BILANGAN-BILANGAN YANG MENAKUTKAN Sumardyono, M.Pd. Teori bilangan merupakan salah satu cabang matematika yang paling mengasyikkan. Mengapa tidak? Kebanyakan teka-teki atau permainan banyak terkait dengan bilangan. Permainan matematika yang terkenal dan sudah sejak lama ada antara lain bujursangkar ajaib, serta beberapa terapan deret dan kombinatorika. Selain banyak bersinggungan dengan permainan dan teka-teki matematika, teori bilangan juga menyuguhkan keajaiban lain berupa masalah atau soal-soal yang belum terpecahkan (unsolved problem). Untuk Sumber: http://www.grinningplanet.com menyebut beberapa yang terkenal dan bertahan lama, antara lain Dugaan Prima Kembar (twin prime conjucture), serta masalah Collatz (Collatz problem). Pada artikel kali ini, penulis ingin memperkenalkan rekreasi matematika terkait bilangan, yaitu beberapa bilangan yang dinamakan dengan nama-nama yang menakutkan. Walau agak kontradiktif dengan sifat nama-nama yang diberikan, namun penelaahan jenis bilangan tersebut merupakan suatu kegiatan rekreasi yang cukup mengasyikkan. Berikut ini beberapa jenis bilangan yang diberi nama dengan nama yang mewakili sifat jahat atau sesuatu yang menakutkan. 1. Beast number, 666 Bilangan 666 di kalangan matematikawan dikenal dengan nama Beast Number atau Bilangan Jahanam. Kata beast juga berarti binatang buas. Bilangan ini kadang juga disebut tanda syaitan atau iblis. Dan yang jelas, asal-usul penamaan 666 sebagai bilangan yang mewakili iblis ini, berkaitan dengan munculkan bilangan tersebut dalam kitab Injil ketika berbicara mengenai iblis.
Penelaahan sifat-sifat bilangan 666 telah secara intensif dilakukan oleh matematikawan. Periksalah kebenaran beberapa sifat menarik berikut ini. Bilangan ini sama dengan jumlah kuadrat dari 7 bilangan prima pertama. 2 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 11 2 + 13 2 + 17 2 = 666 Jumlah bilangan asli hingga 6 6 sama dengan 666 6 6 i = 1 i = 1+ 2 + 3 +... + 36 = 666 Jumlah bilangan genap bergantian tanda hingga 666 suku adalah 666. 666 2 i = 1 n ( 1) n = 2 + 4 6 + 8... + 1332 = 666 Suatu bentuk deret sederhana 1 6 2 6 + 3 6 = 666 Tepat satu cara menyisipkan tanda + pada 987654321 agar jumlahnya 666 9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666 Tepat dua cara menyisipkan tanda + pada 123456789 agar jumlahnya 666 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666 123 + 456 + 78 + 9 = 666 Jumlah angka-angka faktor prima dari 666 sama dengan jumlah angka-angka 666. 666 = 2 3 3 37 2 + 3 + 3 + 3 + 7 = 6 + 6 + 6 Bilangan yang sifatnya seperti di atas dinamakan Bilangan Smith. Banyak bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan 666 yang relatif prima dengan 666 (yaitu FPB-nya 1) adalah 6 6 6. Bilangan 1 dianggap relatif prima terhadap semua bilangan bulat positif. Fungsi yang menyatakan banyak bulat positif kurang dari atau sama dengan n yang relatif prima dengan n dinamakan fungsi Totient Euler, φ(n). Jadi, φ(666) = 6 6 6. Tepat ada 6 angka 6 dari bentuk desimal bilangan 666 6. 2. Evil number Evil numbers atau bilangan jahat merupakan salah satu jenis bilangan turunan dari bilangan Jahanam.
Suatu bilangan real termasuk Bilangan Jahat (evil number) jika jumlah n angka setelah tanda koma pada bentuk desimalnya mencapai 666. Sebagai contoh, bilangan karena jumlah 144 angka di belakang koma hasilnya 666.,termasuk bilangan jahat Jelas untuk 2 bilangan real berbeda mungkin banyak angkanya (yaitu n) tidak sama. Jelas pula semua bilangan bulat bukan bilangan Jahat. Berikut ini beberapa bilangan real lain yang termasuk bilangan Jahat. Pecahan emas, golden ratio, φ = 1,6180339887498... (146 angka) π 163 Konstanta Ramanujan, e = 262537412640768743,9999999999992500... (dengan 12 angka 9 setelah tanda koma). (132 angka) Bilangan 3 = 1,732050807568877293527446341505... (145 angka) Bilangan 6 = 2,449489742783178098197284074705... (139 angka) Bilangan 5 3 = 1,245730939615517325966680336640... (140 angka) Sementara bilangan jahat yang memuat bilangan Jahanam dan bilangan π, antara lain: o cos (666) dalam radian (146 angka) o π 666 (142 angka) o 666 (159 angka) 3. Vampire number Bilangan Vampir adalah bilangan bulat dengan banyak angka genap, 2n, yang memiliki sifat sebagai hasil kali dari dua bilangan dengan n angka dari angka-angka yang menyusun bilangan Vampire tsb. Urutan angka pada kedua bilangan tidak diperhatikan. Kedua bilangan tersebut dinamakan fangs atau taring bilangan Vampir yang bersesuaian. Bilangan Vampir 2 angka jelas tidak ada. Mengapa? Berikut ini beberapa bilangan Vampir 4 angka: 1260, 1395, 1435, 1530, 1827, dan 6880. 1260 = 21 60 1395 = 15 93 1435 = 35 41 1530 = 30 51 1827 = 21 81
6880 = 80 86 Tepat hanya ada 7 bilangan Vampire dengan 4 angka. Bilangan Vampir dengan 6 angka ada sebanyak 148 buah, salah satunya 125460. Pengulangan angka nol pada bagian kiri tidak diperkenankan. Misalnya 126000 = 210 600. Demikian sedikit wawasan mengenai beberapa jenis bilangan yang menarik untuk dikaji sebagai rekreasi matematika, dan merangsang kemampuan berpikir matematis secara menyenangkan pula. Namun tentu saja, jika tema ini akan dibawa ke kelas matematika, sebaiknya siswa diperbolehkan untuk menggunakan kalkulator atau bahkan program komputer sederhana (misalnya Ms. Excel). Untuk mendapatkan nilai-nilai dengan ketelitian yang tinggi, Anda dapat mengakses situs www.wolframalpha.com. Sebagai contoh, untuk mendapatkan nilai dengan ketelitian 150 angka di belakang koma, ketikkan perintah: pi to 150 digits pada tempat yang disediakan kemudian tekan enter. Daftar Bacaan dan Pustaka Hudson, Mark and Weisstein, Eric W. 2013. "Evil Number." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/evilnumber.html (diakses Februari 2013) Keith, M. 2013. "The Number of the Beast." dalam http://users.aol.com/s6sj7gt/mike666.htm (diakses Februari 2013)
Pegg, E. Jr. and Lomont, C. 2004. "Math Games: Evil Numbers." Oct. 4, 2004. dalam http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_04_04.html. Weisstein, Eric W. "Beast Number." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/beastnumber.html (diakses Februari 2013) Weisstein, Eric W. 2013. "Vampire Number." MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam http://mathworld.wolfram.com/vampirenumber.html (diakses Februari 2013)