4 INTERPOLASI. dan kontinyu.

4 INTERPOLASI Á nterpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan. Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh dari sebuah fungsi yang diketahui. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari sekelompok fungsi tertentu, salah satunya adalah fungsi polinomial yang paling banyak dipakai. Pada bab ini kita membahas beberapa metode numerik untuk mendapatkan fungsi polinomial sebagai hampiran suatu fungsi. Tujuan utama mendapatkan polinomial hampiran ini adalah untuk menggantikan suatu fungsi yang rumit dengan fungsi yang lebih sederhana bentuknya dan mudah dimanipulasi. Di antara fungsi-fungsi yang dapat digunakan sebagai fungsi hampiran adalah fungsi polinomial, fungsi trigonometrik, dan fungsi rasional. Kita hanya akan membahas cara-cara mendapatkan fungsi polinomial hampiran. Fungsi-fungsi polinomial banyak dipakai dalam praktek, karena fungsi-fungsi tersebut mudah dihitung nilainya, diturunkan, diintegralkan, dan perilakunya baik semua turunannya ada dan kontinyu. Secara umum kita akan membahas masalah penyusunan sebuah polinomial hampiran untuk satu himpunan data titik-titik diskrit. Titiktitik ini, yang biasanya disajikan dalam bentuk tabel, mungkin merupakan hasil eksperimen fisik. Metode tertentu yang dapat digunakan untuk menyusun suatu polinomial hampiran dapat dipilih berdasarkan konteks dari mana data diperoleh. Interpolasi digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam bidang teori hampiran yang lebih umum. Untuk memberikan beberapa wawasan bagi Anda, berikut disajikan beberapa masalah hampiran (aproksimasi) dan kemungkinan pemakaian interpolasi untuk menyelesaikannya. (1) Diberikan sebuah tabel nilai-nilai suatu fungsi, misalnya ܵ Ó Üµ, interpolasi dapat digunakan untuk mencari nilai-nilai ܵ untuk nilai-nilai Ü yang tidak terdapat di dalam tabel. (2) Diberikan Polinomial banyak dipakai sebagai hampiran fungsi, karena sifatnya yang mudah dihitung nilainya, diturunkan, diintegralkan, dan perilakunya baik semua turunannya ada dan kontinyu. 197

198 Bab 4. Interpolasi Beberapa pemakaian interpolasi sekumpulan data berupa titik-titik (koordinat), tentukan sebuah fungsi mulus ܵ yang tidak naik-turun (osilatif) dan cocok dengan data tersebut baik secara eksak maupun hampiran. Kasus kecocokan eksak mengarah ke studi fungsi-fungsi interpolasi spline, dan kasus hampiran kecocokan data dikerjakan dengan metode kuadrat terkecil. (3) Diberikan sebuah fungsi ܵ, misalkan ܵ ÐÓ Üµ, dan diperlukan suatu cara untuk menghitung nilai-nilai fungsi tersebut menggunakan komputer. Dalam masalah ini, interpolasi digunakan sebagai alat untuk mendapatkan suatu hampiran yang dapat dihitung. (4) Untuk mengintegralkan atau menurunkan suatu fungsi secara numerik, kita sering mengganti fungsi yang bersangkutan dengan ekspresi hampiran yang lebih sederhana, yang biasanya diperoleh dengan menggunakan interpolasi. Juga, beberapa metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang dipakai secara luas diperoleh dari hampiran interpolasi. 4.1 Interpolasi Numerik Misalkan kita mempunyai data yang disajikan dalam tabel seperti di bawah ini: Ü Ü ½ Ü ¾ Ü... Ü Ò Ý Ý ½ Ý ¾ Ý... Ý Ò dengan Ü ½ Ü ¾ Ü Ò. Kita ingin mencari sebuah polinomial È Üµ sedemikian hingga È Ü µ Ý untuk ½ Ò Polinomial interpolasi Polinomial ini dikatakan menginterpolasikan nilai-nilai pada tabel. Kita dapat menggunakan polinomial ini untuk menghitung suatu nilai Ý yang berkaitan dengan suatu Ü, yang tidak terdapat di dalam tabel tetapi terletak di antara nilai-nilai Ü pada tabel tersebut. Dengan kata lain, kita dapat menghitung nilai È Üµ untuk sebarang nilai Ü untuk Ü ½ Ü Ü Ò. Inilah tujuan interpolasi. Titik-titik Ü disebut simpul. Polinomial interpolasi tergantung pada nilai-nilai dan banyaknya nilai Ü dan Ý yang diberikan. Jika nilai-nilai Ý merupakan nilai-nilai fungsi ܵ untuk nilai-nilai Ü yang bersesuaian, maka polinomial È Üµ merupakan hampiran fungsi ܵ pada interval Ü ½ Ü Ò. Dalam hal ini fungsi ܵ ܵ È Üµ disebut fungsi galat, yang biasanya melibatkan turunan tingkat tinggi fungsi

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 201 Jadi È Ò Üµ É Ò Üµ. 4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi Interpolasi biasanya diperkenalkan di dalam aljabar elementer, yakni pada masalah perluasan tabel logaritma atau trigonometri untuk mencari nilai-nilai yang tidak tersedia di dalam tabel. Interpolasi juga diperkenalkan pada saat anda mempelajari metode trapesium untuk menghitung intergral secara numerik. Kedua interpolasi tersebut adalah sama, yakni interpolasi linier. Terdapat dua alasan penting pemakaian polinomial interpolasi. Pertama, polinomial interpolasi digunakan untuk menghitung hampiran nilai suatu fungsi ܵ, karena nilai polinomial mudah dihitung, polinomial mudah diturunkan dan diintegralkan. Kedua, polinomial digunakan dalam penentuan kurva mulus yang melalui sekumpulan data titik. Dalam hal ini biasanya diinginkan sebuah kurva yang tidak osilatif. Penyelesaiannya mengarah ke fungsi-fungsi spline. Polinomial interpolasi digunakan dalam pembahasan interpolasi dengan spline. Selain cara seperti contoh di atas, untuk mencari polinomial yang menginterpolasikan semua titik yang diberikan kita dapat melakukan perhitungan mulai dari polinomial konstan yang melalui titik pertama, kemudian mencari polinomial linier yang melalui kedua titik pertama, polinomial kuadratik yang melalui ketiga titik pertama, dst. Dalam hal ini, polinomial berderajad yang lebih tinggi ditentukan dengan polinomial berderajad yang lebih rendah dengan menambah satu titik lain yang harus dilalui. Kita mulai pembahasan secara lebih terperinci sebagai berikut. Kasus 1: Polinomial Konstan Dalam hal ini kita hanya menggunakan sebuah nilai Ü yang diberikan pada tabel, misalkan Ü Ý Ü ½ Ý ½ Misalkan È ¼ ܵ adalah fungsi polinomial interpolasinya. Maka È ¼ Ü ½ µ ½ Ý ½. Polinomial tersebut melalui sebuah titik Ü ½ Ý ½ µ yang diberikan pada tabel. Dengan demikian kita dapat memilih sebuah fungsi konstan È ¼ ܵ ½ Ý ½ (4.1)

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 203 Dengan demikian È Üµ menginterpolasikan semua titik yang diinterpolasikan oleh È ½ ܵ. Misalkan sekarang diberikan sebuah tabel dengan ½ nilai Ü: Ü Ü ½ Ü ¾ Ü... Ü Ü ½ Ý Ý ½ Ý ¾ Ý... Ý Ý ½ Syarat agar È Üµ menginterpolasikan semua titik di dalam tabel tersebut, È Üµ harus memenuhi titik terakhir Ü ½ Ý ½ µ. Jadi, È Ü ½ µ È ½ Ü ½ µ ½ Ü ½ Ü ½ µ Ü ½ Ü ¾ µ Ü ½ Ü µ (4.5) atau Ý ½ È ½ Ü ½ µ ½ Ü ½ Ü ½ µ Ü ½ Ü ¾ µ Ü ½ Ü µ (4.6) atau ½ Ý ½ È ½ Ü ½ µ Ü ½ Ü ½ µ Ü ½ Ü ¾ µ Ü ½ Ü µ (4.7) Dengan demikian, polinomial È Üµ È ½ ܵ ½ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü µ (4.8) dengan ½ Ý ½ È ½ Ü ½ µ Ü ½ Ü ½ µ Ü ½ Ü ¾ µ Ü ½ Ü µ (4.9) Rumus koefisien polinomial Newton menginterpolasikan sebuah tabel dengan ½µ pasang nilai Ü Ýµ. È Üµ dikenal sebagai polinomial interpolasi Gregory-Newton dengan simpul pusat Ü ½, Ü ¾,..., dan Ü. Secara umum, dari pembahasan di atas kita tahu bahwa polinomial È Ò ½ ܵ yang menginterpolasikan Ò pasang nilai Ü Ýµ, yakni Ü Ý µ untuk ½ Ò, dapat diperoleh secara rekursif sbb.: Polinomial-polinomial Newton dibentuk secara rekursif. È ¼ ܵ Ý ½ ½ È ½ ܵ È ¼ ܵ ¾ Ü Ü ½ µ È ¾ ܵ È ½ ܵ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ È Üµ È ¾ ܵ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü µ.

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 205 Jadi, È ¾ ܵ ¾Ü Ü Ü ½µ 4. Polinomial kubik yang menginterpolasikan empat titik pertama ¼ µ, ½ µ, ½ ½µ, dan ¾ µ adalah È Üµ È ¾ ܵ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü µ ¾Ü Ü Ü ½µ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ½µ Agar È Üµ menginterpolasikan ¾ µ harus dipenuhi ¾ ¾µ ¾µ ¾ ½µ ¾µ ¾ ½µ ¾ ½µ atau, sehingga. Jadi, È Üµ ¾Ü Ü Ü ½µ Ü Ü ½µ Ü ½µ 5. Akhirnya, polinomial berderajad 4 yang menginterpolasikan kelima titik yang diberikan adalah È Üµ È Üµ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü µ Ü Ü µ ¾Ü Ü Ü ½µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Agar È Üµ menginterpolasikan ¾ µ harus dipenuhi ¾ ¾µ ¾µ ¾ ½µ ¾µ ¾ ½µ ¾ ½µ ¾µ ¾ ½µ ¾ ½µ ¾ ¾µ atau ¾ ¾, sehingga ¾¾. Jadi, È Üµ ¾Ü Ü Ü ½µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ (4.11) Silakan Anda cek apakah polinomial È Üµ di atas memenuhi kelima titik yang diberikan! Silakan Anda cek pula bahwa polinomial È Üµ tersebut persis sama dengan polinomial yang didapat pada Contoh 4.1. Jadi Anda dapat menggunakan metode matriks (SPL) atau metode Newton untuk mencari polinomial yang menginterpolasi sekumpulan titik tertentu. Perhitungan nilai polinomial Newton dan koefisien-koefisiennya dilakukan secara rekursif. Untuk menghitung koefisien pada suku Ü ½ diperlukan nilai-nilai È ½ ܵ,..., È ½ ܵ. Akan tetapi, nilai-nilai tersebut

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 207 function a=interpolan(x,y) % Untuk menghitung a_1, a_2,..., a_n pada % P_{n-1}=a_1+a_2(x-x_1)+...+a_n(x-x_1)...(x_{n-1}) % yang melalui (x_1,y_1), (x_2,y_2),..., (x_n,y_n) n=length(x); a(1)=y(1); for k=2:n, P=nilaiPolaN(a(1:k-1),x(1:k-1),x(k)); M=prod(x(k)-x(1:k-1)); a(k)=(y(k)-p)/m; end Gambar 4.2: Fungsi MATLAB interpolan.m untuk menghitung koefisien-koefisien polinomial Newton È Ò ½ ½ ¾ Ü Ü ½ µ Ò Ü Ü ½ µ Ü Ò ½ µ Berikut adalah contoh pemakaian fungsi MATLAB di atas untuk menyelesaikan soal pada Contoh 4.2. Hasil perhitungan dengan MATLAB sama dengan hasil sebelumnya pada Contoh 4.2. >>x=[0 1-1 2-2] x = 0 1-1 2-2 >>y=[-5-3 -15 39-9] y = -5-3 -15 39-9 >>a=interpolan(x,y) a = -5 2-4 8 3 Perhitungan dengan MATLAB di atas menunjukkan bahwa ½, ¾ ¾,,, dan, sehingga È Üµ ¾Ü Ü Ü ½µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ sama dengan (4.11)

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 209 Jadi È µ ¾½. ALGORITMA 4.1 (PERKALIAN TERSARANG NEWTON). Menghitung nilai polinomial Newton È Ò Üµ ½ Ü Ü ½ µ ¾ Ü Ü ¾ µ Ü Ü µ Ò Ò ½ Ü Ü Ò µ jika Ü,, dan Ü, untuk ½ Ò ½µ, diketahui. INPUT: n, Ü, (½ Ò ½µ), dan Ü (½ Ò) OUTPUT: È Ò Üµ LANGKAH-LANGKAH: 1. Ë ½ Ò ½ 2. For ¾ Ò ½ Ë Ò ¾ Ü Ü Ò ¾ µë ½ 3. È Ò Üµ Ë Ò ½ 4. STOP. Perhitungan tersebut juga dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi-fungsi MATLAB nilaipolan atau xsarang 4 : >>nilaipolan(a,x,3) ans = 241 >>xsarang(a,x,3) ans = 241 Hasil perhitungan dengan kedua fungsi tersebut sama dengan hasil perhitungan secara manual. Metode perkalian tersarang lebih efisien, karena memerlukan lebih sedikit operasi hitung. Perkalian tersarang juga dapat digunakan untuk menghitung nilai polinomial berderajad Ò dalam bentuk umum, yakni 4 Pada contoh sebelumnya telah dihitung nilai ½,..., dari masukan vektor Ü dan Ý Perkalian tersarang untuk polinomial umum

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 211 È Ò Üµ ½ ¾ Ü Ü ¾ Ò ½ Ü Ò ½ Ü ¾ Ü Ò Ò ½ ܵµµ (4.15) Nilai È Ò Üµ dapat dihitung secara rekursif sebagai berikut: Ë ½ Ò ½ Ë ¾ Ò ÜË ½ Ë Ò ½ ÜË ¾ Ë Ò ¾ ÜË. (4.16) Akhirnya, È Ò Üµ Ë Ò ½. Ë Ò ¾ ÜË Ò ½ Ë Ò ½ ½ ÜË Ò 4.2.2 Polinomial Newton: Selisih Terbagi (Divided Difference) Polinomial interpolasi Newton yang kita peroleh di atas dinyatakan secara rekursif. Oleh karena itu, untuk menghitung suatu nilai dengan menggunakan polinomial berderajad Ò kita perlu menghitung nilai-nilai polinomial berderajad Ò ½µ, Ò ¾µ,..., 2, 1. Sekarang kita akan membahas cara mendapatkan suatu penyajian secara eksplisit suatu polinomial interpolasi Newton dari data yang tertabulasi, dengan menggunakan sebuah metode yang dikenal sebagai metode selisih terbagi (divided-difference). Misalkan kita ingin mencari polinomial interpolasi È Ò Üµ untuk menghampiri suatu fungsi ܵ. Untuk ini, data yang diberikan adalah Ò ½µ titik, Ü ½ Ü ½ µµ, Ü ¾ Ü ¾ µµ,..., Ü Ò ½ Ü Ò ½ µµ. Misalkan polinomial interpolasinya kita tulis sebagai È Ò Üµ ½ ¾ Ü Ü ½ µ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ò ½ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü Ò µ (4.17) dan kita ingin mencari nilai-nilai koefisien ½, ¾,..., Ò, Ò ½. Perhatikan, bahwa di sini berlaku È Ò Ü µ Ü µ untuk ½ Ò ½µ. Jika Ü Ü ½ disubstitusikan ke dalam (4.17), maka semua suku pada

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 213 1. Selisih terbagi ke-nol terhadap Ü : Selisih terbagi Newton Ü Ü µ ½ ¾ Ò ½µ (4.23) 2. Selisih terbagi pertama terhadap Ü dan Ü ½ : Ü Ü ½ Ü ½ Ü Ü ½ Ü ½ ¾ Ò (4.24) 3. Selisih terbagi kedua terhadap Ü, Ü ½ dan Ü ¾ : Ü Ü ½ Ü Ü ½ Ü ¾ Ü Ü ½ ¾ ½ ¾ Ò ½µ Ü ¾ Ü 4. (4.25) 5. Selisih terbagi ke- terhadap Ü, Ü ½,..., Ü didefinisikan secara rekursif: Ü Ü ½ Ü Ü ½ Ü ¾ Ü Ü Ü ½ Ü ½ Ü Ü (4.26) untuk ½ ¾ Ò ½ ½ ¾ Ò. Selisih terbagi Newton fungsi dapat dipandang sebagai versi diskrit turunan fungsi. Perhatikan, dari teorema nilai rata-rata kita tahu bahwa jika ܵ diferensiabel pada interval yang memuat Ü ½ dan Ü ¾, maka terdapat bilangan antara Ü ½ dan Ü ¾ sedemikian hingga ¼ µ Ü ¾µ Ü ½ µ Ü ¾ Ü ½ Ü ½ Ü ¾ (4.27) Hubungan selisih terbagi dan turunan Jadi Ü ½ Ü ¾ dapat dipandang sebagai nilai turunan ܵ. Selanjutnya, jika Ü ½ dan Ü ¾ cukup dekat, maka nilai selisih terbagi pertama Ü ½ Ü ¾ dapat digunakan sebagai hampiran yang cukup akurat untuk ¼ ܽ Ü ¾ µ. ¾ Lemma berikut ini, yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika (lihat [5] halaman 141 143) dapat digunakan untuk menunjukkan

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 215 CONTOH 4.5. Misalkan ܵ Ó Üµ, Ü ½ ¼¾, Ü ¾ ¼, Ü ¼. Dari contoh sebelumnya sudah dihitung Ü ½ Ü ¾ ¼¾ ¼¼. Selisih terbagi derajad pertama yang lain adalah Ü ¾ Ü Ó ¼µ Ó ¼ µ ¼ ¼ ¼ ¾¼ Selanjutnya, selisih terbagi kedua adalah Ü ½ Ü ¾ Ü ¼ ¾¼ ¼¾ ¼¼µ ¼ ¼¾ ¼¾¼ Berdasarkan(4.29), untuk Ò ¾ dapat dicari nilai ¼¾¼ ½ ¾ ¼¼ µ ½ Ó µ ¾ atau Ó ½ ¼¼µ ¼ ¼¾½ Ü ¾. Selisih terbagi Newton memiliki beberapa sifat sebagai berikut: 1. Simetris. Jika ½ ¾ Ò µ menyatakan permutasi (susunan urutan) indeks ½ ¾ Òµ, maka Ü ½ Ü ¾ Ü Ò Ü ½ Ü ¾ Ü Ò (4.30) Sifat simetris selisih terbagi Sifat ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika. Anda buktikan untuk kausus Ò ¾ dan Ò! Cobalah 2. Jika didefinisikan Ü ½ Ü ½ maka dapat didefinisikan Ü ¾ µ Ü ½ µ ÐÑ Ü ½ Ü ¾ ÐÑ ¼ Ü ½ µ Ü ¾ Ü ½ Ü ¾ Ü ½ Ü ¾ Ü ½ Ü ½ Ü ½ Ü ½ ½ Òµ Ü ½ µ (4.31) Ò ßÞ Ð Ò elemen Dengan menggunakan sifat simetris, dapat diperluas definisi selisih terbagi untuk beberapa simpul sama dan beberapa simpul lain berbeda.

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 217 TEOREMA 4.3 (POLINOMIAL NEWTON). Misalkan fungsi ܵ terdefinisi pada interval, dan misalkan Ü ½, Ü ¾,..., Ü Ò ½ adalah Ò ½µ bilangan yang berlainan pada interval. Maka terdapat sebuah polinomial tunggal È Ò Üµ berderajad paling tinggi Ò yang memenuhi: Ü µ È Ò Ü µ untuk ½ ¾ Ò ½µ Polinomial Newton ini adalah È Ò Üµ ½ ¾ Ü Ü ½ µ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ò ½ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü Ò µ (4.35) Koefisien polinomial Newton merupakah selisih terbagi fungsi yang dihampiri dengan Ü ½ Ü ¾ Ü untuk ½ ¾ Ò ½µ AKIBAT 4.1 (HAMPIRAN NEWTON). Misalkan È Ò Üµ adalah polinomial Newton yang diberikan oleh Teorema 4.3 dan digunakan untuk menghampiri fungsi ܵ, yakni ܵ È Ò Üµ Ò Üµ (4.36) Jika mempunyai turunan ke- Ò ½µ pada interval, maka untuk setiap Ü ¾, terdapat sebuah bilangan ܵ ¾, sedemikian sehingga fungsi galat Ò Üµ berbentuk Ò Üµ Ü Ü ½µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü Ò ½ µ Ò ½µ µ (4.37) Ò ½µ Untuk keperluan komputasi, nilai-nilai selisih terbagi pada Tabel 4.1 perlu disimpan ke dalam matriks (array), misalkan µ. Jadi koefisienkoefisien pada (4.35) menjadi µ Ü Ü ½ Ü (4.38) untuk ½ Ò ½µ dan ½ Ò ½µ ½. Dari (4.26) kita dapatkan rumus rekursif untuk menghitung elemenelemen matriks : Galat hampiran fungsi dengan polinomial Newton Cara menghitung selisih-selisih terbagi Newton suatu fungsi dengan menggunakan tabel ½ µ Ü µ untuk ½ ¾ Ò ½µ

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 219 function D=selisihN(x,y) n=length(x); D(1,1:n)=y; for j=2:n, for k=1:n-j+1, D(j,k)=(D(j-1,k+1)-D(j-1,k))/(x(k+j-1)-x(k)); end end Gambar 4.5: Fungsi MATLAB selisihn untuk menghitung selisihselisih terbagi Newton, jika diketahui data berupa pasangan dua buah vektor Ü dan Ý CONTOH 4.6. Hitunglah selisih-selisih terbagi fungsi sampai tingkat tiga, jika diketahui data titik-titik sebagai berikut. Selanjutnya, tentukan polinomial Newton yang menginterpolasikan titik-titik tersebut. Ü 0 1 2 4 Ü µ 1 1 2 5 Penyelesaian: Dari data pada tabel di atas dapat disusun tabel selisih terbagi Newton untuk fungsi sebagai berikut. Nilai-nilai selisih terbagi Newton membentuk transpose matriks segitiga atas. Dari hasil perhitungan tersebut, elemen-elemen pada kolom pertama matriks merupakan koefisien-koefisien polinomial Newton yang menginterpolasikan data tersebut. Ü 0 1 2 4 Ü µ 1 1 2 5 ½ µ 1 1 2 5 ¾ µ 0 1 3/2 µ 1/2 1/6 µ -1/12

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 221-3 0 15 48 105 192 >>D=selisihN(x,y) D = -3 0 15 48 105 192 3 15 33 57 87 0 6 9 12 15 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 CONTOH 4.8. Buatlah tabel selisih terbagi untuk fungsi ܵ Ó Üµ dengan menggunakan lima titik Ü Üµµ untuk Ü ¼ ½ ¾. Dari tabel tersebut tentukan dan carilah keempat polinomial interpolasi Newton È Üµ untuk ½ ¾. Penyelesaian: Seperti pada contoh sebelumnya kita gunakan fungsi MATLAB selisihn untuk menghasilkan tabel selisih terbagi Newton (matriks ) sebagai berikut: >>x=0:4 x = 0 1 2 3 4 >>y=cos(x) y = 1.0000 0.5403-0.4161-0.9900-0.6536 >>D=selisihN(x,y) D = 1.0000 0.5403-0.4161-0.9900-0.6536-0.4597-0.9564-0.5738 0.3363 0.0000-0.2484 0.1913 0.4551 0.0000 0.0000 0.1466 0.0879 0.0000 0.0000 0.0000-0.0147 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Dengan menggunakan keempat titik pertama Ü ½ Ü ¾ Ü Ü dan nilai-nilai ½, ¾,,,, yakni kolom pertama matriks pada hasil perhitungan di atas, kita tuliskan keempat polinomial Newton (kita gunakan pendekatan sampai tujuh

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 223 gunakan fungsi xsarang) 5 perhitungan nilai polinomial Newton akan lebih efisien daripada perhitungan secara langsung. LATIHAN 4.2 1. Dengan menggunakan simpul-simpul pusat Ü ½, Ü ¾, Ü, dan Ü, dan koefisien-koefisien ½, ¾,,, dan yang diberikan, tentukan polinomial-polinomial Newton È ½ ܵ, È ¾ ܵ, È Üµ, dan È Üµ. Selanjutnya, hitunglah nilai-nilai È ½ µ, È ¾ µ, È µ, dan È µ untuk nilai yang diberikan. (Gunakan perhitungan secara manual dan bandingkan hasilnya dengan menggunakan fungsi-fungsi MATLAB yang diberikan di depan.) (a) ½, ¾ ½, ¼, ¼¼½, ¼¼¾; Ü ½ ½, Ü ¾, Ü, Ü ; ¾ (b) ½, ¾ ¾, ¼, ¼½, ¼¼¼ ; Ü ½ ¼, Ü ¾ ½, Ü ¾, Ü ; ¾ (c) ½, ¾, ¼½, ¼¼, ¼¼; Ü ½ ½, Ü ¾ ¼, Ü ½, Ü ; (d) ½ ¾, ¾, ¼¼, ¼¼, ¼¼¼; Ü ½, Ü ¾ ½, Ü ½, Ü ; ¾ 2. Dengan menggunakan data sebagai berikut, (i) Hitunglah tabel selisih terbagi Newton untuk fungsi yang diberikan; (ii) Tuliskan polinomial-polinomial Newton È ½ ܵ, È ¾ ܵ, È Üµ, dan È Üµ; (iii) Hitunglah nilai-nilai È ½ µ, È ¾ µ, È µ, dan È µ untuk nilai-nilai yang diberikan; (iv) Bandingkan nilai-nilai È ½ µ, È ¾ µ, È µ, dan È µ dengan nilai µ. (a) ܵ ¾ Ü, ½ ¾ 5 Ganti input a untuk fungsi tersebut dengan D(:,1) hasil output fungsi selisihn.

4.2 Polinomial-polinomial Interpolasi 225 (c) ¼ µ ½ µ ¾ µ µ ½µ µ µ (d) ¼ ½µ ½ ½µ ½µ ½µ (e) ½µ ½ ½µ ½µ ¼ ½µ (f) ¼ ¼µ ½ ½µ ¾ µ µ ¼µ 4. Buatlah tabel selisih terbagi dari data berikut ini, kemudian hitung È ½µ: Ü ¾ ¼ Ü µ ½ ¾¼ Tambahkan data titik-titik ½ ½µ dan ¾ µ satu demi satu dan hitung nilai-nilai È ½µ dan È ½µ. Berikan komentar terhadap hasil yang Anda peroleh. 5. Berikut adalah nilai-nilai fungsi ܵ ÐÒ Ü pada beberapa titik sampel. Gunakan sebanyak mungkin titik untuk menaksir nilai ¾µ dengan toleransi 0.0000 05. Lakukan perhitungan dengan urutan titik-titik yang berbeda dan cobalah untuk meminimumkan banyaknya titik yang diperlukan. Ü ½ ½ ½ ½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ܵ¼¼ ¼ ¼ ¼ ¼½ ¼ ¼ ¾½ ¼½¾ ¼ ¾ Ü ¾ ½ ¾ ¼ ܵ½¼½ ½½ ½¼ ½½ ½ ½¾¾ ½¾¾ ½¾¼ ½ ¼ ½ ¾ 6. Tunjukkan bahwa, jika Ü ½, Ü ¾, dan Ü berbeda maka Ü ½ Ü ¾ Ü Ü ¾ Ü Ü ½ Ü Ü ½ Ü ¾ 7. Bentuk selisih terbagi polinomial interpolasi È ¾ ܵ adalah È ¾ ܵ Ü ½ Ü ½ Ü ¾ Ü Ü ½ µ Ü ½ Ü ¾ Ü Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Dengan menyatakan selisih-selisih terbagi tersebut dalam nilainilai fungsi Ü µ, (=1, 2, 3), jelaskan bahwa È ¾ melalui titik-titik Ü Ü µµ, (=1, 2, 3). 8. Perhatikan Ò ½µ titik Ü ½ Ý ½ µ Ü ¾ Ý ¾ µ Ü Ò ½ Ý Ò ½ µ.

4.3 Polinomial Lagrange 227 ngan mendefinisikan Ä ½ ܵ Ü Ü ¾µ Ü ½ Ü ¾ µ dan Ä ¾ ܵ Ü Ü ½µ Ü ¾ Ü ½ µ kita dapat menuliskan (4.41) sebagai È ½ ܵ Ý ½ Ä ½ ܵ Ý ¾ Ä ¾ ܵ (4.42) Bentuk terakhir ini dapat diperumum untuk È ¾ ܵ È Üµ dengan menggunakan tiga, empat titik, dan seterusnya. Hasilnya adalah polinomial-polinomial Lagrange. Polinomial Lagrange dapat digunakan untuk menginterpolasikan tabel dengan Ò nilai, terutama apabila data titik-titik yang diberikan memiliki interval yang berbeda-beda. Misalkan tabel yang diberikan seperti di bawah ini: Penulisan persamaan garis lurus dalam bentuk polinomial Lagrange Ü Ü ½ Ü ¾ Ü... Ü Ò Ý Ü ½ µ Ü ¾ µ Ü µ... Ü Ò µ Sekarang perhatikan polinomial-polinomial berderajad Ò bawah ini ½µ di Ä Üµ Ü Ü ½µ Ü Ü ½ µ Ü Ü ½ µ Ü Ü Ò µ Ü Ü ½ µ Ü Ü ½ µ Ü Ü ½ µ Ü Ü Ò µ (4.43) untuk ½ ¾ Ò. Perhatikan juga bahwa faktor-faktor Ü Ü µ dan Ü Ü µ tidak muncul di dalam pembilang dan penyebut pada ruas kanan Ä Üµ. Notasi lain yang lebih ringkas untuk fungsi Ä Üµ adalah 6 Ä Üµ Ò ½ Ü Ü µ Ü Ü µ (4.44) Dari definisi Ä di atas, kita lihat bahwa fungsi-fungsi Ä memenuhi sifat ½ jika Ä Ü µ ¼ jika Fungsi kardinal untuk polinomial Lagrange berderajad Ò ½µ Sifat fungsi kardinal Lagrange 6 Perlu dicatat bahwa definisi fungsi Ä Üµ adalah relatif terhadap himpunan simpul pusat yang dipakai. Beberapa buku menggunakan indeks kedua pada Ä yang menyatakan banyaknya titik yang dipakai, misalkan ÄÒ Üµ sebagai pengganti Ä Üµ.

4.3 Polinomial Lagrange 229 daan permasalahan pada keduanya. Jika pada polinomial Newton permasalahan utamanya adalah mencari koefisien-koefisien, maka pada polinomial Lagrange permasalahan utamanya lebih pada perhitungan nilai polinomial itu sendiri 7. Perhitungan nilai polinomial Lagrange (4.45) yang berderajad Ò ½µ memerlukan perhitungan Ò nilai fungsi kardinal Ä Üµ. Algoritma 4.3 menunjukkan langkah-langkah perhitungan nilai polinomila Lagrange. Implementasikan algoritma tersebut dengan MATLAB ditunjukkan pada Gambar 4.7 dan 4.8. CONTOH 4.9. Tentukan polinomial Lagrange yang menginterpolasikan titik-titik ¼ ½µ, ½ ½µ, ¾ ¾µ, dan µ. Penyelesaian: Berdasarkan rumus (4.44) dan (4.45), polinomial Lagrange yang dicari adalah È Üµ Ü ½µ Ü ¾µ Ü µ ¼ ½µ ¼ ¾µ ¼ µ ½ Ü Ü ¾µ Ü µ ½ ½ ¾µ ½ µ ½ Ü Ü ½µ Ü µ ¾ ¾ ½µ ¾ µ ¾ Ü Ü ½µ Ü ¾µ ½µ ¾µ atau È Üµ ½ ½¾ Ü Ü ¾ Ü ½¾µ Perhatikan bahwa soal di atas sama dengan soal pada Contoh 4.6. Silakan Anda cek bahwa polinomial Lagrange di atas persis sama dengan polinomial Newton pada contoh 4.6. CONTOH 4.10. Dari tabel x 0 1-1 2-2 3 f(x) -3-2 5 10 16-10 carilah fungsi-fungsi kardinalnya dan polinomial interpolasi Lagrange. Hitung nilai pendekatan µ dengan menggunakan polinomial tersebut. Penyelesaian: 7 Pembaca yang tertarik akan tertantang untuk menunjukkan apakah polinomial Newton dan Lagrange yang menginterpolasikan titik-titik yang sama adalah identik!

4.3 Polinomial Lagrange 231 Berikut kita hitung fungsi-fungsi Ä ½ Ä ¾ Ä Ä Ä, dan Ä : Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü µ Ä ½ ܵ ¼ ½µ ¼ ½µ ¼ ¾µ ¼ ¾µ ¼ µ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü µ ½¾ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü µ Ä ¾ ܵ ½ ¼µ ½ ½µ ½ ¾µ ½ ¾µ ½ µ Ü Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü µ ½¾ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü µ Ä Üµ ½ ¼µ ½ ½µ ½ ¾µ ½ ¾µ ½ µ Ü Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü µ ¾ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü µ Ä Üµ ¾ ¼µ ¾ ½µ ¾ ½µ ¾ ¾µ ¾ µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü µ ¾ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü µ Ä Üµ ¾ ¼µ ¾ ½µ ¾ ½µ ¾ ¾µ ¾ µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü µ ½¾¼ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ä Üµ ¼µ ½µ ½µ ¾µ ¾µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ ½¾¼ Jadi polinomial Lagrange yang dicari adalah È Üµ Ä ½ ܵ ¾Ä ¾ ܵ Ä Üµ ½¼Ä ܵ ½Ä ܵ ½¼Ä ܵ Untuk mencari pendekatan nilai µ, kita hitung È µ sebagai berikut È µ Ä ½ µ ¾Ä ¾ µ Ä µ ½¼Ä µ ½Ä µ ½¼Ä µ dengan

4.3 Polinomial Lagrange 233 y = -3-2 5 10 16-10 >>L=polag(x,y,-3) L = 20-15 -15 6 6-1 >>P=y*L P = 61 Cara langsung adalah dengan menggunakan fungsi MATLAB nilaipolag: >>P=nilaipolag(x,y,-3) 18 14 y=p5(x) 10 6 2. -2 y -6 x -10-2 -1 0 1 2 3 Gambar 4.9: Polinomial Lagrange È Üµ yang menginterpolasikan titik-titik ¼ µ, ½ ¾µ, ½ µ, ¾ ½¼µ, ¾ ½µ, dan ½¼µ Gambar 4.9 menyajikan grafik fungsi polinomial Lagrange yang menginterpolasikan keenam titik yang diberikan pada tabel. Sekarang marilah kita cari polinomial-polinomial Lagrange lain yang menginterpolasikan dua titik pertama, tiga titik pertama,... dan membandingkannya 8. 8 Di sini kita gunakan indeks kedua untuk menyatakan banyaknya titik yang dipakai

4.3 Polinomial Lagrange 235 pada tabel: Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ä ½ ܵ ¼ ½µ ¼ ½µ ¼ ¾µ ¼ ¾µ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ä ¾ ܵ ½ ¼µ ½ ½µ ½ ¾µ ½ ¾µ Ü Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ä Üµ ½ ¼µ ½ ½µ ½ ¾µ ½ ¾µ Ü Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ä Üµ ¾ ¼µ ¾ ½µ ¾ ½µ ¾ ¾µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾¾ Ü ¼µ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ä Üµ ¾ ¼µ ¾ ½µ ¾ ½µ ¾ ¾µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ¾ È Üµ Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ ½ Ü Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ Ü Ü ½µ Ü ¾µ Ü ¾µ ¾ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ Ü Ü ½µ Ü ½µ Ü ¾µ ½¾ Untuk membandingkan keempat polinomial Lagrange tersebut dengan polinomial Lagrange yang menginterpolasikan keenam titik yang diberikan, kita lihat grafik keenam fungsi tersebut pada Gambar 4.10. Terlihat bahwa È Üµ memberikan interpolasi terbaik untuk keenam titik yang diberikan.

4.3 Polinomial Lagrange 237 dengan È Ò Üµ adalah suatu polinomial Lagrange hampiran ܵ: ܵ È Ò Üµ Ò ½ ½ Ü µä ܵ (4.47) maka suku galat Ò Üµ berbentuk Ò Üµ Ü Ü ½µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü Ò ½ µ Ò ½ µ Ò ½µ untuk suatu nilai ܵ ¾. (4.48) Galat hampiran fungsi dengan polinomial Lagrange BUKTI: Oleh karena È Ò Ü µ Ü µ untuk ½ ¾ Ò ½µ, maka Ò Ü µ ¼ È Ò Ü µ Ü µ untuk ½ ¾ Ò ½µ Jadi rumus (4.48) benar untuk Ü Ü, ½ ¾ Ò ½µ. Oleh karena itu kita hanya akan meninjau kasus Ü Ü, ½ ¾ Ò ½µ, dan definisikan fungsi ص ص È Ò Øµ É Ò ½ ½ Ø Ü µ É Ò ½ ½ Ü Ü µ Ò Üµ (4.49) dengan Ø bervarisai dan Ü tetap, keduanya pada. memenuhi sifat-sifat sebagai berikut Fungsi ص 1. Ü µ Ü µ È Ò Ü µ ¼ Ü µ Ü µ ¼ untuk 1, 2,..., Ò ½µ dan ܵ ܵ È Ò Üµ Ò Üµ ¼ (dari (4.46)). 2. Oleh karena È Ò Øµ adalah polinomial berderajad Ò dan É Ò ½ ½ Ø Ü µ adalah polinomial berderajad Ò ½µ dalam Ø, maka dari persamaan (4.49) dan asumsi mengenai jelas bahwa ¼ ص, ¼¼ ص,..., Ò ½µ ص ada dan kontinyu pada. Jadi menurut Teorema Role Umum (lihat Teorema A.8 pada Lampiran A), terdapat ¾ µ sedemikian hingga Ò ½µ µ ¼. Dari persamaan (4.49) diperoleh Ò ½µ ص Ò ½µ ص ¼ Ò ½µ Ò Üµ É Ò ½ ½ Ü Ü µ (4.50)

4.3 Polinomial Lagrange 239 hingga Di sisi lain, Jadi ¾µ µ Å ¾ untuk Ü ½ Ü ¾ Ø Ø µ ¾ untuk ¼ Ø ½ ܵ ¾ Å ¾ ¾ ¾ Å ¾ sesuai dengan pertidaksamaan (4.52). Teorema 4.5 memberikan hubungan antara besar suku-suku galat pada interpolasi linier, kuadratik, dan kubik. Pada setiap kasus batas galat Ò Üµ tergantung pada dalam dua hal. Pertama, adanya faktor Ò ½ sehingga Ò Üµ sebanding dengan Ò ½. Kedua, nilai-nilai Å Ò ½ pada umumnya juga tergantung pada dan nilainya menuju Ò ½µ Ü ½ µ jika menuju nol. Jadi, jika menuju nol Ò Üµ konvergen ke nol secepat Ò ½ konvergen ke nol. Perilaku seperti ini dinyatakan secara simbolik dengan notasi Ç Ò ½ µ. Sebagai contoh, batas galat ( 4.52) ½ ܵ Ç ¾ µ untuk Ü ¾ Ü ½ Ü ¾ yang berarti batas galat tersebut sebanding dengan kelipatan ¾. Sebagai konsekuensi hal tersebut, jika turunan ܵ terbatas seragam pada interval tersebut dan ½, maka dengan memilih Ò cukup besar akan membuat nilai Ò ½ kecil, dan polinomial hampiran berderajad yang lebih tinggi memberikan galat yang lebih kecil. CONTOH 4.11. Perhatikan fungsi Ý Üµ Ó Üµ pada interval ¼¼ ½¾. 1. Gunakan titik-titik Ü ½ ¼¼ dan Ü ¾ ½¾ untuk menentukan polinomial interpolasi linier È ½ ܵ. 2. Gunakan titik-titik Ü ½ ¼¼, Ü ¾ ¼ dan Ü ½¾ untuk menentukan polinomial interpolasi kuadratik È ¾ ܵ. 3. Gunakan titik-titik Ü ½ ¼¼, Ü ¾ ¼, Ü ¼, dan Ü ½¾ untuk menentukan polinomial interpolasi kubik È Üµ. 4. Tentukan batas-batas galat hampiran yang diberikan oleh È ½ ܵ, È ¾ ܵ, dan È Üµ.

4.3 Polinomial Lagrange 241 1.0 0.9 y=p2(x) 0.8 0.7 0.6 y=p1(x) 0.5 0.4 y=cos(x) 0.3 0.2 0.1 y y=p3(x). x 0.0-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Gambar 4.11: Grafik Ý Ó Üµ dan tiga polinomial Lagrange È ½ ܵ (berdasarkan Ü ½ ¼¼ dan Ü ¾ ½¾), È ¾ ܵ (berdasarkan Ü ½ ¼¼ Ü ¾ ¼ dan Ü ½¾), dan È Üµ (berdasarkan Ü ½ ¼¼ Ü ¾ ¼ Ü ¼ dan Ü ½¾) 4. Untuk menghitung batas-batas ½ ܵ ¾ ܵ, dan ܵ kita perlu menghitung batas-batas Å ¾ Å, dan Å untuk ¾µ ܵ µ ܵ, dan µ ܵ sbb.: ¾µ ܵ Ó Üµ Ó ¼¼µ ½¼¼¼¼¼¼ sehingga Å ¾ ½¼¼¼¼¼¼, µ ܵ Ò Üµ Ò ½¾µ ¼ ¾¼ sehingga Å ¼ ¾¼, µ ܵ Ó Üµ Ó ¼¼µ ½¼¼¼¼¼¼ sehingga Å ½¼¼¼¼¼¼. Untuk È ½ ܵ lebar interval antar simpul adalah ½¾, sehingga batas galatnya adalah ½ ܵ ¾ Å ¾ ½¾µ¾ ½¼¼¼¼¼¼µ ¼½¼¼¼¼ Untuk È ¾ ܵ lebar interval antar simpul adalah ¼, sehingga batas galatnya adalah ¾ ܵ Å Ô ¼µ ¼ ¾¼ µ Ô ¼¼½¾½

4.3 Polinomial Lagrange 243 Jawab: 1. Dengan menggunakan rumus (4.48) galat hampiran tersebut adalah ½ ܵ Ü È Ü Ü ½µ Ü Ü ¾ µ ½ ܵ ¾ untuk suatu antara minimum dan maksimum Ü ½, Ü ¾, dan Ü. Sesuai dengan tujuan interpolasi, misalkan ¼ Ü ½ Ü Ü ¾ ½. Fungsi galat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam Ü dengan pembuat nol Ü ½ dan Ü ¾, sehingga nilai ekstrimnya terjadi pada Ü Ü ½ Ü ¾ µ¾. Jadi ½ ܵ ½ Ü ¾ Ü ½ µ Ü ½ Ü ¾ µ Dengan menuliskan Ü ¾ Ü ½ dan memperhatikan bahwa untuk ¾ ¼ ½, maka diperoleh ½ ܵ ¾ 2. Dengan menggunakan polinomial Lagrange linier kita hitung È ½ ¼¾µ sebagai berikut ¼¾ ¼ µ ¼¾ ¼¾µ È ½ ¼¾µ ¼¾¼¼¼ ¾¾ ½ ¼¾ ¼ µ ¼ ¼¾µ ¾¾½½ Dengan ¼¼½, galat hampiran linier memenuhi hubungan ½ ܵ ¼¼½µ¾ ¼¼¼¼¼ ¼ Galat yang sebenarnya pada hampiran linier tersebut adalah 0.0000276, lebih kecil daripada batas tersebut. LATIHAN 4.3 1. Bentuk polinomial interpolasi kubik untuk menghampiri fungsi ܵ dengan menggunakan data berikut ini, kemudian hitung tak-

4.3 Polinomial Lagrange 245 ii. hitung È ¾ ܵ dengan menggunakan Ü ½ ½, Ü ¾ ¼ dan Ü ½; iii. hitung È Üµ dengan menggunakan Ü ½ ½, Ü ¾ ¼, Ü ½ dan Ü ¾; iv. hitung È ½ ܵ dengan menggunakan Ü ½ ½ dan Ü ¾ ¾; v. hitung È ¾ ܵ dengan menggunakan Ü ½ ¼, Ü ¾ ½ dan Ü ¾; (b) ܵ Ü ¾Ü, i. hitung È ¾ ܵ dengan menggunakan Ü ½ ¼, Ü ¾ ½ dan Ü ¾ untuk menghampiri ½µ dan ½¾µ; ii. hitung È Üµ dengan menggunakan Ü ½ ¼, Ü ¾ ½, Ü ¾ dan Ü ¾ untuk menghampiri ½µ dan ½¾µ; (c) ܵ ܾ Ü, i. hitung È ¾ ܵ dengan menggunakan Ü ½ ¼, Ü ¾ ½ dan Ü ¾ untuk menghampiri ½µ dan ½ µ; ii. hitung È Üµ dengan menggunakan Ü ½ ¼, Ü ¾ ½, Ü ¾ dan Ü untuk menghampiri ½µ dan ½ µ; (d) ܵ ¾ Ò Üµ, Ü dalam radian, i. hitung È ¾ ܵ dengan menggunakan Ü ½ ¼, Ü ¾ ½ dan Ü untuk menghampiri ¾µ, ¾µ, µ, dan µ; ii. hitung È Üµ dengan menggunakan Ü ½ ¼, Ü ¾ ½, Ü dan Ü untuk menghampiri ¾µ, ¾µ, µ, dan µ; 6. Buatlah sketsa grafik Ä dengan Ü untuk ½ ¾. 7. Tentukan suku galat ܵ pada interpolasi kubik terhadap ܵ berdasarkan simpul-simpul Ü ½ ½, Ü ¾ ¼, Ü dan Ü, untuk fungsi-fungsi (a) ܵ Ü Ü ¾ (b) ܵ Ü ¾Ü (c) ܵ Ü Ü. 8. Dengan memperhatikan suku galat pada Teorema 4.4, tunjukkan bahwa polinomial interpolasi È Ò Üµ akan menghampiri setiap polinomial berderajad paling tinggi Ò secara eksak. Turunkan bahwa È Ò ½ ½ Ä Ò Üµ ½ untuk semua nilai Ü.

4.4 Interpolasi dengan Spline 247 ngan menyelesaikan SPL Ü ½ Ý ½ Ü ¾ Ý ¾ Ü Ý Þ ½ Þ ¾ Þ Hitunglah,, dan jika diketahui Þ È Ü Ý Þµ melalui ketiga titik di bawah ini. (a) ½ ½ µ, ¾ ½ µ dan ½ ¾ µ; (b) ½ ½ ¾µ, ¾ ½ ¼µ dan ½ ¾ µ; (c) ¾ ½ µ, ½ µ dan ¾ µ; (d) ½ ¾ µ, ¾ µ dan ½ ¾ ¼µ; Apa yang Anda temukan di sini? Mengapa?. 4.4 Interpolasi dengan Spline Interpolasi dengan polinomial sering memberikan hasil yang tak dapat diterima. Polinomial interpolasi yang dihasilkan dari sejumlah besar data titik biasanya berderajad tinggi. Polinomial berderajad tinggi biasanya bersifat osilatif (grafiknya naik turun secara cepat). Akibatnya, perubahan data pada interval kecil dapat menyebabkan fluktuasi yang besar pada keseluruhan interval. Karena alasan ini, biasanya interpolasi hanya menggunakan polinomial berderajad rendah. Dengan membatasi derajad polinomial interpolasi, diperoleh alternatif lain untuk mendapatkan sebuah kurva mulus yang melalui sejumlah titik. Caranya adalah interval yang memuat data titik dibagi menjadi beberapa subinterval dan pada setiap subinterval disusun polinomial interpolasi. Hasilnya sebuah kurva yang terdiri atas potongan-potongan kurva polinomial yang berderajad sama. Gambar 4.13 menunjukkan sketsa interpolasi dengan spline. Setiap subinterval diinterpolasikan dengan menggunakan suatu polinomial. Bandingkan dengan interpolasi dengan sebuah polinomial tunggal, seperti terlihat pada Gambar 4.14. Kedua interpolasi tersebut memiliki kurva yang sangat berlainan. Polinomial berderajad tinggi tidak cocok untuk interpolasi karena biasanya bersifat osilatif (grafiknya naik turun secara cepat).

4.4 Interpolasi dengan Spline 249 Gambar 4.14: Polinomial interpolasi yang melalui sekumpulan titik yang diberikan dengan Ë Üµ Ü, 1, 2,..., Ò ½µ. Oleh karena Ë Üµ linier, Ë Üµ sepotong-sepotong linier. Misalkan Ü ½ dan Ü Ò, maka domain Ë Üµ adalah. Selanjutnya kita menyaratkan bahwa Ë Üµ kontinyu pada. Jadi, Ë Üµ harus memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. Ë Üµ sepotong-sepotong linier, dan 2. Ë Üµ kontinyu pada. Untuk tujuan ekstrapolasi kita mengasumsikan 1. Ë Üµ didefinisikan sama dengan Ë ½ ܵ untuk Ü, dan 2. Ë Üµ didefinisikan sama dengan Ë Ò ½ ܵ untuk Ü. Konstanta-konstanta dan dipilih sedemikian hingga Ë Üµ kontinyu pada. Syarat kekontinyuan ini bersama dengan syarat interpolasi memberikan persamaan-persamaan 1. Ë Ü µ atau Ü, untuk 1, 2,..., Ò ½µ;

4.4 Interpolasi dengan Spline 251 Ò ½µ, Ü Ü ½ Ü Ü Ë Üµ ½ Ü Ü Ü ½ (4.58) Ü Ü ½ Ü ½ Ü Spline linier dengan polinomial Lagrange linier function [a,b]=spliner(x,f) % menghitung koefisien-koefisien spliner linier % S_k(x)=a_kx+b_k, k=1,2,...,(n-1); x_k=< x =<x_{k+1} n=length(x); for k=1:(n-1), a(k)=(f(k+1)-f(k))/(x(k+1)-x(k)); b(k)=f(k)-a(k)*x(k); end Gambar 4.16: Fungsi MATLAB spliner untuk menghitung koefisienkoefisien pada spline linier Ekspresi lain yang ekivalen dengan (4.58) adalah dalam bentuk persamaan garis yang melalui dua titik atau polinomial Newton linier Ë Üµ Ñ Ü Ü µ Ü Ü Ü ½ (4.59) dengan Ñ ½ Ü ½ Ü. Bentuk persamaan (4.59) lebih baik daripada persamaan (4.58) untuk keperluan kalkulasi secara eksplisit nilai-nilai Ë Üµ. Perhatikan, bahwa apabila penyelesaian (4.56) dan (4.57) dimasukkan ke dalam persamaan (4.58) akan diperoleh persamaan (4.59). Gambar 4.17 menyajikan fungsi MATLAB interspliner yang merupakan implementasi persamaan (4.59) untuk menghitung nilai spline linier Ë Þµ. Fungsi interspliner dapat digunakan untuk menghitung nilai Ë Þµ untuk Þ berupa sebuah bilangan atau sebuah vektor (menghitung nilai Ë di beberapa titik sekaligus).

4.4 Interpolasi dengan Spline 253 yang berarti ܵ kontinyu di Ü ¼. Perhatikan lagi, ÐÑ Üµ ÐÑ Ü¾¼ ܾ¼ ¼ ¾ Ü ¼µ dan Jadi, ÐÑ Üµ ÐÑ Ü ½ ܾ¼ ܾ¼ ÐÑ Üµ ÐÑ Üµ ¾¼µ ܾ¼ ܾ¼ yang berarti ܵ kontinyu di Ü ¾¼. Jadi ܵ merupakan sebuah spline linier pada ½. Berikut disajikan contoh pemakaian kedua fungsi MATLAB spliner dan interspliner untuk menghasilkan dan menghitung spline linier dari sekumpulan data titik. CONTOH 4.14. Tentukan spline linier yang menginterpolasikan data x ¾ ½ ¼ ½ ¾ f(x) ½ ¾ ½¼ ½¼ Contoh pemakaian fungsi MATLAB spliner dan interspliner dan hitung nilai-nilai Ë Þµ untuk Þ ½ ¼ ¼ ½ ¾. Penyelesaian: Kita gunakan fungsi MATLAB spliner dan interspliner dengan memasukkan data kedua vektor Ü dan sebagai berikut. >>x=[-2-1 0 1 2 3] x = -2-1 0 1 2 3 >>f=[16 5-3 -2 10-10] f = 16 5-3 -2 10-10 >>[a,b]=spliner(x,f) a = -11-8 1 12-20 b = -6-3 -3-14 50 >>x1=[-1.5 -.5.5 1.5 2.5]

4.4 Interpolasi dengan Spline 255 20 15 10 5 0 5 10 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Gambar 4.18: Contoh interpolasi dengan spliner linier (simbol o ) berdasarkan titik-titik * Sekarang kita bahas spline kuadratik atau spline berderajad dua. Suatu fungsi Ë Üµ merupakan sebuah spline berderajad dua pada, jika Ë Üµ memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. Ë Üµ sepotong-sepotong kuadratik pada, Syarat-syarat spline kuadratik 2. Ë Üµ kontinyu pada, dan 3. Ë ¼ ܵ kontinyu pada. Untuk tujuan ekstrapolasi kita mengasumsikan 1. Ë Üµ didefinisikan sama dengan Ë ½ ܵ untuk Ü, dan 2. Ë Üµ didefinisikan sama dengan Ë Ò ½ ܵ untuk Ü. Dalam hal ini fungsi Ë Üµ didefinisikan sebagai Ë Üµ Ë ½ ܵ untuk Ü ½ Ü Ü ¾ Ë ¾ ܵ untuk Ü ¾ Ü Ü Ë Üµ untuk Ü Ü Ü. Ë Ò ½ ܵ untuk Ü Ò ½ Ü Ü Ò (4.60) Definisi spline kuadratik

4.4 Interpolasi dengan Spline 257 kuadratik, untuk 1, 2,..., Ò ½µ, Ë Üµ Ñ ½ Ñ ¾ Ü ½ Ü µ Ü Ü µ ¾ Ñ Ü Ü µ (4.62) dengan Ü Ü Ü ½. Oleh karena Ë Üµ harus kontinyu, maka harus dipenuhi Ë Ü ½ µ ½. Jadi, Bentuk lain persamaan spline kuadratik Ñ ½ Ñ ¾ Ü ½ Ü µ Ü ½ Ü µ ¾ Ñ Ü ½ Ü µ ½ atau yakni Ñ ½ Ñ Ñ Ñ ½ ¾ ½ Ü ½ Ü ¾ Ñ ½ Ü ½ Ü µ ½ ¾ Ò ½µ Jadi spline kuadratik sekarang dapat dibentuk dengan menyelesaikan sebuah SPL yang terdiri atas Ò ½µ persamaan linier dalam Ò variabel, Ñ ½, Ñ ¾,..., Ñ Ò. Apabila disyaratkan Ñ ½ ¼ atau Ñ Ò ¼, maka spline yang didapat disebut spline kuadratik alami. Polinomialpolinomial kuadratiknya diperoleh dari persamaan (4.62). Dengan syarat awal Ñ ½ ¼ nilai-nilai Ñ ¾ Ñ Ñ Ò dapat dihitung sebagai berikut: Ñ ¾ ½ Ü Ü ½ Ñ ½ untuk ½ Ò ½µ (4.63) Implementasi persamaan (4.63) sebagai fungsi MATLAB spline2 ditunjukkan pada Gambar 4.19. Fungsi tersebut menghitung vektor Ñ jika diberikan masukan pasangan vektor Ü dan. Fungsi MATLAB interspline2, yang ditunjukkan pada Gambar 4.20, berguna untuk menghitung nilai interpolasi dengan spline kuadratik (4.62). CONTOH 4.15. Carilah suatu spline kuadratik interpolan untuk data yang diberikan pada tabel berikut ini. Ü ½ ¼ ¼ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¼ ½ ¾ SPL untuk membentuk spline kuadratik Fungsi MATLAB spline2 untuk menghitung nilai-nilai Ñ Ë ¼ ܵ pada spline kuadratik Ë Üµ Fungsi MATLAB interspline2 untuk menghitung nilai-nilai spline kuadratik alami

4.4 Interpolasi dengan Spline 259 function S=interspline2(x,f,z) % menghitung nilai spline kuadratik alami % (m_{k+1}-m_k) % S(z)= --------------(z-x_k)^2+m_k(z-x_k)+f_k % 2(x_{k+1}-x_k) % m_1=0; m_k = 2(f_{k}-f_{k-1})/(x_{k}-x_{k-1}) n=length(x); m=spline2(x,f); % gunakan fungsi spline2 for j=1:length(z), for k=1:(n-1), if z(j)>=x(k) & z(j)<=x(k+1), S(j)=(m(k+1)-m(k))/(2*(x(k+1)-x(k)))*(z(j)-x(k))^2+... m(k)*(z(j)-x(k))+f(k); end end end Gambar 4.20: Fungsi MATLAB interspline2: untuk menghitung nilainilai spline kuadratik interpolasi Ë Þµ Jadi spline kuadratik yang diinginkan adalah Ë Üµ Ü ½µ ¾ ¾ untuk ½ Ü ¼ ¾Ü ½ untuk ¼ Ü ¼ Ü ¼µ ¾ ¾ Ü ¼µ untuk ¼ Ü ½ Ü ½µ ¾ Ü ½µ ½ untuk ½ Ü ¾ ½¾ Ü ¾µ¾ Ü ¾µ ¾ untuk ¾ Ü ¾ Nilai-nilai Ñ untuk spline Ë Üµ tersebut juga dapat dihitung dengan menggunakan fungsi-fungsi MATLAB spline2 dan interspline2 sebagai berikut, sekaligus untuk menguji bahwa spline kuadratik yang dihasilkan benar-benar menginterpolasikan titik-titik yang diketahui. Contoh pemakaian fungsi MATLAB spline2 dan interspline2 >>x=[-1 0.5 1 2 2.5] x = -1 0 0.5000 1 2 2.5000 >>f=[2 1 0 1 2 3]

4.4 Interpolasi dengan Spline 261 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Gambar 4.21: Spline linier dan kuadratik dengan menggunakan simpulsimpul ½ ¾µ, ¼ ½µ, ¼ ¼µ, ½ ½µ, ¾ ¾µ, ¾ µ. 20 15 ( 2,16) 10 (2,10) 5 ( 1,5) 0 5 (0, 3) (1, 2) (3, 10) 10 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Gambar 4.22: Interpolasi dengan spline linier (simbol * ) dan spline kuadratik (simbol o ) berdasarkan data titik yang sama

4.4 Interpolasi dengan Spline 263 (Dalam hal ini, Ë Ü µ, untuk ½ Ò, adalah nilai-nilai yang sudah diketahui.) Persyaratan Ë ¼ ܵ harus kontinyu pada simpul-simpul interior Ü ¾ Ü Ü Ò ½ memberikan Ò ¾µ persamaan lain dalam bentuk Ë ¼ Ü ½µ Ë ¼ ½ Ü ½µ ½ ¾ Ò ¾µ (4.67) Demikian juga, persyaratan Ë ¼¼ ܵ harus kontinyu pada simpul-simpul interior Ü ¾ Ü Ü Ò ½ memberikan Ò ¾µ persamaan lain, yakni Ë ¼¼ Ü ½µ Ë ¼¼ ½ Ü ½µ ½ ¾ Ò ¾µ (4.68) Jadi, dari persamaan-persamaan (4.65), (4.66), (4.67), dan (4.68) kita hanya mempunyai ¾Ò µ ¾ Ò ¾µ Ò ¾µ Ò persamaan untuk menentukan Ò konstanta tak diketahui. Oleh karena itu kita akan menggunakan dua buah asumsi (sebagai syarat batas) untuk mendapatkan konstanta-konstanta tersebut. Asumsi ini biasanya menyangkut nilainilai Ë ¼ ܵ atau Ë ¼¼ ܵ di Ü ½ dan Ü Ò. Berikut kita bahas bagaimana cara memperoleh konstanta-konstanta yang diperlukan untuk membentuk sebuah spline kubik. Oleh karena Ë Üµ sepotong-sepotong merupakan polinomial kubik pada interval, maka turunan keduanya, Ë ¼¼ ܵ, sepotong-sepotong merupakan polinomial linier pada interval. Dengan menggunakan rumus interpolasi Lagrange linier, berdasarkan simpul-simpul Ü dan Ü ½, untuk fungsi Ë ¼¼ ܵ Ë ¼¼ ܵ kita tahu, bahwa Ë ¼¼ ܵ ˼¼ Ü Ü Ü ½ µ Ë ¼¼ Ü Ü Ü ½ µ (4.69) Ü Ü ½ Ü ½ Ü untuk Ü Ü Ü ½ dan ½ Ò ½µ. Selanjutnya, kita misalkan Ñ Ë ¼¼ Ü µ, sehingga (4.69) dapat dituliskan sebagai Ë ¼¼ ܵ Ë ¼¼ ܵ Ñ ½ Ü ½ Ü Ü Ü µ Ñ Ü ½ Ü Ü ½ ܵ (4.70) untuk Ü Ü Ü ½ dan ½ Ò ½µ. Di sini berlaku Ë ¼¼ Ü µ Ë ¼¼ ½ Ü µ Ñ. Jadi Ë ¼¼ ܵ kontinyu pada Ü untuk ¾ Ò ½. Dengan mengintegralkan Ë ¼¼ ܵ dua kali kita peroleh Ë Üµ Ñ ½ Ñ Ü ½ Ü Ü Ü µ µ Ü ½ Ü Ü ½ ܵ Ü Æ (4.71) µ

4.4 Interpolasi dengan Spline 265 Dengan menuliskan Ü ½ Ü dan ½ µ kita peroleh Ë ¼ Ü µ Ñ ½ ¾ Ñ ½ Dengan cara yang sama kita dapatkan Ñ ½ Ñ Ñ (4.76) Ë ¼ ½ Ü µ ½Ñ ½Ñ ½ ½ (4.77) Dari (4.75), (4.76), dan (4.77) kita peroleh, untuk ¾ Ò ½, atau ½ Ñ ½ ¾ ½ Ñ ½ Ñ ½ ¾ Ñ ½ Ñ ½ ¾ ½ µñ Ñ ½ ½ µ Dengan menuliskan Ù ¾ ½ µ dan Ú ½ µ, kita dapatkan rumus ½ Ñ ½ Ù Ñ Ñ ½ Ú untuk ¾ Ò ½ (4.78) Ü ½ Ü, ½ µ, Ù ¾ ½ µ, Ú ½µ SPL untuk menghitung Ñ Ë ¼¼ ܵ Sistem persamaan linier (4.78) merupakan sebuah SPL yang terdiri atas Ò ¾ persamaan dalam Ò variabel (Ñ ½ Ñ ¾ Ñ Ò ). Oleh karena itu diperlukan dua buah persamaan atau syarat untuk mengeliminir Ñ ½ dari persamaan pertama dan Ñ Ò dari persamaan ke-(ò ¾) pada (4.78). Kedua syarat ini disebut syarat titik-titik ujung. Terdapat beberapa strategi untuk memberikan kedua syarat tersebut, sebagaimana disajikan pada Tabel 4.2. Kelima strategi untuk menentukan syarat batas (Ñ ½ dan Ñ Ò ) di atas akan menentukan persamaan pertama ( ¾) dan terakhir ( Ò ½) pada (4.78), sedangkan persamaan ke-¾ sampai Ò ¾µ (yakni untuk Ò ¾µ) sama untuk strategi manapun yang dipilih. Beberapa metode penentuan spline kubik Secara umum, nilai-nilai Ñ, untuk ¾ Ò ½, dihitung dengan SPL untuk cara menyelesaikan sistem persamaan Ñ Ú, dengan adalah suatu menghitung Ñ merupakan sistem matriks tridiagonal berukuran Ò ¾µ Ò ¾µ, Ñ dan Ú adalah dua buah trigiagonal

4.4 Interpolasi dengan Spline 267 2. Untuk spline alami (Ñ ½ Ñ Ò ¼): Ù ¾ Ù ¾ ¾ ¾ Ú ¾ Ú ¾ Ù Ò ½ Ù Ò ½ Ò ¾ Ò ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ Syarat batas untuk spline alami 3. Untuk spline terekstrapolasi (Ñ ½ Ñ ¾ Ò ½ ÑÒ ½ ÑÒ ¾µ ): Ò ¾ ½ Ñ Ñ ¾ µ ¾ Ñ Ò Ñ Ò ½ Syarat batas untuk spline terekstrapolasi Ù ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ Ù Ò ½ ¾ Ò ¾ Ò ½ ¾ Ò ½ Ò ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ Ò ¾ Ò ¾ ¾ Ò ½ Ò ¾ Ú ¾ Ú ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ 4. Untuk spline berujung parabolik (Ñ ½ Ñ ¾ Ñ Ò Ñ Ò ½ ): Syarat batas untuk spline berujung parabolik Ù ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Ú ¾ Ú ¾ Ù Ò ½ ¾ Ò ¾ Ò ½ Ò ¾ Ò ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ 5. Untuk spline berujung sesuai kurvatur (Ñ ½ dan Ñ Ò ditentukan Syarat batas untuk nilainya): spline berujung sesuai kurvatur Ù ¾ Ù ¾ ¾ ¾ Ú ¾ Ú ¾ ½ Ñ ½ Ù Ò ½ Ù Ò ½ Ò ¾ Ò ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ Ò ½ Ñ Ò Sistem persamaan linier Ñ Ú di atas merupakan sistem tridiagonal yang bersifat dominan secara diagonal, karena Ù ¾ ½ µ (untuk Ò ¾µ) dan Ù ¾, ¾ Ò ¾ Ù Ò ½ untuk setiap strategi, sehingga SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. SPL tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan dekomposisi ÄÍ maupun eliminasi Gauss guna memperoleh nilai-nilai Ñ ¾ Ñ Ñ Ò ½. Setelah mendapatkan nilai-nilai Ñ ¾ Ñ Ñ Ò ½ kita dapat menghitung nilai-nilai dan, dengan menggunakan rumus (4.74) dan (4.73), dan akhirnya kita peroleh polinomial-polinomial Ë Üµ pada interval Ü Ü ½, dengan menggunakan rumus (4.72), untuk ½ Ò ½.

4.4 Interpolasi dengan Spline 269 Secara ringkas langkah-langkah menghitung nilai spline kubik disajikan pada Algoritma 4.4. Perlu dicatat bahwa pada Algoritma 4.4, nilai Ñ ½ dan Ñ Ò merupakan masukan yang ditentukan nilainya di luar algoritma. Teknik ini dipilih karena pemilihan strategi penentuan nilai-nilai Ñ ½ dan Ñ Ò tidak mempengaruhi langkah-langkah perhitungan spline kubik. Implementasi Algoritma 4.4 pada MATLAB ditunjukkan pada Gambar 4.23 sebagai fungsi spline3. Fungsi spline3 dapat digunakan untuk menghitung nilai-nilai spline kubik, di beberapa titik (elemen-elemen vektor z), yang melalui titik-titik Ü Ý µ, sesuai dengan syarat-syarat batas yang diketahui. Pemakaian fungsi spline3 memerlukan enam buah masukan, yakni vektor Ü, Ý (keduanya seukuran), konstanta atau vektor Þ, nilai yang menunjukkan jenis spline (1, 2, 3, 4 atau 5) dan kedua syarat batas, ½ dan Ò. 1. Untuk jenis 1, Ë ¼ Ü ½ µ ½ Ë ¼ Ü Ò µ Ò. 2. Untuk jenis 2, 3 dan 4, masukan ½ dan Ò diabaikan. 3. Untuk jenis 5, Ñ ½ Ë ¼¼ Ü ½ µ ½ Ñ Ò Ë ¼¼ Ü Ò µ Ò. Jika Þ berupa konstanta, maka hasilnya sebuah nilai. Jika Þ berupa sebuah vektor, hasilnya juga berupa sebuah vektor seukuran Þ. Jika Þ Ü, maka hasilnya sama dengan vektor Ý. Selain menghitung nilai-nilai spline, pemakaian fungsi spline3 juga akan menampilkan matriks, dan vektor Î, Ñ serta vektor dan. CONTOH 4.16. Dari tabel berikut ini, carilah spline kubik alami yang melewati titik-titik tersebut. Ü 1 2 3 4 5 Ý 0 1 0 1 0 Penyelesaian: Rumus-rumus yang kita miliki dalam hal ini adalah Ü ½ Ü Ý ½ Ý µ ½ ¾ Ù ¾ ½ µ Ú ½ µ ¾

4.4 Interpolasi dengan Spline 271 sehingga kita peroleh matriks dan vektor Î: ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ¼ Î ½¾ ½¾ Penyelesaikan SPL Ñ Î adalah (diperoleh dengan menggunakan faktorisasi LU atau eliminasi Gauss): sehingga diperoleh Ñ ¼ ¼µ ¼ ½¾ ½ ½ ½ ¾ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½¾ ½¾ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ½¾ ½¾ Jadi, Ë ½ ܵ ¼ Ü ½ ½µ ¼ ½¾ Ü ½µ ¼ Ü ½µ ½¾ Ü ½µ Ë ¾ ܵ Ü ¾µ ¼ ܵ Ü ¾µ ½¾ ܵ ½¾ Ü ¾µ ܵ Ü ¾µ ܵ Ë Üµ ¼ Ü µ ܵ Ü µ ܵ Ü µ ܵ ½¾ Ü µ ܵ Ë Üµ ¼ ¼ ܵ ¼ ½¾ ܵ ܵ ½¾ ܵ Akhirnya kita peroleh spline yang kita cari, yakni Ë Üµ Ü ½µ ½¾ Ü ½µ ½ Ü ¾ Ü ¾µ ܵ Ü ¾µ ½¾ ܵ ¾ Ü Ü µ ܵ ½¾ Ü µ ܵ Ü Üµ ½¾ ܵ Ü

4.4 Interpolasi dengan Spline 273 Soal tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan fungsi MATLAB spline3 sebagai berikut >>format rat >>x=0:3 >>x = 0 1 2 3 >>y=[0 0.5 2 1.5] y = 0 1/2 2 3/2 >>z=0:.1:3; >>s1=spline3(x,y,z,1,0.2,-1); A = 7/2 1 1 7/2 V = 51/10-21/2 m = -9/25 63/25-93/25 9/25 C = 2/25 131/50 36/25 D = 3/50 2/25 131/50 >>s2=spline3(x,y,z,2,0,0); A = 4 1 1 4 V = 6-12 m = 0 12/5-18/5 Contoh pemakaian fungsi MATLAB spline3 untuk menghasilkan lima jenis spline kubik

4.4 Interpolasi dengan Spline 275 A = 4 1 1 4 V = 63/10-153/10 m = -3/10 27/10-9/2 33/10 C = 1/20 11/4 19/20 D = 1/20 1/20 11/4 >>plot(z,s1,z,s2,z,s3,z,s4,z,s5);grid on >>hold on >>plot(x,y, * );plot(x,y, o ); >>legend( Spline "Terjepit", Spline "alami",... Spline "terekstrapolasi",... Spline "berujung parabolik",... Spline "kurvatur disesuaikan",2) Gambar 4.25 menyajikan kelima spline kubik yang diminta. Perhatikan bahwa kelima spline kubik tersebut sangat berbeda perilakunya pada intervalinterval ujung kiri dan kanan, karena adanya perbedaan syarat batas pada kedua ujung interval interpolasi. Dari vektor-vektor Ñ pada output MATLAB di atas, Anda dapat menyusun kelima spline kubik tersebut dengan menggunakan rumus (4.72) (Silakan Anda lakukan!). Suatu fungsi spline yang praktis untuk dipakai adalah spline yang memiliki sedikit perilaku osilasi (naik turun). Dengan kata lain, suatu spline Ë Üµ harus memiliki turunan pertama Ë ¼ ܵ yang nilainya tidak terlalu cepat berubah di antara titik-titik simpul. Hal ini dapat diperoleh dengan menyaratkan turunan keduanya Ê Ë ¼¼ ܵ harus sekecil mungkin, atau persisnya dengan menyaratkan ˼¼ ܵ ¾ Ü sekecil mungkin. Konsekuensinya, diantara semua fungsi ܵ yang memiliki turunan kedua pada dan menginterpolasikan data titik-titik Ü Ý µ Ò, spline ½ Spline interpolasi harus memiliki sedikit perilaku osilasi (naik turun). Spline kubik cocok digunakan sebagai fungsi interpolasi.

4.4 Interpolasi dengan Spline 277 Selanjutnya, dengan menggunakan integral parsial dan syarat batas, diperoleh Ë ¼¼ ܵ ¼¼ ܵ Ë ¼¼ ܵ Ü Ë ¼¼ ܵ ¼ ܵ Ë ¼ ܵ ¼ ¼ Ü Ü Ë ¼¼¼ ܵ ¼ ܵ Ë ¼ ܵ Ü Ë ¼¼¼ ܵ ¼ ܵ Ë ¼ ܵ Ü Karena Ë ¼¼¼ ܵ konstan, µ Ë µ dan µ Ë µ (syarat interpolasi), maka Ë ¼¼¼ ܵ ¼ ܵ Ë ¼ ܵ Ü ¼ sehingga atau Ë ¼¼ ܵ ¼¼ ܵ Ë ¼¼ ܵ Ü ¼ ¼¼ ÜµË ¼¼ ܵ Ü Dari kesamaan (4.82) dan ketaksamaan (4.81) diperoleh ¼ ¼¼ ܵ ¾ Ü Ë ¼¼ ܵ ¾ Ü Ë ¼¼ ܵ ¾ Ü (4.82) dan akhirnya akan didapatkan ketaksamaan (4.80). LATIHAN 4.4 1. Diketahui data titik-titik ¼ ½µ ½ ½µ ¾ µ. (a) Tentukan spline linier yang menginterpolasikan titik-titik tersebut. (b) Tentukan spline kuadratik yang menginterpolasikan titik-titik tersebut.

4.4 Interpolasi dengan Spline 279 5. Perhatikan polinomial kubik Ë Üµ ¼ ½ Ü ¾ Ü ¾ Ü. Tunjukkan bahwa syarat Ë ½µ ½,Ë ¼ ½µ ¼, Ë ¾µ ¾, dan Ë ¼ ¾µ ¼ menghasilkan SPL ¼ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ¼ ¼ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ½¾ ¼ Selesaikan SPL tersebut untuk mendapatkan persamaan Ë Üµ ½¾Ü Ü ¾ ¾Ü. 6. Perhatikan polinomial kubik Ë Üµ ¼ ½ Ü ¾ Ü ¾ Ü. Tunjukkan bahwa syarat Ë ½µ,Ë ¼ ½µ, Ë ¾µ ½, dan Ë ¼ ¾µ ¾ menghasilkan SPL ¼ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¾ ½¾ ¾ Selesaikan SPL tersebut untuk mendapatkan persamaan Ë Üµ ¾Ü Ü ¾ ¾Ü. 7. Tunjukkan bahwa fungsi yang didefinisikan sebagai berikut merupakan spline kubik dengan cara menunjukkan bahwa Ë ½ ¾µ Ë ¾ ¾µ, ˼ ½ ¾µ ˼ ¾ ¾µ dan ˼¼ ½ ¾µ ˼¼ ¾µ. ¾ ܵ Ë ½ ܵ ½ Ü ½Ü ¾ ½ Ü ½ ¾ untuk ½ Ü ¾ Ë ¾ ܵ ½½ Ü ¾½Ü ¾ ¾¼ Ü ¾ untuk ¾ Ü Gambar grafik fungsi spline tersebut. 8. Tunjukkan bahwa fungsi yang didefinisikan sebagai berikut merupakan spline kubik dengan cara menunjukkan bahwa Ë ½ ¾µ Ë ¾ ¾µ,

4.4 Interpolasi dengan Spline 281 12. Bentuklah kelima jenis spline kubik Ë Üµ yang melalui titik-titik di bawah ini. Untuk spline terjepit dan spline kurvatur disesuaikan gunakan syarat-syarat batas yang diberikan. (a) ¼ ½µ ½ µ ¾ ¼µ ¾µ dengan Ë ¼ ¼µ ¾ Ë ¼ µ ¾ dan ¼¼ ¼µ ½ Ë ¼¼ µ. (b) ¼ µ ½ ¾µ ¾ ½µ µ ½µ dengan Ë ¼ ¼µ ¾ Ë ¼ µ ½ dan Ë ¼¼ ¼µ ¼ Ë ¼¼ µ ½. (c) ¼ ¾µ ½ µ ¾ ¾µ ¾µ ½µ dengan Ë ¼ ¼µ ½ Ë ¼ µ ½ dan Ë ¼¼ ¼µ ½ Ë ¼¼ µ ½. (d) ½¾ ½¾µµ ½ ½µµ ¾ ¾µµ ¾ ¾µµ, dengan ܵ Ü ¾Ü, Ë ¼ ½¾µ Ë ¼ ¾µ ½¾ dan Ë ¼¼ ½¾µ ¾ Ë ¼¼ ¾µ ½¾. (e) ¼ ½µ ½ ¼µ ¾ ¼µ ½µ ¾µ ¾µ ½µ dengan Ë ¼ ¼µ ¼ Ë ¼ µ ½ dan Ë ¼¼ ¼µ ½ Ë ¼¼ µ ½. (f) ¼ ¼µ ½ µ ¾ µ µ µ µ µ dengan Ë ¼ ¼µ ½ Ë ¼ µ ¾ dan Ë ¼¼ ¼µ ½ Ë ¼¼ µ ½. (g) ¼ ¼µ ½ ¼µ ¾ µ ¾µ ¾µ ½µ ¼µ dengan Ë ¼ ¼µ ½ Ë ¼ µ ¼ dan Ë ¼¼ ¼µ ½ Ë ¼¼ µ ½. 13. Apakah fungsi di bawah ini merupakan spline kubik pada interval ¼ Ü ¾? Ü ½µ ¼ Ü ½ Ë Üµ ¾ Ü ½µ ½ Ü ¾ 14. Apakah fungsi di bawah ini merupakan spline kubik alami pada interval ½ Ü? Ü Ü ¾ ¾Ü ½ ½ Ü ¾ Ë Üµ Ü Ü ¾ ¾¾Ü ½ ¾ Ü 15. Diketahui interval dan misalkan. (a) Tunjukkan bahwa fungsi ¼ Ü Ü µ Ü merupakan spline kubik pada.

4.5 Interpolasi dengan MATLAB 283 (melalui) sekumpulan titik adalah identik. Sebuah polinomial berderajad Ò dapat dibentuk secara tepat dengan menggunakan data Ò ½µ titik dan dapat dinyatakan sebagai È Ò Üµ ½ Ü Ò ¾ Ü Ò ½ Ò Ü Ò ½ (4.83) Jika diketahui data Ò ½µ titik Ü ½ Ý ½ µ, Ü ¾ Ý ¾ µ,..., Ü Ò ½ Ý Ò ½ µ, maka koefisien-koefisien, ½ Ò ½µ dapat dihitung dengan menyelesaikan SPL Å Ý: ¼ Ü Ò ½ Ü Ò ¾ Ü Ò. Ü Ò Ò Ü Ò Ò ½ Ü Ò ½ Ü Ò ½ Ü Ò ½ ½ Ü ½ ½ ¾ Ü ¾ ½ Ü ½...... Ü Ò Ò ½ Ü Ò ½ Ü Ò ½ Ò ½ Ü Ò ½ ½ ½¼ ½ ¾. Ò Ò ½ ½ ¼ Ý ½ Ý ¾ Ý. Ý Ò Ý Ò ½ ½ (4.84) Matriks Å disebut matriks Vandermonde dari vektor Ü. Pada MAT- LAB matriks Vandermonde dapat dihasilkan dengan fungsi vander(x) jika diketahui vektor x. Jadi, jika diketahui pasangan vektor Ü dan Ý, maka koefisien-koefisien polinomial (4.83) dapat dihitung dengan mudah sebagai berikut Melalui Ò ½µ titik berlainan dapat dibentuk sebuah polinomial yang berderajad paling tinggi Ò. Pengertian matriks Vandermonde vander(x) >>M=vander(x); >>a=m\y; Selanjutnya, nilai-nilai polinomial (4.83) dapat dihitung dengan menggunakan fungsi polyval(a,z), dengan z dapat berupa konstanta maupun vektor. Hasilnya adalah È Ò Þµ. Polinomial Lagrange juga dapat dihasilkan dengan fungsi MAT- LAB polyfit(x,y,n), dengan n menyatakan derajad polinomial yang melalui titik-titik Ü Ý µ. Kedua perintah MATLAB di atas ekivalen dengan perintah-perintah MATLAB sebagai berikut: polyval(a,z) polyfit(x,y,n) >>n=length(x)-1; >>a=polyfit(x,y,n); CONTOH 4.18. Dalam contoh ini akan ditunjukkan interpolasi terhadap fungsi galat ܵ Ê Ö Üµ Ô ¾ Ü Ø¾ Ø dengan menggunakan polinomial berderajad 6. Mula- ¼

4.5 Interpolasi dengan MATLAB 285 2 y=erf(x) y=0.0084x 6 0.0983x 5 +0.5217x 4 0.7435x 3 +0.1471x 2 +1.1064x+0.0004 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Gambar 4.26: Polinomial interpolasi berderajad 6 untuk fungsi galat Ö Üµ Ê Ô¾ Ü Ø¾ Ø ¼ Sintaks fz = interp1(x,y,z) menghasilkan vektor fz yang terdiri atas nilai-nilai interpolasi dengan spline linier yang bersesuaian dengan z dan ditentukan berdasarkan pasangan vektor x dan y. Vektor x memuat titik-titik di mana data y diberikan. Jika y berupa matriks, maka interpolasi dilakukan untuk setiap kolom y dan fz merupakan matriks berukuran length(z) size(y,2). Sintaks fz = interp1(y,z) menggunakan vektor x = 1:n, dengan n=length(y) jika y berupa vektor atau n=size(y,1) jika y berupa matriks. Sintaks fz = interp1(x,y,z,metode) menggunakan spline berdasarkan metode. Opsion (parameter) metode adalah string yang dapat berupa: nearest untuk interpolasi dengan metode lingkungan terdekat. linear untuk interpolasi linier (aslinya menggunakan ini). spline untuk interpolasi dengan spline kubik. pchip untuk interpolasi Hermit kubik sepotong-sepotong. cubic sama dengan pchip.

4.5 Interpolasi dengan MATLAB 287 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 data linier nearest spline 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gambar 4.27: Interpolasi nilai-nilai Ò Üµ dengan tiga metode interpolasi. Terlihat bahwa interpolasi dengan metode lingkungan terdekat menghasilkan nilai konstan di sekitar titik data. ans = 214.8585 Perintah-perintah MATLAB berikut ini menghasilkan kurva pertumbuhan penduduk USA dari tahun 1900 sampai 2002 dengan menggunakan spline kubik berdasarkan data sensus tahun 1900 sampai 1990 di atas. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar 4.28. >>x = 1900:1:2002; >>y = interp1(t,p,x, spline ); >>plot(t,p, o,x,y);grid on MATLAB juga menyediakan fungsi khusus untuk menghasilkan interpolasi dengan spline kubik, yakni fungsi spline, yang dapat dipakai dengan cara sebagai berikut. spline fz = spline(x,y,z) a = spline(x,y)

4.5 Interpolasi dengan MATLAB 289 CONTOH 4.21. Perintah-perintah MATLAB berikut menghasilkan nilai-nilai interpolasi Ò Üµ pada interval ¼ ½¼ dengan menggunakan spline kubik berdasarkan data nilainilai Ò Üµ di Ü ¼ ½ ¾ ½¼. >>x = 0:10; >>y = sin(x); >>z = 0:.25:10; >>fz = spline(x,y,z); >>plot(x,y, o,z,fz) CONTOH 4.22. Perintah-perintah MATLAB berikut menghasilkan nilai-nilai interpolasi dengan spline kubik terjepit dengan gradien di kedua ujung nol. Hasilnya terlihat pada Gambar 4.29. >>x = -4:4; >>y = [0.15 1.12 2.36 2.36 1.46.49.06 0]; >>cs = spline(x,[0 y 0]); >>z = linspace(-4,4,101); >>plot(x,y, o,z,ppval(cs,z), - ); CONTOH 4.23. Perintah-perintah MATLAB di bawah ini menghasilkan kurva sebuah lingkaran berpusat di Ç ¼ ¼µ dan berjari-jari 1 beserta lima buah titik (dua titik berimpit) ½ ¼µ, ¼ ½µ, ½ ¼µ, ¼ ½µ, dan ½ ¼µ, seperti terlihat pada Gambar 4.30. >>x = pi*[0:.5:2]; >>y = [0 1 0-1 0 1 0; 1 0 1 0-1 0 1]; >>a = spline(x,y); >>fz = ppval(a, linspace(0,2*pi,101)); >>plot(fz(1,:),fz(2,:), -b,y(1,2:5),y(2,2:5), or ), axis equal Perhatikan, bahwa vektor y memuat dua lebih banyak kolom daripada cacah elemen x, sehingga nilai-nilai y(:,1) dan y(:,end) digunakan sebagai gradien-

4.5 Interpolasi dengan MATLAB 291 gradien ujung. Perintah MATLAB linspace menghasilkan sejumlah nilai berjarak sama antara dua nilai yang diketahui. Fungsi MATLAB ppval menghitung nilai-nilai spline kubik, dengan vektor koefisien diketahui, pada nilai-nilai absis yang diberikan. 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Gambar 4.31: Spline interpolasi kubik untuk fungsi getaran teredam ܵ ½¼ ¼Ü Ó ¾Üµ CONTOH 4.24 (Perbandingan spline interpolasi dan fungsi eksak). Diketahui fungsi getaran teredam Ý Üµ ½¼ ¼Ü Ó ¾Ü Mula-mula dihasilkan 26 titik sampel x=[0:.2:5], kemudian dibentuk spline kubik dengan menggunakan titik-titik tersebut. Kurva spline interpolasi dan fungsi aslinya diplot pada sistem koordinat yang sama. Plot pula kurva selisih nilai-nilai spline interpolasi dan fungsi aslinya. Berikut adalah perintah-perintah MATLAB yang melakukan hal-hal tersebut. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar 4.31. Walaupun kedua kurva tampak berimpit, namun sebenarnya terdapat perbedaan, seperti yang diperlihatkan oleh kurva galat pada Gambar 4.32.

4.5 Rangkuman 293 2. Selesaikan soal-soal interpolasi pada LATIHAN 4.4 (nomor 1, 2, 3, 5, 6, dan 12) dengan menggunakan fungsi-fungsi MATLAB polyfit, polyval, interp1, spline, dan ppval. Bandingkan hasilnya dengan penyelesaian sebelumnya. (Jika perlu plot kurva selisih kedua polinomial atau spline dengan fungsi eksaknya, jika diketahui.) 4.5 Rangkuman Misalkan kita mempunyai data yang disajikan dalam tabel seperti di bawah ini: Ü Ü ½ Ü ¾ Ü Ü Ò Ý Ý ½ Ý ¾ Ý Ý Ò dengan Ü ½ Ü ¾ Ü Ò. Polinomial È Üµ yang memenuhi È Ü µ Ý untuk ½ Ò dikatakan menginterpolasikan nilai-nilai pada tabel. Interpolasi adalah menghitung nilai-nilai È Üµ untuk sebarang nilai Ü, yang tidak terdapat di dalam tabel tetapi memenuhi Ü ½ Ü Ü Ò. Titik-titik Ü disebut simpul. Jika nilai-nilai Ý merupakan nilai-nilai fungsi ܵ untuk nilai-nilai Ü yang bersesuaian, maka polinomial È Üµ merupakan hampiran fungsi ܵ pada interval Ü ½ Ü Ò. Polinomial Newton Polinomial-polinomial Newton (atau lengkapnya Gregory Newton), yang menginterpolasikan sebuah tabel Ò ½µ pasang nilai Ü Ýµ, berbentuk dengan È Ò Üµ È Ò ½ ܵ Ò ½ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü Ò µ ½ Ò ½ ½ ¾ ½ Ü Ü µ ½ È ¼ ܵ Ý ½ Ý È ¾ Ü µ Ü Ü ½ µ Ü Ü ¾ µ Ü Ü ½ µ ¾ Ò ½µ Perkalian tersarang Perhitungan polinomial Newton È Ò Üµ dapat di-

4.5 Rangkuman 295 relatif terhadap simpul-simpul Ü ½, Ü ¾,..., Ü Ò ½ dapat dinyatakan sebagai Ü ½ Ü ¾ Ü Ò ½ Ò ½ ½ É Ò ½ ½ Ý Ü Ü µ 3. Misalkan Ò ½, dan turunan tingkat ke-ò fungsi ܵ ada dan kontinyu pada interval, dan misalkan Ü ½, Ü ¾,..., Ü Ò ½ adalah Ò ½µ bilangan yang berlainan pada interval. Maka Ü ½ Ü ¾ Ü Ò ½ ½ Ò Òµ µ untuk suatu bilangan di antara nilai minimum dan maksimum Ü ½, Ü ¾,..., Ü Ò ½. 4. Selisih terbagi Newton bersifat simetris. Jika ½ ¾ Ò µ menyatakan permutasi (susunan urutan) indeks ½ ¾ Òµ, maka 5. Jika didefinisikan Ü ½ Ü ½ maka dapat didefinisikan Ü ½ Ü ¾ Ü Ò Ü ½ Ü ¾ Ü Ò Ü ¾ µ Ü ½ µ ÐÑ Ü ½ Ü ¾ ÐÑ ¼ Ü ½ µ Ü ¾ Ü ½ Ü ¾ Ü ½ Ü ¾ Ü ½ Ü ½ Ü ½ Ü ½ ½ Òµ Ü ½ µ Ò ßÞ Ð Ò elemen 6. Jika ܵ adalah polinomial berderajad Ò, diketahui Ñ Ò simpul berlainan Ü ½, Ü ¾,..., Ü Ñ, dan misalkan Ü Ü, ½ Ñ, maka fungsi Ñ Üµ yang didefinisikan sebagai Ñ Üµ Ü ½ Ü ¾ Ü Ñ merupakan polinomial berderajad Ò Ñ. 7. Misalkan Ü ½ dan ¼ diketahui dan Ü Ü ½ untuk ¼ ½ ¾, dan misalkan Ü µ, dan definisikan selisih maju

298 Bab 4. Interpolasi ½ ¾ Ò Ë Üµ ½µ, dengan Ñ ½ Ñ Ü Ü Ü µ ¾ Ñ Ü Ü µ µ ¾ Ü ½ dengan Ñ Ë ¼ Ü µ, untuk ½ ¾ Ò, yang nilai-nilainya dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL Ñ Ñ ½ ¾ ½ Ü ½ Ü ½ ¾ Ò ½µ SPL tersebut terdiri atas Ò ½µ persamaan dalam Ò variabel, sehingga dapat diselesaikan jika salah satu nilai Ñ diketahui. Jika diberikan syarat batas Ñ ½ ¼ atau Ñ Ò ¼, spline yang dihasilkan disebut spline kuadratik alami. Spline Kubik Spline kubik Ë Üµ yang menginterpolasikan titik-titik Ü ½ ½ µ, Ü ¾ ¾ µ,..., Ü Ò Ò µ dengan Ü ½ Ü ¾ Ü Ò dapat dinyatakan sebagai Ë Üµ Ë Üµ, untuk Ü Ü Ü ½, ½ ¾ Ò ½µ, dengan Ë Üµ Ñ ½ Ü Ü µ Ü ½ Ü µ Ñ Ü ½ ܵ Ü ½ Ü µ Ü Ü µ Ü ½ ܵ ½ Ü ½ Ü Ü ½ Ü Ñ ½ Ü ½ Ü Ü ½ Ü Ñ Nilai-nilai Ñ, untuk ¾ Ò ½, dihitung dengan cara menyelesaikan sistem persamaan Ñ Ú:, ¼ Ù ¾ ¾ ¼ ¼ ¼ ¾ Ù ¼ ¼...... ¼ ¼ Ò Ù Ò ¾ Ò ¾ ½¼ Ñ ¾ Ñ. Ñ Ò ¾ ½ ¼ Ú ¾ Ú. Ú Ò ¾ ½ ¼ ¼ ¼ Ò ¾ Ù Ò ½ Ñ Ò ½ Ú Ò ½ dengan Ü ½ Ü, ½ µ ( ½ ¾ Ò ½µ)

4.5 Rangkuman 299 dan Ù ¾ ½ µ, Ú ½ µ ( ¾ Ò ½µ. Nilainilai Ñ ½ dan Ñ Ò serta elemen-elemen Ù ¾, ¾, Ò ¾, Ù Ò ½, Ú ¾, dan Ú Ò ½ ditentukan secara berbeda sesuai dengan strategi yang digunakan, yakni: 1. Untuk spline terjepit (Ñ ½ ½ ½ Ë ¼ Ü Ñ ½ µ ¾, Ñ ¾ Ò Ò Ë¼ Ü ÑÒ ½ ½ Ò µ Ò ½ ), dengan Ë ¼ Ü ¾ ½ µ dan Ë ¼ Ü Ò µ diketahui: Ù ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Ú ¾ Ú ¾ ½ Ë ¼ Ü ½ µ Ù Ò ½ ¾ Ò ¾ ¾ Ò ½ Ò ¾ Ò ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ Ë ¼ Ü Ò µ Ò ½ 2. Untuk spline alami (Ñ ½ Ñ Ò ¼): Ù ¾ Ù ¾ ¾ ¾ Ú ¾ Ú ¾ Ù Ò ½ Ù Ò ½ Ò ¾ Ò ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ 3. Untuk spline terekstrapolasi (Ñ ½ Ñ ¾ Ñ Ò ½ Ò ½ ÑÒ ½ ÑÒ ¾µ ): Ò ¾ ½ Ñ Ñ ¾ µ ¾ Ñ Ò Ù ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ Ù Ò ½ ¾ Ò ¾ Ò ½ ¾ Ò ½ Ò ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ Ò ¾ Ò ¾ ¾ Ò ½ Ò ¾ Ú ¾ Ú ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ 4. Untuk spline berujung parabolik (Ñ ½ Ñ ¾ Ñ Ò Ñ Ò ½ ): Ù ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ Ú ¾ Ú ¾ Ù Ò ½ ¾ Ò ¾ Ò ½ Ò ¾ Ò ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ 5. Untuk spline berujung sesuai kurvatur (Ñ ½ dan Ñ Ò ditentukan nilainya): Ù ¾ Ù ¾ ¾ ¾ Ú ¾ Ú ¾ ½ Ñ ½ Ù Ò ½ Ù Ò ½ Ò ¾ Ò ¾ Ú Ò ½ Ú Ò ½ Ò ½ Ñ Ò Fungsi-fungsi MATLAB di bawah ini berguna untuk melakukan interpolasi dengan menggunakan data sekumpulan titik. vander menghasilkan matriks Vandermonde polyval menghitung nilai suatu polinomial