LINGKARAN SMP KELAS VIII

LINGKARAN SMP KELAS VIII Oleh, Deddy Suharja Januari 2013

A. Pengertian Dan Unsur Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan ( locus ) titik titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Gambar 1 menunjukkan sebuah lingkaran, sembarang titik A, titik B, titik C, titik D, dan titik E berjarak sama ke O. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari jari, dinotasikan r. Dan, titik O disebut titi pusat lingkaran. Nama suatu lingkaran ditentukan oleh nama titik pusat, gambar 1 menunjukkan lingkaran O sebab titik pusatnya O. Gambar 2 menunjukkan sebuah lingkaran dengan panjang jari jari r dan titik pusat O. Suatu jari jari jika diperpanjang hingga titik berikutnya pada lingkaran maka garis tersebut akan membagi lingkaran menjadi dua bagian yang sama, garis tersebut disebut garis tengah lingkaran atau diameter lingkaran, dinotasikan d. Perhatikan gambar 3. Jari jari AO diperpanjang hingga B sehingga diperoleh garis AB. Garis AB disebut diamater lingkaran O. AO = OB = r AB = AO + OB = r + r = 2r atau, d = 2r Dapat dikatakan bahwa panjang dimater suatu lingkaran sama dua kali panjang jari jarinya. Atau, panjang jari jari suatu lingkaran sama dengan setengah dari panjang diameternya. oleh. deddy suharja@page 1 of 36

d = 2r atau r = d jarak putar atau gerakan sepanjang tepi lingkaran dari suatu titik hingga titik itu sendiri disebut keliling lingkaran, dinotasikan K. Gambar 4a dan gambar 4b, menunjukkan keliling suatu lingkaran. Gambar 4a, gerakannya berlawanan arah jarum jam, gambar 4b gerakannya searah jarum jam. Bagian atau potongan dari suatu keliling lingkaran disebut busur lingkaran. Gambar 5a, pada lingkaran O terdapat busur AB. Gambar 5b, busur kecil AB. Gambar 5c, busur besar AB. Suatu garis lurus yang menghubungkan dua titik pada suatu busur, disebut tali busur, perhatikan gambar 6a. Dan, sepanjang panjangnya tali busur adalah tali busur setengah lingkaran sehingga panjangnya akan sama dngan diameter lingkaran. oleh. deddy suharja@page 2 of 36

Perhatikan gambar 6b. Daerah yang dibatasi busur dan tali busur disebut tembereng lingkaran atau tembereng, perhatikan gambar 7. Tembereng adalah bagian dari juring, sedangkan juring merupakan bagian dari luas lingkaran. Juring atau sektor lingkaran adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua jari jari dan sebuah tali busur. Gambar 8a, lingkaran O dengan jari jari r Gambar 8b, tembereng AB Gambar 8c, juring AOB Gambar 8d, daerah lingkaran atau luas lingkaran. oleh. deddy suharja@page 3 of 36

B. Keliling dan luas lingkaran Pahami kembali pengertian keliling dan diamter lingkaran. Kita akan coba menghitung perbandingan panjang keliling dengan diameter beberapa lingkaran yang berbeda ukuran. Tabel berikut merupakan hasil pengukuran penulis yang dilakukan terhadap beberapa benda yang berbentuk lingkaran, gambar 9. gambar 9 Tabel hasil pengukuran Nama Benda Ukura n Panjan g Kelilin g ( K ) Ukura n Panjan g Diamte r ( d ) Tutup 29,9 9,4 3,181 Gelas Kepinga 36,5 11,9 3,067 n CD Piring 72,6 22,9 3,170 Jumlah 139 44,2 9,418 Rata - 46,333 14,733 Rata 3,139 Perhatikan hasil akhir rata rata perbandingan keliling dengan diameter yaitu 3,139, jika dibulatkan dua tempat desimal menjadi 3,14. Dari setiap pengukuran pada benda berbentuk lingkaran dengan ukuran yang berbeda, diperoleh hasil akhir rata rata perbandingan keliling dengan diameter cenderung akan mendekati nilai 3,14 atau sama dengan 3,14. oleh. deddy suharja@page 4 of 36

Para ahli matematika menyatakan bahwa hasil perbandingan keliling suatu lingkaran dengan diameternya akan cemderung menghasilkan nilai yang konstan yaitu mendekati nilai 3,14. Oleh sebab itu nilai tersebut disebut phi dengan notasi π. Jadi,, atau Dari ketentuan di atas, dapat diturunkan menjadi : K = d, untuk menghitung keliling lingkaran jika diketahui diameter K = 2πr, untuk menghitung keliling lingkaran jika diketahui jari jari Selanjutnya, untuk nilai π dapat ditulis dalam dua bentuk, yaitu desimal 3,14 ( pembulatan dua tempat desimal ) dan pecahan. Contoh, Panjang diameter suatu lingkaran 14 cm, tentukan panjang keliling lingkaran jika π =. Pembahasan, d = 14 cm π = maka K = πd =. 14 = 22. 2 = 44 Jadi panjang keliling lingkaran tersebut adalah 44 cm. Contoh, Berapa panjang jari jari lingkaran jika kelilingnya 73 cm untuk π = 3,14. Pembahasan, K = 73 cm π = 3,14 r = d K = πd => d = = = 23,25 oleh. deddy suharja@page 5 of 36

Maka, r = d = (23,25) = 11,63 Jadi, panjang jari jari lingkaran adalah 11,63 cm oleh. deddy suharja@page 6 of 36

TUGAS KELOMPOK Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Waktu : Lingkaran : Keliling Lingkaran : Menentukan Nilai Perbandingan Keliling Dan Diameter Lingkaran. : 2 X 40 Menit Petunjuk: 1. Tentukan tiga buah benda yang berbeda yang berbentuk lingkaran. 2. Setiap benda ukur panjang keliling dan diameternya, kemudian hasilnya tulis dalam tabel yang sudah disediakan. Tabel: Nama Benda Keliling ( K ) Diameter ( d ) Jumlah Rata - Rata 3. Diskusikan hasilnya, dan berapa nilai hasil akhir dari rata rata perbandingan keliling dengan diameternya. 4. Bagaimana pendapat kalian tentang nilai hasil akhir dari rata rata perbandingan keliling dengan diameternya. oleh. deddy suharja@page 7 of 36

C. Luas Lingkaran Terdapat beberapa pendekatan untuk menentukan luas lingkaran, diantaranya dengan pendekatan luas persegi panjang, perhatikan gambar 10. Suatu lingkaran dibagi menjadi 16 juring yang kongruen, gambar 10a. Kemudian juring juring tersebut disusun sedemikian rupa sehingga membentuk persegipanjang, gambar 10b. Khusus untuk juring nomor 16 dibagi lagi menjadi du bagian yang sama, sebut saja juring 16 a dan juring 16b. Hal diperlukan agar persegipanjang yang terjadi lebih sempurna bentuknya. Perlu dipahami bahwa semakin banyak juring yang dibuat maka akan semakin sempurna persegipanjang yang terjadi. Panjang persegipanjang merupakan panjang busur setengah lingkaran sedangkan lebarna adalah panjang jari jari lingkaran. Persegipanjang terbuat dari juring juring lingkaran maka luas persegipanjang sama dengan luas lingkaran. Luas persegipanjang = p x l = x r = x r = πr 2 Jadi, luas lingkaran dapat ditentukan dengan rumus L = πr 2 oleh. deddy suharja@page 8 of 36

Contoh, Tentukan luas lingkaran yang memiliki panjang jari jari 10 cm, gunakan π = 3,14. Pembahasan, R = 10 cm Π = 3,14 Maka, L = πr 2 = 3,14(10 2 ) = 3,14(100) = 314 Jadi, luas lingkaran adalah 314 cm 2 oleh. deddy suharja@page 9 of 36

TUGAS KELOMPOK Pokok Bahasan : Lingkaran Kelas : VIII SMP Waktu : 2 x 40 menit Tujuan : menemukan rumus luas lingkaran Alat alat ( Praktik ) : 1. Kertas karton ( Berwarna ) 2. Jangka dan penggaris 3. Cutter atau gunting 4. Lem Petunjuk, 1. Siapkan sebuah lingkaran dengan jari jari 10 cm yang terbuat dari karton. Gambar, 2. Bagilah lingkaran menjadi 16 juring yang kongruen. Dan beri nomor pada setiap juring. Gambar, oleh. deddy suharja@page 10 of 36

3. Gunakan gunting atau cutter untuk memisahkan juring juring lingkaran. Gambar, 4. Susunlah juring juring tersebut sedemikian hinga membentuk sebuah jajaran genjang. Akan lebih menarik jika diberi warna yang berbeda untuk juring nomor 1 sampai dengan nomor 8. Gambar, 5. Tentukan luas jajarangenjang. Ingat bahwa lingkaran tersebut terbagi menjadi 16 juring artinya 8 juring diperoleh dari juring setengah lingkaran. 6. Tuliskan langkah langkah pembentukan rumus luas lingkaran. oleh. deddy suharja@page 11 of 36

D. Sudut pusat dan sudut keliling Sudut pusat lingkaran adalah suatu sudut dimana titik sudutnya terletak pada titik pusat lingkaran, sedangkan sudut keliling adalah suatu sudut dimana titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Gambar 11. Sudut AOB adalah sudut pusat. Sudut OBC adalah sudut keliling. Perlu dipahami juga, sudut AOB yang menghadap busur ACB merupakan sudut pusat, dan disebut sudut refleksi. Sudut pusat sama sengan dua kali sudut keliling jika keduanya menghadap busur yang sama, gambar 12. Sudut keliling ABC dan sudut pusat AOC menghadap busur AC. oleh. deddy suharja@page 12 of 36

Bukti, perhatikan gambar 13. BD suatu garis bantu berupa diameter BD membagi dua sudut ABC menjadi sudut m dan sudut n. Dan, membagi dua sudut AOC menjadi sudut x dan sudut y. ABC = m + n AOC = x + y Segitiga AOB sama kaki, AOB = 180 2m Sudut AOB dengan sudut AOD saling berpelurus, AOD = 180 - AOB = 180 ( 180 2m ) = 2m Segitiga COB sama kaki, COB = 180-2n Sudut COD dengan sudut AOB saling berpelurus, COD = 180 - COB = 180 (180 2n) = 2n. AOC = AOD + COD = 2m + 2n = 2 (m + n) = 2. ABC x + y = 2. ABC AOC = 2. ABC ---- terbukti, sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling jika keduanya menghadap busur yang sama. oleh. deddy suharja@page 13 of 36

Contoh, Perhatikan gambar berikut, tentukan besar sudut AOB, Pembahasan, Sudut AOB merupakan sudut keliling, dan sudut ACB merupakan sudut keliling menghadap busur AB. AOB = 2. ACB = 2 (40) Jadi, besar sudut AOB = 80 0 = 80 oleh. deddy suharja@page 14 of 36

E. Sudut Dalam Dan Sudut Luar Lingkaran Sudut dalam lingkaran adalah sudut yang terjadi pada perpotong tali busur. Sedangkan sudut luar lingkaran adalah sudut yang terjadi pada perpotongan perpanjangan tali busur di luar lingkaran, gambar 14. Titik G merupakan titik perpotongan tali busur AE dengan tali busur FB, di titik G terjadi sudut sudut dalam lingkaran. Titik H merupakan titik perpotongan perpanjangan tali busur FB dan perpanjangan tali busur DC, di titik H terjadi sudut sudut luar lingkaran. Sudut dalam segitiga sama dengan setengah dari jumlah busur busur yang dihadapinya, gambar 15. Sudut AED adalah sudut dalam lingkaran menghadap busur besar AD, sudut BEC adalah sudut dalam lingkaran menghadap busur BC. Terhadap busur besar AD terdapat sudut pusat AOD, dan untuk busur BC terdapat sudut pusat BOC. Sudut AED sama dengan sudut BEC sebab saling bertolak belakang. BEC = 180 AEB Pada segitiga ABE, AEB = 180 ( BAE + ABE ) BEC = 180 [ 180 ( BAE + ABE ) ] = 180 180 + ( BAE + ABE ) = BAE + ABE BAE = BAC = sudut keliling yang menghadap busur BC = setengah sudut pusat BOC = setengah busur BC oleh. deddy suharja@page 15 of 36

ABE = ABD = sudut keliling yang menghadap busur besar AD = setengah sudut pusat AOD = setengan busur AD BEC = busur BC + busur AD = ( busur BC + busur AD ) Jadi, BEC = ( busur BC + busur AD ) Berdasarkan pemahaman sudut dalam lingkaran di atas maka besar sudut luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih busur busur yang dihadapinya, gambar16. Sudut BCD adalah sudut luar lingkaran, Pada segitiga ACD, BCD = 180- ( ADC + CAD ) ADC = 180 ADE = 180 ( sudut pusat AOE ) = 180 ( busur AE ) CAD = sudut pusat BOD = busur BD oleh. deddy suharja@page 16 of 36

Maka, BCD = 180 ((180 busur AE) + busur BD ) = 180 180 + busur AE busur BD = busur AE busur BD = ( busur AE busur BD ) Jadi, BCD = ( busur AE busur BD ) oleh. deddy suharja@page 17 of 36

F. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, Dan Luas Juring Pernahkah kalian pikirkan bahwa pada suatu lingkaran, jika busur diperpanjang apakah juring juga turut diperluas atau sudut pusatnya menjadi lebih besar? Perhatikan gambar 17. Busur AB diperpanjang sampai C, hingga dipreloh busur AC dan terjadi juring AOC. Perhatikan juring AOC semakin luas, dan sudut AOC semakin besar. Sebaliknya, busur AB diperpendek sampai D hingga diperoleh busur AD dan terjadi juring AOD. Perhatikan juring AOD semakin sempit, dan sudut AOC semakin kecil. Jadi pada suatu juring jika salah satu unsurnya misalnya panjang busur berubah maka luas juring dan sudut pusatnya ikut mengalami perubahan. Gambar 18, menunjukkan suatu lingkaran yang dibagi tiga juring sama besar. Dengan beranggapan bahwa sudut satu putaran penuh (spp) sama dengan 360 0 maka setiap juring memiliki sudut pusat 120 0. Selidiki perbandingan luas juring, sudut pusat, dan panjang busur. Perhatikan juring AOB. Luas juring AOB sama dengan sepertiga dari luas lingkaran, panjang busur AB sama dngan sepertiga dari keliling lingkaran, dan sudut AOB sama dengan sepertiga dari sudut satu putaran penuh. oleh. deddy suharja@page 18 of 36

Jika lingkaran tersebut jari jarinya r, kelilingnya K, dan luasnya L. Maka, Luas juring AOB = L, atau = Panjang usur AB = K, atau = Sudut AOB = (360), atau = Jadi, = = Luas juring, panjang busur, dan sudut pusat merupakan perbandingan senilai. Turunan perbandingan di atas, = Luas juring AOB = x L ---- untuk menentukan luas juring = Panjang busur AB = x K ---- untuk menentukan panjang busur oleh. deddy suharja@page 19 of 36

G. Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang melewati lingkaran di satu titik, gambar 19. Garis k melewati lingkaran O di titik A. Garis k merupakan garis singgung lingkaran O, titik A disebut titik singgung. Sifat sifat garis singgung lingkaran : 1. Melewati lingkaran di satu titik 2. Selalu tegak lurus terhadap jari jari yang melewati titik singgung. OA k Panjang garis singgung lingkaran terhadap titi di luar lingkaran, gambar 20. Garis AB adalah garis singgung lingkaran O terhadap titik di luar lingkaran. AO merupakan jari jari ( r ) dan BO merupakan jarak titik pusat lingkaran ke B, disebut garis pusat ( p ). Segitiga ABO siku siku di A, maka : AB = AB = Jadi, AB = oleh. deddy suharja@page 20 of 36

Melukis garis singgung lingkaran terhadap titik di luar lingkaran, gambar 21. Ttik A di luar lingkaran O, akan dibuat garis singgung lingkaran O terhadap titik A. Perhatikan langkah langkah berikut : 1. Melukis garis pusat AO 2. Menentukan titik tengah AO. Dapat dilakukan dengan cara melukis busur di titik A dan titik O sedemikian hingga busur busurnya saling berpotongan, kemudian kedua titik potong busur dihubungkan sehingga memotong AO. Sebut saja titik T, gambar berikut. oleh. deddy suharja@page 21 of 36

3. Melukis lingkaran baru dengan pusat T dan jari jari TA atau TO sehingga akan memotong lingkaran O di dua titik ( misalnya titik B dan titik C ), gambar berikut. 4. Melukis garis AB dan garis AC, gambar berikut. AB dan AC merupakan garis singgung lingkaran O terhadap titik A di luar lingkaran. oleh. deddy suharja@page 22 of 36

H. Garis Singgung Persekutuan Lingkaran Garis singgung persekutuan lingkaran yang dimaksud pada pembahasan ini adalah garis singgung persekutuan terhadap dua lingkaran. Terdapat dua macam garis singgung persekutuan, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar, gambar 22. Garis k merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B. Sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan lingkaran B. Panjang garis singgung persekutuan dalam ( gspd ), gambar 23. CD adalah gspd lingkaran A dan lingkaran B. Jari jari lingkaran A adalah R dan jari jari lingkaran B adalah r. Dan AB adalah panjang garis pusat atau p. CD digeser sepanjang AE dengan jarak BD hingga diperoleh garis BE, sehingga BE sama dengan CD. Perhatikan segitiga ABE siku siku di E, BE = BE = BE = BE = CD = gspd Jadi, gspd = oleh. deddy suharja@page 23 of 36

Panjang garis singgung persekutuan luar ( gspl ), gambar 24. KL adalah gspl lingkaran A dan lingkaran B. KL digeser sepanjang KA dengan jarak KM atau r, sehingga KL sama dan sejajar dengan BM. Segitiga ABM siku siku di M, maka, BM = BM = BM = BM = KL = gspl Jadi, gspl = oleh. deddy suharja@page 24 of 36

I. Melukis Garis Singgung Persekutuan 1. Melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran Perhatikan gambar 23, Lingkaran A dan lingkaran B saling lepas. Misalkan jari jari lingkaran A adalah R dan jari jari lingkarab B adalah r. Langkah langkah melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B. a. Melukis garis pusat AB b. Melukis lingkaran baru dengan jari jari ( R + r) dan pusat A. Lingkaran baru berupa garis putus putus. oleh. deddy suharja@page 25 of 36

c. Melukis garis singgung lingkaran baru terhadap titik B. Garis BC merupakan garis singgung lingkaran baru terhadap titik B. d. Melukis jari jari AC Jari jari AC memotong lingkaran A di D. oleh. deddy suharja@page 26 of 36

e. Menggeser BC sejauh CD Dipeoleh DE, melewati lingkaran A di D dan melewati lingkaran B di E. DE merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran A dan lingkaran B. 2. Melukis garis singgung persekutuan luar lingkaran Perhatikan gambar 24. Lingkaran P dan lingkaran Q saling lepas. Misalkan jari jari lingkaran P adalah R, dan jari jari lingkaran Q adalah r. oleh. deddy suharja@page 27 of 36

Langkah langkah melukis garis singgung persekutuan luar. a. Melukis garis pusat PQ b. Melukis lingkaran baru dengan jari jari (R + r) dan pusat P. Lingkaran baru berupa garis putus putus. c. Melukis garis singgung lingkaran baru terhadap titik Q. MQ merupakan garis singgung lingkaran baru terhadap titik Q oleh. deddy suharja@page 28 of 36

d. Melukis dan memperpanjang jari jari PM hingga memotong lingkaran P. PM diperpanjang hingga N. PN merupakan jari jari lingkaran P. e. Menggeser MQ sejauh MN. Dipeoleh NU, melewati lingkaran P di N dan melewati lingkaran Q di U. NU merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan lingkaran Q. oleh. deddy suharja@page 29 of 36

J. Lingkaran Dalam dan lingkaran Luar segitiga 1. Lingkaran dalam segitiga Lingkaran dalam segitiga adalah suatu lingkaran yang menyingung sisi sisi segitiga. Titik pusat lingkaran merupakan titik perpotongan ketiga garis bagi segitiga, perhatikan gambar 25. Lingkaran O merupakan lingkaran dalam segitiga ABC, lingkaran menyinggung AB, BC, dan AC. Menentukan panjang jari jari lingkaran dalam segitiga, gambar 26. oleh. deddy suharja@page 30 of 36

r = DO = EO = FO L.ΔABC = L.ΔABO + L.ΔBOC + L.ΔAOC =.AB.DO. +.BC.EO +.AC.FO =.AB.r +.BC.r +.AC.r =.r( AB + BC + AC ) =.r( Keliling segitiga ) =.r.kδabc 2. L.ΔABC = r.k.δabc = r atau, r = Jari jari lingkaran dalam segitiga sama dengan hasil perbandingan dua kali luas segitiga dengan keliling segitiga. 2. Lingkaran luar segitiga. Lingkaran luar segitiga adalah suatu lingkaran yang melewati titik sudut titik sudut segitiga. Titik pusat lingkaran merupakan titik perpotongan sumbu sumbu segitiga, gambar 27. Lingkaran O merupakan lingkaran luar segitiga ABC. oleh. deddy suharja@page 31 of 36

Menentukan panjang jari jari lingkaran luar segitiga, gambar 28. L.ΔABC =.AB.CE 2. L.ΔABC = AB.CE CE = Perhatikan segitiga ACE dan segitiga BCD. CAE = BDC, dan AEC = DBC Maka segitiga Ace dan segitiga BCD sebangun, = = Pada = CD.CE = BC.AC 2r.CE = BC.AC r.2.ce = BC.AC r.2.( ) = BC.AC r.( 4.L.Δ.ABC) = AB.BC.AC r = Panjang jari jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil perbandingan perkalian sisi sisi segitiga dengan empat kali luasnya. oleh. deddy suharja@page 32 of 36

K. Melukis Lingkaran Dalam Dan Lingkaran Luar Segitiga 1. Melukis lingkaran dalam segitiga Gambar 29. Langkah langkah melukis. a. Melukis garis bagi setiap sudut segitiga Titik O merupakan titik perpotongan ketiga garis bagi segitiga. oleh. deddy suharja@page 33 of 36

b. Melukis lingkaran dengan pusat O sedemikian hingga menyinggung sisi sisi segitiga. Lingkaran O adalah lingkaran dalam segitiga ABC. 2. Melukis lingkaran luar segitiga Gambar 30. oleh. deddy suharja@page 34 of 36

Langkah langkah melukis. a. Melukis sumbu pada setiap sisi segitiga. Titik O merupakan titik potong sumbu sumbu segitiga. b. Melukis lingkaran dengan pusat O dan melewati setiap titik sudut segitiga. Lingkaran O merupakan lingkaran luar segitiga ABC. oleh. deddy suharja@page 35 of 36