BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran matahari pada porosna. Jarak (S) ang ditempuh oleh suatu mobil misalna, dipengaruhi oleh waktu tempuhna (t). Demikian juga demand (d) konsumen dipengaruhi oleh quantit (q) barang dan price(p) nilai harga ang ada di pasaran. Dalam bahasa matematika dapat dinatakan bahwa jarak adalah fungsi dari waktu, demand merupakan fungsi dari jumlah dan harga barang. Ini berati begitu pentingna pemahaman fungsi dalam menjelaskan fenomena jagad raa ini. Namun demikian apabila kita lihat pembelajaran di sekolah, tidak sedikit Bapak atau Ibu guru di lapangan ang menemui kesulitan dalam pembelajaran konsepkonsep tentang relasi dan fungsi. Dari hasil Monitoring dan Evaluasi di lapangan ang dilakukan oleh PPPG Matematika Yogakarta terhadap para alumnus dan guru imbasna menunjukkan bahwa topik tentang fungsi ini merupakan salah satu dari beberapa pokok bahasan ang dianggap relatif sulit oleh guru maupun siswa. Sehubungan dengan hal tersebut, kami mencoba menusun atau merangkum dari berbagai sumber untuk bisa disajikan sebagai bahan ajar mata diklat Relasi dan Fungsi. B. Tujuan Bahan ajar ini disusun dengan tujuan meningkatkan wawasan dan kemampuan peserta diklat untuk mengembangkan keterampilan siswa SMK dalam memecahkan masalah relasi dan fungsi. C. Ruang Lingkup Ruang lingkup materi ang dibahas dalam bahan ajar ini meliputi : 1. Pengertian relasi, fungsi, sifat dan jenis-jenis fungsi.. Fungsi linier, fungsi kuadarat, dan penerapanna. Rchmd: rls&fngs-smk004 1
BAB II PENGERTIAN RELASI, FUNGSI, SIFAT DAN JENIS FUNGSI Setelah mengikuti pembelajaran Bab II ini peserta diklat diharapkan dapat menjelaskan pengertian relasi, fungsi, sifat, dan jenis fungsi dengan benar. Galileo Galilei (1564-164) merupakan salah satu astronom terkenal dari Italia ang dikenal luas dengan penemuanna tentang hubungan ang sangat teratur antara tinggi suatu benda ang dijatuhkan dengan waktu tempuhna menuju tanah, sebagaimana ditunjukkan dengan tabel berikut: Waktu t (dalam detik) 0 1 3 4 5 Jarak d (dalam kaki) 0 16 64 144 56 400 Tabel 1.1 Tabel di atas menunjukkan bahwa jarak ang ditempuh d (dalam kaki/feet) merupakan fungsi dari waktu (dalam menit) dengan rumus d = (4t). Dengan rumus fungsi itu, nilai dari suatu peubah akan dapat ditentukan jika nilai dari peubah ang satuna diketahui. Konsep fungsi terdapat hampir dalam setiap cabang matematika sehingga merupakan suatu ang sangat penting artina dan banak sekali kegunaanna. Akan tetapi pengertian dalam matematika agak berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari. Gb..1 Dalam pengertian sehari-hari, fungsi adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) ang gambarna terlihat di atas digunakan untuk menatakan suatu hubungan atau kaitan ang khas antara dua himpunan. Rchmd: rls&fngs-smk004
Mengingat konsep fungsi menangkut hubungan atau kaitan dari dua himpunan, maka disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi antara dua himpunan. A.Pengertian Relasi Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. Contoh: A = {,3,4,5,6} B = {1,,3,4,5,6} Relasi : adalah faktor dari Dapat disajikan dalam dua macam cara. a. Dengan diagram panah. 3. 4. 5. 6. 1.. 3. 4. 5. 6. Gb.. b. Dengan diagram pasangan berurutan. R = {(,), (,4), (,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)} Dengan menggunakan penajian relasi di atas, maka relasi R dari himpunan A ke himpunan B dapat kita definisikan sebagai himpunan pasangan (a,b) pada A B, di mana a A dan b B salah satu dari kalimat berikut: (1) a berelasi dengan b ditulis a R b atau R(a,b) () a tidak berelasi dengan b ditulis a R b atau R (a,b) Relasi atau hubungan itu dapat terjadi di berbagai bidang misalna ekonomi, IPA, keteknikan dan lain sebagaina, seperti hubungan antara jumlah suatu barang dengan hargana, dalam hubungan antara harga dengan permintaan atau penawaran, dalam hubungan antara kekuatan suatu zat radioaktif dengan waktu. Rchmd: rls&fngs-smk004 3
B. Pengertian Fungsi Perhatikan diagram dibawah ini: a. b. c. d.... z. u Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi sering juga disebut dengan istilah pemetaan (mapping) didefinisikan sebagai berikut: A f B Gb..4 Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi ang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B. Ditulis f : A B dibaca fungsi f pemetaan A ke dalam / into B Apabila f memetakan suatu elemen A ke suatu B dikatakan bahwa adalah peta dari oleh f dan peta ini dinatakan dengan notasi f(), dan biasa ditulis dengan f: f(), sedangkan biasa disebut prapeta dari f() Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f, sedangkan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan daerah hasil (range) dari fungsi f tersebut. Contoh 1: Diagram sebagaimana pada G.b..4 di atas adalah fungsi karena pertama, terdapat relasi (ang melibatkan dua himpunan akni A dan B) dan kedua, pemasangan setiap elemen A adalah secara tunggal. Contoh : a. b. c. d.... z. u Diagram di samping bukan merupakan fungsi karena ada elemen A ang dipasangkan tidak secara tunggal dengan elemen pada B A f B Contoh 3 : Diketahui A = { -3 < 3, R} dan suatu fungsi f: A R Ditentukan oleh rumus f() = + 1 Rchmd: rls&fngs-smk004 4
a. Carilah f(-1), f(0) dan prapeta dari 5 b. Dengan melukis grafik, tentukan daerah hasil dari fungsi f. c. Jelaskan bahwa f adalah suatu fungsi. Jawab: a. f() = + 1 f(-1) = (-1) + 1 = f(0) = 0 + 1 = 1 Prapeta dari 5 + 1 = 5 = 4 = + Sehingga prapeta dari 5 adalah atau b. Dibuat grafik = + 1 = + 1 daerah hasil f(-3) = (-3) + 1 =10 f(3) = (3) + 1 = 10 titik balik (0,1) Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah: R = { 1 < < 10, R }, karena nilai f() = terletak pada interval tersebut daerah hasil sebagaimana terlihat pada sumbu. Gb..5 c. Karena f suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu ) dipasangkan secara tunggal maka f merupakan fungsi. C.Sifat Fungsi Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing himpunan A dan B ang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi akni sebagai berikut : 1. Injektif (Satu-satu) Misalkan fungsi f menatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen ang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen ang berbeda di B. Selanjutna secara singkat dapat dikatakan bahwa f:a B adalah fungsi injektif apabila a a berakibat f(a) f(a ) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a ) maka akibatna a = a. Contoh: 1. Fungsi f pada R ang didefinisikan dengan f() = bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-) = f(). Rchmd: rls&fngs-smk004 5
. 1.. 3. 4.. 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8 Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} ang didefinisikan dengan f() = adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan ang berlainan adalah berlainan pula. A f B Gb..10. Surjektif (Onto) Misalkan f adalah suatu fungsi ang memetakan A ke B maka daerah hasil f(a) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(a) B. Apabila f(a) = B, ang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangna satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau f memetakan A Onto B Contoh: 1. Fungsi f: R R ang didefinisikan dengan rumus f() = bukan fungsi ang onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut.. a b c d z Misal A = {a, b, c, d} dan B = {,, z} dan fungsi f: A B ang didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu fungsi ang surjektif karena daerah hasil f adalah sama dengan kodomain dari f (himpunan B). A B Gb..11 Rchmd: rls&fngs-smk004 6
c.bijektif (Korespondensi Satu-satu) Suatu pemetaan f: A B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi ang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan f adalah fungsi ang bijektif atau A dan B berada dalam korespondensi satu-satu. Contoh: 1) a b c p r q Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p, q, r} ang didefinisikan sebagai diagram di samping adalah suatu fungsi ang bijektif. Gb..1. Fungsi f ang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu kotapun ang menjadi ibu kota dua negara ang berlainan. D.Jenis jenis Fungsi Jika suatu fungsi f mempunai daerah asal dan daerah kawan ang sama, misalna D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinatakan maka ang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut. a. Fungsi Konstan f : C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f memetakan setiap bilangan real dengan C. Fungsi f: 3 3 f(-) = 3 f(-) = 5 f = f() = 3 f (-) = 3 f (0) = 3 f (5) = 3-5 Gb..6 Rchmd: rls&fngs-smk004 7
b. Fungsi Identitas Fungsi R R ang didefinisikan sebagai: f : disebut fungsi identitas. = 3 1 f(1) = 1 f() = f(3) = 3 0 1 3 Gb..7 c.fungsi Linear Fungsi pada bilangan real ang didefinisikan : f() = a + b, a dan b konstan dengan a 0 disebut fungsi liniar. = f() α f(q) f(p) b q p α p q Gb..8 f() = a + b f(p) = ap + b f(q) = aq + b f(q) - f(p)= a(q-p) f (q) (f (p) = a = tan α, disebut gradien dari garis = a + b tersebut. q p Jika garis = m + c maka gradienna adalah m dan melalui titik (0,c). Rchmd: rls&fngs-smk004 8
d.fungsi Kuadrat Fungsi f: R R ang ditentukan oleh rumus f() = a + b + c dengan a,b,c R dan a 0 disebut fungsi kuadrat. Contoh: Gambarlah sketsa grafik fungsi f() = 3. Jawab: Gb..9 e.fungsi Rasional P() Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f() = dengan P() dan Q() Q() adalah suku banak dalam dan Q() 0. Contoh : f() = 3 + + 1 maka grafikna adalah sebagai berikut : X=3 X=-1 Rchmd: rls&fngs-smk004 9
Latihan 1 : 1. 1. Diantara fungsi-fungsi berikut, manakah ang merupakan fungsi injektif, surjektif, serta bijektif? Berilah penjelasanna! a b c d z a b c w z (i) (ii) a b c z a b c d w z (iii) (iv). Diketahui himpunan D = {1,,3,4,5}. Suatu relasi pada D ini, manakah ang berupa pemetaan dan berikan alasanna! a.r = {(1,1),(,),(3,3),(4,4),(5,5)} b.r = {(1,),(,3),(,4),(4,5),(5,1)} c.r = {(1,),(,),(3,),(4,),(5,)} 3.Suatu fungsi f: R R ditentukan oleh f() = + a.tentukan f(-1), f(a), dan f(1). b.tentukan a jika f(a) = 7 c.anggota manakah dari daerah asal ang mempunai peta 18? 4.Manakah ang merupakan fungsi injektif, surjektif, atau bijektif dari fungsi dengan domain {1,, 3, 4}, ang didefinisikan sebagai berikut? a. R = {(1, 1), (, 3), (3, 5), (4, 7); jika kodomainna {1,, 3, 4, 5, 6, 7} b. R = {(1, 1), (, ), (3, 3), (4, 1); jika kodomainna {1,, 3} c. R = {(1, 4), (, 3), (3, ), (4, 1); jika kodomainna {1,, 3, 4} d. R = {(1, 1), (, ), (3, ), (4, 4); jika kodomainna {1,, 3, 4, 5, 6} 5. Misalkan A = [ 1, 1] = { 1 1, R}. Apakah fungsi di bawah ini surjektif? a. f: A A ; didefinisikan f() = c. f: A A ; didefinisikan f() = b. f: A A ; didefinisikan f() = 1 d. f: A A ; didefinisikan f() = 3 Rchmd: rls&fngs-smk004 10
Rchmd: rls&fngs-smk004 11
BAB III FUNGSI LINEAR, FUNGSI KUADRAT DAN PENERAPANNYA Setelah mengikuti pembelajaran Bab III peserta diklat diharapkan dapat menjelaskan tentang fungsi linier, fungsi kuadrat, dan penerapanna dalam bidang ekonomi A.Fungsi Linier Bentuk umum fungsi linier : = f() = a + b, a, b R dan a 0. Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linier bisa dilakukan dengan dua cara aitu dengan membuat tabel dan dengan menentukan titik potong dengan sumbu- dan sumbu-. Contoh : Gambarlah grafik fungsi = + 3 Penelesaian : -Dengan membuat tabel : = +3 5 = + 3 4 1 0 1 3 1 3 5 1 Dari tabel diperoleh titik-titik berupa pasangan koordinat, kita gambar titik tersebut dalam bidang Cartesius kemudian dihubungkan, sehingga tampak membentuk garis lurus. 3 1 1 1 3 -Dengan menentukan titik-titik potong dengan sumbu- dan sumbu- = + 3 Titik potong grafik dengan sumbu-: =0 0 = + 3 = 3 = 3 Rchmd: rls&fngs-smk004 11
3 sehingga titik potong grafik dengan sumbu adalah, 0 Titik potong grafik dengan sumbu-: =0 = + 3 =.0 + 3 = 0 + 3 = 3 sehingga titik potong grafik dengan sumbu- adalah (0,3) Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang Cartesius kemudian dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus. 5 4 (- 3,0) 1 3 1 1 3 (0,3) = +3 1 3 1. Gradien Gradien atau koefisien arah (m) adalah konstanta ang menunjukkan tingkat kemiringan suatu garis. Perhatikan gambar berikut ini : 1 α m = = 1 1 = f( ) f(1) 1 1 Rchmd: rls&fngs-smk004 1
Persamaan garis = m + c, dengan m, c R, dalam hal ini m, c adalah konstanta, dengan m melambangkan gradien / koefisien arah garis lurus. Pada gambar di atas, misalkan α adalah sudut antara garis horisontal (sejajar sumbu ) dan grafik fungsi linier dengan arah putaran berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, maka gradien dapat pula didefinisikan sebagai m = = tgα. Jadi m = tg α. Catatan : a. Jika m = 0 maka grafik sejajar dengan sumbu- dan ini sering disebut sebagai fungsi konstan. b. Jika m > 0 maka grafik miring ke kanan (0 <α<90 ) c. Jika m < 0 maka grafik miring ke kiri (90 <α<180 ). Menentukan persamaan garis melalui satu titik dan bergradien m. Misalkan garis = m + c melalui titik P ( 1, 1 ), setelah nilai koordinat titik P disubstitusikan ke persamaan garis tersebut diperoleh: = m + c 1 = m 1 + c 1 = m ( 1 ) Jadi rumus persamaan garis melalui titik P ( 1, 1 ), dan bergradien m adalah 1 = m ( 1 ) 3. Menentukan persamaan garis melalui dua titik. Persamaan garis melalui dua titik A ( 1, 1 ) dan B (, ) dapat dicari dengan langkah sebagai berikut: persamaan garis melalui titik A ( 1, 1 ) dengan memisalkan gradienna m adalah 1 = m ( 1 )... (i) karena garis ini juga melalui titik B (, ), maka 1 = m ( 1 ), sehingga diperoleh gradienna m = 1 1... (ii) Rchmd: rls&fngs-smk004 13
persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) diperoleh 1 1 = 1. Jadi persamaan garis melalui dua titik A ( 1, 1 ) dan B (, ) adalah 1 1 = 1 4. Menentukan titik potong antara dua garis. Misalkan dua garis g 1 dan g saling berpotongan di titik P (,) maka nilai dan harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua garis dapat dicari dengan metode substitusi, eliminasi, atau membuat sketsa grafikna. 5. Hubungan gradien dari dua garis. a.garis g 1 ang bergradien m 1 dikatakan sejajar dengan garis g ang bergradien m jika memenuhi m 1 = m b.garis g 1 ang bergradien m 1 dikatakan tegak lurus dengan garis g ang bergradien m jika memenuhi m 1. m = 1 6. Fungsi linier dalam ekonomi Domain : jumlah barang/jasa (quantit) dilambangkan dengan Q Kodomain : harga (price) dilambangkan dengan P a. Fungsi Permintaan Fungsi permintaan menatakan hubungan antara banakna suatu barang ang diminta dengan variabel harga. Fungsi permintaan berasal dari hukum permintaan bahwa: - Jika harga suatu barang naik maka permintaan akan turun - Jika harga suatu barang turun maka permintaan akan naik. P (0,b) P= aq + b, a > 0 b (,0) a Q Rchmd: rls&fngs-smk004 14
b. Fungsi penawaran Fungsi penawaran menatakan hubungan antara banakna suatu barang ang ditawarkan dengan variabel harga. Fungsi penawaran berasal dari hukum penawaran bahwa: - Jika harga suatu barang naik maka jumlah barang ang ditawarkan akan meningkat - Jika harga suatu barang turun maka jumlah barang ang ditawarkan akan menurun P (0,b) P= aq + b, a > 0 Q c. Keseimbangan pasar Keseimbangan pasar terjadi jika harga ang diminta sama dengan harga ang ditawarkan, atau jumlah barang ang diminta pasar sama dengan jumlah barang ang ditawarkan. P E S D: fungsi permintaan (demand) S: fungsi penawaran (suppl) D Q Titik keseimbangan pasar (E) merupakan titik perpotongan antara fungsi permintaan (D) dan fungsi penawaran (S). Rchmd: rls&fngs-smk004 15
B. Beberapa Contoh Aplikasi Fungsi Linier dalam Ekonomi 1. Model Biaa Linier Biaa total = Biaa Tetap + Biaa Variabel atau : c = m + b Contoh : Sebidang tanah dengan harga perolehan Rp. 50.000.000,00 diperkirakan mengalami tingkat kenaikan konstan Rp. 00.000,00 per tahun dalam kurun waktu 5 tahun. Tentukan persamaan garis harga tanah tersebut dan nilai tanah setelah 5 tahun! Penelesaian : Misalkan (tahun) sebagai kurun waktu dan (Rp) sebagai nilai harga. Dari data diketahui bahwa : = Rp. 50.000.000,00 jika = 0 gradien = m = Rp. 00.000,00 (karena tiap tahun bertambah Rp. 00.000,00), dengan demikian diperoleh persamaan garis harga; = m + b = 00.000 + 50.000.000 Lima tahun sejak perolehan, nilai tanah dapat diperoleh dengan = 00.000 5 + 50.000.000 = 1.000.000 + 50.000.000 = Rp. 51.000.000. Titik Pulang Pokok Jika c adalah biaa produksi dan r adalah biaa diperoleh dari penjualan, maka nilai titik pulang pokok ( break event point) diperoleh jika c = r. Contoh : Sebuah pabrik memproduksi mainan anak-anak dengan biaa variabel Rp. 4.000,00 per buah dan biaa tetap tiap bulanna Rp. 1.000.000,00. Jika mainan itu dijual seharga Rp. 10.000,00 per buah, tentukan titik pulang pokok! Penelesaian : Misalkan mainan ang diproduksi tiap bulan buah. Jadi total biaa model biaa linier r = 4.000 + 1.000.000. Mainan ang terjual tiap bulan sebanak buah Rchmd: rls&fngs-smk004 16
juga. Dengan demikian dipenuhi c = 10.000,sehingga titik pulang pokok diperoleh dari r = c 4.000 + 1.000.000 = 10.000 1.000.000 = 10.000 4.000 = 6.000 =.000 Dengan mensubstitusikan nilai ke dalam c = 10.000, didapat c = 10.000.000 = 0.000.000 ( 10.000 40.000 0.000 000 4000 Jadi operasi titik pulang pokok pabrik itu terjadi pada produksi.000 unit ang menghasilkan titik pulang pokok Rp. 0.000.000,00 3. Keseimbangan Pasar Keseimbangan pasar terjadi pada suatu harga dimana kuantitas permintaan sama dengan kuantitas persediaan, atau fungsi permintaan sama dengan fungsi penawaran, ang dapat dinatakan sebagai D = S Contoh: Jika persamaan permintaan (D) dan persediaan (S) masing-masing D : 3p + 5 =...(i) S : p 3 =...(ii) Tentukan nilai dan p pada keseimbangan pasar! Penelesaian: Persamaan (i) dan (ii) bentuk sistem persamaan linier untuk dua variabel p dan. Selesaikan dengan metode eliminasi, akni mengalikan persamaan (i) dengan 3 dan mengalikan persamaan (ii) dengan 5 kita peroleh : Rchmd: rls&fngs-smk004 17
9p + 15 = 66 10p 15 = 10 + 19p = 76 p = 4 dengan mensubstitusikan p = 4 pada persamaan (i), kita peroleh 3 (4) + 5 =, maka =. Jadi keseimbangan pasar terjadi apabila p = dan = 4. C. Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah = a + b + c dengan a,b, c R dan a 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut fungsi parabola. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunai titik balik minimum, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah sehingga mempunai titik balik maksimum. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat = a + b + c 1. Tentukan pembuat nol fungsi = 0 atau f() = 0 Pembuat nol fungsi dari persamaan kuadrat = a + b + c diperoleh jika a + b + c = 0. Sehingga diperoleh nilai ang memenuhi a + b + c = 0 Nilai ini tidak lain adalah absis titik potong dengan sumbu-, sedangkan untuk menentukan titik potong dengan sumbu-, dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai tadi pada persamaan kuadrat semula. b. Tentukan sumbu simetri = a 3. Tentukan titik puncak P (,) dengan diskriminan D = b 4ac b = dan a D = ; dengan nilai 4a Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut: Rchmd: rls&fngs-smk004 18
a < 0, D > 0 a < 0, D = 0 a < 0, D < 0 1 1= Definit negatif a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a < 0, D = 0 1 1= Definit positif Catatan : Persamaan Kuadrat a + b + c = 0 dapat dicari akar-akarna dengan: - pemfaktoran - melengkapi bentuk kuadrat sempurna b ± b 4ac - Rumus abc: 1, = a Contoh : Gambarlah sketsa grafik fungsi = 6 + 5 Penelesaian : a. Menentukan pembuat nol fungsi, dengan pemfaktoran diperoleh 6 + 5 = 0 ( 1) ( 5) = 0 = 1 atau = 5 b ( 6) 6 b. Menentukan sumbu simetri = = = = 3 a.1 c. Menentukan titik puncak P (,) Rchmd: rls&fngs-smk004 19
Karena nilai sudah diperoleh maka tinggal mencari nilai dengan substitusi = 3 pada fungsi semula = 3 6 (3) + 5 = 9 18 + 8 = 4 Jadi puncak parabola adalah titik (3, 4) sehingga sketsa grafikna seperti pada gambar di samping. 0-1 - -3-4 1 3 4 5 D. Beberapa Contoh Aplikasi Fungsi Kuadrat dalam Ekonomi Contoh 1: Sebuah pabrik menjual produkna Rp. 1.000,00 per unit. Biaa pembuatan unit didapat menurut persamaan C = 10.000 + 100 +. Berapa banak unit harus dan dijual untuk menerima laba Rp. 19.500,00? Penelesaian: Kita mulai dengan memisalkan penerimaan dari penjualan unit = 1.000. Biaa pembuatan unit = 10.000 + 100 + Laba dari penjualan unit = 1.000 (10.000 + 100 + ) Dengan demikian dipenuhi persamaan 1.000 (10.000 + 100 + ) = 19.500 Penelesaian secara aljabar diperoleh 900 10.000 = 19.500 900 + 0.500 = 0 ( 450) = 0 1 = = 450 Jadi untuk menerima laba Rp. 19.500, perlu dibuat 450 unit. Contoh : Permintaan barang-barang ang diproduksi oleh sebuah industri diberikan dengan persamaan p + = 109, dimana p ialah harga dan adalah kuantitas permintaan. Persediaan diberikan dengan p = + 7. Berapakah keseimbangan harga dan kuantitas? Rchmd: rls&fngs-smk004 0
Penelesaian: Keseimbangan pasar dan kuantitas adalah nilai positip p dan ang memenuhi persamaan permintaan dan persediaan. p + = 109...(i) p = + 7... (ii) Substitusikan nilai p dari persamaan (ii) ke dalam persamaan (i) diperoleh ( + 7) + = 109 + 14 + 49 =109 + 7 60 = 0 ( + 1) ( 5) = 0 1 = -1 atau = 5 Nilai negatif tidak dapat diterima, jadi = 5. Dengan mensubstitusikan = 5 ke dalam persamaan (ii) kita peroleh p = 5 + 7 = 1. Jadi keseimbangan harga ialah 1 dan kuantitas ialah 5. Latihan : 1. Tentukan persamaan garis ang melalui a. titik M(-1,) dan N(1,8) b. titik (3,4) dan membentuk sudut 60 terhadap sumbu positif 1. Diketahui gradien garis g adalah. Jika garis tersebut melalui titik A (,3) dan B(k,6), tentukan nilai k! 3. Tentukan persamaan garis l ang melalui R (3,1) dan tegak lurus garis PQ dimana titik P (,3) dan Q (6,5). 4. Tentukan keseimbangan harga dan kuantitas untuk kurva permintaan dan persediaan, jika D: p + = 5 dan S: p = + 1. 5. Sebuah pabrik detergen dapat menjual 10.000 sachet per minggu,jika harga harga Rp. 1.00,00 per sachet. Akan tetapi penjualan bertambah menjadi 1.000 sachet apabila harga diturunkan menjadi Rp. 1.100,00 per sachet. Tentukan hubungan permintaan kalau dianggap hubungan itu linier. Rchmd: rls&fngs-smk004 1
Rchmd: rls&fngs-smk004