FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id ekop2003@yahoo.com
Materi Fungsi ( deinisi, daerah asal dan daerah hasil ) Fungsi Surjekti, Injekti, Bijekti dan Invers Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius ( 1 )
Hubungan atau Relasi Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasi antara dua himpunan ( sering disederhanakan menjadi variabel ) sering terjadi. Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi 4 3 V = π r 3 Deinisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap berelasi R dengan tepat satu y B A maka R disebutungsi dari A ke B.
Fungsi Fungsi dinyatakan dengan huru-huru:, g, h, F, H, dst. Apabila merupakan ungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan: : A B Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah deinisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan ungsi.
Daerah Asal dan Nilai Domain ungsi ditulis dengan notasi D, D = { R : ( ) ada (terdeinisikan)} Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah nilai ungsi, ditulis atau Im() Perhatikan gambar berikut R
Fungsi : Daerah Asal dan Nilai
Fungsi Jika pada ungsi : A B, sebarang elemen A mempunyai kawan y B, maka dikatakan y merupakan nilai ungsi di dan ditulis y = (). Selanjutnya, dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = () disebut rumus ungsi.
Daerah Asal dan Nilai Daerah asal (D ) D { R : ( R} = ) D = { R sehingga () ada (terdeinisikan) } Daerah nilai (R ) R R { ( ) R } = : D { berapa ( Runtuk semua } = ) D
Contoh mencari daerah asal dan daerah nilai 1 ) ( dan 1 ) ( 2 = + = g 0 1 ), ( 0 akar bawah Di < < + = = = g D D [ ) ] 1, ( 0, 1 ) ( 1 1 1 0 1 1 0 0 ) 1, [ 2 2 2 2 = = < < < < < = < < + = g R R g D
Hubungan D dan R dengan Graik Fungsi Ilustrasi graik ungsi
Hubungan Dg dan Rg dengan Graik Fungsi Ilustrasi graik ungsi g
FungsiSurjekti Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka disebut ungsi surjekti
FungsiInjekti Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka disebut ungsi injekti
FungsiBijekti Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka disebut ungsi bijekti atau korespodensi1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah ungsi surjekti sekaligus injekti.
Fungsi Invers Apabila merupakan korespondensi 1 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers juga merupakan ungsi. Fungsi ini disebut ungsi invers, ditulis dengan notasi 1. 1 = ( y) y = D 1 = R dan R 1 = dengan ( ) D
Operasi Pada Fungsi Diberikan skalar real α dan ungsi-ungsi dan g., maka :,
Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing ungsi di atas adalah irisan domain dan domain g, kecuali untuk D g, { D D : g( ) 0} = g g
Operasi Pada Fungsi Contoh,
Fungsi Komposisi g o o g
Fungsi Komposisi o g
Fungsi Komposisi g o
Syarat Fungsi Komposisi o g R g D φ
Syarat Fungsi Komposisi g o R D g φ
Daerah asal dan daerah nilai Fungsi Komposisi { } g g D g D D = ) ( : o { } g g R t t y R y R = = ), ( : o o g g g R t t y R y R = = ), ( : o { } g g D D D = ) ( : o { } g g R t t g y R y R = = ), ( : o g o
a. b. Contoh Daerah asal dan daerah nilai Fungsi Komposisi 2 ( ) = 1 + dan g ( ) = 1 D dan og R og D dan go R go
Contoh Daerah asal dan daerah nilai Fungsi Komposisi D og dan R og
Contoh Daerah asal dan daerah nilai Fungsi Komposisi D og dan R og
Contoh Daerah asal dan daerah nilai Fungsi Komposisi D dan go R go
Contoh Daerah asal dan daerah nilai Fungsi Komposisi D dan go R go
Selingan Asal ulet yang Mustahil pasti bisa
Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Dalam sistem koordinat kartesius ungsi dapat dibagi menjadi: Fungsi Aljabar Fungsi Transenden Fungsi disebut ungsi aljabar jika dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar ungsi-ungsi suku banyak.
Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Contoh ungsi aljabar : ( ) = 3 2 ( 2 + 1) 2 +1 1 Fungsi yang bukan ungsi aljabar disebut ungsi transenden. Beberapa contoh ungsi transenden adalah ungsi trigonometri, ungsi logaritma, dsb. 2 3
Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Fungsi Aljabar meliputi : Fungsi rasional : Fungsi bulat (ungsi suku banyak) Fungsi pecah. Fungsi irasional.
Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan () = P n () = a 0 + a 1 +... + a n n dengan n bilangan bulat tak negati, a 1,..., a n bilangan-bilangan real dan a n 0.
Graik Fungsi Suku Banyak a. Fungsi konstan ( ) = c b. Fungsi linear: ()= m + n Graik ungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik. c. Fungsi kuadrat ( ) = a + b + c, a 0 d. Fungsi kubik ) = a + a + a + a, a 0 2 3 2 ( 3 2 1 0 3
Graik Fungsi Pecah Fungsi () yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua ungsi suku banyak ( ) = a + a +... + b 0 0 + b 1 1 +... + a n b n m n m disebut ungsi pecah.
Graik Fungsi Pecah Contoh graik () = 1 dan ( ) = 1
Graik Fungsi Irasional Contoh
Graik Transenden ( Fungsi Trigonometri ) Contoh
Graik Transenden ( Fungsi Trigonometri ) Pelajari hubungan ungsi trigonometri
Kata inspirasi pertemuan ini Berikir Banyak orang yang berikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak seorangpun akan sukes hanya dengan berikir, tanpa bertindak. Semua ikiran, harus diikuti oleh tindakan.