Teori Bilangan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah April 13, 2013
Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Contoh, misalkan pernyataan terbuka: p(n): Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2. Buktikan p(n) benar. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas
Prinsip terurut dengan baik (well-ordering principle) Misalkan Z + = {x Z x > 0} = {x Z x 1}. Setiap subhimpunan tak kosong dari Z + memuat sebuah elemen terkecil. Kita katakan bahwa Z + terurut dengan baik. Prinsip induksi matematik ( principle) Misalkan S(n) menyatakan pernyataan matematika terbuka yang melibatkan satu atau lebih variabel n yang mana menyatakan bilangan bulat positif. a) Jika S(1) benar; dan b) Jika bilamana S(k) benar (untuk suatu k tertentu, tetapi pemilihannya sebarang, k Z + ),maka S(k + 1) benar; maka S(n) benar untuk semua n Z +.
1 Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. 2 Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(k) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. 3 Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. 4 Induksi matematik berlaku seperti efek domino.
Contoh 1. Untuk semua n Z, n Bukti: Untuk n = 1, pernyataan tebuka n(n + 1) i = 1 + 2 + 3 + + n =. 2 S(n) : n i = 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1) 2 akan menjadi S(1) : 1 1(1 + 1) i = 1 =. Jadi S(1) benar 2 dan kita telah menunjukkan langkah basis.
Contoh 1. Selanjutnya, asumsikan hasilnya benar untuk n = k, kita akan membangun langkah induksi dengan menunjukkan bahwa kebenaran untuk S(k) memaksa kita untuk menerima kebenaran untuk S(k + 1). Untuk menunjukkan kebenaran untuk S(k + 1), kita harus menunjukkan bahwa k+1 (k + 1)(k + 2) i = 2 Kita lakukan sebagai berikut: k+1 i = 1 + 2 + 3 + + k + (k + 1) = ( k i) + (k + 1) k(k + 1) = + (k + 1) 2 k(k + 1) 2(k + 1) = + 2 2 n(n + 1) = 2
Contoh 2. Buktikan bahwa untuk n Z +, n Bukti: Di sini kita tuliskan i2 = n(n + 1)(2n + 1) S(n) : n i 2 = n(n + 1)(2n + 1) Langkah basis: Untuk S(1), kita peroleh: 1 i 2 = 1 2 = 1 = 1(1 + 1)(2(1) + 1) Jadi S(1) benar.
Contoh 2. Langkah induksi: Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k Z +, yaitu k i 2 = k(k + 1)(2k + 1) Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwa k+1 S(k + 1) : i 2 = (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)
Contoh 2. Langkah induksi: k+1 i2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + k 2 + (k + 1) 2 = k i2 + (k + 1) 2 k(k + 1)(2k + 1) = [ ] + (k + 1) 2 k(2k + 1) = (k + 1)[ + (k + 1)] = (k + 1)[ 2k2 + 7k + ] (k + 2)(2k + 3) = (k + 1)[ ] (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1) =
Contoh 3. Buktikan bahwa untuk n Z +, n Bukti: Di sini kita tuliskan S(n) : n (2i 1) = n 2 (2i 1) = n2 Langkah basis: Untuk S(1), kita peroleh: 1 (2i 1) = 2(1) 1 = 2 1 = 1 = 1 2 Jadi S(1) benar.
Contoh 3. Langkah induksi: Asumsikan bahwa S(k) benar untuk suatu k Z +, yaitu k (2i 1) = k 2 Dari asumsi ini, akan ditunjukkan bahwa S(k + 1) : k+1 (2i 1) = (k + 1)2 k+1 (2i 1) = 1 + 3 + 5 + + (2k 1) + [2(k + 1) 1] = k (2i 1) + [2(k + 1) 1] = k 2 + [(2(k + 1) 1] = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 Jadi S(n) benar untuk semua n 1.