A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga nilai fungsi beruba dari f(k) sampai dengan f(k + ). Y y f ( ) f( k + ) fk () f( k + ) f( k) k k + X Perubaan rata-rata nilai fungsi f teradap dalam interval k < < k + adala f( k + ) f( k) f( k + ) f( k). Jika nilai k makin kecil maka nilai ( k + ) k f( k + ) f( k) disebut laju perubaan nilai fungsi f pada k. Limit ini 0 disebut turunan atau derivatif fungsi f pada k. f( + ) f( ) disebut turunan fungsi f di yang ditulis dengan notasi f (), 0 seingga kita perole rumus sebagai berikut: f () f + f 0 ( ) ( ) Jika nilai itnya ada, fungsi f dikatakan diferensiabel di dan f disebut fungsi turunan dari f. Turunan dari y f() seringkali ditulis dengan y' f (). Notasi dari y' f () juga dapat ditulis: dy d dan df( ). d Untuk lebi memaami tentang turunan, peratikan conto soal berikut. Conto soal Tentukan turunan pertama dari: a. f() 8 c. f() + 5 b. f() d. f()
a. f() 8 f( + ) f( ) f () 0 8 8 0 0 Jadi, turunan fungsi konstan adala nol. b. f() f( + ) + f( + ) f( ) f () 0 + ( ) 0 + + 0 0 0 c. f() + 5 f( + ) ( + ) + 5 + + + + 5 f () d. f() f () f( + ) f( ) 0 + + + + 5 ( + 5) 0 + + + + 5 5 0 + + 0 ( + + ) 0 + + ( ) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 f + f 0 ( ) ( )
+ 0 ( + ) ( + ) 0 0 ( + ) 0 0 ( + ) ( + ) ( + 0) f( + ) f( ) Dengan menggunakan rumus f (), lengkapila tabel berikut. 0 f() 4 5 n f () 0 n n Dari tabel dapat diliat bawa jika f() n, maka f () n n, atau: jika f() a n, maka f () an n Conto soal Carila f () jika diketaui fungsi berikut. a. f() c. f() 4 5 b. f() d. f() a. f() f () 5 b. f() 5 f () 5 ( ) 0 0 c. f() 4 d. f() f () 4 f ()
8. 4 Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan menggunakan rumus f () f( + ) f( ). 0 a. f() d. f() 5 b. f() 5 e. f() c. f(). Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan menggunakan rumus f() n mempunyai turunan f () n n. a. f() 5 6 d. f() 9 b. f() 6 4 5 c. f() 5 e. f(). Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar. a. Jika f() 4, tentukan f ( ) c. Jika f(), tentukan f ( ) b. Jika f() 5 5, tentukan f () d. Jika f(), tentukan f (4) 4. Carila f () kemudian nilai fungsi turunan untuk nilai yang diberikan. a. f() 5, untuk dan b. f(), untuk dan c. f() 6, untuk dan d. f(), untuk 4 dan 9 b. Mengitung Turunan Fungsi yang Sederana dengan Menggunakan Definisi Turunan ) Turunan fungsi yang berbentuk y u ± v Bila y f() u() + v() di mana turunan dari u() adala u'() dan turunan dari v() adala v'(), maka turunan dari f() adala f () u'() + v'().
Bukti: f() u() + v() f () ( ) ( ) f + f 0 5 u ( + ) + v ( + ) { u ( ) + v ( )} 0 u( + ) u( ) + v( + ) v( ) 0 u ( + ) u ( ) v ( + ) v ( ) + 0 0 f () u'() + v'() Dengan cara yang sama, bisa dibuktikan bawa bila f() u() v(), maka f () u'() + v'(). Jadi jika y u ±v, maka y' u' ± v'. Agar lebi jelasnya, pelajarila conto soal berikut. Conto soal Carila f () jika: a. f() + 7 c. f() 4 5 + b. f() 8 d. f() 6 + a. f() + 7 Misal: u u' 6 6 v 7 v' 7 7 0 7 7 Jadi jika f() u + v, maka f () u' + v' 6 + 7 b. f() 8 Misal: u u' v 8 v' 8 6 6 Jadi jika f() u v, maka f () u' v' 6 c. f() 4 5 + Misal: u 4 u' 4 v 5 v' 5 5 0 5 5 6 w - w' ( ) 6
Jadi jika f() u v + w, maka f () u' v' + w' 5 + ( 6 ) 5 6 6 e. f() 6 + Misal: u 6 u' 6 6 0 6 v w w' 0 v' Jadi jika f() u v + w, maka f () u' v' + w' 6 6 ) Turunan fungsi yang berbentuk y u v + 0 Jika y f() u() v(), di mana turunan dari u() adala u'() dan turunan dari v() adala v'(), maka turunan dari f() adala f () u'() v() + u() v'(). Bukti: f() u() v() f () f + f 0 ( ) ( ) u+ v+ u v 0 ( ) ( ) ( ) ( ) u ( + ) v ( + ) u ( ) v ( ) + u ( + ) v ( ) u ( + ) v ( ) 0 u+ v+ u+ v+ u+ v u v 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u+ v+ v + v u+ u 0 ( ) { ( ) ( )} ( ) { ( ) ( )} v ( + ) v ( ) u ( + ) u ( ) u( + ) + v( ) 0 0 0 0 f () u'() v'() + v() u'() Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v'.
Agar lebi jelas, pelajarila conto soal berikut. Conto soal Carila dy d jika: a. y (5 + ) c. y ( + )( 5) b. y ( + ) d. y ( 7)( ) a. y (5 + ) Cara : y (5 + ) y 5 + ; maka y' 5 + y' 0 + 0 y' 0 + y' 0 + atau Cara : y (5 + ) misal: u u' v 5 + v' 5 + 0 5 Jadi jika y u v, dy d 0 + maka y' u' v + u v' y' (5 + ) + (5) y' 5 + + 5 y' 0 + atau b. y ( + ) Cara : y ( + ) y 6 +, maka y' 6 + 8 + 6 Cara : y ( + ) ( + ) misal: u + u' v v' 6 Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v' y' + ( + ) 6 y' 6 + + 6 y' 8 + 6 c. y ( + ) ( 5) misal: u + u' v 5 v' Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v' ( 5) + ( + ) 0 + + 4 9 dy d 0 + 7
d. y ( 7)( ) u + 7 u' v v' Jadi jika y u v, maka y' u' v + u v' ( ) + ( + 7) 4 6 + + 4 6 6 + 4 8 Dengan cara yang sama didapat rumus: Untuk u dan v masing-masing fungsi, u' turunan dari u dan v' turunan dari v dan k bilangan konstan maka berlaku sebagai berikut. y u ± v, maka y' u' ± v' y k u, maka y' k u' y u v, maka y' u'v + uv' y u v, maka y' u v uv v y u n, maka y' n u n u' Untuk lebi jelasnya peratikan conto soal berikut ini. Conto soal. Carila turunan pertama dari: a. y + b. y 5 + 6. Carila turunan pertama dari: a. y ( ) b. y ( + 5 ) 5. a. y 5 + 6 misal: u u' v 5 + 6 v' 5 Jika y u v, maka y' u v uv (5+ 6) ( )5 v (5 + 6) 5+ 8 5+ 0 (5 + 6) 8 (5 + 6)
+ b. y misal: u + u' + v v' Jika y u v, maka y' u v uv v. a. y ( ) (+ )( ) ( + ) ( ) 6 + 6 ( ) 6 6 ( ) misal: u u' Jika y u n, maka y' n u n u' ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 9 + 9) ( 5 + 9) 6 5 4 + 8 b. y ( + 5 ) 5 misal : u + 5 u' 0 Jika y u n, maka y' n u n u' 5( + 5 ) 5 0 50( + 5 ) 4 9 Coba kamu diskusikan dan buktikan teorema berikut dengan kelompokmu. Jika y u v maka y' u ' v uv' v Aturan Rantai untuk Mencari Turunan Fungsi Untuk mencari turunan dari y ( 5), lebi daulu arus menjabarkan ( 5) menjadi 4 0 + 5 kemudian menurunkannya satu persatu. Tetapi kamu belum bisa mencari turunan fungsi yang berbentuk y +. Untuk itu perlu dikembangkan teknik yang erat ubungannya dengan fungsi-fungsi majemuk yang tela kita pelajari. Untuk lebi jelasnya, pelajarila uraian berikut.
Jika y f g sedemikian ingga y f(g()) di mana f dan g adala fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka y juga mempunyai turunan seingga: y' f (g()) g'() Dalam bentuk lain dapat diuraikan sebagai berikut. Misalnya z g(), maka g'() d dz dy dan f. g()) f (z) dz seingga y' f (g()) g'() dy d dy dz d dz Jadi: dy d dy dz d dz Untuk lebi jelasnya peratikan conto soal berikut ini. Conto soal 0 Tentukan turunan pertama dari y ( + 4 ). Misal: z + 4 dz d 4 + 4 y z 0 dy dz 0z9 dy dz y' 0z dz d 9 (4 + 4) 0( + 4 ) 9 (4 + 4) 0 8. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Carila turunan pertama dari: a. y 5 + 5 b. y 5 + 7 5 c. y +. Carila turunan pertama dari: a. y ( + ) ( 7) b. y ( + 4) (5 ) c. y (5 + ) ( )
. Carila turunan pertama dari: a. 5 y 4 + b. y 5 + c. y + 4. Carila turunan pertama dari: a. y ( + ) c. y + 5 b. y ( ) 5 5. Carila turunan fungsi-fungsi di bawa ini, kemudian carila nilai fungsi turunan itu untuk nilai yang diberikan. a. y 5 + + 4, untuk c. y + 6, untuk b. y ( + 5) ( ), untuk d. y ( + ), untuk 6. Dengan aturan rantai carila turunan pertama dari: a. y ( ) 9 c. y + 4 b. y 5. Turunan Fungsi Trigonometri Untuk menentukan turunan fungsi trigonometri dapat dicari sebagai berikut. f () f + f 0 ( ) ( ) Peratikan conto soal berikut. Conto soal. Tentukan turunan dari f() sin. f() sin sin A sin B f( + ) sin ( + ), maka f () f( + ) f( ) 0 sin( + ) sin 0 cos ( + + )sin ( + ) 0 Ingat!! cos (A + B) sin (A B) cos A cos B sin (A + B) sin (A B)
cos( + )sin 0 sin cos ( + ) 0 0 cos cos. Tentukan turunan dari f() cos. f() cos f( + ) cos ( + ), maka: f () f( + ) f( ) 0 cos( + ) cos 0 + + + sin sin 0 + sin sin 0 ( ) sin + sin 0 sin sin( + ) 0 0 sin ( + 0) sin Ingat!! cos A sec A sin A + cos A Buatla kelasmu menjadi beberapa kelompok, buktikan:. Jika y tan, maka y' sec. Jika y cot, maka y' cosec. Jika y sin u, maka y' u' cos u Setela itu cocokkan dengan kelompok lain, adakan diskusi per kelompok.
Dengan cara yang sama didapat rumus sebagai berikut.. Jika y sin, maka y' cos. Jika y cos, maka y' sin. Jika y tan, maka y' sec 4. Jika y cot, maka y' cosec 5. Jika y sin U, maka y' U' cos U 6. Jika y sin n U, maka y' n sin n U cos U' 7. Jika y sec, maka y' sec tan 8. Jika y cosec, maka y' cosec cot Conto soal. Tentukan turunan pertama fungsi berikut. a. f() sin b. f() 5 sin ( 5 + 6) a. f() sin f () cos b. f() 5 sin ( 5 + 6) f () 5 5 cos ( 5 + 6) cos ( 5 + 6). Jika y 7 tan, tentukan dy d. y 7 tan 7 cos sin misal: u 7 sin u' 7 cos v cos v' sin y' u v uv v 7cos cos 7sin ( sin ) cos 7cos + 7sin cos 7(cos + sin ) cos 7 cos 7 sec Ingat!! cos A + sin A cos A sec A
. Carila f () dan nilai f ( π ) jika diketaui f() sec. 4 f() sec f () sec + sec tan f ( π) π sec π + ( π) sec π tan π π + 9 π 4 π + 9 π 8. Kerjakan soal-soal di bawa ini dengan benar.. Carila f () dari fungsi-fungsi di bawa ini. a. f() sin c. f() 6 sin + cos b. f() cos d. f() cot. Carila f () dan nilai dari fungsi f () dari: π a. f() 4 sin, untuk π 6 b. f() cos, untuk π c. f() 4 tan +, untuk 6. Carila turunan pertama dari: a. y sin c. y sin ( + ) b. y cos 4 d. y cos ( ) 4. Carila dy d dari: a. y sin c. y b. y cos d. y 5 sin cos 5. Carila dy d dari: a. y cos ( ) c. y sin b. y sin ( ) d. y cos