Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1

Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk menggunakan turunan pada fungsi dua variabel adalah memandang salah satu variabel tetap, sehingga dapat menggunakan fungsi satu variabel. Misalkan diketahui fungsi dua variabel z = f (x,y) dan misalkan y = b. Fungsi z = f (x,b) merupakan fungsi satu variabel. Jadi, kita dapat menggunakan turunan satu variabel, f (a+h,b) f (a,b) (a,b) = lim x h 0 h asalkan limit ini ada. Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Notasi lain untuk turunan parsial terhadap variabel x atau variabel pertama ini adalah D 1 f (x,y) atau D x f (x,y) atau x menyatakan bahwa ada variabel lain yang dianggap konstan. Turunan Parsial 2 z 1 0 y 0 2 1 2 2 2 x 0 2 Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Example Carilah turunan terhadap parsial terhadap x dan y di titik (1,2) jika Solution Kita dapat menghitung f (x,y) = x 3 +3x 2 y f (1+h,2) f (2) lim h 0 h atau x (x,y) = 3x2 +6xy kemudian x dan y masing-masing diganti dengan x = 1 dan y = 2. Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu Carilah fungsi f (x,y) x = 3x2 +y 2 Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Perhatikan bahwa jika fungsi tersebut diturunkan terhadap y, maka dc dx = 0. Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Example Misalkan diketahui turunan parsial fungsi f terhadap x yaitu x = 3x2 +y 2. Carilah fungsi f (x,y) Solution Dalam hal ini f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y) dengan C (y) adalah fungsi yang bergantung pada y. Misalkan pula diketahui bahwa dc dy = 0, maka C... Dengan demikian C harus merupakan konstanta. Jawab akhir dari soal yang ada tambahannya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C. Jawab akhir dari soal yang ditanya adalah f (x,y) = x 3 +y 2 x +C (y). Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Example Diketahui fungsi satu variabel u = F (z) dan fungsi dua variabel z = g (x,y). Fungsi komposisi keduanya adalah u = F (g (x,y)) Carilah u x dan u y Solution Karena turunan parsial berkaitan dengan fungsi satu variabel, maka turunan tersebut dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan satu variabel. Dalam hal ini u x = F (g (x,y)) g x Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Di ekonomi hubungan antara input dan output dikenal sebagai fungsi produksi. Misalkan z = βp α M 1 α menyatakan fungsi produksi dengan α, β konstan, 0 < α < 1 dan P menyatakan pekerja dan M menyatakan bahan mentah dan z jumlah hasil. Di ekonomi, menggunakan kata marjinal untuk turunan. Jadi z P menyatakan marjinal produksi terhadap pekerja. Di ekonomi, besaran ini dihitung dengan hasil pertambahan produksi jika pekerja ditambah satu satuan. Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100 Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 1

Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Istilah di Ekonomi Example Kelemahan hanya menggunakan turunan atau marjinal, angka z P sering tidak sepadan. Tidak ada perbedaan antara z P = 1 untuk z = 1.0 atau 100 maupun untuk titik P = 10 atau 100. Untuk menghindari ini, nilai ini dibandingkan dengan z dan P. Mereka menggunakan P z z P Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 1

Mempunyai Turunan Parsial Tidak Harus Kontinu Example Buktikan bahwa fungsi f (x,y) = { xy x 2 +y 2 jika (x,y) = (0,0) 0 jika (x,y) = (0,0) mempunyai turunan parsial, tetapi tidak kontinu di (0, 0) Solution Kita menghitung turunan parsial f (0+h,0) f(0,0) (0,0) = lim x h 0 h Kita sudah melihat bahwa fungsi tersebut tidak kontinu di (0, 0). Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 1

Turunan Fungsi Dua Variabel Kita sudah melihat bahwa f (a) = lim x 0 f(a+ x) f(a) x atau f (a+ x) f (a) = f (a) x + ɛ( x) ɛ( x) dengan lim x 0 x = 0 Artinya, ɛ( x) lebih cepat menuju nol dibandingan x jika x 0. Untuk turunan parsial x (a,b) = lim x 0 f(a+ x,b) f(a,b) x atau f (a+ x,b) f (a,b) = f (a,b) x + ɛ( x) dengan lim x 0 ɛ( x) x = 0 Bagaimana jika x maupun y keduanya berubah, f (a+ x,b+ y) f (a,b) Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 1

Turunan Fungsi Dua Variabel Kita dapat melakukan satu persatu perubahan. f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) +f (a,b+ y) f (a,b) Di suku f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y), bagian x yang berubah, x (a,b+ y) x Di suku f (a,b+ y) f (a,b), bagian y berubah y (a,b) y Jika turunan x kontinu, maka x (a,b+ y) x x (a,b) x asalkan x cukup kecil. Dengan demikian f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 1

Turunan Fungsi Dua Variabel Resminya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x+ (a,b) y + ɛ( x, y x y asalkan lim ( x, y) (0,0) Perhatikan bahwa suku ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 = 0 (a,b) x + (a,b) y x y merupakan fungsi linear terhadap perubahan x, y Jika x = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan y. Jika y = 0, maka bentuk di atas kembali ke bentuk satu variabel untuk perubahan x. Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 1

Diferensial Fungsi Dua Variabel Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Diferensial fungsi dua variabel di titik (a, b) adalah df (a,b)( x, y) = (a,b) x + (a,b) y x y (yaitu bagian linear untuk menaksir f (a+ x,b+ y) f (a,b)) jika ɛ( x, y) = 0 ( x) 2 +( y) 2 lim ( x, y) (0,0) Dengan penulisan di atas, maka f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 1

Diferensial Fungsi Dua Variabel Example Tentukan diferensial fungsi f (x,y) = xy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = b x +a y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. = b x +a y + x y ɛ( x, y) Karena lim ( x, y) (0,0) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 Variabel+( y) Banyak Bernilai Real 15 / 1

Diferensial Fungsi Dua Variabel Solution Diferensial fungsi tersebut adalah x (a,b) x + y (a,b) y = b x +a y Suku sisanya adalah f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a+ x)(b+ y) ab Jadi ɛ( x, y) = x y. Karena lim ( x, y) (0,0) memang benar. = b x +a y + x y ɛ( x, y) = 0, maka diferensial tersebut ( x) 2 2 +( y) Variabel Banyak Bernilai Real 16 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Diferensial Fungsi Dua Variabel Example Diferensial fungsi f (x,y) = xy di titik (a,b) adalah f (a+ x,b+ y) f (a,b) = b x +a y + x y }{{} diferensialnya y b a x Variabel Banyak Bernilai Real 17 / 1

Diferensial Fungsi Dua Variabel dan Turunan Bentuk df (a,b)( x, y) = A x +B y dapat ditulis dalam bentuk matriks df (a,b)( x, y) = [ A B ][ ] x y Dengan x, y sebagai variabel bebas, maka bentuk di atas dapat dipandang sebagai nilai transformasi linear [ A B ] [ x di titik y Transformasi linear tersebut ditulis sebagai turunan f di titik (a, b) dan ditulis sebagai df (a,b). Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = f (x) sebagai dy = f (a) x ]. Variabel Banyak Bernilai Real 18 / 1

Turunan Fungsi Dua Variabel Turunan fungsi didefinisikan secara formal sebagai Definition Misalkan f (x, y) fungsi dua variabel dengan daerah definisi himpunan buka D dan (a,b) D. Turunan fungsi f di titik (a,b), ditulis sebagai df (a,b), adalah transformasi linear df (a, b) yang memenuhi f(a+ x,b+ y) f (a,b) df (a,b)( x, y) lim ( x, y) (0,0) ( x, y) = 0 Perhatikan bahwa vektor atau matriks ( x, y) [ x y ] ditulis sebagai Variabel Banyak Bernilai Real 19 / 1

Turunan Fungsi Dua Variabel Example Tentukan turunan fungsi f (x,y) = px +qy di titik (a,b). Solution Diferensial fungsi tersebut adalah Suku sisanya adalah (a,b) x + (a,b) y = p x +q y x y f (a+ x,b+ y) f (a,b) = p(a+ x)+q(b+ y) pa qb = p x +q y Jadi ɛ( x, y) = 0, maka turunannya adalah df (a,b) = [ p q ] Variabel Banyak Bernilai Real 20 / 1

Turunan Fungsi Dua Variabel Example Misalkan diketahui transformasi T : R 2 R 2 dengan matriks transformasinya adalah [T] = [ p q ]. Tentukan turunan transformasi ini. Solution Transformasi linear di atas dapat dituliskan sebagai fungsi. Nilai transformasi di (x,y) adalah T (x,y) = [ p q ][ x y ] = px +qy Turunan fungsi ini sudah dibahas, yaitu dt (a,b) = [ p q ]. Variabel Banyak Bernilai Real 21 / 1

Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan Theorem Jika fungsi dua variabel f mempunyai turunan di (a,b), maka f kontinu di (a,b) Proof. Kita menghitung nilai f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Karena f mempunyai turunan, maka ɛ( x, y) lim ( x, y) (0,0) = 0, maka ( x) 2 2 +( y) lim ɛ( x, y) = 0 ( x, y) (0,0) Variabel Banyak Bernilai Real 22 / 1

Hubungan Turunan Fungsi dan Kontinu Syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan Proof. Kita menghitung nilai f (a+ x,b+ y) f (a,b) = df (a,b)( x, y)+ ɛ( x, y) Karena f mempunyai turunan, maka ɛ( x, y) lim ( x, y) (0,0) = 0, maka ( x) 2 2 +( y) lim ( x, y) (0,0) ɛ( x, y) = 0 Karena df (a,b)( x, y) linear terhadap x, y, maka lim ( x, y) (0,0) df (a,b)( x, y) = 0. Jadi... Variabel Banyak Bernilai Real 23 / 1

Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Theorem Jika fungsi f mempunyai turunan di (a,b) maka x (a,b) dan (a,b) ada dan y df (a,b)( x, y) = (a,b) x + (a,b) y x y dan y Sebaliknya, jika x maka turunan df (a,b) ada. ada dan kontinu di lingkungan (a,b), Variabel Banyak Bernilai Real 24 / 1

f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = (a+θ 1 x,b+ y) x Variabel Banyak Bernilai Real 25 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Sekarang sebaliknya, turunan parsial x dan y ada dan kontinu di lingkungan (a, b). Kita akan membuktikan bahwa df (a, b) ada. Seperti biasa, kita menghitung yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b) f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh

Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Seperti biasa, kita menghitung f (a+ x,b+ y) f (a,b) yaitu sebagai f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y)+f (a,b+ y) f(a,b) Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x dengan 0 < θ 1, θ 2 < 1. f (a,b+ y) f(a,b) = y (a,b+θ 2 y) y Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka Wono Setyauntuk Budhi (KK( x, Analisis y) dan Geometri, (0,0), FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real 26 / 1

Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Sebagai perubahan fungsi satu variabel, dengan teorema nilai rata-rata dapat diperoleh (dengan 0 < θ 1, θ 2 < 1) f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x f (a,b+ y) f(a,b) = y (a,b+θ 2 y) y Secara informal, berdasarkan ke kontinuan turunan parsial, maka untuk ( x, y) (0,0), lim ( x, y) (0,0) x (a+θ 1 x,b+ y) = x (a,b) lim ( x, y) (0,0) y (a,b+θ 2 y) = y (a,b) Variabel Banyak Bernilai Real 27 / 1

Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Resminya : f (a+ x,b+ y) f (a,b) = f (a+ x,b+ y) f (a,b+ y) f (a,b+ y) f (a,b) = x (a+θ 1 x,b+ y) x + y (a,b+θ 2 y) y = (a,b) x + (a,b) y + ɛ( x, y) x y dengan ( ɛ( x, y) = x (a+θ 1 x,b+ y) ) x (a,b) x ( + y (a,b+ θ 2 y) ) y (a,b) y Variabel Banyak Bernilai Real 28 / 1

Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Kita harus memperlihatkan ( bahwa ) ɛ( x, y) = x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) x + ( ) y (a,b+ θ 2 y) y (a,b) y memenuhi Karena x ( x) 2 +( y) 2 lim ( x, y) (0,0) 1 dan ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 y ( x) 2 +( y) 2 1, maka ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) +... Variabel Banyak Bernilai Real 29 / 1

Hubungan Turunan Fungsi dan Turunan Parsial Proof. Karena x ( x) 2 +( y) 2 1 dan y ( x) 2 +( y) 2 1, maka ɛ( x, y) ( x) 2 +( y) 2 x (a+θ 1 x,b+ y) x (a,b) + serupa un Karena kekontinuan dari x di (a,b), maka untuk ( x, y) (0,0), maka bagian kanan menuju nol. Variabel Banyak Bernilai Real 30 / 1

Jadi f (a+ x,b+ y) = f Variabel (a,b)+( 0,02) Banyak Bernilai Real 31 / 1 Contoh Turunan Parsial dan Turunan Example Dengan menggunakan diferensial, taksirlah nilai 3,9 2 +3,1 2 Solution Untuk mencari hampirannya, definisikan fungsi f (x,y) = x 2 +y 2 yang mudah dihitung di titik (a,b) = (4,3) Kita akan menghitung nilai f (a+ x,b+ y) dengan x =... dan y =... Selanjutnya f (a+ x,b+ y) f (a,b) = (a,b) x + (a,b) y x y = 4 1 510 + 3 1 510 = 0,02

Interpretasi Geometri dari Diferensial Untuk satu variabel f (a+ x) f (a) f (a) x f (x) f (a) f (a)(x a) Dengan demikian f (x) f (a)+f (a)(x a) = g (x) dengan g (x) = f (a)+f (a)(x a) merupakan garis singgung. 2 1 A y = g(x) y = f(x) 1 f 1 2 3 4 5 Variabel Banyak Bernilai Real 32 / 1

Interpretasi Geometri dari Diferensial Untuk dua variabel f (a+ x,b+ y) f (a,b) (a,b) x + (a,b) y x y f (x,y) f (a,b) (a,b)(x a)+ (a,b)(y b) x y Dengan demikian f (x,y) f (a,b)+ (a,b)(x a)+ (a,b)(y b) = g (x,y) x y dengan g (x,y) = f (a,b)+ x merupakan bidang singgung. (a,b)(x a)+ y (a,b)(y b) Variabel Banyak Bernilai Real 33 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Interpretasi Geometri dari Diferensial Dengan demikian f (x, y ) f (a, b ) + (a, b ) (x a) + (a, b ) (y b ) = g (x, y ) x y dengan g (x, y ) = f (a, b ) + merupakan bidang singgung. x (a, b ) (x a) + y (a, b ) (y b ) 200 100 z 10 0 5-100 -200 0-10 y -5 0-5 x 5 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real -10 34 / 1

Bidang Singgung Turunan Parsial dan Turunan Bidang Singgung Variabel Banyak Bernilai Real 35 / 1

Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi Diketahui z = f (x 1,...,x n ) formula dari fungsi n variabel dengan nilai di bilangan. Kita dapat mendefinisikan turunan parsial dari f, yaitu turunan terhadap variabel ke x i adalah x i atau D xi f Turunan fungsi f di titik (a 1,...,a n ) adalah [ ] df (a1,...,a n ) = x 1... x n dengan turunan parsial dihitung di titik (a 1,...,a n ). Diferensial fungsi f di titik (a 1,...,a n ) dengan perubahan variabel bebas x 1,..., x n atau dx 1,...,dx n adalah df (a1,...,a n )(dx 1,...,dx n ) = x 1 dx 1 +...+ x n dx n Variabel Banyak Bernilai Real 36 / 1

Turunan Parsial dan Turunan Perumuman Untuk Dimensi Lebih Tinggi Penghampiran linear ( bidang singgung ) g ( x1,..., xn ) = f ( a 1,..., a n ) + ( x a1 ) +... + ( x an ) x1 xn 200 100 z 10 0 5-100 -200 0-10 y -5 0-5 x 5 10 Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA FungsiITB) Variabel Banyak Bernilai Real -10 37 / 1