BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Banyak masalah di berbagai bidang, baik aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem persamaan linier, di antaranya adalah masalah lalu lintas dan jaringan komunikasi. Sistem persamaan linier muncul dalam penerapan bidang-bidang seperti: ekonomi, ekologi, demografi, perdagangan, genetika, elektronika, teknik, dan fisika. Sistem persamaan linier terdiri atas dua jenis sistem persamaan yaitu sistem persamaan linier tidak homogen (non-homogen) dan sistem persamaan linier homogen. Dalam menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut ada beberapa metode yang dapat digunakan: 1. Metode Eliminasi Gauss-Jordan 2. Metode Cramer Penyajian masalah dalam sistem persamaan linier yang sesuai dengan masalah tersebut di atas adalah dengan mencari nilai-nilai peubah x i (i = 1, 2, 3,, n). Akan diambil contoh pada persoalan menentukan jumlah kenderaan di bagian kota yang ramai dan dua kelompok jalan satu-arah berpotongan di setiap perempatan, dimana: terdapat empat perempatan yaitu: perempatan A, B, C dan D, serta empat peubah yaitu: x 1, x 2, x 3 dan x 4. Jumlah kenderaan yang memasuki dan meninggalkan setiap perempatan selama jam sibuk telah ditentukan. Penentuan jumlah kenderaan untuk setiap perempatan diselesaikan dengan cara: pada setiap perempatan banyaknya kenderaan yang masuk (m) harus sama

2 dengan banyaknya kenderaan yang keluar (n) atau m = n untuk setiap perempatan. Sistem persamaan pada setiap perempatan diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar dan diselesaikan dengan menggunakan metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier. Penyelesaian sistem persamaan linier yang jumlah persamaannya sedikit dapat diselesaikan secara manual dengan mudah, tetapi jika jumlah persamaannya cukup banyak, prosesnya akan lebih sukar serta kemungkinan terjadinya kesalahan yang cukup besar. Dalam hal inilah komputer menjadi penting dan sangat membantu dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dengan peubah banyak tersebut. Dalam penyelesaian sistem persamaan linier ini dengan komputer diperlukan instruksi-instruksi yang dapat dimengerti oleh komputer, yaitu instruksi atau bahasa yang dimengerti oleh komputer. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen adalah dengan menggunakan salah satu bahasa program yakni Bahasa C. Berdasarkan uraian di atas, maka penulis mencoba membahas salah satu sistem penyelesaian n persamaan linier non-homogen dengan n peubah dengan menggunakan Bahasa C dan penulis memilih judul skripsi Perancangan Program Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Non-Homogen dengan Metode Eliminasi Gauss-Jordan untuk Menentukan Jumlah Kenderaan pada Kasus Arus Lalu Lintas. 1.2 Perumusan Masalah Yang menjadi masalah dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana mencari nilainilai peubah x i (i = 1, 2, 3,, n) untuk menentukan jumlah kenderaan yang memasuki dan meninggalkan setiap perempatan selama jam sibuk. Kondisi yang diberikan adalah lokasi jalan di bagian kota yang padat/ramai dilalui kenderaan dan kelompok jalan berpotongan di setiap perempatan, maka dalam skripsi ini penulis memilih lokasi penelitian di Kawasan Lapangan Benteng Medan, yakni: jalan

3 Benteng, jalan Kapten Maulana Lubis, jalan Raden Saleh, jalan Imam Bonjol, jalan Pengadilan, jalan Kejaksaan, dan jalan Diponegoro. 1.3 Pembatasan Masalah Untuk menghindari terjadinya penyimpangan dari tujuan utama tulisan ini, maka perlu dibuat batasan-batasan permasalahan sebagai berikut: 1. Dalam skripsi ini besarnya biaya dan keefektifan tidak dipermasalahkan. 2. Sistem persamaan linier non-homogen yang dibahas adalah n = n. 3. Dalam pengambilan data, jumlah kendaraan yang dihitung adalah kendaraan roda empat. 4. Pengambilan data dilakukan pada jam-jam sibuk, yakni jam WIB, jam WIB, dan jam WIB. 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1. Merancang program penyelesaian sistem persamaan linier non-homogen dengan metode eliminasi Gauss-Jordan dalam Bahasa C. 2. Menghitung jumlah kendaraan roda empat yang melintas di Kawasan Lapangan Benteng Medan 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari tulisan ini adalah untuk menentukan jumlah kendaraan roda empat yang memasuki dan meninggalkan setiap perempatan jalan selama jam sibuk di Kawasan Lapangan Benteng Medan, dan juga untuk mempertinggi efisiensi kerja komputer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen dengan metode eliminasi Gauss-Jordan menggunakan Bahasa C.

4 1.6 Metodologi Penelitian Dalam penyusunan tulisan ini, penulis mengadakan suatu studi kasus menentukan jumlah kendaraan roda empat di sekitar Kawasan Lapangan Benteng Medan dengan uraiannya sebagai berikut: 1. Pengambilan data kenderaan roda empat yang memasuki dan meninggalkan setiap perempatan di Kawasan Lapangan Benteng Medan. 2. Pengambilan data dilakukan 1 (satu) jam sibuk setiap hari selama 6 (enam) hari berturut-turut, dengan ketentuan pengambilan data dilakukan pada saat kondisi lokasi penelitian normal (bukan pada saat hujan, hari libur/besar dan hari minggu). 3. Memodelkan data kenderaan roda empat yang memasuki dan meninggalkan setiap perempatan di Kawasan Lapangan Benteng Medan ke bentuk sistem persamaan linier. 4. Sistem persamaan linier tersebut diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar dan diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. 5. Merancang program untuk menyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen dengan metode eliminasi Gauss-Jordan menggunakan Bahasa C. 1.7 Tinjauan Pustaka Dalam penyusunan tulisan ini, penulis melakukan tinjauan pustaka yang membahas tentang sistem persamaan linier dengan metode-metode penyelesaiannya. Penulis juga melakukan tinjauan pustaka yang membicarakan Bahasa C dan tentang penyusunan program dalam Bahasa C. Kusuma M. R. (1991: ) dalam bukunya yang berjudul Belajar Turbo C Dengan Cepat Dan Mudah mengatakan bahwa struktur array dua dimensi memiliki dua macam indeks yang dituliskan seperti berikut: nama_variabel [indeks1] [indeks2]. Indeks1 menunjukkan jumlah atau nomor baris, sedangkan indeks2 menunjukkan jumlah atau nomor kolom.

5 Indeks2 1 2 [2][1] 3 Indeks1 Gambar 1.1 Struktur array dua dimensi Jumlah elemen yang dimiliki oleh array dua dimensi dapat ditentukan dari hasil perkalian: indeks1 dengan indeks2. Contoh menginisialisasikan array dua dimensi sebagai berikut: # define N 5 float bil[n][n]; Davis W. S. (1983: 47-55) dalam bukunya Tools Technique For Structure System Analysis And Design menjelaskan tentang simbol-simbol dasar flowchart dan definisi flowchart itu sendiri. Kolman B. (1996: 8-18) dalam bukunya yang berjudul Elementary Linear Algebra menjelaskan bahwa jika A sebuah matriks berukuran n x n, maka sistem linier AX = B merupakan suatu sistem n persamaan dengan n peubah yang tidak diketahui. Disamping itu buku ini juga digunakan sebagai pedoman dalam pemahaman tentang matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier nonhomogen. Jhonson L. W dan Riess R. D. (1991: ) dalam bukunya yang berjudul Introduction To Linear Algebra menjelaskan bahwa eleminasi Gauss-Jordan tidak hanya dapat digunakan sebagai alat dalam teoritis tetapi merupakan salah satu

6 prosedur yang sangat populer dalam menyelesaikan sistem linier AX = B dengan mengimplementasikannya pada komputer. Steven J. Leon (1998: 12-19) Edisi Kelima dalam bukunya Aljabar Linier Dan Applikasinya menjelaskan bahwa proses menggunakan operasi-operasi baris elementer untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi yang disebut dengan reduksi Gauss-Jordan. Howard Anton (1987: 8-16) Edisi Kelima dalam bukunya Elementary Linear Algebra menjelaskan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi yang dinamakan eliminasi Gauss-Jordan. Prosedur untuk menghasilkan bentuk eselon baris tersebut dinamakan eliminasi Gauss.