Sistem Bilangan Riil
Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu. Kalkulus Dasar
Komponen bilangan riil dapat digambarkan sebagai berikut : Bilangan Riil Bilangan rasional Bilangan Irrasional Bilangan pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat Negatif Bilangan Cacah Bilangan Asli Bilangan nol Kalkulus Dasar
Pendahuluan Himpunan bilangan riil adalah sekumpulan bilangan yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. [ Purcell] Himpunan bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m m,n bilangan bulat, dengan n 0. n Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Tidak. Fakta ini ditemukan oleh orang yunani kuno beberapa abad sebelum masehi. Kalkulus Dasar 4
Pendahuluan Kita lihat sebuah segitiga siku-siku : 1 1 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga, tetapi bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi bilangan bulat. Jadi bilangan tersebut adalah bialngan irrasional. Kalkulus Dasar 5
Pendahuluan Contoh bilangan irrasional yang lain adalah, 5, dan lain-lain. Secara geometri, sistem bilangan riil digambarkan pada suatu garis bilangan. Dari garis bilangan tersebut, muncul suatu yang dinamakan interval. Interval yaitu suatu himpunan bagian dari R yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Definisi interval, notasi dan gambarnya adalah sebagai berikut : Kalkulus Dasar 6
Pendahuluan Definisi Notasi < a (-, a ) { } { } a (-, a ] { } < ( ) a < b { } a b a, b [ ] { } a, b > b ( b, ) { } b [ b, ) { } (, ) Kalkulus Dasar 7
Pendahuluan Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y Ketransitifan Jika < y dan y < z maka < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka z > yz Kalkulus Dasar 8
Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A B ( ) ( ) < D( ) E( ) dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 Kalkulus Dasar 9
Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat pertidaksamaan berlaku. Cara menyelesaikan pertidaksamaan : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) Q( ) < 0, dengan cara : Kalkulus Dasar 10
Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P() dan Q() diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul Kalkulus Dasar 11
1 1-5 1 5 16 8 8 4 4 8 Hp = [ 4,8] 4 8 Kalkulus Dasar 1
- < 6-4 -8 < -4 8 > 4 4 < 8 1 < 8 Hp 1 1, Kalkulus Dasar 1
-5 - < 0 ( 1)( - ) < 0 Titik Pemecah (TP) : 1 - dan ++ -- ++ Hp = - 1 1 -, Kalkulus Dasar 14
4-4 6-7 6-4 6-7 dan 6-7 6 7 6 4 dan - 7 - -6 6 9 10 dan -10 0 10 9 dan 10 0 10 9 dan 0 Kalkulus Dasar 15
10 9 Hp = -, [ 0, ) 0 10 9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9 Kalkulus Dasar 16
1 5. < 1-1 1-1 -1 < 0 ( -1) - ( ) ( 1)( -1) TP : -1, -1- - ( 1)( -1) 1 -, < 0 < 0 -- -1 ++ -- ++ -1 Hp = ( ) Kalkulus Dasar 17 1 -, - 1 -,
Kalkulus Dasar 18 Contoh : Menentukan Himpunan - 1 0 1 - - ( )( ) ( ) ( )( ) 0 1 - - - ( )( ) 0-6.
Untuk pembilang mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. -- ++ -- - Hp = (,-) (, ) Kalkulus Dasar 19
Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak ( ) didefinisikan sebagai jarak dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak : -,, < 0 0 Kalkulus Dasar 0
Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: 1 4 5 y a, a 0 y - a a - a, a 0 a atau a y 6. Ketaksamaan segitiga y y y - y - y Kalkulus Dasar 1
Contoh : 1. - 5 < Kita bisa menggunakan sifat ke-. - < - 5 < 5 - < < 5 < < 8 1 < < 4 1,4 Hp = ( ) 1 4 Kalkulus Dasar
. - 5 < Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. ( 5) < 9-4 - 0 16 < 0 4-0 5 < 9-10 8 < 0 ( - )( - 4) < 0 TP : 1, 4 ++ Hp = ( 1,4 ) -- 1 4 ++ Kalkulus Dasar
pake definisi. 4 5 Kita bisa menggunakan sifat 4 ( ) ( 4 5) 4 1 9 16-1 - 8-16 7 4 0-4 TP :, -1 0 40 5 Kalkulus Dasar 4
Jika digambar pada garis bilangan : ++ -4 -- -1 ++ 4 Hp = -, (-, -1] Kalkulus Dasar 5
4. 7 7 atau 7 - -5 atau - 9-10 -18 Hp = atau [-10, ) ( -,-18] -18-10 Kalkulus Dasar 6
5. - - 1 - Kita definisikan dahulu : - - - < 1 1 - -1-1 < -1 Jadi kita mempunyai interval : I II III,-1 ( ) - [- 1,) [,) -1 Kalkulus Dasar 7
< -1 (-,-1) - - 1 - I. Untuk interval atau ( - ) - (- -1) - 6-1 - 7 - - - -9 9 9 atau -, 9 Kalkulus Dasar 8
Jadi Hp1 = 9 -, - (-, 1) -1 9 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (-,-1) sehingga Hp1 = (-,-1) Kalkulus Dasar 9
II. Untuk interval -1 < atau [-1, ) - - 1 - ( - ) - ( 1) - 6 - - -1-5 - 4 - -4-7 4 7 7 4 atau -, 7 4 Kalkulus Dasar 0
7 4 Jadi Hp = -, [ -1, ) -1 7 4 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7-1, 7 4 sehingga Hp = -1, 4 Kalkulus Dasar 1
III. Untuk interval - - 1 - ( - ) - ( 1) - - 6 - -1 - - 7-5 5 atau atau [,) 5, Kalkulus Dasar
5 Jadi Hp =, [, ) 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, Hp = 5, Kalkulus Dasar
Hp = Hp1 Hp Hp 7 5 Hp, 4 ( ) -, - 1-1, Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan Kalkulus Dasar 4
-1 7 4 5-1 7 5 4-1 7 4 5 Jadi Hp = 7 5,, - 4 Kalkulus Dasar 5
Kalkulus Dasar 6 Soal Latihan 5 4 1 Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan - - 1 - - 1 4 4 1-5 6