Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua (kedua titik tersebut berlaku untuk titik-titik pada ruang berdimensi n). Definisi Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S, dan misalkan p 0 adalah sebuah titik di S. 1 f (p 0 ) adalah nilai maksimum global dari f di S jika f (p 0 ) f (p) untuk seluruh p di S. 2 f (p 0 ) adalah nilai minimum global dari f di S jika f (p 0 ) f (p) untuk seluruh p di S. 3 f (p 0 ) adalah nilai ekstrem global dari f di S jika f (p 0 ) bukan maksimum global dan bukan minimum global.
Titik Kritis
Titik Kritis Teorema A Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.
Titik Kritis Titik Kritis Titik kritis dari f di S ada tiga jenis 1 Titik batas 2 Titik stasioner. Kita menyebut p 0 titik stasioner jika f (p 0 ) adalah sebuah titik dalam di S di mana f dapat didiferensialkan dan f (p 0 )= 0. Di titik tersebut, suatu bidang singgung akan horizontal. 3 Titik tunggal/singular. Kita menyebut p 0 sebagai titik singular jika p 0 adalah sebuah titik dalam di S di mana f tidak dapat didiferensialkan, misalnya, sebuah titik di mana grafik dari f mempunyai sebuah sudut lancip.
Titik Kritis Teorema B Teorema Titik Kritis Misalkan f didefinisikan pada sebuah himpunan S yang mengandung p 0. Jika f (p 0 ) adalah sebuah nilai ekstrem, maka p 0 harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu p 0 adalah (i.) sebuah titik batas di S, atau (ii.) sebuah titik stasioner dari f, atau (iii.) sebuah titik singular dari f
Contoh 1 Titik Kritis Tentukan nilai maksimum atau minimum dari f (x, y) = x 2 2x + y 2 4. Penyelesaian: Fungsi tersebut dapat didiferensialkan di seluruh daerah asalnya, yaitu bidang xy. Sehingga satu-satunya titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan menetapkan f x (x, y) dan f y (x, y) sama dengan nol. Tetapi f x (x, y) = 2x 2 dan f y (x, y) = y 2 bernilai nol hanya ketika x = 1 dan y = 0. Perhatikan bahwa f (1, 0) = 1, dan f (x, y) = x 2 2x + y 2 4 = x 2 2x + 1 + y 2 4 1 = (x 1) 2 + y 2 4 1 1 Jadi, f (1, 0) sebenarnya adalah sebuah nilai minimum global untuk f.
Contoh 2 Titik Kritis Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal untuk f (x, y) = x2 + y 2. a 2 b 2 Penyelesaian: Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menetapkan f x (x, y) = 2x dan f a 2 y (x, y) = 2y sama dengan nol. Persyaratan b 2 ini menghasilkan titik (0, 0), yang tidak memberikan nilai maksimum atau minimum. Titik ini disebut titik pelana. Fungsi tersebut tidak mempunyai titik ekstrem lokal.
Syarat Cukup untuk Titik Ekstrem Teorema C Uji Parsial Kedua Titik Kritis Andaikan f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalam lingkungan (x 0, y 0 ) dan f (x 0, y 0 ) = 0. Misalkan Maka D = D(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 )f yy (x 0, y 0 ) f 2 xy(x 0, y 0 ) (i.) jika D > 0 dan f xx (x 0, y 0 ) < 0, f (x 0, y 0 ) adalah sebuah nilai maksimum lokal, (ii.) jika D > 0 dan f xx (x 0, y 0 ) > 0, f (x 0, y 0 ) adalah sebuah nilai minimum lokal, (iii.) jika D < 0, f (x 0, y 0 ) bukan sebuah nilai ekstrem ((x 0, y 0 ) adalah sebuah titik pelana), (iv.) jika D = 0, uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat disimpulkan.
Contoh 3 Titik Kritis Tentukan titik ekstrem, jika ada, dari fungsi F yang didefinisikan dengan F (x, y) = 3x 3 + y 2 9x + 4y. Penyelesaian: Titik-titik kritis F x (x, y) = 9x 2 9 0 = 9(x 2 1) 0 = 9(x 1)(x + 1) x = 1 atau x = 1 F y (x, y) = 2y + 4 0 = 2y + 4 4 = 2y y = 2 titik-titik kritisnya adalah (1, 2) dan ( 1, 2)
Titik Kritis Selanjutnya F xx (x, y) = 18x, F yy (x, y) = 2, dan F xy (x, y) = 0 Di titik kritis (1, 2) D = F xx (1, 2) F yy (1, 2) F 2 xy(1, 2) = 18(2) 0 = 36 > 0 dan F xx (1, 2) = 18 > 0, sehingga F (1, 2) = 10 adalah sebuah minimum lokal dari F. Di titik kritis ( 1, 2) D = F xx ( 1, 2) F yy ( 1, 2) F 2 xy( 1, 2) = 18(2) 0 = 36 < maka ( 1, 2) adalah sebuah titik pelana dan F ( 1, 2) = 2 bukan sebuah nilai ekstrim.
Contoh 4 Titik Kritis Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f (x, y) = 2 + x 2 + y 2 pada himpunan tertutup S = { (x, y) : x 2 + 1 4 y 2 1 }. Penyelesaian: Karena f x (x, y) = 2x dan f y (x, y) = 2y, maka titik stasionernya adalah titik (0, 0) dan D(0, 0) = f xx (0, 0)f yy (0, 0) f 2 xy(0, 0) = 2 2 0 = 4 > 0 dan f xx (0, 0) = 2 > 0 maka f (0, 0) = 2 adalah nilai minimum.
Titik Kritis Nilai maksimum global akan terjadi di batas dari himpunan S. Kita dapat menguraikan secara parametrik batas S dengan x = cos t, y = 2 sin t, 0leqt 2π Masalah optimasi kemudian dapat disederhanakan menjadi optimasi dengan fungsi satu peubah g(t) = f (cos t, 2 sin t), 0 t 2π Berdasarkan Aturan Rantai g (t) = f dx x dt + f dy y dt = 2x( sin t) + 2y(2 cos t) = 2 sin t cos t + 8 sin t cos t = 6 sin t cos t = 3 sin 2t
Titik Kritis dengan menetapkan g (t) = 0 dihasilkan t = 0, π 2, π, 3π 2, dan 2π. Jadi g mempunyai lima titik kritis di [0, 2π] yaitu (1, 0), (0, 2), ( 1, 0), (0, 2), dan (1, 0) untuk f ; titik yang terakhir akan sama dengan yang pertama karena sudut 2π menghasilkan titik yang sama dengan sudut 0 o. Maka nilai-nilai f yang bersesuaian f (1, 0) = 3 f (0, 2) = 6 f ( 1, 0) = 3 f (0, 2) = 6 Di titik kritis bagian dalam S kita mempunyai f (0, 0) = 2. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan bahwa nilai minimum f di S adalah 2 dan nilai maksimumnya adalah 6.
Teorema A Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f (p) yang dikenai kendala g(p) = 0, selesaikan sistem persamaan f (p) = λ g(p) dan g(p) = 0 untuk p dan λ. Setiap titik p seperti ini adalah sebuah titik kritis untuk soal ekstrem terkendala, dan λ yang bersesuaian dengan itu disebut pengali Lagrange.
Contoh 5 Berapakah luas terbesar yang dimiliki sebuah persegi panjang jika panjang diagonalnya adlaah 2? Penyelesaian:
Jadi, kita merumuskan masalah memaksimumkan f (x, y) = xy dengan g(x, y) = x 2 + y 2 4 = 0. Gradien-gradien yang bersesuaian adalah f (x, y) = f x (x, y)i + f y (x, y)j = yi + xj g(x, y) = g x (x, y)i + g y (x, y)j = 2xi + 2yj Sehingga persamaan Lagrange menjadi y = λ(2x) x = λ(2y) x 2 + y 2 = 4 Kalikan persamaan pertama dengan y dan persamaan kedua dengan x sehingga diperoleh y 2 = 2λxy dan x 2 = 2λxy. Artinya y 2 = x 2 (1)
Dari (3) dan (4) diperoleh x = 2 dan y = 2. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke (1), maka diperoleh λ = 1 2. Kita dapat menyimpulkan bahwa persegi panjang dengan luas terbesar dengan diagonal 2 adalah bujur sangkar dengan panjang sisi 2, luasnya adalah 2.
Contoh 6 Gunakan metode Lagrange untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari f (x, y) = y 2 x 2 pada elips x2 4 + y 2 = 1. Penyelesaian: Kita dapat menuliskan kendala sebagai g(x, y) = x 2 + 4y 2 4 = 0, maka f (x, y) = 2xi + 2yj g(x, y) = 2xi + 8yj Persamaan-persamaan Lagrangenya adalah 2x = λ2x (2) 2y = λ8y (3) x 2 + 4y 2 = 4 (4)
Perhatikan dari persamaan (3) bahwa x dan y tidak dapat bernilai 0. Jika x 0, persamaan (1) menghasilkan λ = 1, sehingga diperoleh y = 0 dan x = ±2. Jadi kita memperoleh titik-titik kritis (±2, 0). Jika y 0, maka akan menghasilkan λ = 1 4, sehingga diperoleh x = 0 dan y = ±1. Jadi kita peroleh titik-titik kritis (0, ±1). Selanjutnya, untuk f (x, y) = y 2 x 2 f (2, 0) = 4 f ( 2, 0) = 4 f (0, 1) = 1 f (0, 1) = 1 Jadi nilai minimum dari f (x, y) adalah -4, dan nilai maksimumnya adalah 1.
Fungsi dengan Lebih dari Satu Kendala Jika lebih dari satu kendala dikenakan pada peubah-peubah dari sebuah fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan, maka digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala). Contohnya, jika kita mencari nilai ekstrem dari fungsi f dengan tiga peubah yang dikenai dua kendala g(x, y, z) = 0 dan h(x, y, z) = 0, kita dapat menyelesaikan persamaan-persamaan f (x, y, z) = λ g(x, y, z) + µ h(x, y, z) g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0 untuk x, y, z, λ, dan µ, di mana λ dan µ adalah pengali-pengali Lagrange.
Ini ekuivalen dengan penentuan solusi dari sistem yang terdiri dari lima persamaan simultan dengan peubah-peubah x, y, z, λ, dan µ f x (x, y, z) = λg x (x, y, z) + µh x (x, y, z) f y (x, y, z) = λg y (x, y, z) + µh y (x, y, z) f z (x, y, z) = λg z (x, y, z) + µh z (x, y, z) g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0 Dari solusi sistem ini, kita memperoleh titik-titik kritis.
Contoh 6 Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f (x, y, z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongan dari silinder x 2 + y 2 = 2 dan bidang y + z = 1. Penyelesaian:
Kita akan memaksimumkan dan meminimumkan f (x, y, z) dengan kendala g(x, y, z) = x 2 + y 2 2 = 0 dan h(x, y, z) = y + z 1 = 0. Persamaan-persamaan Lagrangenya adalah 1 = 2λx 3 = 2λy + µ 3 = µ x 2 + y 2 2 = 0 y + z 1 = 0 Dari (1) diperoleh x = 1 2 λ, dari (2) dan (3) diperoleh y = 1 2 λ. Jadi dari (4), ( 1 2 λ) 2 ( + 1 2 λ) 2 = 2, yang menghasilkan λ = ± 1 2. Solusi λ = 1 2 menghasilkan titik kritis (x, y, z) = (1, 1, 2) dan λ = 1 2 menghasilkan titik kritis (x, y, z) = ( 1, 1, 0). Maka diperoleh f (1, 1, 2) = 5 adalah nilai maksimum dan f ( 1, 1, 0) adalah nilai minimum.
1. Tentukan seluruh titik kritisnya dan nyatakan apakah setiap titik tersebut memberikan nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal atau merupakan titik pelana (gunakan Teorema C). a. f (x, y) = xy + 2 x + 4 y b. f (x, y) = e (x 2 +y 2 4y) 2. Tentukan nilai maksimum global dan nilai minimum global dari f di S dan nyatakan di mana nilai-nilai tersebut terjadi a. f (x, y) = x 2 + y 2 ; S = {(x, y) : x 2 + y 2 1} b. f (x, y) = x 2 6x + y 2 8y + 7; S = {(x, y) : x 2 + y 2 1}.
3. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f (x, y) = x 2 + 4y 2 2x + 8y 1. 4. Tentukan semua titik ekstrem dan jenisnya dari fungsi f (x, y) = x 2 y 2 + 1 pada cakram x 2 + y 2 1. 5. Tentukan ukuran kotak dengan volume terbesar yang dapat termuat dalam bola x 2 + y 2 + z 2 = 3.