BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan dalam garis bilangan sebagai berikut. b. Operasi Hitung pada Bilangan Cacah 1. Operasi Penjumlahan Operasi penjumlahan suatu bilangan dapat dikerjakan dengan strategi mendatar dan strategi bersusun. 1) Strategi Mendatar a. Jumlahkan 3 dan 4 yang menghasilkan 7. 3 4 = 7 b. Untuk menyelesaikan penjumlahan yang lebih dari dua suku, prinsipnya adalah dengan mengelompokkan menjadi dua suku-dua suku dan menjumlahkannya. Langkah 1: Kelompokan 4 dan 2 dan jumlahkan (4 2 = 6), tulis 6. Langkah 2: Jumlahkan hasil tadi (6) dengan 3 (6 3 = 9), tulis 9. 4 2 3 = (4 2) 3 = 6 3 = 9 Soal ini dapat dikerjakan sebagai berikut. Langkah 1: Kelompokkan 2 dan 3, kemudian jumlahkan (2 3 = 5), tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan 4 dengan hasil tadi (4 5 = 9), tulis 9. 4 2 3 = 4 (2 3) = 4 5 = 9 c. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (2 6 = 8), tulis 8. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (1 3 = 4), tulis 4. 12 36 = 48 2) Strategi Bersusun Pendek a. Jumlahkan angka satuan (6 3 = 9). tulis 9. 0 1 b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 5 = 8), tulis 8. 2 3 4 5 6 7 8 6 3 9 34 51 85 c. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (1 5 2 = 8), tulis 8. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (2 4 3 = 9). tulis 9. Langkah 3: Jumlahkan angka raturan (3 1 = 4), tulis 4. 3) Strategi Bersusun Pendek dengan Teknik Menyimpan Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (8 3 4 = 15), tulis 5 dan 1 disimpan di kolom angka puluhan (di atas angka 9). Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (1 9 6 8 = 24), tulis 4 dan 2 disimpan di kolom angka ratusan (di atas angka 3). Langkah 3: Jumlahkan angka ratusan (2 3 5 1 = 11), tulis 1 dan 1 disimpan di kolom ribuan (di atas angka 7). 321 145 32 498 1121 7398 9563 184 17145 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Langkah 4: Jumlahkan angka ribuan (1 7 9 = 17), tulis 7 dan 1 disimpan di kolom angka puluhan ribu. Langkah 5: Karena pada kolom angka puluhan ribu tidak ada angka yang lainnya, maka turunkan (tuliskan angka puluhan ribu) di samping kiri angka 7145. Jadi, hasil penjumlahan itu adalah 17145. 4) Strategi Bersusun Panjang a. 75 4. b. 597 26. 75 = 70 5 4 = 4 = 70 9 = 79 597 = 500 90 7 = 623 2. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan: 1) Sifat Ketertutupan (Ketunggalan) Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka terdapat hanya satu bilangan cacah yang dinyatakan dengan a b. 5 9 = 14 Perhatikan 5 dan 9 C dan 5 9 = 14 C. Operasi penjumlahan bilangan cacah memberikan solusi tertutup (pada bilangan cacah) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal). 2) Sifat Komutatif Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku a b = b a. Periksalah apakah 23 59 = 59 23? Berilah komentarmu! 23 59 = 83 dan 59 23 = 83 Jelaslah bahwa 23 59 = 59 23. Jadi, dalam penjumlahan bilangan cacah berlaku sifat komutatif. 3) Sifat Asosiatif Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku (a b) c = a (b c). Hitunglah dengan cara yang paling mudah. a. 156 44 38 b. 188 567 512 Dengan menggunakan sifat asosiatif kelompokkan bilangan-bilangan yang mudah dijumlahkan. a. 156 44 38 = (156 44) 38 = 200 38 = 238 b. 188 567 512 = (188 512) 567 = 700 567 = 1.267 4) Unsur Identitas 2 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika 26 = 20 6 = 500 110 13 = 500 100 10 10 3 = 600 20 3
Sifat bilangan 0 pada penjumlahan sebagai unsur identitas (elemen netral). Jika a adalah bilangan cacah, maka a 0 = 0 a = a. 2. Operasi Pengurangan 1) Pengertian Opreasi Pengurangan pada Bilangan Cacah Pengurangan adalah operasi lawan (invers) dari operasi. Perhatikan bahwa 23 3 = 20 20 3 = 23. Secara umum dapat dikemukan bahwa: Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka a b = c a = b c. Catatan: Lambang artinya setara atau ekiuvalen atau sama artinya. Carilah pengganti huruf n yang tepat dari persamaan berikut ini. a. n 30 50 c. 24 n 31 b. n 21 78 d. 8 n 2 a. n 30 50 b. n 21 78 n 30 50 80 n 78 21 57 c. 24 n 31 d. 8 n 2 n 31 24 7 8 2 n n 8 2 6 2) Sifat-sifat Operasi Pengurangan: a. Terdapat Invers Terhadap Penjumlahan atau Negatif Untuk setiap a C (C adalah himpunan bilangan cacah) terdapat suatu bilangan cacah yang dinamakan invers terhadap penjumlahan atau negatif dari a dinyatakan dengan a (dibaca negatif dari a ), sehingga a (a) = 0 b. Pada operasi pengurangan bilangan tidak berlaku sifat ketertutup. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka belum tentu a b adalah bilangan cacah. 5 3 = 2 (5, 2, dan 3 adalah bilangan-bilangan cacah), berlaku sifat ketertutupan. 3 5 = 2 (3 dan 5 adalah bilangan-bilangan cacah, sedangkan 2 adalah bilangan bulat), tidak berlaku sifat ketertutupan. c. Dalam operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif. 1. a b b a (tidak komutatif) Apakah 12 7 = 7 12? Berilah komentarmu! 12 7 = 5 dan 7 12 = 5 Jelaslah bahwa 12 7 = 7 12. Jadi, dalam operasi pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat komutatif. 2. (a b) c a (b c) (tidak asosiatif) Apakah (25 19) 4 = 25 (19 4)? Berilah komentarmu! (25 19) 4 = 6 4 = 2 dan 25 (19 4) = 25 15 = 10 Jelaslah bahwa (25 19) 4 25 (19 4). Jadi, pada operasi pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat asosiatif. Operasi pengurangan suatu bilangan dapat dikerjakan dengan strategi mendatar dan strategi bersusun. 1. Strategi Mendatar 3 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Hitunglah a. 8 5 b. 27 8 c. 69 20 d. 542 245 a. 8 5 = 3, karena 5 3 = 8 c. 69 20 = 49, karena 20 49 = 69 b. 27 8 = 19, karena 8 19 = 27 d. 542 245 = 297, karena 245 297 = 542 2. Strategi Bersusun 1. Hitunglah a. 72.946 8.295 b. 67.423 18.297 29.258 a. 72.596 8.245 Langkah 1: Kurangkan angka satuan (6 5 = 1), tulis 1. Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (4 9 tidak bisa, pinjam 1 ratusan). Jadi, 14 9 = 5, tulis 5 dan angka ratusan bersisa 7). Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (7 2 = 6), tulis 6. Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (2 8 tidak bisa, pinjam 1 ribuan). Jadi, 12 8 = 4, tulis 4 dan angka puluhan ribu bersisa 6). Langkah 5: Karena pada kolom angka puluhan ribu tidak ada angka yang lainnya, maka turunkan (tuliskan angka puluhan ribu) di samping kiri angka 4651. Jadi, hasil pengurangan itu adalah 64.651. b. 67.423 18.297 29.258 Prosedur pertama yang ditempuh adalah: Langkah 1: Kurangkan angka satuan (3 7 tidak bisa, pinjam 1 puluhan = 1). Jadi, 13 7 = 6, tulis 6, dan angka puluhan bersisa 1) Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (1 9 tidak bisa, pinjam 1 ratusan). Jadi, 11 9 = 2, tulis 2 dan angka ratusan bersisa 3). Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (3 2 = 1), tulis 1. Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (7 8 tidak bisa, pinjam 1 ribuan). Jadi, 17 8 = 9, tulis 9 dan angka puluhan ribu bersisa 5). Langkah 5: Kurangkan angka ribuan (5 1 = 4), tulis 4. Jadi, 67.423 18.297 = 49.126. Selanjutnya 49.126 29.258, dengan prosedur yang ditempuh adalah. Langkah 1: Kurangkan angka satuan (6 8 tidak bisa, pinjam 1 puluhan = 1). Jadi, 16 8 = 8, tulis 8, dan angka puluhan bersisa 1) Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (1 5 tidak bisa, pinjam 1 ratusan). Jadi, 11 5 = 6, tulis 6 dan angka ratusan bersisa 0). Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (0 2 tidak bisa, pinjam 1 rubuan). Jadi 10 2 = 8, tulis 8 dan angka ribuan bersisa 8) Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (8 9 tidak bisa, pinjam 1 ribuan). Jadi, 18 9 = 9, tulis 9 dan angka puluhan ribu bersisa 3). 72.946 8.295 64.651 67.423 18.297 49.126 49.126 29.258 19.868 Langkah 5: Kurangkan angka ribuan (3 2 = 1), tulis 1. Jadi, 49.126 29.258 = 19.868. Dengan demikian, 67.423 18.297 29.258 = 19.868. 4 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
2. Ayah membagikan uang sebesar Rp 15.000.000,00 kepada tiga orang anaknya. Anak yang sulung memperoleh Rp 4.500.000,00 dan anak kedua memperoleh Rp 5.750.000,00. Berapakah rupiahkah uang bagian yang diterima si bungsu? 4.500.000 5.750.000 n 15.000.000 n 15.000.000 4.500.000 5.750.000 n 4.750.000 Jadi, bagian uang yang diterima si bungsu adalah Rp 4.750.000,00. 3. Operasi Perkalian 1) Pengetian Perkalian Bilangan Cacah Perkalian adalah penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama m n n n n... n sebanyak m buah n Catatan: Dalam perkalian tanda kali silang dapat diganti dengan tanda titik yang diletakkan di tengah, (sebagai ilustrasi: 2.300 dibaca dua ribu tiga ratus dan 2 300 dibaca dua kali tiga ratus ) atau tanda kurung biasa ( ) atau kurung kurawal { } atau kurung siku [ ]. m n boleh ditulis sebagai m n atau ( m )( n) atau { m }{ n} atau [ m ][ n]. a. 5 2 = 2 2 2 2 2 = 10 b. 3 15 = 15 15 14 = 45 Perkalian dapat dilaksanakan dengan strategi bersusun panjang dan pendek. Hitunglah a. 257 6 b. 698 47 c. 756 439 a. Strategi Bersusun Panjang: Langkah 1: 7 6 = 42 Langkah 2: 50 6 = 300 Langkah 3: 200 6 = 1200 Langkah 4: 42 300 1200 = 1542 Jadi, 257 6 = 1.542 Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 7 6 = 42, ditulis 2 dan disimpan 4 pada puluhan. Langkah 2: 5 6 = 30 ditambah 4 menjadi 34, ditulis 4 dan disimpan 3 pada ratusan. Langkah 3: 2 6 = 12 ditambah 3 menjadi 15, ditulis semuanya (1542) Jadi, 257 6 = 1.542 b. Strategi Bersusun Panjang: Langkah 1: 8 7 = 56 Langkah 2: 90 7 = 630 Langkah 3: 600 7 = 4200 Langkah 4: 8 40 = 320 Langkah 5: 90 40 = 3600 Langkah 6: 600 40 = 24000 Langkah 7: 56 630 320 3600 24000 = 32.806 Jadi, 698 47 = 32.806 257 6 42 300 1200 1542 257 6 1542 698 47 56 630 4200 320 3600 24000 32806 5 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 8 7 = 56, ditulis 6 dan disimpan 5 pada puluhan. Langkah 2: 9 7 = 63 ditambah 5 menjadi 68, ditulis 8 dan 698 47 disimpan 6 pada ratusan. 4886 Langkah 3: 6 7 = 42 ditambah 6 menjadi 48, ditulis semuanya. 2792 Langkah 4: 8 4 = 32 puluhan, ditulis 2 dan disimpan 3 pada ratusan. 32806 Langkah 5: 9 4 = 36 ratusan ditambah 3 ratusan menjadi 39 ratusan, ditulis 9 dan disimpan 3 pada ribuan. Langkah 6: 6 4 = 24 ribuan ditambah 3 ribuan menjadi 27, ditulis semuanya (2792) Langkah 7: Jumlahkan bilangan-bilangan hasil perkalian itu, maka diperoleh 32.806. Jadi, 698 47 = 32.806 c. Strategi Bersusun Panjang: Langkah 1: 6 9 = 54 Langkah 2: 50 9 = 540 Langkah 3: 700 9 = 6300 Langkah 4: 6 30 = 180 Langkah 5: 50 30 = 1500 Langkah 6: 700 30 = 21000 Langkah 6: 6 400 = 2400 Langkah 6: 50 400 = 20000 Langkah 6: 700 400 = 280000 Langkah 4: 54 450 6300 180 1500 21000 2400 20000 280000 = 331.884 Jadi, 756 439 = 331.884 Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 6 9 = 54, ditulis 4 dan disimpan 5 pada puluhan. Langkah 2: 5 9 = 45 ditambah 5 menjadi 50, ditulis 0 dan disimpan 5 pada ratusan. Langkah 3: 7 9 = 63 ditambah 5 menjadi 68, ditulis semuanya (6804). Langkah 4: 6 3 = 18 puluhan, ditulis 8 dan disimpan 1 pada ratusan. Langkah 5: 5 3 = 15 ratusan ditambah 1 ratusan menjadi 16 ratusan, ditulis 6 dan disimpan 1 pada ribuan. Langkah 6: 7 3 = 21 ribuan ditambah 1 ribuan menjadi 22, ditulis semuanya (2268) Langkah 7: 6 4 = 24 ratusan, ditulis 4 dan disimpan 2 pada ribuan. Langkah 8: 5 4 = 20 ribuan ditambah 2 ribuan menjadi 22 ribuan, ditulis 2 dan disimpan 2 pada puluhan ribu. Langkah 9: 7 4 = 28 puluhan ribu ditambah 2 puluhan ribu menjadi 30 puluhan ribu, ditulis semuanya (3024). Langkah 10: Jumlahkan bilangan-bilangan hasil perkalian itu, maka diperoleh 331.884. Jadi, 756 439 = 331.884 2) Sifat-sifat Operasi Perkalian: 1. Sifat Ketertutupan (Ketunggalan) 756 439 54 450 6300 180 1500 21000 2400 20000 280000 331884 756 439 6804 2268 3024 331884 6 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Jika a, b C (C adalah himpunan bilangan cacah), maka terdapat hanya satu bilangan cacah yang dinyatakan dengan a b atau ab. 2 3 = 6 Perhatikan 2 dan 3 C dan 2 3 = 6 C. Operasi perkalian pada bilangan cacah memberikan solusi tertutup (pada bilangan cacah) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal). 2. Sifat Komutatif Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku hubungan a b b a. Periksalah apakah 3 8 = 8 3? Berilah komentarmu! 3 8 = 24 dan 8 3 = 24 Jelaslah bahwa 3 8 = 8 3. Jadi, dalam operasi perkalian bilangan cacah berlaku sifat komutatif. 3. Sifat Asosiatif Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku hubungan ( a b) c a ( b c). Periksalah apakah (4 6) 5 = 4 (6 5)? Berilah komentarmu! (4 6) 5 = 24 5 = 120 dan 4 (6 5) = 4 30 = 120 Jelaslah bahwa (4 6) 5 = 4 (6 5). Jadi, dalam operasi perkalian bilangan cacah berlaku sifat asosiatif. 4. Sifat Bilangan Nol Jika a adalah bilangan cacah, maka berlaku a 0 0 a 0. 3 0 = 0 3 = 0 5. Unsur Identitas Jika a adalah bilangan cacah, maka berlaku a1 1 a a. Sifat bilangan 1 pada perkalian sebagai unsure identitas. 5 1 = 1 5 = 5 6. Sifat Distributif Sifat Distributif (Penyebaran) Perkalian Terhadap Penjumlahan Untuk semua bilangan cacah a, b, dan c berlaku hubungan a ( b c) atau ( b c) a b a c a. Hitunglah a. 24 55 24 45 c. 76 97 56 97 b. 18 105 d. 564 99 a. Strategi 1: 24 55 24 45= 1.320 1.080 = 2.400 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif 24 55 24 45= 24 (55 45) = 24 100 = 2.400 b. Strategi 1: 7 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika a b a c Sifat Distributif (Penyebaran) Perkalian Terhadap Pengurangan Untuk semua bilangan cacah a, b, dan c berlaku hubungan a ( b c) a b a c atau ( b c) a b a c a.
18 105 = 1.890 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif 18 105 = 18 (100 5) = 18 100 18 5 = 1.800 90 = 1.890 c. Strategi 1: 76 97 56 97 = 7.372 5.432 = 1.940 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif 76 97 56 97 = 97 (76 56) = 97 20 = 1.940 d. Strategi 1: 564 99= 55.836 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif 564 99= 564 (100 1) = 564 100 564 1 = 56.400 564 = 55.836 4. Operasi Pembagian 1) Pengertian Operasi Pembagian pada Bilangan Cacah Operasi pembagian adalah operasi kebalikan (invers) dari operasi perkalian. Pernyataan 28 : 4 = 7 sama artinya dengan 4 7 = 28 atau ditulis 28 : 4 = 7 4 7 = 28. Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah sebarang, maka a : b = c a = b c. 8 : 4 = 2 8 = 4 2 216 : 36 = 6 216 = 36 6 Operasi pembagian pada suatu bilangan dapat dilakukan dengan strategi bersusun berekor dan strategi bersusun pendek. Hitunglah a. 1.296 : 8 b. 21.504 : 24 a. Strategi Bersusun Berekor: Langkah 1: 1296 : 8 = 100 sisa 496, tulis 100 pada tempat hasil pembagian. Langkah 2: 8 100 = 800, tulis 800 di bawah 1296, sehingga 1296 800 = 496. Langkah 3: 496 : 8 = 60 sisa 16, tulis 60 pada tempat hasil pembagian. 0 Langkah 4: 8 60 = 480, tulis 480 di bawah 496, sehingga 496 480 = 16. Langkah 5: 16 : 8 = 2, tulis 2 pada tempat hasil pembagian. Langkah 6: 8 2 = 16, tulis 16 di bawah 16, sehingga 16 16 = 0. Langkah 7: Jumlahkan hasil pembagiannya, 100 60 2 = 162. Jadi, 1.296 : 8 = 162 Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 12 : 8 = 1 sisa 4, tulis 1 ditempat hasil pembagian. Langkah 2: 8 1 = 8, tulis 8 di bawah 12, sehingga 12 8 = 4. Langkah 3: Turunkan 9 sejajar 4, sehingga menjadi 49. Langkah 4: 49 : 8 = 6 sisa 1, tulis 6 ditempat hasil pembagian. Langkah 5: 8 6 = 48, tulis 48 di bawah 49, sehingga 49 48 = 1. Langkah 6: Turunkan 6 sejajar 1, sehingga menjadi 16. Langkah 7: 16 : 8 = 2, tulis 2 ditempat hasil pembagian. Langkah 8: 8 2 = 16, tulis 16 di bawah 16, sehingga 16 16 = 0. Jadi, 1.296 : 8 = 162. 8 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika 100 60 2 = 162 8 1296 800 496 480 16 16 162 8 1296 8 49 48 16 16 0
b. Strategi Bersusun Berekor: Langkah 1: 21504 : 24 = 800 sisa 2304, tulis 800 pada tempat hasil pembagian. Langkah 2: 24 800 = 19200, tulis 19200 di bawah 21504, sehingga 21504 19200 = 2304. Langkah 3: 2304 : 24 = 90 sisa 144, tulis 90 pada tempat hasil pembagian. 0 Langkah 4: 24 90 = 2160, tulis 2160 di bawah 2304, sehingga 2304 2160 = 144. Langkah 5: 144 : 24 = 6, tulis 6 pada tempat hasil pembagian. Langkah 6: 24 6 = 144, tulis 144 di bawah 144, sehingga 144 144 = 0. Langkah 7: Jumlahkan hasil pembagiannya, 800 90 6 = 896. Jadi, 21.504 : 24 = 896. Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 215 : 24 = 8 sisa 23, tulis 8 ditempat hasil pembagian. Langkah 2: 24 8 = 192, tulis 192 di bawah 215, sehingga 215 192 = 23. Langkah 3: Turunkan 0 sejajar 23, sehingga menjadi 230. Langkah 4: 230 : 24 = 9 sisa 14, tulis 9 ditempat hasil pembagian. Langkah 5: 24 9 = 216, tulis 216 di bawah 230, sehingga 230 216 = 14. Langkah 6: Turunkan 4 sejajar 14, sehingga menjadi 144. Langkah 7: 144 : 24 = 6, tulis 6 ditempat hasil pembagian. Langkah 8: 24 6 = 144, tulis 144 di bawah 144, sehingga 144 144 = 0. Jadi, 21.504 : 24 = 896. 2) Sifat-sifat Operasi Pembagian 1. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat ketertutupan (ketunggalan) Jika a, b C (C adalah himpunan bilangan cacah), maka a : b belum tentu bilangan cacah. a. 12 : 4 = 3 (12, 4, dan 3 adalah bilangan-bilangan cacah). b. 12 : 5 = 2 2 = 2,4 (12 dan 5 adalah bilangan cacah tetapi 5 bilangan cacah) 2. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif. 1. a : b b : a (tidak komutatif) 1 6 : 2 = 3 dan 2 : 6 = 3 Jelaslah bahwa 6 : 2 2 : 6. Jadi, dalam operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif. 2. ( a : b) : c a : ( b : c) (tidak asosiatif) 1 (36 : 4) : 2 = 9 : 2 = 4 dan 36 : (4 : 2) = 36 : 2 = 18 2 Jelaslah bahwa (36 : 4) : 2 36 : (4 : 2). 9 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika 800 90 6 = 896 24 21504 19200 2304 2160 144 144 896 24 21504 192 230 216 144 144 0 2 2 atau 2,4 jelas bukan 5
Jadi, dalam operasi pembagian tidak berlaku sifat asosiatif. 3. Sifat Distributif pada Operasi Pembagian Untuk a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah dengan c 0, berlaku: 1. ( a b) : c a : c b : c (sifat distributif kanan pembagian terhadap penjumlahan). 2. ( a b) : c a : c b : c (sifat distributif kanan pembagian terhadap pengurangan). Hitunglah a. 1.050 : 75 b. 2.700 : 6 a. Strategi 1: 1.050 : 75 = 14 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif kanan pembagian terhadap penjumlahan) 1.050 : 75 = (750 300) : 75 = 750 : 75 300 : 75 = 10 4 = 14 b. Strategi 1: 2.700 : 6 = 450 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif kanan pembagian terhadap pengurangan) 2.700 : 6 = (3.000 300) : 6 = 3.000 : 6 300 : 6 = 500 50 = 450 4. Sifat Bilangan Nol Untuk sebarang bilangan cacah a, dengan a 0, berlaku 0 : a = 0, karena 0 : a = 0 a 0 = 0. 0 : 7 = 0 0 : 108 = 0 Untuk sebarang bilangan cacah a, dengan a 0, berlaku a : 0 = tidak didefinisikan. 9 : 0 = tidak didefinisikan 47 : 0 = tidak didefinisikan Dalam kasus a = 0, maka 0 : 0 = tidak tentu. 5. Sifat Bilangan 1 Untuk sebarang bilangan a kecuali 0, a : a = 1, karena a : a = 1 a 1 = a. Suatu bilangan (kecuali 0) dibagi dengan dirinya sendiri, hasilnya adalah 1. Untuk sebarang bilangan a kecuali 0, ada sebarang bilangan yang dinamakan kebalikan dari a 1 a 1 (invers terhadap perkalian dari a) yang dinyatakan dengan, sehingga a 1. a a a c. Kelipatan dan Faktor 1. Kelipatan Suatu Bilangan Cacah Jika a adalah suatu bilangan, maka kelipatan a adalah hasil kali a dengan setiap anggota bilangan cacah. Tentukan kelipatan 2, 3, dan 5. Kelipatan 2 adalah 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, = 0, 2, 4, 6, 8, 10, Kelipatan 3 adalah 3 0, 3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, = 0, 3, 6, 9, 12, 15, Kelipatan 5 adalah 5 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 5, = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 2. Kelipatan Persekutuan Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari dua bilangan cacah atau lebih. Tentukan kelipatan dari petiap pasangan bilangan berikut ini. 10 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a. 2 dan 3 b. 2 dan 5 c. 3 dan 5. a. Kelipatan 2 dan 3 adalah 0, 6, 12, 18, 24, b. Kelipatan 2 dan 5 adalah 0, 10, 20, 30, 40, 50, c. Kelipatan 3 dan 5 adalah 0, 15, 30, 45, 60, 75, 3. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Kelipatan persekutuan terkecil (disingkat KPK) dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan asli terkecil yang merupakan anggota himpunan kelipatan persekutuan antara bilanganbilangan tersebut. Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari setiap bilangan berikut ini. a. 3 dan 5 b. 6, 8, dan 12 a. Kelipatan 3 adalah 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, Kelipatan 5 adalah 0, 5, 10, 15, 20, 25, Kelipatan 3 dan 5 adalah 0, 15, 30, 45, 60, Jadi, KPK dari 3 dan 5 adalah 15. b. Kelipatan 6 adalah 0, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, Kelipatan 8 adalah 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, Kelipatan 12 adalah 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, Kelipatan 6, 8, dan 12 adalah 0, 24, 48, 72, Jadi, KPK dari 6, 8, dan 12 adalah 24. 4. Faktor Suatu Bilangan Setiap bilangan cacah dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua buah bilangan cacah atau lebih. a. 5 = 1 5 c. 6 = 1 6 = 2 3 b. 4 = 1 4 = 2 2 d. 12 = 1 12 = 2 6 = 3 4 Bilangan-bilangan dalam bentuk perkalian dari contoh di atas dinamakan factor, sehingga dapat dikemukakan bahwa: a. Faktor-faktor dari 5 adalah 1 dan 5. b. Faktor-faktor dari 4 adalah 1, 2, dan 4. c. Faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. d. Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Dari uraian di atas kita dapat menyimpulkan bahwa faktor-faktor suatu bilangan adalah pembagi yang habis membagi bilangan itu. 5. Faktor Persekutuan Dua Bilangan Cacah Faktor persekutuan dua bilangan cacah adalah bilangan-bilangan yang sama dapat membagi dua bilangan cacah itu. Carilah faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18. Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan12. Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. Jadi, faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6. 6. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan cacah atau lebih adalah bilangan yang paling besar yang dapat membagi habis bilangan-bilangan cacah tersebut. Carilah FPB dari bilangan-bilangan berikut ini. 11 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a. 12 dan 18 b. 36, 48, dan 72 a. Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. Faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6. Dari faktor-faktor ini 6 adalah bilangan yang terbesar. Jadi, FPB dari 12 dan 18 adalah 6. b. Faktor-faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, dan 36. Faktor-faktor dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, dan 48. Faktor-faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72. Faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Dari faktor- faktor ini 12 adalah bilangan yang terbesar. Jadi, FPB dari 36, 48, dan 72 adalah 12. 7. Menentukan KPK dan FPB dengan Faktor Prima b. Menentukan KPK dengan Faktor Prima KPK dari dua atau lebih bilangan cacah yang bukan nol adalah hasil kali semua faktor prima yang terdapat pada bilangan-bilangan tersebut. Bila ada faktor prima yang sama, maka yang diambil adalah faktor prima yang jumlah kemunculannya paling banyak. Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari setiap bilangan berikut ini. a. 14 dan 24 b. 6, 8, dan 12 c. 28, 48, 72, dan 240 a. 14 = 2 7 24 = 2 3 3 Jadi, KPK dari 14 dan 24 adalah 2 3 3 7 = 168. b. 6 = 2 3 8 = 2 3 12 = 2 2 3 Jadi, KPK dari 6, 8, dan 12 adalah 2 3 3 = 24. c. 28 = 2 2 7 48 = 2 4 3 72 = 2 3 3 2 240 = 2 4 3 5 Jadi, KPK dari 28, 48, 72, dan 240 adalah 2 4 3 2 5 7 = 5.040. b. Menentukan FPB dengan Faktor Prima FPB dari dua atau lebih bilangan cacah yang bukan nol adalah hasil kali semua faktor prima persekutuan yang terdapat pada bilangan-bilangan tersebut. Bila ada faktor prima yang sama, maka yang diambil adalah faktor prima yang jumlah kemunculannya paling sedikit. Tentukan kelipatan persekutuan terbesar (FPB) dari setiap bilangan berikut ini. a. 48 dan 60 b. 196, 84, dan 504 c. 72, 108, 225, dan 288 a. 48 = 2 4 3 60 = 2 2 3 5 Jadi, FPB dari 48 dan 60 adalah 2 2 3 = 12. b. 196 = 2 2 7 2 84 = 2 2 3 7 12 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
504 = 2 3 3 2 7 Jadi, FPB dari 196, 84, dan 504 adalah 2 2 7 = 28. c. 72 = 2 3 3 2 108 = 2 2 3 3 225 = 3 2 5 2 288 = 2 5 3 2 Jadi, FPB dari 72, 108, 225, dan 228 adalah 3 2 = 9. 13 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika