Agka 0 da diguaka sebagai lambag utuk membedaka atara barag-barag yag cacat da tidak cacat Dega demikia, barag-barag yag tidak cacat dega agka 0 da barag-barag yag tidak cacat dega agka tapa meguba maka Data semacam ii disebut data itug atau data frekuesi Prosedur dalam statistika yag diguaka utuk megaalisis data ditetuka ole skala pegukura yag diguaka ketika melakuka pegamata Pegukura adala sekumpula atura utuk meetapka suatu bilaga yag mewakili obyek, sifat, karakteristik, atribut atau tigka laku Skala adala perbadiga atar beda yag megasilka bobot ilai yag berbeda Skala pegukura adala kesepakata yag diguaka utuk meetuka pajag pedekya iterval seigga memiliki data yag kuatitatif Berdasarka tigkataya, terdapat empat macam skala pegukura (Daiel, 989), yaitu: Skala ordial Skala ordial merupaka skala yag membedaka kategori berdasarka tigkat atau uruta Skala ordial merupaka skala pegukura yag lebi teliti daripada skala omial Dega megguaka skala ordial dapat dibedaka beda atau peristiwa yag satu dega yag laiya berdasarka jumla relatif beberapa karakteristik tertetu Misalya membagi tiggi bada sampel ke dalam tiga kategori: tiggi, sedag da pedek Skala ordial juga serig disebut sebagai perigkat 3 4 3 Skala iterval Apabila suatu skala mempuyai sifat skala ordial da jarak atara dua agka pada skala diketaui maka skala iterval dapat diterapka Dalam pegukura megguaka skala iterval, rasio dua iterval yag maa pu tidak tergatug pada uit pegukura da titik maapu, keduaya dipili sembarag Coto pegukura iterval adala pegukura temperatur dalam derajat Fareeit da Celcius Titik ol yag tidak berilai mutlak da uit pegukura dalam megukur suu adala sembarag da berlaia dalam kedua skala pegukura tersebut Meskipu demikia, skala pegukura megguaka derajat Fareeit da Celcius megadug iformasi yag sama bayakya da sama jeisya karea keduaya berubuga liear, artiya yag terbaca pada skala yag satu dapat ditrasformasi utuk al yag sama pada skala yag lai 4 Skala rasio Apabila suatu skala memiliki ciri ciri suatu skala iterval da memiliki suatu titik ol mutlak sebagai titik asalya maka skala tersebut diamaka skala rasio Dalam suatu skala rasio, perbadiga atara suatu titik skala tidak tergatug pada uit pegukura Data asil pegukura megguaka skala rasio dapat dijumlaka secara aljabar, misalya rasio atara dua berat dalam os sama dega rasio atara dua berat dalam gram Skala rasio merupaka skala dega tigkat pegukura palig tiggi D Fugsi Desitas Peluag Defiisi (Lee J Bai da Ma Egelardt, 99) Variabel acak X disebut variabel acak kotiu jika terdapat fugsi f() yag disebut dega fugsi desitas peluag dari, maka F( ) f ( t) dt Teorema (Lee J Bai da Ma Egelardt, 99) Fugsi f() adala fugsi desitas peluag dari variabel acak kotiu X jika da aya jika memeui f ( ) d 7) Utuk setiap bilaga real da Bukti Teorema f ( ) 0 8) f ( ) d lim F ( ) Terbukti persamaa (7) f () merupaka fugsi desitas peluag pada X seigga terdapat F() lim F( ) 0 f ( ) 0 Terbukti persamaa (8)
5 6 Defiisi (Lee J Bai da Ma Egelardt, 99) Distribusi dega fugsi desitas peluag f() dikataka simetris teradap c jika f(c - ) = f(c + ) utuk semua Dari defiisi (), jika c = 0 maka diperole f (0 ) f (0 ) E( Y ) yf ( y ) dy f ( y, ) y dy f ( ) yf ( y, ) dy f ( ) f ( ) f ( ) 9) E Estimasi Kerel Regresi oparametrik dalam statistika diguaka utuk memperkiraka Defiisi 3 (Lee J Bai da Ma Egelardt, 99) Dalam fugsi desitas peluag jika X da Y adala peuba acak diskrit atau kotiu dega fugsi desitas bersama f (, y ), seigga kodisi fugsi desitas bersama dari Y relatif teradap X f ( y ) f (, y), f ( ) f ( ) 0 0, f ( ) 0 didefiisika Defiisi 4 (Lee J Bai da Ma Egelardt, 99) Jika X da Y adala distribusi bersama dari variabel acak, maka ilai arapa dari Y relatif teradap X adala E( Y ) yf ( y ), jika X da Y diskrit ) 0) ilai arapa bersyarat dari variabel acak, yag bertujua utuk meemuka ubuga oliier atara sepasag variabel acak Y da X utuk medapatka da megguaka bobot yag sesuai Dalam setiap regresi oparametrik, ilai arapa bersyarat dari variabel relatif teradap variabel Y relatif teradap variabel X dapat ditulis Dimaa m adala fugsi yag tidak diketaui Utuk megestimasi m dapat megguaka kerel sebagai fugsi pembobota Diberika sampel radom Xi, i=,, 3,,, maka karakteristik dasar yag meggambarka sifat dari suatu variabel acak adala fugsi desitas f dari variabel acak tersebut Berdasarka sampel acak ii aka diestimasi fugsi desitas f yag tidak diketaui dega pedekata kerel Kerel K di defiisika (Hardle, 990) E( Y ) yf ( y ) dy, jika X da Y kotiu ) K K 3) ( ) Berdasarka persamaa (0) da () diperole ilai arapa bersyarat dari variabel Y relatif teradap X 7 8 Dega K adala fugsi Kerel da adala badwidt Pegalusa dega pedekata kerel yag dikeal sebagai pegalusa kerel (kerel smooter) sagat bergatug pada fugsi kerel da badwidt (Lilis Laome, 00) Meurut (Siaa Halim, 006) terdapat tiga macam estimasi kerel, yaitu: Nadaraya Watso Priestley cao 3 Gasser Muller Kerel Sedagka estimasi kerel yag palig serig diguaka adala Nadaraya Watso yag asilya dapat memperole grafik yag medekati data sebearya F Sifat-sifat Estimator Pada umumya, semaki bayak observasi dalam data sampel, semaki tiggi akurasi suatu estimator Ole karea itu, sifat-sifat yag dibutuka ole estimator dapat digologka mejadi dua kelompok tergatug pada besar kecilya ukura sampel, yaitu sifat sampel kecil da sifat sampel besar (Guawa Sumodiigrat, 007: 40) Sifat-sifat sampel kecil atau sampel terbatas (fiite) Sifat estimator utuk sampel kecil Kriteria utama suatu estimator yag baik utuk sampel kecil adala : a Tak bias (Ubiasedess) Bias (peyimpaga) dari suatu estimator adala perbedaa atara ilai arapa da ilai parameter yag sebearya Secara matematik, bias = E( ) Defiisi 5 (Lee J Bai da Ma Egelardt, 99) Jika X adala variabel acak kotiu dega fugsi desitas F(), maka ilai arapa didefiisika dega E( X ) f ( ) d 4) Suatu estimator dikataka tidak bias, apabila itu, dapat dikataka bawa Ole karea adala sebua estimator yag tidak bias (ubiased estimator) teradap apabila Jika biasya positif maka megacu pada sifat-sifat distribusi sampel suatu estimator yag didasarka pada ukura sampel yag tetap (fied sample size) Sifat-sifat sampel besar adala sifatsifat distribusi sampel suatu estimator yag diperole dari sampel yag bayakya medekati tak berigga (ifiite) Tak bias merupaka sifat yag dibutuka amu tidak terlalu petig Hal ii disebabka karea sifat tak bias tidak meujukka apapu megeai peyebara dari distribusi estimator Suatu estimator yag tidak bias amu
9 0 mempuyai varias yag besar serigkali megasilka estimasi yag jau berbeda dari ilai parameter yag sebearya (Guawa Sumodiigrat, 007) b Varias terkecil (least variace) atau estimator terbaik (best estimator) c Miimum kesalaa kuadrat rerata (Mea-Square-Error atau MSE) Kesalaa kuadrat rerata atau mea-square-error (MSE) adala ilai arapa dari kuadrat perbedaa atara estimator dega parameter populasi Sebua estimator dikataka sebagai estimator terbaik apabila estimator tersebut memiliki varias terkecil (least variace) dibadigka dega estimator-estimator lai yag diperole dega metode berbeda Teorema (Lee J Bai da Ma Egelardt, 99) Jika X adala variabel acak kotiu, maka MSE ( ) = E[ ] = E[ - E[ ] + E[ ] ] = E[ - E[ ]] + E[E( ) ] + E[{ E[ ]}{E[ ] }] karea E[ - E[ ]] = var( ) da [E( ) ] = [bias ( )] Bukti Teorema Var( X ) E( X ) ( E( X )) (5) Var( X ) E( X E( X ) X ( E( X )) ) da E[{ E[ ]}{E[ ] }] = E[ E[ ] {E[ ]} - + E[ ]] = {E[ ]} {E[ ]} - E[ ] - E[ ] = 0 E( X ) E( X ) E( X ) ( E( X )) seigga, MSE ( ) = var( ) + {bias ( )} 6) Jadi sama dega varias ditamba bias kuadrat Jika adala E( X ) ( E( X )) ( E( X )) peduga yag tak bias maka merupaka variaya Dega kata lai, E( X ) ( E( X )) Teorema terbukti MSE adala jumla dari dua kuatitas, yaitu varias da bias kuadrat Apabila sala satu dari kedua kompoe ii mempuyai ilai lebi kecil dibadig kompoe laiya, maka perbedaa tersebut ditujukka ole MSEOle karea itu estimator yag memiliki MSE terkecil lebi baik dari kriteria miimum dari sala satu kompoe MSE d Best Liear Ubiasedess Estimator (BLUE) b Kosiste (cosistecy) Suatu estimator dikataka BLUE apabila estimator tersebut memeui kriteria liier, tidak bias (ubiased), da memiliki varias terkecil bila dibadigka dega estimator lai juga liear da tak bias (Guawa Sumodiigrat, 993) Sifat estimator utuk sampel besar Sebua estimator,, disebut estimator yag kosiste bagi apabila memeui dua syarat berikut : adala estimator yag tidak bias secara asimptotik atau Varias dari medekati ol jika Sifat-sifat asimptotik berkaita dega estimator-estimator yag diperole dari sampel-sampel besar Sampel ii mempuyai ukura sampel, dega Dalam al ii, pegertia asimptotik meujukka distribusi asimptotik dari suatu estimator Meurut Guawa Sumodiigrat (993), beberapa sifat distribusi asimptotik dari estimator adala : a Tak bias secara asimptotik (asymptotic ubiasedess) Sebua estimator dikataka sebagai estimator yag tak bias secara asimptotik bagi parameter yag sebearya apabila : c Efisie secara asimptotik (asymptotic efficiecy) Sebua estimator, adala estimator yag efisie secara asimptotik bagi apabila memeui syarat : adala kosiste memiliki varias asimptotik yag lebi kecil dibadig dega varias asimptotik estimator kosiste laiya Terdapat suatu kesulita dalam meetuka apaka suatu estimator yag kosiste tela memeui syarat kedua Kesulita ii disebabka karea varias Subskrip pada meujukka ukura sampel, seigga Defiisi ii meyataka bawa sebua estimator tidak bias secara asimptotik apabila peyimpagaya mejadi ol utuk Sebua estimator yag tidak bias tetap tidak bias secara asimptotik, amu tidak demikia sebalikya dari setiap estimator yag kosiste aka cederug mejadi ol apabila Seigga, apabila aka dibuat perbadiga diatara estimator-estimator yag kosiste, maka dipili sebua estimator yag variasya lebi cepat medekati ol Secara asimptotik, estimator ii disebut estimator yag lebi efisie
3 4 G Deret Taylor Teorema 3 (Dale Varberg ad Edwi J Purcell, 00) (Rumus Taylor dega Sisa) Adaika f suatu fugsi turua ke (+), f (+) (), ada utuk setiap pada suatu selag terbuka I yag megadug a Maka utuk setiap di I f ''( a) f ( a) f f a f a a a a R!! ( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) ( ) dega sisa (galat) R() diberika rumus: R ( ) ( ) R ( c) ( ( )! a) da c suatu titik atara da a Bukti Teorema (3) ( ) f ( c) ( c) g '( c) ( c) R ( )( )! ( a) ( ) f ( c) ( c) c R 0 ( ) ( )( )! ( a) ( c) f ( c) ( ) ( a)! R ( )( ) ( c) R ( ) f ( c)( c) ( a) ( )! ( )( c) ( ) f ( c) ( ) a ( )! f ( )! Teorema 3 terbukti ( ) ( c) ( ) a R() didefiisika pada I ole f ''( a) f ( a) f f a f a a a a R!! ( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) ( ) sebagai suatu kostata da didefiisika ole suatu fugsi baru g pada I ole: g( t) f ( ) f ( t) f '( t)( t) f ''( t) f ( t) ( t) ( t) ( t) R ( )!! ( a) Jika g(t) dituruka teradap t (dega tetap), maka asilya adala: ( ) f ( t) ( t) g( t) ( t) R ( )( )! ( a) 7) Jika, maka