DISEKSI PERSEGI (yang) SEMPURNA
|
|
- Hendri Darmadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 DISEKSI PERSEGI (yang) SEMPURNA Sumardyono, M.Pd. Diseksi atau dissection adalah istilah matematis untuk operasi atau kegiatan memotong-motong suatu bangun datar menurut syarat-syarat tertentu. Masalah diseksi yang terkenal dan menjadi cikal bakal berkembangnya topik ini adalah puzzle atau teka-teki memotong-motong suatu bangun datar sedemikian hingga seluruh potongan yang ada dapat disusun kembali membentuk bangun datar yang lain. Puzzle Diseksi dari Dudeney ( ) Sumber: Salah satu masalah diseksi yang berguna adalah diseksi suatu persegi pada sisi miring suatu segitiga siku-siku menjadi dua persegi pada sisi-sisi penyiku segitiga. Tentu masalah ini terkait erat dengan pembuktian Teorema Pythagoras. Contoh pembuktian Teorema Pythagoras lewat diseksi Sumber: Pythagorean_proof_(1).svg.png
2 Dalam artikel kali ini, penulis ingin membahas suatu masalah diseksi yang khusus pula, yaitu diseksi persegi yang sempurna. Diberikan suatu persegi, maka tujuannya adalah memotong-motong persegi tersebut menjadi sejumlah berhingga persegi lain yang semuanya berbeda ukuran. Tampaknya masalah geometri di atas ekuivalen dengan masalah aritmetika: menyatakan sebuah bilangan kuadrat ke dalam penjumlahan beberapa bilangan kuadrat. Namun jika pun masalah aritmetika tersebut dapat kita selesaikan tidak berarti masalah diseksi persegi yang sempurna itu terpecahkan. Contoh. Jelas bahwa 13 2 = Tetapi jelas pula bahwa persegi 5 2 dan persegi 12 2 tidak dapat disusun membentuk persegi 13 2 tanpa memotong-memotong kembali kedua persegi tersebut. Masalah diseksi persegi mungkin pertama kali muncul sekitar tahun Henry Dudeney tahun 1902 dalam teka-teki yang diberi nama Lady Isabel`s Castel terkait diseksi sebuah persegi menjadi beberapa persegi berbeda ukuran dan sebuah persegipanjang. Teka-teki ini muncul dalam Strand Magazine Januari 1902, halaman 584. Juga muncul dalam buku Canterbury Puzzles tahun Masalah diseksi persegi yang sempurna termasuk masalah yang cukup sulit, bahkan matematikawan, Lusin, pernah beranggapan bahwa masalah tersebut tidak mungkin dipecahkan. Beberapa matematikawan berhasil mengkonstruksi persegipanjang yang sempurna, sebagai masalah diseksi sejenis yang lebih mudah. Berikut beberapa hasil untuk persegipanjang. Sumber: Persegipanjang sempurna ukuran yang terdiri dari 9 persegi di atas ditemukan oleh Moron tahun Reichert dan Toepkin tahun 1940 membuktikan bahwa sebuah persegipanjang tidak dapat dipotong menjadi kurang dari 9 buah persegi berbeda. Berikut ini salah satu contoh diseksi persegi yang sempurna, dengan orde 24 (artinya terdiri dari 24 persegi) yang ditemukan oleh Willcocks tahun 1948.
3 Namun persegi sempurna di atas termasuk apa yang disebut compound (campuran) karena terdapat subset persegi yang membentuk suatu persegipanjang. Perhatikan bahwa persegi 55, 39, 16, 9, 14, 4, 5, 3, 1, 56, 18, 20, dan 38 membentuk suatu persegipanjang. Suatu persegi sempurna disebut sederhana bila tidak ada subset dari persegi-persegi yang dapat membentuk sebuah persegipanjang. Di bawah ini persegi sempurna orde 21 yang merupakan orde terkecil untuk persegi sempurna sederhana, yang ditemukan oleh Duijvestijn tahun Persegi sempurna orde-21 ini bersisi 112. Hanya ada satu buah persegi sempurna sederhana orde 21.
4 Terdapat sebuah cara pelambangan sederhana yang kadang disebut kode Bouwkamp yang dapat mendeskripsikan sebuah persegi sempurna. Caranya kelompokkan persegi yang paling atas dan paling kanan dengan semua persegi yang sisi atasnya sama, kemudian kelompokkan kembali persegi yang ada mulai dari yang paling kanan dan paling atas beserta semua persegi yang sama sisi atasnya, demikian seterusnya. Untuk persegi sempurna sederhana orde-21 di atas maka notasinya adalah [50,35,27], [8,19], [15,17,11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33].
5 Bauwkmp (kiri) dan Duijvestijn (kanan) Sumber: Untuk persegi sempurna sederhana orde 22 ada sebanyak 8 buah. Salah satunya dengan kode [60, 50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 18], [26], [4, 21, 3], [18], [17] disajikan di bawah ini. Salah satu persegi sempurna orde 23 disajikan di bawah ini dengan kode [80, 59], [21, 38], [26, 19, 15, 14, 27], [1, 13], [16], [18, 20], [7, 12], [33], [32, 8], [28], [24, 2], [22]. Total ada sebanyak 12 persegi sempurna sederhana orde 23.
6 Total ada sebanyak 26 persegi sempurna sederhana orde 24. Salah satu persegi sempurna orde 24 disajikan di bawah ini dengan kode [47,32,41], [15,17], [8,33], [19,20,23], [25], [14,5], [4,13,3], [10,16], [9], [12,46], [40,6], [34]. Banyak persegi sempurna sederhana dengan orde-n, n 21 adalah 1, 8, 12, 26, 160, 441, 1152, 3001, 7901,... (barisan A006983, Sloane). Skinner tahun 1993 memberikan barisan panjang sisi terkecil persegi sempurna sederhana, yaitu 110, 112, 120, 139, 140,.... Juga barisan banyak persegi paling sedikit untuk tiap persegi sempurna sederhana di atas berturut-turut: 22, 21, 24, 22, 23,... Hanya ada 3 persegi sempurna sederhana dengan panjang sisi 110 yaitu:
7 [60, 50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 28], [26], [4, 21, 3], [18], [17] (orde 22; ditemukan oleh A. J. W. Duijvestijn); [60, 50], [27, 23], [24, 22, 14], [4, 19], [8, 6], [3, 12, 16], [9], [2, 28], [26], [21], [1, 18], [17] (orde 22; ditemukan oleh T. H. Willcocks); dan [44, 29, 37], [21, 8], [13, 32], [28, 16], [15, 19], [12,4], [3, 1], [2, 14], [5], [10, 41], [38, 7], [31] (orde 23; ditemukan oleh A. J. W. Duijvestijn). Penelaahan persegi sempurna baik yang sederhana maupun yang campuran, kini telah banyak menggunakan teknologi super komputer. Sebagai contoh pada Oktober hingga NOpember 2012, Stuart Anderson menggunakan super komputer the Amazon EC12 untuk mendapatkan sebanyak 412 buah persegi sempurna campuran dengan orde 29. Salah satu manfaat menelaah tema ini di sekolah adalah untuk membangkitkan minat dan kesenangan dengan matematika. Persegi-persegi sempurna dapat dibuat menjadi sebuah alat peraga atau alat permainan dengan tugas menyusun kembali semua persegi untuk membentuk persegi yang lebih besar. Daftar Pustaka dan Bacaan Weisstein, Eric W. Perfect Square Dissection. MathWorld--A Wolfram Web Resource. dalam Bouwkamp, C.J, & Duijvestijn, A.J.W Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of order 21 through 25. Eindhoven: Eindhoven University of Technology. Anderson, S. Perfect Rectangles, Perfect Squares. dalam Sloane, N. J. A. and Plouffe, S The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press, 1995.
BILANGAN-BILANGAN YANG MENAKUTKAN
BILANGAN-BILANGAN YANG MENAKUTKAN Sumardyono, M.Pd. Teori bilangan merupakan salah satu cabang matematika yang paling mengasyikkan. Mengapa tidak? Kebanyakan teka-teki atau permainan banyak terkait dengan
Lebih terperinciPERILAKU NOL DAN TAK-HINGGA SERTA BENTUK TAK-TENTU
PERILAKU NOL DAN TAK-HINGGA SERTA BENTUK TAK-TENTU Sumardyono, M.Pd. A. PENDAHULUAN Aritmetika dimulai dari perhitungan bilangan asli yang masih sederhana. Kemudian berkembang dengan menggunakan bilangan
Lebih terperinciMATEMATIKA untuk SD dan MI Kelas III
Nurul Masitoch dkk. Gemar MATEMATIKA untuk SD dan MI Kelas III Nurul Masitoch Siti Mukaromah Zaenal Abidin Siti Julaeha Gemar MATEMATIKA untuk SD dan MI Kelas III 3 Unit 1 BILANGAN Standar Kompetensi Melakukan
Lebih terperinciPembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Interactive Applet Java Hinged Dissection
Wisnu Siwi Satiti. 2012. Web Based Lesson: Pythagorean Theorem 1 Pembuktian Teorema Pythagoras Menggunakan Interactive Applet Java Hinged Dissection Teorema Pythagoras adalah salah satu pokok bahasan yang
Lebih terperinciTEOREMA PYTHAGORAS. Contoh Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut
Teorema pythagoras berasal dari seorang matematikawan dari Yunani yang bernama Pythagoras, tetapi ada juga yang menyebutkan bahwa teorema pythagoras berasal dari Cina karena ada sebuah buku yang merupakan
Lebih terperinciPROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I. Mata Pelajaran : Matematika
PROGRAM PEMBELAJARAN KELAS VII SEMESTER I Mata Pelajaran : Matematika 191 PROGRAM SEMESTER TAHUN PELAJARAN 20 / 20 Nama Sekolah : Kelas/ Semester : VII/1 Mata Pelajaran : Matematika Aspek : BILANGAN Standar
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan dan perhitungan
Lebih terperinciGOOGOL DAN GOOGOLPLEX
GOOGOL DAN GOOGOLPLEX Sumardyono, M.Pd. Pengertian Terkadang untuk suatu kepentingan, kita perlu memberi nama untuk suatu bilangan tertentu. Contohnya bilangan hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan
Lebih terperinciKISI-KISI UJIAN SEKOLAH
KISI-KISI UJIAN SEKOLAH Matematika SEKOLAH MENENGAH PERTAMA DAERAH KHUSUS IBUKOTA (DKI) JAKARTA TAHUN PELAJARAN 2012-2013 KISI KISI PENULISAN SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2012-2013 Jenjang : SMP
Lebih terperinciPROGRAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH DASAR KELAS II SEMESTER 2
PROGRAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH DASAR KELAS II SEMESTER 2 1 PROGRAM SEMESTER Standar Kompetensi : 3. Melakukan perkalian dan pembagian bilangan sampai dua angka. Tema : Tempat Umum BILANGAN Kompetensi
Lebih terperinciTabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional
Rekap Nilai Ujian Nasional tahun 2011 Pada tahun 2011 rata-rata nilai matematika 7.31, nilai terendah 0.25, nilai tertinggi 10, dengan standar deviasi sebesar 1.57. Secara rinci perolehan nilai Ujian Nasional
Lebih terperinciSILABUS PEMBELAJARAN
SILABUS PEMBELAJARAN Sekolah :... Kelas : VIII (Delapan) Mata Pelajaran : Matematika Semester : I (satu) ALJABAR Standar : 1. Memahami bentuk aljabar, relasi,, dan persamaan garis lurus Indikator Kegiatan
Lebih terperincikombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara
Sistem Koordinat Cartesius.. Geometri Analitik Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. A. Pola Bilangan
BARISAN DAN DERET A. Pola Bilangan Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut: a. 1 2 3... b. 4 9 16... c. 31 40 21 30 16... Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan
Lebih terperinciMakALAH TEOREMA PYTHAGORAS
MakALAH TEOREMA PYTHAGORAS Makalah ini di susun untuk memenuhi tugas mata pelajaran Matematika Disusun oleh: SITI ZENAB KELAS : VIII-C MTS AL-ROHMAH TAHUN AJARAN 2016-2017 KATA PENGANTAR Alhamdulillah,
Lebih terperinciPEMBELAJARAN SEGIBANYAK BERATURAN DI SMP. Sumardyono, M.Pd.
PEMBELAJARAN SEGIBANYAK BERATURAN DI SMP Sumardyono, M.Pd. email: smrdyn2007@gmail.com Konsep segi-n beraturan dengan n suatu bilangan asli lebih dari empat tidak mendapat tempat khusus (secara eksplisit)
Lebih terperinciUKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI
UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinciBAB III MASALAH GEOMETRI DAN PEMECAHANNYA
BB III MSLH GEOMETRI N PEMECHNNY Menurut Posamentier dan Stepelmen (1986), masalah dalam geometri mencakup: 1. Membuktikan teorema atau berbagai akibat situasi geometri secara sistematis a. menggunakan
Lebih terperinciPada barisan bilangan 2, 7, 12, 17,., b = 7 2 = 12 7 = = 5. Pada barisan bilangan 3, 7, 11, 15,., b = 7 3 = 11 7 = = 4
Materi : Barisan Bilangan Perhatikan urutan bilangan-bilangan berikut ini a. 1, 5, 9, 13,. b. 15, 1, 9, 6,. c., 6, 18, 54,. d. 3, 16, 8, 4,. Tiap-tiap urutan di atas mempunyai aturan/pola tertentu, misalnya
Lebih terperinciARTIKEL. Bagaimana menentukan rumus pasangan Triple Phytagoras. Markaban Januari 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Bagaimana menentukan rumus pasangan Triple Phytagoras Markaban 19611151988031005 Januari 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperinciMASALAH PENGEPAKAN BANGUN DATAR
MASALAH PENGEPAKAN BANGUN DATAR Sumardyono, M.Pd. Maalah pengepakan (packing) adalah maalah meletakkan objek-objek yang aling beringgungan dengan cara tertentu dan di dalam uatu wadah dengan peifikai tertentu
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperinci41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)
41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan)
Outline (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan) Drs., M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciDAFTAR ISI. Halaman. Daftar Isi... BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Tujuan... 2 C. Ruang Lingkup... 2
i DAFTAR ISI Halaman Daftar Isi..... i BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang.... 1 B. Tujuan.... 2 C. Ruang Lingkup... 2 BAB II PENGERTIAN DAN FUNGSI ALAT PERAGA.. 3 A. Pengertian.... 3 B. Fungsi Alat
Lebih terperinciSMPIT AT TAQWA Beraqidah, Berakhlaq, Berprestasi
KISI-KISI SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS) GENAP TAHUN PELAJARAN 2015/2016 BIDANG STUDI : Matematika KELAS : 7 ( Tujuh) STANDAR KOMPETENSI / KOMPETENSI INTI : 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
Lebih terperinciKARTU SOAL URAIAN. KOMPETENSI DASAR (KD): 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri
. Siswa dapat menentukan suku pertama, beda/rasio, rumus suku ke-n dan suku ke-n, jika diberikan barisan bilangannya NO. SOAL: 31 Tentukan suku pertama, beda atau rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang B. Tujuan
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir
Lebih terperinci13. Menyelesaikan masalah-masalah dalam matematika atau bidang lain yang penyelesaiannya menggunakan konsep aritmetika sosial dan perbandingan.
ix S Tinjauan Mata Kuliah elamat bertemu, selamat belajar, dan selamat berdiskusi dalam mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMP. Mata kuliah ini berisi tentang materi matematika SMP yang terdiri dari
Lebih terperinciPembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun Oleh Tutur Widodo. (n 1)(n 3)(n 5)(n 2013) = n(n + 2)(n + 4)(n )
Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 01 Oleh Tutur Widodo 1. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi adalah... (n 1)(n 3)(n 5)(n 013) = n(n + )(n + )(n + 01) Jawaban : 0 ( tidak
Lebih terperinciPENJABARAN KISI-KISI UJIAN NASIONAL BERDASARKAN PERMENDIKNAS NOMOR 75 TAHUN SKL Kemampuan yang diuji Alternatif Indikator SKL
PENJABARAN KISI-KISI UJIAN NASIONAL BERDASARKAN PERMENDIKNAS NOMOR 75 TAHUN 2009 Mata Pelajaran : Matematika No. 1. Menggunakan konsep operasi 1. Menghitung operasi tambah, kurang, kali dan 1.1. Menentukan
Lebih terperinciPROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA Kelas : VIII ( Delapan ) Tahun Pelajaran : 2013 / 2014
PROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATKA Kelas : V ( Delapan ) Tahun Pelajaran : 2013 / 2014 Semester Standar Kompetensi Aljabar 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus 1.1
Lebih terperinciTeknik Menguadratkan Suatu Bilangan dengan Mudah Oleh: Pujiati
Teknik Menguadratkan Suatu Bilangan dengan Mudah Oleh: Pujiati Operasi hitung perkalian sudah diajarkan sejak di sekolah dasar (SD) kelas II semester 2, namun kadang siswa masih mengalami kesulitan apabila
Lebih terperinciBAB V BAHAN LATIHAN DAN SARAN PEMECAHANNYA
V HN LTIHN N SRN PMHNNY. ahan Latihan Kerjakanlah soal-soal berikut. Jangan mencoba melihat petunjuk atau kunci, sebelum benar-benar nda mengalami jalan buntu. 1. alam sebuah persegipanjang ditarik 40
Lebih terperinciBATANG KOREK API. Oleh: Al. Krismanto, M.Sc GEOMETRI ( )
( ) Oleh: Al. Krismanto, M.Sc 8 BATANG KOREK API Batang korek api dapat digunakan untuk membuat bangun-bangun geometri. Dalam hal tertentu dapat digunakan untuk kegiatan yang berkaitan dengan aritmetika.
Lebih terperinciMateri Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR
Materi Olimpiade Tingkat Sekolah Dasar BIDANG ALJABAR Caturiyati M.Si. Jurdik Matematika FMIPA NY wcaturiyati@yahoo.com Operasi Dasar (penjumlahan pengurangan perkalian pembagian) Hal-hal yang perlu diperhatikan
Lebih terperinci41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs)
41. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP)/Madrasah Tsanawiyah (MTs) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
Lebih terperinciMatematika Bahan Ajar & LKS
Matematika Bahan Ajar & LKS Pola Bilangan, Barisan & Deret = + ( 1) Un = ar^(n-1) Nama : NIS : Kelas : Sekolah : Pengantar Bahan ajar ini sekaligus merupakan Lembar Kerja Siswa. Untuk mempelajarinya, Anda
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP Pola Barisan Bilangan
BARISAN DAN DERET Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP. 19640121 199010 1 001 Pola Barisan Bilangan Beberapa urutan bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini Sering digunakan untuk menentukan
Lebih terperinciPENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA
Unit 8 PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA Wahyudi Pendahuluan U nit ini membahas mengenai penyelesaian model matematika. Dalam unit ini kita akan mengkaji masalah-masalah matematika, pemodelan matematikanya
Lebih terperinci2. Pembahasan: Aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan terlebih dahulu menyamakan penyebutnya.
PEMBAHASAN SOAL MATEMATIKA 1. Pembahasan: Urutan pengoperasian bilangan bulat adalah: a. Perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan b. Dalam hal perkalian dan pembagian, atau penjumlahan dan pengurangan
Lebih terperinciKI dan KD Matematika SMP/MTs
KI dan KD Matematika SMP/MTs Kelas VIII Kompetensi Inti 1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya 2. Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi,
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMP TAHUN 2013 #Kode Soal 212-Ani-Ina-32# Jawaban : (B) Cara I : Perbandingan uang A : I = 3 : 5, jumlah angka perbandingan = 3 + 5 = 8, sedangkan selisih angka perbandingan
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007 PANDUAN MATERI SMP DAN MTs M A T E M A T I K A PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG DEPDIKNAS i KATA
Lebih terperinciKRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS VII ( 1 ) SEMESTER I
KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS VII ( 1 ) SEMESTER I 16 KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMP/MTs... Kelas : VII Semester : I
Lebih terperinciKISI-KISI UJIAN SEKOLAH BERSTANDAR NASIONAL SEKOLAH MENENGAH PERTAMA / MADRASAH TSANAWIYAH TAHUN PELAJARAN 2017/2018. memahami
LAMPIRAN 2 KISI-KISI USBN SMP KISI-KISI UJIAN SEKOLAH BERSTANDAR NASIONAL SEKOLAH MENENGAH PERTAMA / MADRASAH TSANAWIYAH TAHUN PELAJARAN 2017/2018 Mata Pelajaran : Matematika Jenjang : SMP/MTs Kurikulum
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Romli Shodikin, M.Pd. Prepared By : LANJUT
BARISAN DAN DERET Prepared By : Romli Shodikin, M.Pd www.fskromli.blogspot.com fskromli@yahoo.com LANJUT Standar Kompetensi : Menggunakan konsep notasi sigma, barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Lebih terperincimatematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan
Lebih terperinciHUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI ABSTRACT
HUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI Revi Lestari 1, Sri Gemawati, M. Natsir 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciKritik dan saran yang bersifat membangun dari para pemakai buku ini sangat kami harapkan untuk penyempurnaan bahan ajar ini. Cisarua, Maret 2009
Kata Pengantar Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, karena dengan rahmat dan perkenan-nya kami dapat menghadirkan bahan ajar yang disusun berdasarkan pada Standar Isi tahun 2006
Lebih terperinciBAB III. PECAHAN KONTINU dan PIANO. A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional
BAB III PECAHAN KONTINU dan PIANO A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional Sekarang akan dibahas tentang pecahan kontinu tak hingga yang diawali dengan barisan tak hingga bilangan bulat mendefinisikan
Lebih terperinciTABEL ANALISIS HASIL IMPLEMENTASI DESAIN DIDAKTIS AWAL
Lampiran B.2 TABEL ANALISIS HASIL IMPLEMENTASI DESAIN DIDAKTIS AWAL No Situasi Didaktis Prediksi Respon Siswa Respon yang Muncul Analisis 1 Siswa diberikan persoalan 1. Gambar 1 : 1. Siswa kebingungan
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen
MATEMATIKA BISNIS Modul ke: DERET Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut
Lebih terperinciPROGRAM TAHUNAN. Sekolah : MTs... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Semester : VII / 1 dan 2 Tahun pelajaran : Target Nilai Portah : 55
PROGRAM TAHUNAN Sekolah : MTs.... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Semester : VII / 1 dan 2 Tahun pelajaran : Target Nilai Portah : 55 Standar Sem Kompetensi 1 BILANGAN 1. Memahami sifat-sifat operasi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciSOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2015 BIDANG MATEMATIKA
SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 015 BIDANG MATEMATIKA BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT 1. Banyak faktor persekutuan dari 1515 dan 530 yang merupakan bilangan genap positip
Lebih terperinciPemerintah Kota Semarang. Dinas Pendidikan MKKS Sub Rayon 05 Kota Semarang. JalanPatimura 9 (024) Kota Semarang 50123
Pemerintah Kota Semarang Dinas Pendidikan MKKS Sub Rayon 05 Kota Semarang JalanPatimura 9 (024)3544024 Kota Semarang 50123 KISI-KISI SOAL UKK MATEMATIKA SatuanPendidikan : SMP/MTs. Alokasi Waktu : 120
Lebih terperinciRuang Lingkup Pengukuran di SD
PENGUKURAN DI SD Ruang Lingkup Pengukuran di SD Pengukuran tentang: 1. panjang dan keliling 2. luas 3. luas bangun gabungan 4. volum 5. volum bangun gabungan 6. sudut 7. suhu 8. waktu, jarak dan kecepatan
Lebih terperinci(MS.2) KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL
(MS.2) KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Iin Irianingsih Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor
Lebih terperinciPROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA
PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA Kelas VII SEMESTER 1 & 2 MTs.... PROGRAM TAHUNAN Sekolah : MTs.... Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Semester : VII / 1 dan 2 Tahun
Lebih terperinciPenggunaan Algoritma Runut-balik Pada Pencarian Solusi dalam Persoalan Magic Square
Penggunaan Algoritma Runut-balik Pada Pencarian Solusi dalam Persoalan Magic Square Tahir Arazi NIM : 1350505 Program Studi Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinci15. KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMP/MTs
15. KOMPETENSI INTI DAN MATEMATIKA SMP/MTs KELAS: VII Tujuan kurikulum mencakup empat kompetensi, yaitu (1) kompetensi sikap spiritual, (2) sikap sosial, (3) pengetahuan, dan (4) keterampilan. Kompetensi
Lebih terperinciMembaca mengenai berbagai ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat, strategi untuk menyelesaikan
3.9 Mendeskripsikan berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat. 3.10Mendeskripsikan persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk persamaan dan fungsi kuadrat
Lebih terperinciSOAL PERSIAPAN UJIAN AKHIR SEMESTER 2 SMP KELAS 7 MATEMATIKA A.
SOAL PERSIAPAN UJIAN AKHIR SEMESTER 2 SMP KELAS 7 MATEMATIKA A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar, dengan memberikan tanda silang (x) pada huruf a, b, c atau d!. Pernyataan berikut yang merupakan
Lebih terperinciPROGRAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH DASAR KELAS I - SEMESTER 1
PROGRAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH DASAR KELAS I - SEMESTER 1 1 PROGRAM SEMESTER MATA PELAJARAN : Matematika Standar Kompetensi : 1. Melakukan sampai 20 BILANGAN Kompetensi Dasar Indikator Materi
Lebih terperinciSOLUSI OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI TAHUN 2004
SOLUSI OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI TAHUN 004 A. ISIAN SINGKAT. Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian setiap titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan
Lebih terperinciPEMETAAN KOMPETENSI DASAR MATA PELAJARAN MATEMATIKA WAJIB SEKOLAH MENENGAH ATAS/MADRASAH ALIYAH
PEMETAAN MATA PELAJARAN MATEMATIKA WAJIB SEKOLAH MENENGAH ATAS/MADRASAH ALIYAH : X 1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma 1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan
Lebih terperinciUntuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati c, akan tetapi x tidak sama dengan c (x c).
5 LIMIT FUNGSI 5. PENDAHULUAN LIMIT Untuk sebuah fungsi y f(), bagaimana perilaku dari f() jika mendekati c, akan tetapi tidak sama dengan c ( c). Contoh, kita ambil fungsi f() dan g() dan akan kita cari
Lebih terperinciPola dan Barisan Bilangan
Pola dan Barisan Bilangan Pola dan barisan bilangan meliputi pola bilangan dan barisan bilangan Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu Misalnya pada kalender terdapat
Lebih terperinciNama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS
Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan
Lebih terperinciPAKET 1 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP/MTs
PAKET 1 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP/MTs 1. * Kemampuan yang Diuji Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada bilangan bulat Menentukan hasil operasi campuran bilangan bulat
Lebih terperinciPembahasan Soal SBMPTN 2014 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS.
Pembahasan Soal SBMPTN 2014 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika Dasar Distributed By : WWW.E-SBMPTN.COM Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK
Lebih terperinciTujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat
Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal Majemuk Anuitas, Matematika 4:00 PM Pernahkah kalian mengamati
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciPERTEMUAN 5. Teori Himpunan
PERTEMUAN 5 Teori Himpunan Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota)
Lebih terperinciSILABUS. 5. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Sekolah : SILABUS Kelas Mata Pelajaran Semester : IX : Matematika : II(dua) Standar Kompetensi : BILANGAN 5. Memahami sifat-sifat berpangkat dan bentuk serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Lebih terperinci1 SOAL Latihan UAS 2 2017/2018 Mapel: Matematika Kelas 7 Topik: Himpunan I. Pilihan Ganda 1. Pernyataan di bawah ini yang bukan merupakan himpunan adalah..... A. Himpunan siswa SMP di Kota Tangerang Selatan
Lebih terperinciSELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2009 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN 2009/2010 MATEMATIKA (E-4.2) SMK
UJIAN NASIONAL TAHUN 009/00 MATEMATIKA (E-.) SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran (P UTAMA). Konveksi milik Bu Nina mengerjakan
Lebih terperinciSMP NEGERI 199 JAKARTA LATIHAN PERSIAPAN UJIAN SEKOLAH MATEMATIKA 2012
SMP NEGERI 199 JKRT LTIHN PERSIPN UJIN SEKOLH MTEMTIK 01 PETUNJUK KHUSUS. Pilih dan hitamkan jawaban yang benar di antara a, b, c, dan d pada lembar jawaban komputer (LJK)! 1. Hasil dari (-0) : + (-) -11
Lebih terperinciHARI PI, 14 MARET. Sumardyono, M.Pd. Perhatikan π = 3,
HARI PI, 14 MARET Sumardyono, M.Pd. Perhatikan π = 3,14159265358979323846264... Bila kita tulis 3, 14 maka ini dapat menunjukkan tanggal 14 Maret (dalam format penulisan tanggal American English). Format
Lebih terperinciKTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) Mapel Matematika kls VII s/d IX. 1-2
KTSP Perangkat Pembelajaran SMP/MTs, PERANGKAT PEMBELAJARAN STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester : Matematika. : SMP/MTs. : VII s/d IX /1-2 Nama Guru
Lebih terperinci3. Pembahasan: Cara pertama: Dengan mengurang satu bagian dengan bagian-bagian yang lain, yaitu:
PEMBAHASAN SOAL MATEMATIKA SMP SATU ATAP 1. Pembahasan: Urutan pengoperasian bilangan bulat adalah: a. Perkalian, pembagian, penjumlahan, pengurangan b. Dalam hal perkalian dan pembagian, atau penjumlahan
Lebih terperinciPENGEMBANGAN METODE INDUKSI MATEMATIKA DAN PENERAPANNYA DALAM RUANG LINGKUP MATEMATIKA DISKRIT
PENGEMBANGAN METODE INDUKSI MATEMATIKA DAN PENERAPANNYA DALAM RUANG LINGKUP MATEMATIKA DISKRIT Dimas Yusuf Danurwenda NIM : 13505002 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha
Lebih terperinciEMPAT OBJEK LANGSUNG MATEMATIKA MENURUT GAGNE Fadjar Shadiq
EMPAT OBJEK LANGSUNG MATEMATIKA MENURUT GAGNE Fadjar Shadiq Penganut psikologi tingkah laku (behaviourist) seperti Thorndike, Skinner, atau Gagne memandang belajar sebagai hasil dari pembentukan hubungan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran
PEMBAHASAN SOAL UN MATEMATIKA SMK Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinan, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran TAHUN PELAJARAN 9/ MATEMATIKA PEMBAHAS: UJIAN NASIONAL
Lebih terperinciPANDUAN MATERI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN
PANDUAN MATERI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2004/2005 SMP/MTs M A T E M A T I K A DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN Hak Cipta pada Pusat Penilaian
Lebih terperinciSILABUS PEMBELAJARAN
Sekolah : SMP... Kelas : VII (Tujuh) Mata Pelajaran : Matematika Semester : I (satu) SILABUS PEMBELAJARAN BILANGAN Standar : 1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014 Waktu : 210 Menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Lebih terperinciBAB II TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA. Memahami sifat-sifat tabung, kerucut dan bola, serta menentukan ukurannya
BAB II TABUNG, KERUCUT, DAN BOLA Tujuan Pembelajaran Memahami sifat-sifat tabung, kerucut dan bola, serta menentukan ukurannya A. Pendahuluan Istilah tabung, kerucut, dan bola di sini adalah istilah-istilah
Lebih terperinciBENTUK-BENTUK ALJABAR
BENTUK-BENTUK ALJABAR (Pembelajaran Matematika SMP) Oleh : H. Karso FPMIPA UPI A. Kalimat Matematika dalam Bentuk Aljabar Serta Unsur-unsurnya Dalam pelajaran matematika pengertian kalimat matematika dibedakan
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciNama:... Kelas/Kelompok :... Tanggal:... Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil
6.1 61 Nama:... Kelas/Kelompok :... Tanggal:... Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil 1. Sebelum kita belajar lebih jauh, untuk mendalami pola bilangan lakukan kegiatan berikut ini. Bahan : Satu lembar
Lebih terperinciPembuktian Teorema Pythagoras : Worksheet
Wisnu Siwi Satiti. 2012. Web Based Lesson: Pythagorean Theorem 1 Pembuktian Teorema Pythagoras : Worksheet Nama :.. Kelas :.. Baca dengan seksama rencana pemerintah kota Palembang untuk membuat taman kota
Lebih terperinciUji Hipotesis dengan ANOVA (Analysis of Variance)
Uji Hipotesis dengan ANOVA (Analysis of Variance) I. Pengertian Dalam sebuah penelitian, terkadang kita ingin membandingkan hasil perlakuan (treatment) pada sebuah populasi dengan populasi yang lain dengan
Lebih terperinci