ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR

BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA Definisi Bilangan kompleks adalah bilangan ang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i =. Notasi Bilangan kompleks dinatakan dengan huruf, sedang huruf dan menatakan bilangan real. Jika = + i menatakan sembarang bilangan kompleks, maka dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks biasana dinatakan dengan Re() dan Im (). 3

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS DEFINISI Bilangan kompleks = +i dan bilangan kompleks = +i dikatakan sama, =, jika dan hana jika = dan =. DEFINISI 3 Untuk bilangan kompleks = +i dan = +i jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: + = ( + ) + i( + ) = ( ) + i( + ) 4

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi C Jadi C = { = + i, R, R }. Jika Im()=0 maka bilangan kompleks menjadi bilangan real, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga R C. Jika Re()=0 dan Im() 0, maka menjadi i dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan =0, akni bilanga i, dinamakan satuan imajiner. 5

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C,+, ) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan ang berlaku pada bilangan kompleks, dan 3 adalah sebagai berikut:. + C dan C. (sifat tertutup). + = + dan = (sifat komutatif) 3. ( + )+ 3 = +( + 3 ) dan ( ) 3 = ( 3 ) (sifat assosiatif) 4. ( + 3 )=( )+( 3 ) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0 C, sehingga +0= (0 elemen netral penjumlahan) 6

6. Ada =+i0 C, sehingga = (elemen netral perkalian 7. Untuk setiap =+ic, ada = i) sehingga +( )=0 8. Untuk setiap =+ic, ada - =sehingga - =. Tugas: Buktikan sifat-sifat 8 menggunakan definsi ang telah diberikan. 7

Contoh soal:. Jika = +i dan = +i, buktikan bahwa: = ( )+i( ). Diketahui: =+3i dan =5 i. tentukan +,,, dan 8

Kompleks Sekawan Jika = + i bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari ditulis, didefinisikan sebagai = (, ) = i. Contoh: sekawan dari 3 + i adalah 3 i, dan sekawan dari 5i adalah 5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : 9

Teorema : a. Jika bilangan kompleks, maka :.. Re() 3. Im() 4. Re() Im() 0

b. Jika, bilangan kompleks, maka :.. 3. 4., dengan 0.

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena = + i dapat dinatakan sebagai = (,), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (,). Pemberian nama untuk sumbu diubah menjadi sumbu Real dan sumbu diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (,), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks = +i = (,) dapat dipandang sebagai vektor. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

Im (,) Bidang Argan O Re 3

Im O Re 4

Im O Re 5

Tugas : Diketahui = + 3i dan = 5 i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand),,, +, -,,, 6

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 : Jika = +i = (,) bilangan kompleks, maka modulus dari, ditulis = +i = Arti geometri dari modulus adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke = (,). Akibatna, jarak antara dua bilangan kompleks = +i dan = +i adalah ( ) ( ) 7

Selanjutna apabila = +i dan r real positif, maka = r merupakan lingkaran ang berpusat di titik dengan jari-jari r. Bagaimanakah dengan < r dan > r Gambarkanlah pada bidang. 8

Teorema : A. Jika bilangan kompleks, maka berlaku :.. 3. 4. 5. Re() Im() Re() Re() Im() Im() 9

0 B. Jika, bilangan kompleks, maka berlaku :.. 3. 4. 5. Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan = +i, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B!

. Bukti: ) i ( ) i ( ) i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

. Bukti: i i i i i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( terbukti.

3 3. Bukti: ) ( 0 0 ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( terbukti

4 4. Bukti:

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks Selain dinatakan dalam bentuk = +i = (,), bilangan kompleks dapat dinatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, aitu = (r,). Im (,) (r, ) r O Re 5

Adapun hubungan antara keduana, adalah : = r cos, = r sin, sehingga = arc tan (,) dan ( r, ) adalah sudut antara sumbu positif dengan o didapat juga r Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis. dan sekawan dari adalah = (r, -) = r(cos - i sin ). 6

Definisi 5 : Pada bilangan kompleks = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut argument dari, ditulis arg. Sudut dengan 0 < atau - < disebut argument utama dari, ditulis = Arg. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6 : Dua bilangan kompleks = r (cos + i sin ) dan = r (cos + i sin ) dikatakan sama, jika r = r, dan =. 7

Selain penulisan bilangan kompleks = (, ) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis, maka anda dapat menuliskan dalam rumus Euler (eksponen), aitu = re i, dan sekawanna adalah re -i. Tugas: Buktikan bahwa e i = cos + i sin, dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos, sin dan e t dengan mengganti t = i. 8

Contoh : Natakan bilangan kompleks = + i dalam bentuk polar dan eksponen! 9

Contoh : Natakan bilangan kompleks = + i dalam bentuk polar dan eksponen! Jawab : 4 = + i, r =, tan =, sehingga = 45⁰= Jadi = (cos + i sin ) = cis = 4 4 4 i e 4 30

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah = r(cos + i sin ). Jika = r (cos + i sin ) & = r (cos + i sin ), maka kita peroleh hasil perkalian keduana sebagai berikut : = [r (cos + i sin )][r (cos + i sin )] = r r [(cos cos - sin sin ) + i (sin cos + cos sin )] = r r [cos ( + ) + i sin ( + )] 3

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg( ) = + = arg + arg Pertanaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan... n dan = n? 3

Jika diketahui: = r (cos + i sin ) = r (cos + i sin ) n = r n (cos n + i sin n ), untuk n asli, maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian n = r r r n [cos ( + + + n ) + i sin ( + + + n )]. Akibatna jika, = r(cos + i sin ) maka n = r n (cos n + i sin n)........... Khusus untuk r =, disebut Dalil De-Moivre (cos + i sin ) n = cos n + i sin n, n asli. 33

Pembagian: Sedangkan pembagian dan adalah sebagai berikut: r (cos r (cos isin isin Setelah pembilang dan penebut dikalikan dengan sekawan penebut, aitu r (cos - i sin ), maka diperoleh : r [cos ( - ) + i sin ( - )] r Dari rumus di atas diperoleh: arg - = arg arg. ) ) 34

Akibat lain jika = r(cos + i sin ), maka: cos( ) isin( ) r Untuk: n n. r cosn isinn Setelah pembilang dan penebut dikalikan sekawan penebut, maka didapat : n n r cos( n) isin( n)....... 35

Dari dan diperoleh: n r n cos(n) isin(n), Dalil De- Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat. 36

Contoh: Hitunglah : 3 i 6 37

Contoh: Hitunglah : 3 i 6 Jawab : Misalkan r 3 i, maka 3 tan 3 karena di kuadran IV, maka dipilih jadi o o 3 i cos 30 isin 30 6 6 o o 3 i cos80 isin 80 6 ( 0) 6 o 30 38

Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika n = w, dan ditulis w. Jika = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari n = w diperoleh: n (cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +k, k bulat. Akibatna rn dan k n Jadi... n 39

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: = rn [cos( k ) + i sin ( k )], n n k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan n = w, ada n buah akar berbeda ang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,,,3,,(n-); k 0 n <, sehingga diperoleh,, 3,, n sebagai akar ke-n dari. 40

Contoh : Hitunglah (-8) /4 Jawab : Misalkan = (-8) /4, berarti harus dicari penelesaian persamaan 4 = -8. Tulis = (cos +i sin) dan 8 = 8(cos80 0 +i sin80 0 ), sehingga 4 (cos4 +i sin4) = 8(cos80 0 +i sin80 0 ), diperoleh 4 = 8, atau = 3 dan k. 4 k k Jadi = 3[cos( )+i sin( )] 4 4 Keempat akar ang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,,,3 ke persamaan terakhir. 4

Latihan Soal Bab I. Buktikan Teorema dengan memisalkan = (,) = + i.. Diketahui = 6 + 5i dan = 8 i. Tentukan +, -,, dan / 3. Jika = --i, buktikan + + = 0. 4. Cari bilangan kompleks ang memenuhi sifat: a. - = dan b. 5. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku :. +. = Re(. ) 6. Hitung jarak antara = + 3i dan = 5 i. 4

7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva ang terjadi : a. 5 = 6 dan 5 > 6 b. + i = i c. < i < 3 8.Natakan bilangan kompleks = -i dalam bentuk polar dan eksponen! 9. Hitunglah (-+i) 5 0.Tentukan himpunan penelesaian dari : 3 - i = 0 43

BAB II FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi ang akan digunakan pada fungsi kompleks. Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan aitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatna. 44

. Lingkungan/persekitaran a. Persekitaran o adalah himpunan semua titik ang terletak di dalam lingkaran ang berpusat di o, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N( o,r) atau o < r. b. Persekitaran tanpa o adalah himpunan semua titik o ang terletak di dalam lingkaran ang berpusat di o, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*( o,r) atau 0< o < r. 45

Contoh : a. N(i,) atau i <, lihat pada gambar b. N*(O,a) atau 0< O < a, lihat pada gambar Im Im i i O a Re O Re gambar gambar 46

. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis S c,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z ang tidak termasuk di S. Contoh : Gambarkan! A = { Im < }, maka A c = { Im }. B ={ <<4}, maka B c = { atau 4}. 47

A = { Im < }, maka A c = { Im }. B ={ <<4}, maka B c = { atau 4}. Im Im A A O c Re 4 B B c O 4 Re 48

3. Titik limit Titik o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) maka N*( o,) S. Jika o S dan o bukan titik limit, maka o disebut titik terasing. 49

3. Titik limit Titik o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) maka N*( o,) S. Jika o S dan o bukan titik limit, maka o disebut titik terasing. 4. Titik batas Titik o disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik ang tidak di S. 50

3. Titik limit Titik o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) maka N*( o,) S. Jika o S dan o bukan titik limit, maka o disebut titik terasing. 4. Titik batas Titik o disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik ang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 5

6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada N ( o,) sehingga N( o,) S. Titik ang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 5

6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada N ( o,) sehingga N( o,) S. Titik ang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. 53

6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada N ( o,) sehingga N( o,) S. Titik ang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. 8. Himpunan Tertutup Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitna. 54

9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis ang seluruhna terletak di S. 55

9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis ang seluruhna terletak di S. 0. Daerah domain Himpunan terbuka S ang terhubung disebut daerah domain. 56

9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis ang seluruhna terletak di S. 0. Daerah domain Himpunan terbuka S ang terhubung disebut daerah domain.. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasna. 57

. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitna. 58

Contoh :. Diberikan A = { / <}, maka: Im A Re A adalah himpunan terbuka dan terhubung. Batas dari A adalah { / =}. Penutup dari A adalah { / }. 59

. Diberikan B = { / <} U {(0,)}, maka: Im B Re B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup. Titik-titik limit dari B adalah { / }. 60

3. Diberikan C = { / }, maka: Im Re Titik-titik interior C adalah { / <}. 6

Fungsi Kompleks Definisi : Misalkan D himpunan titik pada bidang Z. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan ang memasangkan setiap titik anggota D dengan satu dan hana satu titik w pada bidang W, aitu (,w). Fungsi tersebut ditulis w = f(). Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis D f dan f() disebut nilai dari f atau peta dari oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis R f, aitu himpunan f() untuk setiap anggota D. 6

Im( ) Im(w) f w f() Re( ) Re(w) Bidang Z Bidang W 63

Contoh : a) w = + i b) w = 4 + i c) w = 5 d) f() = 3 Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z. Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z, kecuali = 64

Jika = + i, maka fungsi w = f() dapat diuraikan menjadi w = u(,) + iv(,) ang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real dan. Apabila = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ). 65

Contoh : Tuliskan f() = i dalam bentuk u dan v! 66

Contoh : Tuliskan f() = i dalam bentuk u dan v! Jawab : Misal = + i, maka fungsi w = f() = i = ( + i ) i = ( +i- ) i = ( - ) + i(-). Jadi u = ( - ) dan v = -. 67

Jika = r(cos + i sin). Tentukan f() = + i 68

Jika = r(cos + i sin). Tentukan f() = + i Jawab f() = + i = [r (cos+i sin)] + i = r [cos - sin + isincos] + i = r (cos - sin ) + r isin + i = r (cos - sin ) +(+r sin)i berarti u = r (cos - sin ) dan v = +r sin). 69

Komposisi Fungsi Diberikan fungsi f() dengan domain D f dan fungsi g () dengan domain D g. Jika R f D g, maka ada fungsi komposisi (g f) () = g (f ()), dengan domain D f. f g f ( ) g ( g f ( ) f )( ) g f 70

Jika R g D f, maka ada fungsi komposisi (f g) () = f (g ()), dengan domain D g. g f g() f (f g() g)() f g Tidak berlaku hukum komutatif pada (g f) () dan (f g)(). 7

Contoh : Misal: f() = 3 i dan g() = + + i Jika R f D g, maka (g f) () = g (f ()) = g(3 i) = (3 i) + (3 i) + i = 9 6i + 3 i + i = 9 3 6i 7

Jika R g D f, maka (f g) () = f (g ()) = f( + + i) = 3 + 3 3 + 3i i Karena 9 3 6i 3 + 3 3 + 3i i Jadi (g f) () (f g)() atau (g f) (f g), (tidak komutatif) 73

Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas = + i anggota domain ada satu dan hana satu variabel tak bebas w = u + iv ang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkanna pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f (). Carana dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik maka f() disebut peta dari. 74

Contoh : Diketahui fungsi w = + i. Untuk setiap variabel bebas = + i didapat nilai w = ( ) + ( + )i. Misalna untuk = + i, dan = 3i, berturutturut diperoleh : w = + 3i, dan w = 3 5i. Gambar dari,, w, dan w dapat dilihat di bawah ini Y V bidang Z bidang W 3 w O X O 3 U 3 5 w 75

Contoh : Diketahui fungsi w =. Dengan menggunakan = r (cos+i sin), maka diperoleh w = = r (cos+i sin). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r. Daerah 0 arg dipetakan menjadi daerah 0 arg w. Gambar keduana dapat dilihat di bawah ini. 76

bidang W bidang Z r r 77

Limi t Diketahui daerah D pada bidang Z dan titik o terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan fungsi w = f() terdefinisi pada D, kecuali di o. Apabila titik bergerak mendekati titik o melalui setiap lengkungan sebarang K dan mengakibatkan nilai f() bergerak mendekati suatu nilai tertentu, aitu w o pada bidang W, maka dikatakan limit f () adalah w o untuk mendekati o, ditulis : lim f() w o o D D K bidang o N * (o, ) Z w o N(w o, ) bidang W f() 78

Definisi : Misalkan fungsi w = f() terdefinisi pada daerah D, kecuali di o (titik o di dalam D atau pada batas D). limit f() adalah w o untuk mendekati o, jika untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian hingga f() w o <, apabila 0 < o <, ditulis: lim o f() w o 79

Perlu diperhatikan bahwa :. Titik o adalah titik limit domain fungsi f.. Titik menuju o melalui sebarang lengkungan K, artina menuju o dari segala arah. 3. Apabila menuju o melalui dua lengkungan ang berbeda, mengakibatkan f() menuju dua nilai ang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk mendekati o. 80

Contoh : Buktikan bahwa : lim 3 5 8

Contoh : Buktikan bahwa : lim 3 5 Bukti: Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga: 0 3 5 Lihat bagian sebelah kanan, untuk 8

Dari persamaan kanan diperoleh: 3 5 Hal ini menunjukkan bahwa ( )( ) ( ) ( 5)( ) ( ) ( ) 5 telah diperoleh. 83

Bukti Formal : Jika diberikan > 0, maka terdapat untuk, diperoleh 0 3 5 ( )( ) 5 ( ) ( ), sehingga Jadi 3 5 apabila 0 Terbukti lim 3 5 84

Teorema Limit : Teorema : Jika fungsi f mempunai limit untuk menuju o, maka nilai limitna tunggal. 85

Teorema Limit : Teorema : Jika fungsi f mempunai limit untuk menuju o, maka nilai limitna tunggal. Bukti: Misal limitna w dan w, maka f() w w f() f() w w sehingga jadi f() w w f() w w w w f() f() w 86

Teorema : Misalkan = (,) = +i dan f() = u(,) + iv(,) dengan domain D. Titik o = ( o, o ) = o +i o di dalam D atau batas D. Maka lim o f() lim u(,) o o i o o dan jika dan hana jika lim v(,) o o 87

Teorema 3 : Misalkan fungsi f dan g limitna ada. lim f() = a dan lim g() = b, maka. lim (f() +g()) = a + b (untuk o ). lim (f(). g()) = a. b (untuk o ) 3. lim (f() / g()) = a / b (untuk o ) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut! 88

Contoh : Hitunglah lim i i 89

90 Contoh : Hitunglah Jawab: i lim i i i) lim ( i i) i)( ( lim i lim i i i

Contoh : Jika f() i. Buktikan lim f() tidak ada! 0 9

Contoh : Jika f() i. Buktikan lim f() tidak ada! 0 Bukti : Kita tunjukkan bahwa untuk menuju 0 di sepanjang garis = 0, maka lim f() 0 lim (,0) (0,0) f() Sedangkan di sepanjang garis =, lim f() lim f() lim( i) 0 (,) (0,0) Dari dan, terbukti lim 0 0 lim 0 i f() 0 tidak ada 9

Kekontinuan Fungsi Definisi : Misalkan fungsi f() terdefinisi di D pada bidang Z dan titik o terletak pada interior D, fungsi f() dikatakan kontinu di o jika untuk menuju o, maka lim f() = f( o ). 93

Jadi, ada tiga sarat fungsi f() kontinu di o, aitu :.. 3. f( o lim f() ) ada lim f() o o ada f( o ) Fungsi f() dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f() kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. 94

Teorema 4 : Jika f() = u(,) + iv(,), f() terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan o = o + i o titik di dalam R, maka fungsi f() kontinu di o jika dan hana jika u(, ) dan v(,) masing-masing kontinu di ( o, o ). 95

Teorema 5 : Andaikan f() dan g() kontinu di o, maka masingmasing fungsi :. f() + g(). f(). g() 3. f() / g(), g() 0 4. f(g()); f kontinu di g( o ), kontinu di o. 96

Contoh : Fungsi f() = Jawab : 4, i 3 4, i, apakah kontinu di i i f(i) = 3 + 4(i) = 3 + 4i, sedangkan untuk mendekati i, lim f() = + i, sehingga lim f() f(i) i jadi f() diskontinu di = i. 97

Contoh. Dimanakah fungsi g() kontinu? 3 Jawab : Coba anda periksa bahwa g() diskontinu di = dan =. Jadi g() kontinu di daerah 98

BAB III. TURUNAN 3. Definisi Turunan Diberikan fungsi f ang didefinisikan pada daerah D dan o D. Jika diketahui bahwa nilai ada, maka nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik o. Dinotasikan : f ( o ) lim o f() f( o o ) 99

Jika f ( o ) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di o. Dengan kata lain : f'( Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f terdifferensial pada D o ) lim 0 f lim 0 f( o ) f( o ) Contoh 3.. Buktikan f() = terdifferensiasi diseluruh C 00

Bukti : Ditinjau sebarang titik o C f'( o ) lim lim lim o o o o f() f( o o o o ) ( o)( o Karena o sebarang maka f() = terdefferensial di seluruh C o ) 0

Teorema 3. Jika f fungsi kompleks dan f ( o ) ada, maka f kontinu di o Bukti : 0

Bukti : Diketahui f ( o ) ada Akan dibuktikan f kontinu di o atau lim f() f( ) lim (f() o f( o )) f() lim ( o f() lim ( 0 o f'() 0 f( ) f( ) o o o o ) ( ) lim ( o o o ) o ) o sehingga lim o f() lim f( dengan kata lain f kontinu di o. o o ) f( o ) 03

Contoh 3.. Buktikan f() = kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hana terdifferensial di = 0 Bukti : f() = = + berarti u(,) = + dan v(,) = 0 u dan v kontinu di D, maka f() kontinu di D f'(0) lim 0 lim 0 f() f(0) 0 0 lim 0 Jadi f() terdifferensial di = 0 04

3. Sarat Chauch-Riemann Sarat ang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di o = o + i o adalah sarat Chauch-Riemann, ang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f. 05

Terema 3.. (Sarat Chauch-Riemann Jika f() = u(,) + i v(,) terdifferensial di o = o + i o, maka u(,) dan v(,) mempunai derivatif parsial pertama di ( o, o ) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauch Riemann u v dan u v derivatif f di o dapat dinatakan dengan f'( ) u (, ) iv (, o o Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di ( o, o ) maka f() = u(,) + i v(,) tidak terdifferensial di o = o + i o o o o ) 06

Contoh 3.. Buktikan f() = tidak terdifferensiasi di 0 Bukti : f() = + sehingga u(,) = + v(,) = 0 Persamaan Cauch Riemann u dan u v 0 dan v 0 u v 0 () 07

dan u v 0 () () dan () tidak dipenuhi jika 0 atau 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di 0 08

Catatan : Sarat C-R hana sarat perlu untuk keterdifferensialan. Contoh 3.. 3 3 ( i) ( i) Buktikan fungsi f() = dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R Bukti : 3 3 u = 3 3 dengan u(0,0) = 0 v = dengan v(0,0) = 0 u (0,0) = lim u(, 0) u(0,0) = o u(0,) u(0,0) u (0,0) = lim = - o 09

v (0,0) = v(,0) v(0,0) lim = o v( 0,) v(0,0) v lim (0,0) = o = Jadi persamaan Cauch Riemann terpenuhi Tetapi f() f(0) ( i) ( i) lim lim 0 0 ( )( i) Untuk 0 Sepanjang garis real = 0 3 3 3 lim ( i) o 3 = + i 0

i Sepanjang garis real = lim o 3 = ( i) 3 i i Jadi lim f() f(0) tidak ada o sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Sarat perlu f() = u(,) + iv(,), o = o + i o f () ada maka u u v v,,, ada di ( o, o ) berlaku C-R aitu : u v u v = dan = dan f ( 0 ) = u ( 0, 0 ) + i v ( 0, 0 )

ii. Sarat cukup u(,), v(,), u (,), v (,), u (,), v (,) kontinu pada kitar o = o + i o dan di ( o, o ) dipenuhi C-R maka f ( o ) ada 3

Contoh 3..3 Buktikan f() = e (cos + i sin ) terdiferensial untuk setiap dalam C Bukti u(,) : = e cos u (,) = e cos v(,) = e sin u (,) = -e sin v (,) = e sin v (,) = e cos ada dan kontinu di setiap (,) C 4

Berdasarkan persamaan C-R : u = v dan u = -v dipenuhi di (,) C, dan ada kitar dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (,). Jadi f () ada C. Dan f () = u (,) + i v (,) = e cos + i e sin 5

3.3 Sarat C-R Pada Koordinat Kutub Jika f() = u(,) + i v(,) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan = r cos dan = r sin, diperoleh = r cos + i sin, sehingga f() = u(r, ) + i v(r, ) dalam sistem koordinat kutub 6

Teoreama 3.3. Jika f() = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (r o, o ) dan jika dalam kitar tersebut u r, u, v r, v ada dan kontinu di (r o, o ) dan dipenuhi C-R aitu: u v v v = dan r r r =, r 0 r maka f () = ada di = o dan f () = (cos o i sin o ) [u r (r o, o ) + i v r (r o, o )] 7

Contoh 3.3. Diketahui f() = -3, tentukan f () dalam bentuk kootdinat kutub 8

Jawab : f() = -3 = r -3 (cos 3 - i sin 3), maka : u = r -3 cos 3, sehingga u r = -3r -4 cos 3 dan u = -3r -3 sin 3 v = -r -3 sin 3, sehingga v r = 3r -4 sin 3 dan v = -3r -3 cos 3 keenam fungsi ini kontinu dan sarat C-R dipenuhi untuk semua 0 Jadi f() = -3 terdiferensial untuk 0 Dengan demikian f () dalam koordinat kutub adalah : f () = (cos i sin ) (-3r -4 cos 3 + i 3r -4 sin 3) = cis(-) (-3r -4 ) cis(-3) = -3r -4 cis(-4) 9

3.4 Aturan Pendiferensialan Jika f(), g() dan h() adalah fungsi- fungsi kompleks serta f (), g () dan h () ada, maka berlaku rumus-rumus :.. 3. 4. 5. dc d() 0, d d dcf() cf'() d d f() g() f'() g'() d d f()g() f'()g() f()g'() d d f() f'()g() f()g'() d g() g() 0

6. 7. n d n d Jika h() biasa dw d n disebut dw d. d d g[f()] maka dengan h'() komposisi g'[f()]f'() (aturanrantai)

3.5 Fungsi Analitik Definisi 3.5. Fungsi f analitik di o, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f () ada untuk setiap N( o,r) (persekitaran o ) r f diferensiable o Fungsi analitik untuk setiap C dinamakan fungsi utuh

Contoh 3.5.. f() = analitik kecuali di = 0. f() = 3 + i 3 diperoleh : u = 3 ; v = 3 sehingga u = 3 ; v = 0 ; u = 0 ; v = 3 dengan menggunakan persamaan C-R : 3 = 3 = dan v = u = 0 persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris = berarti f () ada hana di = Jadi f() tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. 3

Sifat sifat analitik Misalna f dan g analitik pada D, maka : o f g merupakan fungsi analitik o fg merupakan fungsi analitik o f/g merupakan fungsi analitik dengan g 0 o h = g f merupakan fungsi analitik o berlaku aturan L hospital aitu : f f' lim, dengan g() 0 g'() 0 g g' o 4

3.6 Titik Singular Definisi 3.6. Titik disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di tetapi untuk setiap kitar dari memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. 5

Jenis kesingularan f() atau titik singular antara lain :. Titik singular terisolasi Titik o dinamakan titik singular terisolasi dari f() jika terdapat 0 demikian sehingga lingkaran o = hana melingkari titik singular lainna. Jika seperti itu tidak ada, maka = o disebut titik singular tidak terisolasi. 6

. Titik Pole (titik kutub) Titik = o disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim ( o o ) n f() A 0. Jika n =, o disebut sebagai titik pole sederhana. 3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular o disebut titik singular dapat dihapuskan dari f() jika lim o f() ada. 7

5. Titik Singular Essensial Titik singular = o ang tidak memenuhi sarat titik singular pole titik cabang atau titik singular ang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hingga Jika f() mempunai titik singular di =, maka sama dengan menatakan f(/w) mempunai titik singular di w = 0. 8

Contoh 3.6. g() = ( ) berarti titik = i adalah titik pole tingkat dari g() h() = tidak merupakan titik singular k() = ln ( + ) maka titik cabang adalah = dan = karena ( + ) = ( ) ( + ) = 0 9

3.7 Fungsi Harmonik f() = u(,) + iv(,) analitik pada D maka u dan v mempunai derivatif parsial di semua orde ang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R, u = v dan u = v Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku v = v. Jika dalam u = v dan u = v diderivatifkan parsial terhadap dan maka (,) D berlaku u + u = 0 v = v = 0 30

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam dimensi. 0 u dan v dimana f() = u(,) + iv(,) analitik pada suatu domain maka f() harmonik pada domain tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f() = u(,) + iv(,) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi ang harmonik konjugat dalam domain itu. 3

Contoh 3.7. Diberikan u(,) harmonik pada D dan tentukan fungsi v ang harmonik konjugat dengan u = 4 3 3, (,) C Jawab : Misal diklaim konjugatna adalah v(,) jadi f() = u(,) + iv(,) analitik pada C sedemikian sehingga berlaku C-R u = v dan u = -v u = 4 3 v = 4 3 u = 4 3 v= 4 6 + g() karena v = u maka + g () = + 4 3 sehingga g () = 4 3 diperoleh g() = 4 + C Jadi v = 4 6 + 4 + C 3

Cara Milne Thomson Cara ang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(,) harmonik pada D andaikan v(,) sehingga f() = u(,)+ iv(,) analitik pada D f () = u (,) + iv (,) sesuai persamaan C-R : f () = u (,) iu (,) = + i dan dan f() = u = i sehingga diperoleh i, i iu, i 33

Suatu identitas dalam dan, jika diambil = maka f () = u (,0) iu (,0) Jadi f() adalah fungsi ang derivatifna u (,0) iu (,0) kemudian didapat v(,) 34

Contoh 3.7. Dari Contoh 3.7. dengan u= 43 43, (,) C, jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson. Jawab : u = 4 3 u = 4 3 f () = u (,0) iu (,0) = i( 4 3 ) = 4i 3 sehingga f() = i 4 + A f() = i( + i) 4 + A = 4 3 4 3 + i( 4 6 + 4 ) + A 35