Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil

Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) - 0 1 Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang Jenis-jenis selang Himpunan selang < a (-, a ) { } { } a (-, a ] { } < ( ) a < b { } a b a, b [ ] { } a, b > b ( b, ) { } b [ b, ) { } (, ) Grafik a a a a b b b b 4

Sifat sifat bilangan real Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y Ketransitifan Jika < y dan y < z maka < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka z > yz 5

Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A B ( ) ( ) < D( ) E( ) dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 6

Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP) Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) Q( ) < 0, dengan cara : 7

Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P() dan Q() diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul 8

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 1-5 1 5 16 8 4 4 8 8 Hp = [ 4,8] 4 8 9

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian - < 6-4 -8 < -4 8 > 4 - - 4 < 8 1 - < 8 Hp 1 -, - 1 10

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian -5 - < 0 ( 1)( -) < 0 Titik Pemecah (TP) : 1 - dan ++ -- ++ Hp = - 1 1 -, 11

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4-4 6-7 6-4 6-7 dan 6-7 6 7 6 4 dan - 7 - -6 6 9 10 dan -10 0 10 9 dan 10 0 10 9 dan 0 1

10 9 Hp = -, [ 0, ) 0 10 9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9 1

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 5. < 1-1 1 - < 0 1-1 ( -1) - ( ) ( 1)( -1) - ( 1)( -1) TP : -1, 1 -, < 0 < 0 -- -1 ++ -- ++ -1 Hp = ( ) 1 -, - 1 -, 14

15 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian - 1 0 1 - - ( )( ) ( ) ( )( ) 0 1 - - - ( )( ) 0-6.

Untuk pembilang mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. -- ++ -- - Hp = (,-) (, ) 16

Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak ( ) didefinisikan sebagai jarak dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak : -,, < 0 0 17

Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: 1 4 5 y a, a 0 y - a a - a, a 0 atau a a y 6. Ketaksamaan segitiga y y y - y - y 18

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. - 5 < Kita bisa menggunakan sifat ke-. - < - 5 < 5 - < < 5 < < 8 1 < < 4 1,4 Hp = ( ) 1 4 19

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian. - 5 < Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. ( 5) < 9-4 - 0 16 < 0 4-0 5 < 9-10 8 < 0 ( - )( - 4) < 0 TP : 1, 4 ++ Hp = ( 1,4) -- 1 4 ++ 0

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi. 4 5 Kita bisa menggunakan sifat 4 ( ) ( 4 5) 4 1 9 16-1 - 8-16 7 4 0-4 TP :, -1 40 0 5 1

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++ -- ++ -4-1 4 Hp = -, (-, -1]

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4. 7 7 atau 7 - -5 atau - 9-10 -18 Hp = atau [-10, ) ( -,-18] -18-10

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. - - 1 - Kita definisikan dahulu : - - - < 1 1 - -1-1 < -1 Jadi kita mempunyai interval : I II III,-1 ( ) - [- 1,) [,) -1 4

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian < -1 (-,-1) - - 1 - I. Untuk interval atau ( - ) - (- -1) - 6-1 - 7 - - - -9 9 9 atau -, 9 5

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp1 = 9 -, - (-, 1) -1 9 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (-,-1) sehingga Hp1 = (-,-1) 6

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval -1 < atau [-1, ) - - 1 - ( - ) - ( 1) - 6 - - -1-5 - 4 - -4-7 4 7 7 4 atau -, 7 4 7

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 4 Jadi Hp = -, [ -1,) -1 7 4 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7-1, 7 4 sehingga Hp = -1, 4 8

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval - - 1 - ( - ) - ( 1) - - 6 - -1 - - 7-5 5 atau atau [,) 5, 9

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5 Jadi Hp =, [, ) 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, Hp = 5, 0

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp Hp 7 5 Hp, 4 ( ) -, - 1-1, Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan 1

Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian -1 7 4 5-1 7 5 4-1 7 4 5 Jadi Hp = 7 5 -,, 4

Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 4 - - 1-1 - - 4 5 1 4 5 6