Komposisi Transformasi

Komposisi Transformasi

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan peta atau bayangan suatu kurva hasil dari suatu komposisi transformasi

Transformasi Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dapat dikerjakan dengan transformasi. Transformasi T pada suatu bidang memetakan tiap titik P pada Bidang menjadi P pada bidang itu pula. Titik P disebut bayangan atau peta titik P 3

Transformasi Invers Untuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan transformasi invers 4

soal Peta dari garis x y + 5 = oleh transformasi yang dinyatakan dengan matriks 3 adalah. 5

6 Pembahasan A(x,y) A (x y ) Ingat: A = BX maka X = B -.A 3 y x 3 ' ' y x y' x' 3 3 y x

7 y' x' 3 3 y x y' x' 3 y x Diperoleh: x = 3x y dan y = -x + y y' x' y' 3x' y x

x = 3x y dan y = -x + y disubstitusi ke x y + 5 = 3x y (-x + y ) + 5 = 3x y + 4x y + 5 = 7x 3y + 5 = Jadi bayangannya: 7x 3y + 5 = 8

Komposisi Transformasi Bila T adalah suatu transformasi dari titik A(x,y) ke titik A (x,y ) dilanjutkan dengan transformasi T adalah transformasi dari titik A (x,y ) ke titik A (x,y ) maka dua transformasi berturut-turu tsb disebut Komposisi Transformasi dan ditulis T o T 9

Komposisi Transformasi Dengan matriks Bila T dinyatakan dengan matriks dan T dengan matriks maka dua Transformasi berturut-turut mula-mula T dilanjutkan dengan T ditulis T o T = d c b a s r q p s r q p d c b a

Soal Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan pusat (,) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah

Pembahasan M = Matrik dilatasi skala 3 adalah 3 3 M = Matrik refleksi terhadap y = x adalah

3 Matriks yang bersesuaian dengan M dilanjutkan M ditulis M o M = = Jadi matriknya adalah 3 3 3 3 3 3 3 3

Soal Bayangan segitiga ABC, dengan A (,), B (6,), C (5,3) karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (,π) adalah 4

Pembahasan Refleksi sb Y: (x,y) sb Y (-x, y) Rotasi π: (x,y) [O, π] (-x,-y) A(,) sb Y A (-,) (O, π) A (,-) B(6,) sb Y B (-6,) (O, π) B (6,-) C(5,3) sb Y C (-5,3) (O, π) Q (5,-3) 5

Soal 3 Luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-,), Q(3,), R(3,-), S(-,-) karena dilatasi [O,3] dilanjutkan rotasi pusat bersudut ½π adalah 6

Pembahasan Dilatasi: (x,y) [O,k] (kx, ky) Rotasi ½π: (x,y) [O,½π] (-y,x) P(-,) [O,3] P (-3,6) (O,½π) P (-6,-3) Q(3,) [O,3] Q (9,6) (O,½π) Q (-6,9) R(3,-) [O,3] Q (9,-3) (O,½π) Q (3,9) S(-,-) [,3] S (-3,-3) (O,½π) S (3,-3) 7

P (-6,-3), Q (-6,9), R (3,9), dan S (3,-3) membentuk persegi panjang P Q R S Q (-6,9) P (-6,-3) Y O R (3,9) X S (3,-3) Q P = 9 (-3) = Q R = 3 (-6) = 9 Luas =.9 = 8 8

Soal 4 T adalah transformasi yang bersesuaian dengan matrik dan T adalah transformasi yang bersesuaian dengan matrik 3 9

Bayangan titik A(m,n) oleh transformasi T dilanjutkan T adalah A (-9,7). Nilai m - n sama dengan.

Pembahasan T = dan T = T o T = = 3 3 4 3 3

T o T = A(m,n) A (-9,7) y x y x ' ' n m 7 9 m n m 7 9

7 9 diperoleh: -9 = m + n dan 7 = m Nilai m = 7 disubstitusi ke m + n = -9 7 + n = -9 n = -6 Jadi nilai m n = 7 + 3 = 39 m m n 3

Soal 5 Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan transformasi sesuai matriks menghasilkan titik (,-8) maka nilai a + b =. 4

5 Pembahasan Matriks pencerminan terhadap sumby Y: T = T = T o T = -

6-8 b a 8 ) ( 4 b a 3 6 8 5 b a b a Jadi : a + b = + (-3) = -

Soal 6 Persamaan peta garis x y + 4 = yang dirotasikan dengan pusat (,) sejauh +9, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = -x adalah. 7

Pembahasan Rotasi +9 o : (x,y) [O,+9 o ] (-y, x) Refleksi y = -x: (-y,x) y = -x (-x,y) Sehingga x = -x x = -x dan y = y y = y disubstitusi ke x y + 4 = diperoleh (-x ) y + 4 = Jadi petanya: x + y 4 = 8

Soal 7 Persamaan peta kurva y = x - 3x + karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat dan faktor skala ⅓ adalah 9

Pembahasan Refleksi terhadap sumbu x x = x y = -y Dilanjutkan dengan dilatasi: [O,⅓] x = ⅓x = ⅓x y = ⅓y = -⅓y 3

dari x = ⅓x dan y = -⅓y diperoleh x = 3x dan y = -3y kemudian disubstitusi ke y = x 3x + -3y = (3x ) 3(3x ) + -3y = 9(x ) 9x + Jadi petanya: y = -3x + 3x - ⅔ 3

Soal 8 Persamaan peta suatu kurva oleh refleksi terhadap sumbu X, dilanjutkan translasi adalah y = x. Persamaan kurva semula adalah. 3 3

Pembahasan Refleksi terhadap sumbu x x = x y = -y Dilanjutkan dengan translasi: x = x + = x + y = y + 3 = -y + 3 3 33

x = x + dan y = -y + 3 disubtitusikan ke: y = (x ) -y + 3 = (x + ) -y = x + 4x + 4 3 -y = x + 4x Jadi persamaan kurva semula: y = -x 4x + 34

Soal 9 Persamaan peta garis 3x 4y = karena refleksi terhadap garis y x =, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 3 5 adalah. 35

Pembahasan 3x 4y = y = x 3y 4x = Dilanjutkan transformasi: 3 5 x' y' 3 5 x y x' y' 3x 5y x y x = -3x + 5y y = -x + y x x 3 x = -3x + 5y 3y =-3x + 3y 36

x = -3x + 5y 3y = -3x + 3y x -3y = y diperoleh: x' 3y' x' 5y y dan x Disubstitusi ke 3y 4x = 37

Disubstitusi ke: 3y 4x = diperoleh: x' 3y' x' 5y' 3 4 ruas kiri dan kanan dikali 3x 9y 4x + y = 4 -x + y = 4 Jadi petanya adalah y x = 4 38

Soal Parabola dengan titik puncak (,) dan fokus (,4) dicerminkan terhadap garis x = 5, kemudian dilanjutkan dengan transformasi putaran dengan pusat O(,) sejauh 9 o berlawanan arah jarum jam. Persamaan peta kurva tersebut adalah. 39

M x = m Pembahasan R +9 o (x,y) (m x,y) (-y, m x) Pusat (,) (,) M x = 5 R o P (9,) +9 P (-,9) Fokus (,4) (,4) M x = 5 F (9,4) R o +9 F (-4,9) Kurva tersebut puncaknya di P (-,9) dan fokusnya di F (-4,9) 4

Kurva yang puncaknya di P (-,9) dan fokusnya di F (-4,9) adalah parabola yang terbuka ke kiri dan p = jarak puncak ke fokus =, sehingga persamaanya (y b) = -4p(x a) (y 9) = -4.(x (-)) (y 9) = -8(x + ) Jadi persamaanya: y 8y + 8x + 97 = 4

4