Pembuktian dengan Induksi Matematik

Transkripsi

1 Pembuktian dengan Induksi Matematik Contoh Soal Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar PIM September / 24

2 Example Dengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku (1 2) + ( 2 2 2) + ( 3 2 3) + + (n 2 n ) = (n 1) 2 n Jawab Definisikan semesta dan predikat berikut: S = N, P(n) : (1 2) + ( 2 2 2) + + (n 2 n ) = (n 1) 2 n Basis induksi: untuk n = 1 berlaku P(1) : = (1 1) P(1) : 2 = 2. P(1) benar. Hipotesis induksi: untuk k 1, anggap P(k) benar, yaitu berlaku (1 2) + ( 2 2 2) + ( 3 2 3) ( ) + + k 2 k = (k 1) 2 k Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

3 Langkah induksi: Akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu berlaku (1 2) + ( 2 2 2) + + ((k + 1) 2 k+1) = ((k + 1) 1) 2 (k+1) = k 2 k B Ruas kiri = (1 2) + ( 2 2 2) ( ) + + k 2 k + ((k + 1) 2 k+1) = (k 1) 2 k ((k + 1) 2 k+1) = 2 k+1 [(k 1) + (k + 1)] + 2 = 2 k+1 (2k) + 2 = k 2 2 k = k 2 k = ruas kanan. Terbukti. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

4 Example Buktikan n 3 n habis dibagi 3 untuk setiap n bilangan asli. Misalkan P(n) : n 3 n habis dibagi 3. Akan dibuktikan bahwa: ( n N)P(n). Basis induksi: untuk n = 1 diperoleh = 0 habis dibagi 3. P(1) benar. Hipotesis induksi: untuk n = k dan k 1 andaikan P(k) benar, yaitu berlaku k 3 k habis dibagi 3 k 3 k = 3m, m Z. Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu (k + 1) 3 (k + 1) habis dibagi 3 (k + 1) 3 (k + 1) = 3r, r Z. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

5 B (k + 1) 3 (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 (k + 1) = (k 3 k) + 3k 2 + 3k = 3m + 3(k 2 + k) = 3(m + k 2 + k) = 3r, r := m + k 2 + k. Karena m Z maka r := m + k 2 + k Z, sehingga terbukti. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

6 Example Misalkan x 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n. (1 + x) n 1 + nx, Jawab Definisikan semesta dan predikat berikut: S = N, P(n) : (1 + x) n 1 + nx, x 1. Basis induksi: untuk} n = 1 berlaku Ruas kiri: 1 + x Benar bahwa 1 + x 1 + x Ruas kanan: 1 + x Dengan demikian P(1) benar. Hipotesis induksi: untuk k 1, anggap P(k) benar, yaitu berlaku (1 + x) k 1 + kx. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

7 Langkah induksi: akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu berlaku (1 + x) k (k + 1)x. B Dari hipotesis induksi dan karena x 1 maka (1 + x) k 1 + kx (1 + x) k (1 + x) (1 + kx) (1 + x) (1 + x) k (1 + x) 1 + x + kx + kx 2. Karena k bilangan asli, maka kx 2 0, sehingga 1 + x + kx + kx x + kx. Ini berarti (1 + x) k (1 + x) 1 + x + kx (1 + x) k (k + 1) x. Terbukti. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

8 Example Diberikan barisan bilangan real x 1, x 2, x 3,... yang didefinisikan oleh x 1 = 2, x n+1 = 2 1 x n, n = 1, 2, 3,.... Dengan pembuktian induksi matematik, buktikan bahwa x n = n + 1 n, n 2. Jawab Didefinisikan predikat: P(n) : x n = n + 1 n. Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa ( n 2)P(n). Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

9 Basis induksi: untuk n = 2, dari definisi diperoleh x 2 = 2 1 x 1 = = 3 2. Di lain pihak, dari rumus analitik diperoleh x 2 = = 3 2 (benar). Hipotesis induksi: untuk n = k andaikan benar bahwa x k = k + 1. k Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan bahwa x k+1 = (k + 1) + 1 k + 1 = k + 2 k + 1. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

10 B x k+1 = 2 1 x k (dari definisi) Terbukti. = 2 1 k+1 k = 2 k k + 1 = k + 2 k + 1. (dari hipotesis) Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

11 Example Gobang adalah mata uang resmi Negeri Artamaya dengan pecahan-pecahan yang berlaku adalah suku (= 2 gobang), benggol (= 5 gobang), ketip (= 7 gobang), dan kawung (= 10 gobang). Di suatu kejadian aneh, seorang penjual barang kelontong yang hanya memiliki sejumlah pecahan benggol sebagai uang kembalian kedatangan seorang pembeli yang hanya memiliki sejumlah pecahan ketip. Buktikan bahwa setiap transaksi atas barang kelontong seharga n gobang, dengan n 25 dan n bilangan asli, selalu dapat dilakukan dengan hanya menggunakan pecahan-pecahan benggol dan ketip tanpa menimbulkan utang-piutang antara penjual dan pembeli. Ilustrasi: Jika harga barang 50 gobang maka pembeli membayar dengan 10 keping uang ketip dan mendapat kembalian 4 keping uang benggol. Petunjuk: Buktikan dengan induksi matematik bahwa setiap bilangan asli n, dengan n 25, selalu dapat dituliskan sebagai n = 7x 5y,dengan x dan y adalah suatu bilangan bulat positif. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

12 Jawab Masalah di atas ekuivalen dengan masalah berikut: dengan induksi matematik, buktikan bahwa setiap bilangan asli n, dengan n 25, selalu dapat dituliskan sebagai n = 7x harga 5y bayar kembalian dengan x dan y adalah bilangan-bilangan bulat positif. Basis induksi: untuk n = 25 diperoleh 25 = sehingga diperoleh x = 5 dan y = 2 (Benar). Hipotesis induksi: untuk n = k anggap benar bahwa k = 7a 5b dengan a dan b suatu bilangan bulat positif., Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

13 Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan bahwa k + 1 = 7p 5q dengan p dan q suatu bilangan bulat positif. B k + 1 = (7a 5b) + 1 (dari hipotesis induksi) = 7a 5b + ( ) = 7(a + 3) 5(b + 4) = 7p 5q, dengan p := a + 3 dan q := b + 4. Karena a dan b bilangan bulat positif maka p := a + 3 dan q := b + 4 bilangan bulat positif. Terbukti. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

14 Example Buktikan untuk setiap bilangan asli n berlaku Jawab Didefinisikan predikat: (n 1) 2 < n3 3. P(n) : (n 1) 2 < n3 3. Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa ( n N)P(n). Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

15 Basis induksi: untuk n = 1 diperoleh P(1) : (1 1) 2 < < 1 3. P(1) benar. Hipotesis induksi: untuk n = k dan k 1 andaikan P(k) benar, yaitu berlaku (k 1) 2 < k3 3. Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu (k 1) 2 + k 2 < (k + 1)3. 3 Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

16 Bukti: (k 1) 2 + k 2 < k3 3 + k2 = k k2 3 < k k k = k3 + 3k 2 + 3k (k + 1)3 =. 3 Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

17 Example Buktikan untuk setiap bilangan asli n 10 berlaku 2 n > n 3. Jawab Didefinisikan predikat: P(n) : 2 n > n 3. Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa ( n 10)P(n). Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

18 Basis induksi: untuk n = 10 diperoleh P(10) : 2 10 > > P(10) benar. Hipotesis induksi: untuk n = k dan k 10 andaikan P(k) benar, yaitu berlaku 2 k > k 3. Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu 2 k+1 > (k + 1) 3. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

19 Bukti: 2 k+1 = 2 2 k > 2 k 3 = k 3 + k 3 k k 2 (k 10 k 3 10k 2 ) = k 3 + 3k 2 + 7k 2 k 3 + 3k k (k 10 k 2 10k 7k 2 70k) > k 3 + 3k 2 + 3k + 1 = (k + 1) 3. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

20 Problem Didefinisikan barisan bilangan a 1, a 2, a 3,... dengan a 1 = 1, a 2 = , a 3 = ,. a n = n, untuk semua bilangan asli n. Buktikan untuk semua bilangan asli n berlaku a 1 + a a n = (n + 1)a n n. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

21 Problem Diketahui barisan bilangan y 1, y 2, y 3,... dengan y 1 = 1, y n+1 = 1 4 (2y n + 3), untuk n = 1, 2,.... Dengan menggunakan induksi matematik, tunjukkan bahwa y n 2 untuk setiap bilangan asli n. Problem Diketahui barisan bilangan x 1, x 2, x 3,... dengan x 1 = 1 x n+1 = 2 x n, untuk n = 1, 2, 3,.... Dengan menggunakan induksi matematik buktikan bahwa x n x n+1 untuk setiap bilangan asli n. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

22 Problem Diketahui barisan bilangan bulat x 1, x 2, x 3,... yang didefinisikan oleh x 1 = 2, x n = x n 1 + 2n, (untuk n 2). Tunjukkan dengan induksi matematik bahwa untuk semua bilangan asli n, berlaku: x n = n(n + 1). Problem Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan bahwa n 3 > n4 4. adalah benar untuk setiap bilangan asli n. (Diketahui: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4.) Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

23 Problem Dengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk bilangan asli n berlaku 4 2n n+2 habis dibagi 13. Problem Dengan menggunakan induksi matematik buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku: (8n 5) = 4n 2 n. Problem Misalkan a bilangan real dan a = 1. Dengan induksi matematik, tunjukkan bahwa 1 + a + a a n 1 = 1 an 1 a untuk setiap bilangan asli n. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24

24 Problem Perhatikan deret berikut: S n = n i=1 i (i + 1)!. 1 Hitung S 1, S 2, dan S 3. Dengan memerhatikan pola yang terbentuk, tebaklah bentuk dari S n. 2 Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan tebakan Anda. Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September / 24