Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 1 / 62

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 2 / 62

Bahasan 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 3 / 62

Bahasan Motivasi dan Pengenalan OBE 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 4 / 62

Motivasi Motivasi dan Pengenalan OBE Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar grafik), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 5 / 62

Motivasi Motivasi dan Pengenalan OBE Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar grafik), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1 Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 5 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar grafik), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1 Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3. 2 Metode substitusi, eliminasi, maupun eliminasi-substitusi membutuhkan waktu yang relatif lama. Selain itu penerapan metode-metode ini juga rentan dengan kesalahan aritmetika. Singkatnya, metode-metode ini terlalu nguli. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 5 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar grafik), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1 Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3. 2 Metode substitusi, eliminasi, maupun eliminasi-substitusi membutuhkan waktu yang relatif lama. Selain itu penerapan metode-metode ini juga rentan dengan kesalahan aritmetika. Singkatnya, metode-metode ini terlalu nguli. Pada kuliah ini, kita akan mempelajari operasi baris elementer (OBE) dan eliminiasi Gauss-Jordan (EGJ) sebagai salah satu metode untuk mencari solusi dari SPL dengan persamaan dan peubah yang cukup banyak. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 5 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE Operasi Baris Elementer Operasi baris elementer merupakan suatu operasi yang dilakukan pada suatu matriks. Operasi ini terdiri atas: 1 OBE 1: Perkalian dengan skalar tak nol. 2 OBE 2: Penukaran baris. 3 OBE 3: Penjumlahan kelipatan skalar suatu baris dengan baris yang lain. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 6 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = (1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = (1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). (1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL (1) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y = 2 (1) (2) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y = 2 (1) (2) Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 juga solusi dari SPL (2). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x + y = 4 x y = 2 Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y = 2 (1) (2) Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 juga solusi dari SPL (2). Secara umum, jika kita mengalikan sembarang persamaan pada SPL (1) dengan sembarang konstanta tak nol, maka solusi SPL baru yang diperoleh juga akan tetap sama. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 2: Menukar Persamaan Pada SPL (1) jika kita menukar posisi persamaan pertama dan persamaan kedua, maka kita akan memperoleh SPL berikut x y = 2 x + y = 4 (3) Jelas bahwa solusi dari SPL (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 8 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE OBE 2: Menukar Persamaan Pada SPL (1) jika kita menukar posisi persamaan pertama dan persamaan kedua, maka kita akan memperoleh SPL berikut x y = 2 x + y = 4 (3) Jelas bahwa solusi dari SPL (3) juga x = 3 dan y = 1. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 8 / 62

OBE 3 Motivasi dan Pengenalan OBE Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 9 / 62

OBE 3 Motivasi dan Pengenalan OBE Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x + y = 4 2y = 2 (4) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 9 / 62

OBE 3 Motivasi dan Pengenalan OBE Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x + y = 4 2y = 2 (4) Solusi dari SPL (4) adalah y = 1 dan x = 3, yang sama dengan solusi SPL (1). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 9 / 62

OBE 3 Motivasi dan Pengenalan OBE Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x + y = 4 2y = 2 (4) Solusi dari SPL (4) adalah y = 1 dan x = 3, yang sama dengan solusi SPL (1). Secara umum, jika kita mengalikan suatu persamaan dengan konstanta dan menambahkan hasilnya ke persamaan lain, maka solusi SPL yang baru juga akan tetap sama. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 9 / 62

Bahasan Representasi Matriks untuk SPL 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 10 / 62

Representasi Matriks untuk SPL Representasi Matriks untuk SPL Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 11 / 62

Representasi Matriks untuk SPL Representasi Matriks untuk SPL Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk ( ) ( ) ( ) 1 1 x 4 = 1 1 y 2 Sekarang kita definisikan representasi matriks dalam bentuk yang lain untuk SPL (1) sebagai berikut MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 11 / 62

Representasi Matriks untuk SPL Representasi Matriks untuk SPL Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk ( ) ( ) ( ) 1 1 x 4 = 1 1 y 2 Sekarang kita definisikan representasi matriks dalam bentuk yang lain untuk SPL (1) sebagai berikut ( ) ( ) 1 1 4 1 1 4 atau 1 1 2 1 1 2 Representasi SPL dalam bentuk (5) kita katakan sebagai matriks diperbesar (augmented matrix) untuk SPL yang bersesuaian. (5) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 11 / 62

Bahasan Operasi Baris Elementer (OBE) 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 12 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya. OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya. OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R j R j + αr i. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1, R 2,..., R m. Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i αr i. Ini berarti baris R i yang baru pada A sama dengan α kali baris R i yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya. OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain. Jika A adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R j R j + αr i. Ini berarti baris R j yang baru pada A sama dengan baris R j yang lama pada A ditambah dengan α kali baris R i yang lama pada A. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 13 / 62

Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 x y = 2 via OBE, matriks diperbesar yang berkaitan adalah MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 14 / 62

Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 x y = 2 ( 1 1 4 berkaitan adalah 1 1 2 ( ) 1 1 4 0). ; 1 1 2 via OBE, matriks diperbesar yang ). Langkah-langkahnya adalah MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 14 / 62

Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) 1 1 4 berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 4 1 1 4 0). ; 1). (R 1 1 2 0 2 2 2 R 2 R 1 ); MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 14 / 62

Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) 1 1 4 berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 4 1 1 4 0). ; 1). (R 1 1 2 0 2 2 2 R 2 R 1 ); ( ) 1 1 4 (R2 2). 0 1 1 1 2 R 2) ; MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 14 / 62

Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) 1 1 4 berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 4 1 1 4 0). ; 1). (R 1 1 2 0 2 2 2 R 2 R 1 ); ( ) ( ) 1 1 4 (R2 2). 0 1 1 1 2 R ) 1 0 3 2 ; 3). (R 0 1 1 1 R 1 R 2 ). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 14 / 62

Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) 1 1 4 berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 4 1 1 4 0). ; 1). (R 1 1 2 0 2 2 2 R 2 R 1 ); ( ) ( ) 1 1 4 (R2 2). 0 1 1 1 2 R ) 1 0 3 2 ; 3). (R 0 1 1 1 R 1 R 2 ). Pada langkah terakhir kita memiliki matriks ( ) 1 0 3. (6) 0 1 1 Dari bentuk (6) kita dengan mudah mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 merupakan solusi dari SPL (1). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 14 / 62

Contoh OBE Operasi Baris Elementer (OBE) Kita akan menyelesaikan SPL x + y = 4 via OBE, matriks diperbesar yang x y = 2 ( ) 1 1 4 berkaitan adalah. Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 4 1 1 4 0). ; 1). (R 1 1 2 0 2 2 2 R 2 R 1 ); ( ) ( ) 1 1 4 (R2 2). 0 1 1 1 2 R ) 1 0 3 2 ; 3). (R 0 1 1 1 R 1 R 2 ). Pada langkah terakhir kita memiliki matriks ( ) 1 0 3. (6) 0 1 1 Dari bentuk (6) kita dengan mudah mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 merupakan solusi dari SPL (1). Bentuk ketika nilai-nilai dari variabel-variabel suatu SPL dapat diketahui dengan mudah seperti pada (6) kita katakan sebagai bentuk eselon baris tereduksi. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 14 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 3 1 4 10 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 15 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 3 1 4 10 OBE 1 1 1 10 0 1 0 5 2 1 3 5 3 1 4 10 (R 2 R 2 R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 15 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut OBE 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 3 1 4 10 OBE 1 1 1 10 0 1 0 5 0 1 1 15 3 1 4 10 1 1 1 10 0 1 0 5 2 1 3 5 3 1 4 10 (R 3 R 3 2R 1 ) (R 2 R 2 R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 15 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut OBE OBE 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 3 1 4 10 OBE 1 1 1 10 0 1 0 5 0 1 1 15 3 1 4 10 1 1 1 10 0 1 0 5 0 1 1 15 0 2 1 20 1 1 1 10 0 1 0 5 2 1 3 5 3 1 4 10 (R 3 R 3 2R 1 ) (R 4 R 4 3R 1 ). (R 2 R 2 R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 15 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) dapat dilakukan lebih ringkas sebagai 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 OBE 3 1 4 10 1 1 1 10 0 1 0 5 0 1 1 15 0 2 1 20 R 2 R 2 R 1 R 3 R 3 2R 1 R 4 R 4 3R 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 16 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut 1 0 0 2 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 17 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut 1 0 0 2 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 OBE 2 0 0 4 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 (R 1 2R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 17 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut 1 0 0 2 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 OBE 2 0 0 4 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 (R 1 2R 1 ) OBE 2 0 0 4 0 3 0 6 1 1 0 4 1 0 1 6 (R 2 3R 2 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 17 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut 1 0 0 2 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 OBE OBE 2 0 0 4 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 2 0 0 4 0 3 0 6 4 4 0 16 1 0 1 6 (R 1 2R 1 ) OBE (R 3 4R 3 ) 2 0 0 4 0 3 0 6 1 1 0 4 1 0 1 6 (R 2 3R 2 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 17 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut 1 0 0 2 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 OBE OBE 2 0 0 4 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 2 0 0 4 0 3 0 6 4 4 0 16 1 0 1 6 (R 1 2R 1 ) OBE (R 3 4R 3 ) OBE dapat dilakukan lebih ringkas sebagai 2 0 0 4 0 3 0 6 1 1 0 4 1 0 1 6 2 0 0 4 0 3 0 6 4 4 0 16 2 0 2 12 (R 2 3R 2 ) (R 4 2R 4 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 17 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian OBE berikut 1 0 0 2 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 OBE OBE 2 0 0 4 0 1 0 2 1 1 0 4 1 0 1 6 2 0 0 4 0 3 0 6 4 4 0 16 1 0 1 6 (R 1 2R 1 ) OBE (R 3 4R 3 ) OBE dapat dilakukan lebih ringkas sebagai 1 0 0 2 2 0 0 4 0 1 0 2 1 1 0 4 0 3 0 6 OBE 4 4 0 16 1 0 1 6 2 0 2 12 2 0 0 4 0 3 0 6 1 1 0 4 1 0 1 6 2 0 0 4 0 3 0 6 4 4 0 16 2 0 2 12 R 1 2R 1 R 2 3R 2 R 3 4R 3 R 4 2R 4 (R 2 3R 2 ) (R 4 2R 4 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 17 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 18 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 OBE 2 2 2 20 3 2 3 25 2 1 3 5 ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 18 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 OBE 2 2 2 20 3 2 3 25 2 1 3 5 ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 18 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 OBE 2 2 2 20 3 2 3 25 2 1 3 5 ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh R 2 yang baru. ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 18 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 OBE 2 2 2 20 3 2 3 25 2 1 3 5 ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh R 2 yang baru. Padahal pada keterangan yang kita berikan kita hanya menulis R 2 R 2 + R 1. ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 18 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan operasi bertingkat (nested operation), karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 1 1 1 10 1 0 1 5 2 1 3 5 OBE 2 2 2 20 3 2 3 25 2 1 3 5 ( R1 2R 1 R 2 R 2 + R 1 Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh R 2 yang baru. Padahal pada keterangan yang kita berikan kita hanya menulis R 2 R 2 + R 1. Jadi R 1 di sini tidak jelas mengacu ke mana. ) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 18 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Tips OBE Simultan Tips OBE Simultan OBE dapat dilakukan secara simultan, namun kita harus menghindari operasi bertingkat pada OBE yang kita lakukan: 1 Pada OBE 1, jika kita melakukan R i αr i, maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R i. 2 Pada OBE 3, jika kita melakukan R j R j + αr i, maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R j dan R i. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 19 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) Tips OBE Simultan Tips OBE Simultan OBE dapat dilakukan secara simultan, namun kita harus menghindari operasi bertingkat pada OBE yang kita lakukan: 1 Pada OBE 1, jika kita melakukan R i αr i, maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R i. 2 Pada OBE 3, jika kita melakukan R j R j + αr i, maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R j dan R i. Singkatnya pada operasi (kiri) (kanan), tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai (kanan). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 19 / 62

Bahasan Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 20 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 0 0 1 6 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi 0 0 1 6 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 memberikan dua PL, yaitu 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 maka diperoleh x 1 = memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t, 2 t, t). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t, 2 t, t). 1 0 0 5 0 1 0 4 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t, 2 t, t). 1 0 0 5 0 1 0 4 tidak memiliki solusi (tidak konsisten), 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Matriks Diperbesar dengan Solusi Mudah Dilihat Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 1 0 1996 0 1 2015 0 0 0 memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015. 0 0 0 1 0 0 4 0 1 0 5 memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6. 0 0 1 6 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 memberikan dua PL, yaitu x 1 + x 3 = 1 x 2 + x 3 = 2. Misalkan x 3 = t, maka diperoleh x 1 = 1 t dan x 2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t, 2 t, t). 1 0 0 5 0 1 0 4 0 0 0 1 tidak memiliki solusi (tidak konsisten), baris terakhir ekivalen dengan ekspresi 0 = 1 yang merupakan kontradiksi. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 21 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 EB. 1 1 0 3 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 EB. 1 1 0 3 0 1 3 0 EB. 1 0 2 4 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 EB. 1 1 0 3 0 1 3 0 EB. 1 0 2 4 0 1 0 1 EB. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan. 1 0 2 4 0 0 1 6 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 EB. 1 1 0 3 0 1 3 0 EB. 1 0 2 4 0 1 0 1 EB. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 0 1 6 0 0 0 1 0 0 1 3 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 EB. 1 1 0 3 0 1 3 0 EB. 1 0 2 4 0 1 0 1 EB. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 1 1 6 0 0 0 1 0 0 1 3 1 0 0 3 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 EB. 1 1 0 3 0 1 3 0 EB. 1 0 2 4 0 1 0 1 EB. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 1 1 6 EB. 0 0 0 1 0 0 1 3 1 0 0 3 3 Semua baris yang seluruh entrinya 0 ditempatkan bersama di baris bawah. 1 2 3 4 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 EB. 1 1 0 3 0 1 3 0 EB. 1 0 2 4 0 1 0 1 EB. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 1 1 6 EB. 0 0 0 1 0 0 1 3 1 0 0 3 3 Semua baris yang seluruh entrinya 0 ditempatkan bersama di baris bawah. 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 1 3 0 0 0 1 EB. 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 0 2 4 0 1 3 6 EB. 1 1 0 3 0 1 3 0 EB. 1 0 2 4 0 1 0 1 EB. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 0 1 6 EB. 1 0 2 4 0 1 1 6 EB. 0 0 0 1 0 0 1 3 1 0 0 3 3 Semua baris yang seluruh entrinya 0 ditempatkan bersama di baris bawah. 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 1 3 0 0 0 1 EB. 0 0 0 0 0 0 1 0 EB. 0 0 0 0 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 22 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 EBT? 0 0 0 0 0 0 1 3 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 23 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 23 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 2 4 0 1 3 7 EBT? 0 0 1 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 23 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 2 4 0 1 3 7 EBT? Tidak, EB? 0 0 1 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 23 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 2 4 0 1 3 7 EBT? Tidak, EB? Ya. 0 0 1 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 23 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 2 4 0 1 3 7 EBT? Tidak, EB? Ya. 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 23 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 2 4 0 1 3 7 EBT? Tidak, EB? Ya. 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 2 EBT? Tidak, 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 23 / 62

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 2 4 0 1 3 7 EBT? Tidak, EB? Ya. 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 2 EBT? Tidak, EB? Tidak. 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 23 / 62

Bahasan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1 Motivasi dan Pengenalan OBE 2 Representasi Matriks untuk SPL 3 Operasi Baris Elementer (OBE) 4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT) 5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 6 Latihan OBE dan EGJ (1) 7 SPL Homogen 8 Latihan OBE dan EGJ (2) 9 Latihan OBE dan EGJ (3) MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 24 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 25 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n c 2....... a m1 a m2 a mn c m matriks diperbesar dari SPL = Bentuk EBT serangkaian OBE MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 25 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut a 11 a 12 a 1n c 1 a 21 a 22 a 2n c 2....... a m1 a m2 a mn c m matriks diperbesar dari SPL = Bentuk EBT serangkaian OBE Catatan: eliminasi Gauss: mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk EB, eliminasi Gauss-Jordan: mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk EBT. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 25 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Contoh Penerapan EGJ Kita akan menentukan solusi dari SPL 2y +z = 7 2x 2y = 2 2x y +z = 3 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL ini adalah. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 26 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Contoh Penerapan EGJ Kita akan menentukan solusi dari SPL 2y +z = 7 2x 2y = 2 2x y +z = 3 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL ini adalah 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 26 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3 2). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot. 2 2 0 2 0 2 1 7 (R 1 R 2 ) 2 1 1 3 3). MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot. 2 2 0 2 0 2 1 7 (R 1 R 2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot. 2 2 0 2 0 2 1 7 (R 1 R 2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1. 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot. 2 2 0 2 0 2 1 7 (R 1 R 2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1. 1 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot. 2 2 0 2 0 2 1 7 (R 1 R 2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1. 1 1 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol. 0 2 1 7 2 2 0 2 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot. 2 2 0 2 0 2 1 7 (R 1 R 2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1. 1 1 0 1 0 2 1 7 ( R 1 1 2 R ) 1 2 1 1 3 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 27 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 4). Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 28 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 4). Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 1 1 0 1 0 2 1 7 0 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 28 / 62

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) 4). Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 1 1 0 1 0 2 1 7 0 1 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 28 / 62