KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana Bagian 4 Derivatif ALZ DANNY WOWOR
Cakupan Materi A. Defenisi Derivatif B. Rumus-rumus Derivatif C. Aplikasi Derivatif
A. Defenisi Derivatif
Pendahuluan Derivatif yang sering disebut sebagai diferensial atau turunan, merupakan salah satu bagian terbesar dari Kalkulus selain integral Defenisi dari derivatif dapat ditemukan dengan menggunakan konsep limit.
1. Defenisi derivatif dari konsep limit Diberikan grafik berikut Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f (a) adalah f '(x) = lim h 0 f (a + h) f (a) h jika limitnya ada
Contoh 1 Carlah turunan dari f(x) = x 2 8x + 9 pada bilangan a. Penyelesaian:
2. Dervatif sebagai kemiringan garis singgung Garis singgung pada y = f(x) di titik (a, f(a)) adalah garis yang melalui (a, f(a)) yang kemiringannya sama dengan fʼ(a), yakni turunan f di a. Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (a, f(a)): y f (a) = f (a)(x a)
Contoh 2 Carlah persamaan garis singgung pada parabola y = x 2 8x + 9 di titik (3, 6).
Penyelesaian Contoh 2 Dari Contoh 1, kita mengatahui bahwa turunan f(x) di a adalah f (a) = 2a 8. Karena itu kemiringan garis singgung di (3, 6) adalah fʼ(3) = 2(3) 8 = 2 Jadi persamaan garis singgung, diperlihatkan pada gambar adalah y ( 6) = ( 2)(x 3) atau y = 2x
3. Derivatif dari fungsi Bagian sebelum dibahas derivatif suatu fungsi f pada suatu titik tetap a dengan Apabila dipandang a berubah-ubah. Jika a denganti dengan sebuah variabel x, diperoleh
Contoh 3 Jika f(x) = x 3 x, carilah rumus untuk fʼ(x) Penyelesaian
Contoh 4 Jika f(x) = x 1/2, carilah derivatif dari f dan nyatakan domain dari fʻ. Penyelesaian Diperoleh fʼ(x) ada jika x > 0, sehingga domain fʼ adalah (0, ), yang lebih kecil dari domain f yaitu [0, ).
B. Rumus-rumus Derivatif
1. Derivatif Fungsi Konstanta Diambil fungsi konstanta f(x) = c, Grafiknya berupa garis mendatar y = c, yang kemiringannya 0.
Bila dibuktikan dengan defenisi turunan Sehingga Turunan Fungsi Konstanta dengan notasi Leibniz d dx (c) = 0
2. Turunan Fungsi Pangkat Jika f(x) = x n, dengan n bilangan bulat positif, maka derivatif dari f(x) adalah
Jika diambil n = 1, maka f(x) = x berupa garis y = x, yang memiliki kemiringan 1. Sehingga d dx (x) = 1
Hal yang sama juga terjadi untuk n = 2 dan n = 3. Diperoleh d dx (x2 ) = 2x d dx (x3 ) = 3x 2 Sehingga secara umum jika n bilangan bulat positif, maka d dx (xn ) = nx n 1
Contoh 5 Berikut diberikan soal dan penyelesaian, dengan berbagai notasi a) Jika f(x) = x 6, maka fʼ(x) = 6x 5 b) Jika y = x 1000, maka yʼ = 1000x 999 c) Jika y = t 4, maka dy/dt = 4t 3 d) d/dt (r 3 ) = 3r 2 e) Du(u m ) = mu m-1
3. Derivatif Perkalian Konstanta Turunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi tersebut. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka d dx [cf (x)] = c d dx f (x)
Bukti: Misalkan g(x) = c f(x), maka
Contoh 6 Carilah derivatif dari: a) 3x 4 dan b) x Pembahasan a) d dx (3x4 ) = 3 d dx (x4 ) = 3(4x 3 ) = 12x 3 b) d dx (-x) = d dx [(-1)(x) = (-1) d (x) = -1(1) = -1 dx
4. Derivatif dari Aturan Jumlah Derivatif dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan maka d dx [ f(x) + g(x) ] = d dx f(x) + d dx g(x)
Bukti Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka
Lanjutan aturan jumlah Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan teorema ini dua kali, diperoleh: Untuk hubungan f - g sebagai f + (-1)g dan dengan aturan jumlah diperoleh d dx [ f(x) - g(x) ] = d dx f(x) - d dx g(x)
Contoh 7 Carilah turunan dari x 8 + 12x 5 4x 4 + 10x 3 6x + 5 Penyelesaian
5. Derivatif Hasil Kali Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka
Bukti Misalkan F(x) = f(x) g(x), maka
Contoh 8 Carilah Fʼ(x) jika F(x) = (6x 3 )(7x 4 ) Pembahasan:
6. Derivatif Hasil bagi Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka
Bukti Misalkan F(x) = f(x) g(x), maka Dengan menambahkan f(x) g(x) f(x) g(x) pada pembilang maka diperoleh
Contoh 9 Diberikan y = x2 + x 2 x 3 + 6. Carilah yʼ Pembahasan:
Derivatif Pangkat Umum Jika n bilangan bulat positif, maka d dx (x n ) = nx n 1 Jika n sembarang bilangan real, maka d dx (xn ) = nx n 1
Contoh 10
Contoh 11
C. Aplikasi Derivatif
Aplikasi dalam Fisika Posisi partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t 3 6t 2 + 9t, dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter. a) Carilah kecepatan pada waktu t b) Berapa kecepatan setelah 9 detik? c) Kapan partikel berhenti?
Bahasan: a) Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi s = f (t) = t 3 6t 2 + 9t v(t) = ds dt = 3t 2 12t + 9 b) Kecepatan setelah 4 detik, bermakna pada saat t = 4. v(2) = ds dt t = 4 = 3(4) 2 1(4) + 9 = 9 m / s c) Partikel berhenti bilamana v(t) = 0, yaitu 3t 2 12t + 9 = 3(t 2 4t + 3) = 3(t 1)(t 3) = 0 Diperoleh t = 1 atau t = 3. Jadi partikel berhenti setelah 1 detik dan setelah 3 detik
Maslah Pengoptimalan