KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA

Transkripsi

1 KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA ANDI SYAMSUDDIN Guru Mata Pelajaran Matematika Pada SMP Negeri 8 Kota Sukabumi SMP NEGERI 8 KOTA SUKABUMI DINAS PENDIDIKAN KOTA SUKABUMI 009

2 Yang bertanda tangan di bawah ini: PENGESAHAN Nama : Drs. ANDI SYAMSUDDIN NIP : 855 Unit Kerja : SMP Negeri 8 Kota Sukabumi menyatakan bahwa pembuatan tulisan dengan judul KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA benar adalah hasil karya sendiri dan digunakan sebagai bahan dalam pembinaan ekstrakurikuler matematika. Sukabumi, Februari 009 Didokumentasikan di Perpustakaan SMPN 8 Sukabumi Koordinator Perpustakaan, Penulis, ELIS MARYATI Drs. ANDI SYAMSUDDIN NIP NIP. 855 Mengetahui Kepala Sekolah, ELDA TRISIA, M.Pd. NIP ii

3 KATA PENGANTAR Tiada kata yang lebih pantas penulis ucapkan, kecuali ucapan rasa syukur ke hadirat Ilahi Rabbi atas karunia sehat, kesempatan, dan petunjuk yang dianugerahkan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan tulisan yang berjudul Kumpulan Materi Pembinaan dan Pengayaan Matematika. Tulisan ini merupakan kumpulan tulisan selama melakukan pembinaan dan pengayaan matematika kepada siswa SMP Negeri 8 Kota Sukabumi yang memiliki minat dan kemampuan matematika yang lebih tinggi dibanding dengan siswa yang lain, terutama siswa yang dipersiapkan untuk mengikuti kompetisi matematika baik tingkat kota maupun tinggkat provinsi. Selain itu, tulisan ini juga merupakan renungan setelah melakukan pembelajaran di kelas. Pada bagian akhir tulisan ini disajikan soal dan penyelesaian kompetisi matematika yang dianggap sesuai dengan kemampuan siswa SMP. Akhir kata, tiada gading yang tak retak, semoga tulisan ini dapat dapat menjadi salah satu sumbangan pikiran terhadap dunia pendidikan, khususnya di SMP Negeri 8 Kota Sukabumi. Sukabumi, Februari 009 Penulis iii

4 DAFTAR ISI Halaman Judul... i Lembar Pengesahan... ii Kata Pengantar... iii Daftar Isi... iv Basis Bilangan... Nisbah Trigonometri Sudut Istimewa... 9 Kesebangunan... Keterbagian Bilangan... Penerapan Keterbagian Bilangan Dalam Pembelajaran Konsep Akar Pangkat Dua di Kelas VII SMP... 9 Penerapan Keterbagian Bilangan Dalam Pembelajaran Konsep Akar Pangkat Tiga di Kelas VII SMP... 8 Penerapan Faktor Prima Dalam Menyelesaikan Bentuk Aljabar... 5 Kumpulan Soal dan Penyelesaian Kompetisi Matematika DAFTAR PUSTAKA iv

5 BASIS BILANGAN Basis bilangan atau disebut dasar bilangan adalah suatu sistem pengelompokan perhitungan yang kita sepakati bersama. Sistem bilangan yang kita pakai sekarang disebut sistem desimal yaitu menggunakan basis (dasar) sepuluh. Basis sepuluh artinya penulisan lambang bilangan yang didasarkan pada pengelompokan sepuluh-sepuluh. Pada basis sepuluh angka (lambang bilangan) yang dipakai adalah 0,,,,, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem penulisan dengan basis sepuluh adalah sistem penulisan dengan pengelompokan sebagai berikut : Tiap 0 satuan dikelompokkan menjadi puluhan ( 0 ) Tiap 0 puluhan dikelompokkan menjadi ratusan ( 0 ) Tiap 0 ratusan dikelompokkan menjadi ribuan ( 0 ) Tiap 0 ribuan dikelompokkan menjadi puluhribuan ( 0 ), dan seterusnya. Selain basis sepuluh ada beberapa basis yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari misalnya basis 60, basis, basis, basis 8, dan basis 6. Bahkan terkadang dalam soal-soal untuk mengukur kemampuan matematis yang tinggi diperlukan pengetahuan tentang basis bilangan. Tulisan ini diperuntukkan bagi mereka yang sudah mempelajari lambang bilangan berbagai basis dan cara mengubahnya melalui basis 0. Dalam tulisan ini yang akan dibahas adalah pengubahan basis tertentu ke basis lain secara langsung tanpa melalui basis 0. Yang paling banyak digunakan adalah basis (yang dikenal dengan sistem biner). Karena itu, akan dibahas bagaimana mengubah : Basis ke basis dan sebaliknya, secara langsung; Basis ke basis 8 dan sebaliknya, secara langsung;

6 Basis ke basis 6 dan sebaliknya, secara langsung; dan sebagai tambahan untuk mendapatkan pola pengubahan basis ini secara langsung yaitu Basis ke basis 9 dan sebaliknya secara langsung; dan Basis ke basis 6 dan sebaliknya secara langsung. Untuk membandingkan hasil operasi langsung ini ada baiknya pembaca mengingat kembali bagaimana mengubah bilangan dari basis tertentu ke dalam basis lain melalui basis 0. A. Basis Dua (Biner) Basis dua hanya menggunakan angka 0 dan saja. Disebut basis dua karena; setiap satuan dikelompokkan menjadi duaan ( ) 0, setiap duaan dikelompokkan menjadi empatan ( ) ditulis ditulis 00, dan seterusnya. Basis ini amat luas penerapannya dalam teknologi modern yang lebih dikenal dengan istilah teknologi digital.. Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Empat Secara Langsung Basis empat menggunakan angka 0,,, dan. Disebut basis empat karena pengelompokannya empat empat. Maksudnya setiap satuan dikelompokkan menjadi empatan ( ) ditulis 0, setiap empatan dikelompokkan menjadi enambelasan ( ) ditulis 00, dan seterusnya. Contoh : Ubahlah 00 ke dalam basis empat secara langsung! 00 dikelompokkan dua angka dimulai dari satuan sehingga didapatkan 00 0 ( ) 00 Karena itu dalam basis 0. 0 ( 0 ) + ( 0 ) 0 0 ( ) + ( ) dalam basis 0 dalam basis 0

7 Contoh : Ubahlah ke dalam basis empat secara langsung! Bila dikelompokkan dua angka menjadi seperti ini. Perhatikan bahwa 0, dan 0. Karena itu (Petunjuk : Bandingkan hasilnya melalui basis 0). Dengan melihat pola pada Contoh dan Contoh, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung, kurang lebih caranya demikian, kelompokkan bilangan dalam basis dua, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya. Bagaimana jika pertanyaannya dibalik menjadi...? Apakah ada pola yang umum?. Mengubah Bilangan Basis Empat ke Basis Dua Secara Langsung Pola yang terjadi pada Contoh dan Contoh kalau kita balik, dapat dipakai untuk mengubah bilangan basis empat ke basis dua secara langsung. Kurang lebih caranya demikian, tuliskan tiap angka dalam basis ke dalam basis dua dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan. Contoh : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua! a. b. 0 c. 0 d. 00 a....?,, 0, 0. Karena itu 00.

8 b. 0...?, 0, 0 00,, 0. Karena itu 0. Perhatikan bahwa ada satu angka yang tidak memiliki nilai.. c. 0...?,, 0, 0 00, 0. Karena itu d ?,,, 0 00, Karena itu B. Basis Delapan (Octal) Basis delapan menggunakan hanya angka 0,,,,, 5, 6, dan 7 saja. Disebut basis delapan karena pengelompokannya delapan delapan. Maksudnya setiap 8 satuan dikelompokkan menjadi delapanan ( 8 ) ditulis 08, setiap 8 delapanan dikelompokkan menjadi enam-puluh-empatan ( 8 ) ditulis 008, dan seterusnya.. Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Delapan Secara Langsung Contoh : Ubahlah 00 ke dalam basis delapan secara langsung! 00 dikelompokkan tiga angka dimulai dari satuan sehinga ditulis seperti ini Karena itu ( ) + ( 0 ) dalam basis 0 0 ( 0 ) + ( ) + ( ) dalam basis 0 Contoh 5 : Ubahlah ke dalam basis delapan secara langsung!

9 Bila dikelompokkan tiga angka menjadi seperti ini. Perhatikan bahwa 70. Karena itu Dengan melihat pola pada Contoh dan Contoh 5, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis delapan secara langsung, kurang lebih caranya demikian, kelompokkan bilangan dalam basis dua, tiga angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya.. Mengubah Bilangan Basis Delapan ke Basis Dua Secara Langsung Perhatikan contoh ini Kalau pertanyaannya dibalik, kurang lebih menjadi ? Dengan melihat pola yang sudah ada tentunya pembaca sudah dapat memperkirakan jawabannya. Caranya, tuliskan tiap angka dalam basis delapan ke dalam basis dua dengan tiga angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan. Contoh 6 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua! Penylesaian : a b. 058 c. 8 d. 578 a ?, 78, 58 0, Karena itu b ?, 8 00, , Karena itu c. 8...?, 8 00, 8 00, 8 0. Karena itu Perhatikan bahwa dua angka 0 tidak memiliki nilai, karena itu d ?, 8 00, 58 0, 8 00, 78. Karena itu

10 C. Basis Enambelas (Heagesimal) Basis enambelas banyak digunakan dalam ilmu teknik. Basis enambelas menggunakan karakter (angka) tambahan untuk menuliskan bilangan 0,,,,, dan 5 dalam basis 0 ke dalam basis enambelas. Karakter itu masing-masing adalah A, B, C, D, E, dan F. Karena itu basis enambelas menggunakan angka 0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Disebut basis enambelas karena pengelompokannya enambelas enambelas. Maksudnya setiap 6 satuan dikelompokkan menjadi enambelasan (6 ) ditulis 06, setiap 6 enambelasan dikelompokan menjadi dua-ratus-limapuluh- enaman ( 6 ) ditulis 006, dan seterusnya. Untuk membiasakan diri dalam basis 6 ada baiknya memperhatikan tabel berikut : Angka Dalam Basis Sepuluh Angka Dalam Basis Enambelas A B C D E 6

11 Angka Dalam Basis Sepuluh Angka Dalam Basis Enambelas 5 F Mengubah Bilangan Basis Dua ke Basis Enambelas Secara Langsung Contoh 7 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis enambelas! a.... 6? a. b. 0 c d. 000 dikelompokkan empat angka dimulai dari satuan sehingga didapatkan. (angka 0 didepan tidak memiliki nilai), F Karena itu FF6. b ? Dengan cara yang sama pada bagian (a), didapat kelompok 0. 6, F6, 0 D. Karena itu 0 FD6. 6 c ? Dikelompokkan menjadi Tiap kelompok diubah menjadi 6, , 0 E E. 7 6, Karena itu d ? Dikelompokkan menjadi 000. Tiap kelompok diubah menjadi 7 6, F6, 0 D6, F6, Karena itu 000 7FDF66. 7

12 Dengan melihat pola pada Contoh 7, dapat dikatakan bahwa; untuk mengubah bilangan basis dua ke basis enambelas secara langsung, kurang lebih caranya demikian, kelompokkan bilangan dalam basis dua, empat angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis enambelas dan urutkan hasilnya.. Mengubah Bilangan Basis Enambelas ke Basis Dua Secara Langsung Contoh 8 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis dua! a. EFC 6 b. CDE 6 9C E d. A CD6 c. 6 Caranya, tuliskan tiap angka dalam basis enambelas ke dalam basis dua dengan empat angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis dua secara berurutan. a. EFC 6...?, E 6 0, F 6, C 6 00 EFC Karena itu b. CDE 6...?, 6 000, C 6 00, D 6 0, E 6 0. Karena itu CDE c. 9C E 6...?, 96 00, C 6 00, 6 000, E 6 0. Karena itu 9 C E d. A CD 6...?, A 6 00, 6 000, C 6 00, D 6 0. Karena itu A CD Basis Tiga dan Basis Sembilan Bagian ini adalah bagian untuk memperlihatkan bahwa ada basis tertentu yang dapat diubah secara langsung ke dalam basis tertentu yang lain. Bilangan-bilangan yang dapat diubah secara langsung hanya bila basis-nya memiliki hubungan perpangkatan. Perhatikan 8

13 bahwa basis ( ), basis ( ), basis 8 ( ), basis 6 ( ), basis ( ), dan basis 9 ( ). Masing-masing memiliki hubungan perpangkatan, karena itu dapat diubah secara langsung. Selain basis tersebut harus melalui perubahan ke basis 0 terlebih dahulu kemudian diubah ke dalam basis yang diinginkan.. Mengubah Bilangan Basis Tiga ke Basis Sembilan Secara Langsung Basis tiga hanya menggunakan angka-angka 0,, dan, sedang basis sembilan menggunakan angka 0,,,,, 5, 6, 7, dan 8. Basis 0 tiga dikelompokkan atas satuan ( ), tigaan ( ), sembilanan ( ), dan 0 seterusnya. Basis sembilan dikelompokkan atas satuan ( 9 ), sembilanan ( 9 ), delapan-puluh-satuan ( 9 ), dan seterusnya. Mengubah bilangan basis tiga ke basis sembilan secara langsung dapat meminjam cara mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung. Dengan kata lain, caranya kurang lebih demikian, kelompokkan bilangan dalam basis tiga, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis sepuluh dan urutkan hasilnya. Contoh 9 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis sembilan! a. 00 b. 00 a ? Tuliskan bilangan dengan kelompok dua angka seperti ini , 59, dan 0 9. Karena itu b ? Kelompokkan dua angka menjadi 00. 9, 59, 0 9, 0 9. Karena itu Mengubah Bilangan Basis Sembilan ke Basis Tiga Secara Langsung 9

14 Mengubah bilangan basis sembilan ke basis tiga secara langsung dapat meminjam cara mengubah bilangan basis empat ke dalam basis dua secara langsung. Caranya kurang lebih demikian, tuliskan tiap angka dalam basis sembilan ke dalam basis tiga dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis tiga secara berurutan. Contoh 0 : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis tiga! a. 89 b c d. 689 a ?. 9 0, 9 0, 89. Karena itu b ?. 89, 7 9, 59, 09 00, 9 0. Karena itu c ?, 9 0, 09 00, 09 00, 09 00, 89, 7 9, Karena itu (Ada angka yang tidak memiliki nilai). d ?, 69 0, 9, 9 0, 9 0, 89, 9 0, 9 0, 9 0. Karena itu D. Basis Empat dan Basis Enambelas. Mengubah Bilangan Basis Empat ke Dalam Basis Enambelas Secara Langsung Mengubah bilangan basis empat ke basis enambelas secara langsung dapat meminjam cara mengubah bilangan basis dua ke basis empat secara langsung. Dengan kata lain, caranya kurang 0

15 lebih demikian, kelompokkan bilangan dalam basis empat, dua angka dimulai dari satuan, kemudian ubah ke dalam basis enambelas dan urutkan hasilnya. Contoh : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis 6! a. 0 b. 0 c. d. Kelompokkan bilangan-bilangan tersebut dua angka dimulai dari satuan sehingga : a ? Ditulis dulu 0. 6, 0 6. Karena itu 0 6. b ? 6, 0 6. Karena itu 0 6. c.... 6? 6 itu D6., D6. Karena itu D6. Karena d.... 6? 6, F6. Karena itu F6.. Mengubah Bilangan Basis Enambelas ke Dalam Basis Empat Secara Langsung Mengubah bilangan basis enambelas ke basis empat secara langsung dapat meminjam cara mengubah bilangan basis empat ke dalam basis dua secara langsung. Caranya kurang lebih demikian, tuliskan tiap angka dalam basis eambelas ke dalam basis empat dengan dua angka, kemudian tuliskan hasilnya dalam basis empat secara berurutan. Contoh : Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam basis empat! a. 6DE 6 b. 9ABC 6 c. 8BCD 6 d. ABCDEF 6

16 a. 6 DE 6...? 66, D 6, E 6. Karena itu 6 DE 6 b. 9ABC 6...? 96, A 6, B 6, C 6 0. Karena itu 9 ABC 6 0 c. 8BCD 6...? 86 0, B 6, C 6 0, D 6. Karena itu 8 BCD d. ABCDEF 6...? A 6, B 6, C 6 0, D 6, E 6, F 6. Karena itu ABCDEF 6 0 E. Contoh Soal-soal Mengenai Bilangan Yang Dapat Diselesaikan Dengan Konsep Basis Kadang-kadang kita dihadapkan pada masalah yang sepintas dianggap mudah, tetapi ternyata susah menyelesaikannya. Sebaliknya tidak jarang kita dihadapkan pada masalah yang dianggap susah, tetapi ternyata mudah diselesaikan dengan konsep yang sederhana. Sebagai contoh, memberikan sisa berapa? Contoh ini dapat diselesaikan dengan konsep basis dengan mengamati pola terlebih dahulu. Perhatikan tabel berikut : Tabel. Perpangkatan Bilangan 5 dan Kelipatan 7 5 Pangkat n Hasil Kelipatan 7 terdekat Sisa Pola Pembagian Pengulangan

17 5 Pangkat n Hasil Kelipatan 7 terdekat Sisa Pola Pembagian Pengulangan ? ? 6 5 6,5588E+? Perhatikan tabel di atas. 6 5 komputer yang digunakan untuk menghitung sudah menyatakan dalam bentuk baku. Kalau diamati, ternyata pola pengulangannya enam kali. Perhatikan pangkat dari bilangan 5 dan pola pengulangan yang terjadi. Dengan menerapkan konsep basis bilangan, basis bilangan yang dapat digunakan dalam soal ini adalah basis 6. Perhatikan tabel berikut : Tabel. Perpangkatan Bilangan 5 Sisa Pembagian 5 Pangkat n dengan 7 Pola Pengulangan Sisa Pembagian n

18 Sisa Pembagian 5 Pangkat n dengan 7 Pola Pengulangan Sisa Pembagian n Sisa pembagian dapat dijawab dengan mencari sisa pembagian Ternyata sisanya, artinya bersisa. (Perhatikan Tabel. ) Contoh : Berapakah angka satuan dari + 9? Tabel. Perpangkatan Bilangan Pangkat Satuan n Sisa Pembagian dengan

19 Pangkat Satuan n Sisa Pembagian dengan Ambil basis untuk pangkat bilangan. Bagi pangkat dari bilangan dengan. Karena 50 memberikan sisa, maka adalah. 50 satuannya Tabel. Perpangkatan Bilangan 9 Pangkat Satuan n 9 Sisa Pembagian dengan Ambil basis untuk pangkat bilangan 9. Bagi pangkat dari bilangan 9 dengan. Karena 000 memberikan sisa 0, maka adalah. Jadi angka satuan dari + 9 adalah 5. Contoh : Berapakah angka satuan dari 005 8? satuannya 5

20 Tabel. Perpangkatan Bilangan 8 Pangkat Satuan n 8 Sisa Pembagian dengan Ambil basis untuk pangkat bilangan 8. Bagi pangkat dari bilangan 8 dengan. Karena 005 memberikan sisa, maka adalah 8. Contoh 5 : Jika dan z! 0y z satuannya 8 9 5, maka tentukanlah nilai, y, ( 9 ) + ( 8 9 ) ( ) + ( 5 ) ( 9) + ( 8) ( ) + ( 5)

21 8 9 0y 0 0 ( 9 ) + ( 8 9 ) ( y ) + ( 0 y ) + ( y ) ( 9) + ( 8) ( ) + ( ) y y y 5 y 5 y 5 y z 0 0 ( 9 ) + (8 9 ) ( z ) + ( z ) + ( z ) z + z + z + z z + z 0 ( z )( z + 6) 0 z 0 z z z 6. Untuk z - 6 tidak memenuhi (Basis adalah bilangan Asli lebih dari ). z Contoh 6 : Diketahui yang mungkin! 7 y. Tentukan nilai terkecil dari dan y Perhatikan bahwa syaratnya 8 y.,, y Asli 7 y + 7 y + y 5 7

22 Untuk 8, maka 6 y 5; y 7 Jadi nilai terkecil adalah 8 dan y 7 ( memenuhi) Contoh 7 : Tentukanlah nilai y dari persamaan! y 6 y 57 y Perhatikan bahwa syaratnya y 8, y Asli y 6 y 57 y y + y + ( y + 6y + ) y + 5y + 7 y y y + 5y + 7 y 7 y 8 0 ( y 8 )( y + ) 0 y 8 0 y + 0 y 8 y, y tidak memenuhi. y 8 yang memenuhi. 8

23 NISBAH TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA C D E A F Gambar B Perhatikan ABC sama sisi dengan AB BC AC satuan. AF AE satuan. ADE 90. Karena itu : A. Ukuran Sudut-sudut Sudut-sudut yang ada sebagai berikut : ABC 60 ; ( ABC sama sisi) BAE 5 ; ( AF AE satuan; AEF sama kaki) DAE 5 ; AED 75 ; ACF 0 ; B. Panjang Ruas Garis Dengan menggunakan dalil Pythagoras, maka panjang ruas garis yang ada sebagai berikut :. AE satuan. CF satuan. CE satuan Dengan menggunakan kesebangunan, ( ACF sebangun ECD) menyebabkan sebagai berikut : CE AC CD DE, sehingga panjang ruas garis yang ada CF AF 9

24 . 5. CD CE CF CE CD. CF AC AC CD ( ) CD CD ( ) DE CD AF CD DE. AF CF CF DE DE DE 6 DE DE 6. AD CD ( ) AD + AD AD AD + ( + ) 0

25 C. Nisbah Ttrigonometri. Sudut 0 o a. AF sin ACF sin 0 AC CF b. cos ACF cos 0 AC AF c. tan ACF tan 0 CF. Sudut 5 o EF a. sin FAE sin 5 AE AF b. cos FAE cos 5 AE EF c. tan FAE tan 5 AF. Sudut 60 o CF a. sin FAC sin 60 AC b. AF cos FAC cos 60 AC CF c. tan FAC tan 60 AF. Sudut 5 o a. sin DAE sin5 sin DAE sin5 DE AE ( 6 ) 6

26 b. cos DAE cos5 ( + ) + ( 6 ) cos DAE cos c. tan DAE tan5 DE AD + + tan DAE tan5 5. Sudut 75 o a. sin AED sin 75 AD AE ( + ) ( 6 ) sin AED sin b. cos AED cos 75 cos AED cos 75 DE AE ( 6 ) 6 c. tan AED tan 75 AD DE AD tan AED tan 75 + DE 6. Sudut 0 o Perhatikan kembali Gambar. Jika BAC diperkecil, maka CF semakin pendek. Pada saat AC berimpit dengan AB, BAC 0 dan CF 0. Karena itu :

27 CF 0 a. sin BAC sin 0 0 AC AB b. cos BAC cos 0 AC CF 0 c. tan BAC tan 0 0 AB 7. Sudut 90 o Perhatikan kembali Gambar. Jika BAC diperbesar, maka CF semakin panjang. Pada saat AC AB, BAC 90, CF dan AB 0. Karena itu : CF a. sin BAC sin 90 AC AB 0 b. cos BAC cos90 0 AC CF c. tan BAC tan 90 ± AB 0 (Catatan : Untuk sudut-sudut lain yang berelasi dapat ditunjukkan secara geometris melalui lingkaran, atau secara aljabar. Hal ini akan dibahas dalam tulisan yang lain) D. Tabel Nisbah Trigonometri Sudut Istimewa Secara singkat nibah trigonometri untuk sudut-sudut istimewa yang dibahas dalam tulisan ini dapat dilihat dalam Tabel. Tabel. Nisbah Trigonometri Sudut Istimewa a sin a 0 ( 6 ) cos a ( 6 + ) tan a 0 ( 6 + ) ( 6 ) 0 + ±

28 KESEBANGUNAN c a + b c + y C A b c t D y a B. Pada segitiga siku-siku ABC buktikan bahwa : ABC ~ ACD ~ CBD, sehingga berlaku hubungan : a. t y b. a c y c. b c Bukti : a. Perhatikan ACD dan CBD t ADC BDC (90 o ) CAD BCD ( Perhatikan ABC) ACD CBD ( dua sudut besarnya sama sudut ke- sama) ACD ~ CBD Karena itu berlaku hubungan CD BD y () AD CD CD b. Perhatikan ABC dan CBD. ABC CBD (seletak) ACB CDB (90 o ) BAC BCD ABC ~ CBD (sd, sd, sd) CD BD AD CD AC BC AD BD, sehingga berlaku hubungan

29 Karena itu berlaku hubungan BC BD () AB BC BC c. Perhatikan ABC dan ACD. ACB ADC (90 o ) BAC CAD (seletak) BC BD AB BC AC CD AB BD, sehingga berlaku hubungan a cy BAC BCD ( dua sudut besarnya sama sudut ke- sama) ABC ~ ACD (sd, sd, sd) Karena itu berlaku hubungan AC AD AB AC b c.() AC AC AD AB AC BC CA AB AD, sehingga berlaku hubungan Akibatnya, bila () dan () disubstitusikan ke () didapatkan : t b c a c t t ab t c a b c ab c ab t...() c (Catatan : () dapat dibuktikan dengan konsep luas dan dalil Pythagoras, cobalah!) 5

30 . Contoh Penerapan Dalam Matematika a. Bangun Datar Contoh : Perhatikan gambar, BD 9 dan CD 6. Tentukanlah : a. Panjang AD b. Panjang AB c. Panjang AC C 6 D 9 A B a. Untuk menentukan panjang AD, gunakan rumus t y, sehingga didapatkan AD BD. CD AD 6 9. Jadi panjang AD. b. Untuk menentukan panjang AB, gunakan rumus a c y, sehingga didapatkan AB BC BD AB 5 9. Jadi panjang AB 5. c. Untuk menentukan panjang AC, gunakan rumus b c, Contoh : sehingga didapatkan AC BC CD AC 5 6. Jadi panjang AC 0. Tentukan luas ABC pada gambar berikut : C D,5 A 7,5 B 6

31 AD adalah garis tinggi ABC pada alas BC. Karena itu kita harus mentukan panjang BD. Rumus yang dapat digunakan adalah t y, sehingga didapatkan AD BD CD 6 BD BD 8 BC,5,5 Karena itu luas ABC adalah BC AD,5 6 7, 5 satuan luas. Contoh : Perhatikan gambar berikut : C 6 8 D A B Tentukanlah panjang BD, AB, dan AC! Perhatikan bahwa AD BD CD 6 BD. 6 6 BD, sehingga BC 0. Karena itu AB 0 dan 6 AC 0. Contoh : Persegipanjang ABCD seperti pada gambar berikut memiliki ukuran AB 8 cm, dan AD 6 cm. Tentukanlah panjang MN! 7

32 A B N M D C Perhatikan bahwa ABC ~ AMB ~ BMC, AN CM, dan MN AM CM. Perhatikan pula bahwa BM adalah garis tinggi ABC pada alas AC, karena itu AB BC BM. AC Dengan dalil Pythagoras didapatkan AC 0, sehingga BM, 8. CM BC AC 6,6 0 AB AM AC 6 6, 0 MN AM CM Jadi MN, 8 cm. b. Bangun Ruang Contoh 5 : 6,,6,8 Perhatikan gambar! Tentukan tinggi limas ABCD. EFGH yang panjang rusuknya cm! B. ACE pada kubus G F H E D C A B 8

33 Dengan menggunakan garis-garis bantu kubus terlihat seperti gambar berikut : ABCD. EFGH akan H G E F E A (a) D T P B C P T (b) B AC AE CE BD cm, karena masing-masing merupakan diagonal sisi kubus. BE cm dan PB BD alas limas adalah bidang sedang tinggi limas adalah BT. cm. Bidang ACE yang merupakan segitiga sama sisi, BT BE BP dan EP EP BE + BP EP BE + BP EP EP EP ( ) EP 6 BE BP BT EP BT 6 BT 9

34 BT BT BT Jadi, tinggi limas. Cara Cepat Mengingat Rumus B. ACE adalah Perhatikan segitiga siku berikut ini : cm. () () () (6) () (5) Persamaan (). Persamaan (). Persamaan (). t a b Persamaan ()... y menjadi ( 6) () () cy menjadi ( 5) () () c menjadi ( ) () () ab t menjadi c () (5) (6) (). Contoh Penerapan Dalam Kehidupan Sehari-hari Bagian ini adalah bagian paling menarik untuk disimak, karena berhubungan langsung dengan benda-benda yang sering kita lihat sehari-hari. Pernahkah kalian melihat benda-benda seperti pada gambar berikut ini? 0

35 m 5. Soal-soal Matematika yang Berhubungan Dengan Kesebangunan. Perhatikan gambar berikut : A A A A C C C C B AC // A C A C dan // AC // AA A A A A A B Hitunglah : a. AC b. AC + AC + AC + AC. ABC siku-siku di B. AB 6, BC,. Perhatikan gambar berikut : C C C C C C 5 AA A A A A A A 5 B A A A A A A A A5 A5 B A 5 C5 cm. Hitunglah cm dan 8 panjang AC + A C + + AC + AC + AC A5C 5

36 KETERBAGIAN BILANGAN Sebuah bilangan dikatakan habis dibagi (terbagi) dengan sebuah bilangan yang lain, bila hasil pembagiannya memberikan sisa 0.. Terbagi Dengan Sebuah bilangan habis dibagi, bila bilangan itu bilangan genap. Semua bilangan genap habis dibagi.. Terbagi Dengan Sebuah bilangan habis dibagi, bila jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi. Contoh : Bilangan manakah di antara bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan? a b c. 889 d a. Jumlahkan angka-angka pembentuknya , kemudian + 6. Karena 6 habis dibagi, maka 5689 habis dibagi dengan. b , kemudian Karena tidak habis dibagi (memberikan sisa ), maka tidak habis dibagi dengan. c , 9 dijumlahkan angkaangkanya didapat + 9, dijumlahkan angka-angkanya didapatkan +. Karena tidak habis dibagi, maka 889 juga tidak habis dibagi dengan. d , 9 dijumlahkan angka-angkanya didapat 9 +, dijumlahkan angka-angkanya didapat. Karena habis dibagi, maka habis dibagi dengan.

37 . Terbagi Dengan 5 Sebuah bilangan habis dibagi 5, bila satuan dari bilangan itu 5 atau 0. Perhatikan satuan dari kelipatan (hasil perkalian) 5, hanya ada dua macam yaitu 0 dan 5.. Terbagi Dengan Sebuah bilangan habis dibagi, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan ( ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan sebanyak kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian dengan cukup dengan memperhatikan dua angka terakhir dari sebuah bilangan (puluhan dan satuan saja). Contoh : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan! a b c d a. Bilangan 5656 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi, maka 5656 juga habis dibagi dengan. b. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 86. Karena 86 tidak habis dibagi (memberi sisa ), maka juga tidak habis dibagi dengan. c. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 8. Karena 8 habis dibagi, maka juga habis dibagi dengan.

38 d. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 7. Karena 7 tidak habis dibagi (memberi sisa ), maka juga tidak habis dibagi dengan. Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya memperhatikan puluhan dan satuan saja? Karena mulai dari ratusan, ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan. Catatan : Pada Contoh, pembagian dengan yang bersisa hanya memberikan sisa, sebab bilangan-bilangan yang dibagi dengan yang memberikan sisa atau pasti bilangan ganjil, dan sebuah bilangan ganjil pasti tidak habis dibagi. Ingat bahwa. 5. Terbagi Dengan 6 Sebuah bilangan habis dibagi 6, bila bilangan itu adalah bilangan genap dan jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi. 6 sama artinya dengan. Karena itu membagi sebuah bilangan dengan 6 sama dengan membagi bilangan itu dengan. Artinya bilangan itu dibagi dengan, kemudian dibagi lagi dengan. Sehingga bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan-bilangan genap yang habis dibagi. 6. Terbagi Dengan 8 Sebuah bilangan habis dibagi 8, bila tiga angka terakhir pembentuk bilangan itu habis dibagi 8. Meminjam cara untuk menentukan bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan, kurang lebih demikian. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 8 ( ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan sebanyak kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 8, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian

39 dengan 8 cukup dengan memperhatikan tiga angka terakhir dari sebuah bilangan (ratusan, puluhan dan satuan saja). Contoh : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 8! a b c d a. Bilangan 5656, tiga angka terakhirnya adalah 56. Pembagian 56 8, artinya habis dibagi 8. Karena itu bilangan 5656 juga habis dibagi dengan 8. b. Bilangan , tiga angka terakhirnya adalah 86. Pembagian 86 8 menghasilkan 60 sisa 6. Karena itu bilangan tidak habis dibagi dengan 8. c. Bilangan , tiga angka terakhirnya adalah 68. Pembagian 68 8 menghasilkan 8 sisa 0. Karena itu bilangan habis dibagi dengan 8. d. Bilangan , tiga angka terakhirnya adalah 7. Pembagian 7 8 menghasilkan 59 sisa 0. Karena itu bilangan juga habis dibagi dengan 8. Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya memperhatikan ratusan, puluhan dan satuan saja? Karena mulai dari ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 8. Catatan : Pada Contoh, perhatikan bahwa tidak ada bilangan ganjil, karena pasti tidak habis dibagi dengan Terbagi Dengan 9 Sebuah bilangan habis dibagi 9, bila jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi 9. 5

40 9 sama artinya dengan. Membagi sebuah bilangan dengan 9 hampir sama dengan membagi bilangan itu dengan sebanyak kali (bagi, kemudian bagi lagi). Meskipun 9 tidak berarti bahwa syarat keterbagian dengan yang digunakan untuk menentukan apakah sebuah bilangan habis dibagi dengan 9. Karena menentukan sebuah bilangan habis dibagi, tidak menghasilkan hasil pembagian bilangan itu dengan. Contoh : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 9! a b c d a. Bilangan 5666 jumlah angka-angkanya adalah 6. Karena 6 habis dibagi dengan 9, maka bilangan 5666 juga habis dibagi dengan 9. b. Bilangan jumlah angka-angkanya adalah 55. Karena 55 9 menghasilkan 6 sisa, maka bilangan tidak habis dibagi dengan 9. c. Bilangan jumlah angka-angkanya adalah 8. Karena 8 habis dibagi dengan 9, maka bilangan juga habis dibagi dengan 9. d. Bilangan jumlah angka-angkanya adalah 9. Karena 9 9 menghasilkan 0 sisa, maka bilangan tidak habis dibagi dengan Terbagi dengan Membagi sebuah bilangan dengan sama dengan mebagi bilangan itu dengan. Karena itu, sebuah bilangan habis dibagi, bila bilangan 6

41 itu dua angka terakhirnya habis dibagi dan jumlah angka-angkanya habis dibagi. 9. Terbagi Dengan 6 Meminjam cara untuk menentukan bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 8, kurang lebih demikian. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 6 ( ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan sebanyak kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 6, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan 8 menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian dengan 6 cukup dengan memperhatikan empat angka terakhir dari sebuah bilangan (ribuan, ratusan, puluhan dan satuan saja). Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya perlu memperhatikan ribuan, ratusan, puluhan dan satuan saja? Karena mulai dari sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan Terbagi Dengan 8 Membagi sebuah bilangan dengan 8 sama dengan membagi bilangan itu dengan 9. Karena itu, sebuah bilangan habis dibagi 8 bila bilangan itu bilangan genap dan jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.. Terbagi dengan 5 Sebuah bilangan habis dibagi 5, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 5. Perhatikan barisan kelipatan 5 berikut; 5, 50, 75, 00, 5, 50, 75, 00,... Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya 7

42 memperhatikan puluhan dan satuan saja? Karena mulai dari ratusan, ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 5. 8

43 PENERAPAN KETERBAGIAN BILANGAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT DUA DI KELAS VII SMP A. Keterbagian Bilangan Sebuah bilangan dikatakan habis dibagi (terbagi) dengan sebuah bilangan yang lain, bila hasil pembagiannya memberikan sisa 0.. Terbagi Dengan Sebuah bilangan habis dibagi, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan ( ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan sebanyak kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan menghasilkan bilangan genap lagi. Sehingga pembagian dengan cukup dengan memperhatikan dua angka terakhir dari sebuah bilangan (puluhan dan satuan saja). Contoh : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan! a b c d a. Bilangan 5656 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi, maka 5656 juga habis dibagi dengan. b. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 86. Karena 86 tidak habis dibagi (memberi sisa ), maka juga tidak habis dibagi dengan. 9

44 c. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 8. Karena 8 habis dibagi, maka juga habis dibagi dengan. d. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 7. Karena 7 tidak habis dibagi (memberi sisa ), maka juga tidak habis dibagi dengan. Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya memperhatikan puluhan dan satuan saja? Karena, mulai dari ratusan, ribuan, sepuluhribuan, dan seterusnya pasti habis dibagi dengan. Catatan : Pada Contoh, pembagian dengan yang bersisa hanya memberikan sisa, sebab bilangan-bilangan yang dibagi dengan yang memberikan sisa atau pasti bilangan ganjil, dan sebuah bilangan ganjil pasti tidak habis dibagi. Ingat bahwa.. Terbagi Dengan 9 Sebuah bilangan habis dibagi 9, bila jumlah angka-angka pembentuk bilangan itu habis dibagi 9. 9 sama artinya dengan. Membagi sebuah bilangan dengan 9 hampir sama dengan membagi bilangan itu dengan sebanyak kali (bagi, kemudian bagi lagi). Meskipun 9 tidak berarti bahwa syarat keterbagian dengan yang digunakan untuk menentukan apakah sebuah bilangan habis dibagi dengan 9. Karena menentukan sebuah bilangan habis dibagi, tidak menghasilkan hasil pembagian bilangan itu dengan. Contoh : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 9! a b c d

45 a. Bilangan 5666 jumlah angka-angkanya adalah 6. Karena 6 habis dibagi dengan 9, maka bilangan 5666 juga habis dibagi dengan 9. b. Bilangan jumlah angka-angkanya adalah 55. Karena 55 9 menghasilkan 6 sisa, maka bilangan tidak habis dibagi dengan 9. c. Bilangan jumlah angka-angkanya adalah 8. Karena 8 habis dibagi dengan 9, maka bilangan juga habis dibagi dengan 9. d. Bilangan jumlah angka-angkanya adalah 9. Karena 9 9 menghasilkan 0 sisa, maka bilangan tidak habis dibagi dengan 9.. Terbagi Dengan 6 Sebuah bilangan habis dibagi 6, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi, dan bila dibagi dengan menghasilkan bilangan yang habis dibagi dengan. Perhatikan bahwa bila sebuah bilangan dibagi dengan 6 ( ) sama artinya dengan membagi bilangan itu dengan sebanyak kali. Karena itu bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan 6, pasti bilangan genap dan bila dibagi dengan menghasilkan bilangan yang habis dibagi dengan. Sehingga pembagian dengan 6 cukup dengan memperhatikan dua angka terakhir dari sebuah bilangan (puluhan dan satuan saja), dan hasil pembagiannya dengan. Contoh : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 6! a b c d

46 a. Bilangan 5656 dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi, maka 5656 juga habis dibagi dengan Selanjutnya, 89 tidak habis dibagi dengan. Karena itu, 5656 tidak habis dibagi 6. b. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 86. Karena 86 tidak habis dibagi (memberi sisa ), maka juga tidak habis dibagi dengan 6. c. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 56. Karena 56 habis dibagi, maka juga habis dibagi dengan Selanjutnya, 6 habis dibagi. Karena itu, habis dibagi 6. d. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 7. Karena 7 tidak habis dibagi (memberi sisa ), maka juga tidak habis dibagi dengan 6. Selain cara seperti di atas, dapat juga dengan hanya memperhatikan angka terakhir dari sebuah bilangan. Atau kurang lebih dapat dikatakan demikian, Bila angka terakhir sebuah bilangan habis dibagi dengan 6, maka bilangan itu juga habis dibagi dengan 6. Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya perlu memperhatikan ribuan, ratusan, puluhan dan satuan saja? Karena, dibagi dengan 6. mulai dari sepuluhribuan, dan seterusnya pasti habis. Terbagi Dengan 5 Sebuah bilangan habis dibagi 5, bila dua angka terakhir dari bilangan itu habis dibagi 5.

47 Perhatikan barisan kelipatan 5 berikut; 5, 50, 75, 00, 5, 50, 75, 00,... Pertanyaan yang mungkin muncul adalah, mengapa kita hanya memperhatikan puluhan dan satuan saja? Karena mulai dari ratusan, ribuan, sepuluhribuan dan seterusnya pasti habis dibagi dengan 5. Contoh : Tentukan bilangan-bilangan berikut yang habis dibagi dengan 5! a b c d a. Bilangan 5655 dua angka terakhirnya adalah 55. Karena 55 tidak habis dibagi 5 (memberikan sisa 5), maka bilangan 5655 juga tidak habis dibagi 5. b. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 75. Karena 75 habis dibagi 5, maka bilangan juga habis dibagi 5. c. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 00. Karena 00 habis dibagi 5 ( ), maka bilangan juga habis dibagi 5. d. Bilangan dua angka terakhirnya adalah 75. Karena 75 habis dibagi 5, maka bilangan juga habis dibagi 5. B. Akar Pangkat Dua (Kuadrat) Akar pangkat dua adalah operasi invers (kebalikan) dari pangkat dua (kuadrat). Karena itu, untuk memahami akar pangkat dua sebuah bilangan, perhatikan tabel berikut:

48 Akar Bilangan Kuadrat Bilangan Kuadrat Bilangan Kuadrat Bilangan Akar Kuadrat Kenyataan di lapangan menunjukkan bahwa, peserta didik mulai kesulitan menentukan akar pangkat dua sebuah bilangan (khusus bilangan kuadrat sempurna), bila bilangan itu sudah lebih dari 00. Salah satu cara yang mungkin dapat memudahkan peserta didik untuk mencari akar pangkat dua sebuah bilangan adalah dengan menuliskan bilangan yang akan dicari akar pangkat duanya dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat sempurna. Karena itu, penulis berpendapat syarat keterbagian sebuah bilangan dapat dijadikan sebagai prasyarat untuk mempelajari akar pangkat dua (kuadrat) sebuah bilangan. Bilangan kuadrat yang sering digunakan untuk menuliskan bilangan yang akan dicari akar pangkat duanya dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat sempurna adalah, 9, 6, dan 5.

49 C. Penerapan Dalam Pembelajaran Tulisan ini dimaksudkan untuk memudahkan peserta didik untuk menentukan akar pangkat dua sebuah bilangan dalam pembelajaran konsep akar pangkat dua di Kelas VII SMP. Contoh 5: Tentukan akar pangkat dua dari bilangan-bilangan berikut: a. 576 b. 96 c. 05 d. 5 e f. 00 Penyelesaian: a. 576 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu Jadi, b. 96 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu Jadi, c. 05 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu Sehingga, d. 5 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu 5 9. Jadi, e ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu Jadi, f. 00 ditulis dalam bentuk perkalian bilangan kuadrat yaitu Jadi,

50 Soal Latihan Tentukan nilai dari akar bilangan berikut! D. Metode Akar Pangkat Dua Dengan Menghitung Contoh 6: Tentukan nilai dari 56! Penyelesaian: Langkah : Kelompokkan bilangan itu atas dua angka mulai dari satuan. Perhatikan bentuk Langkah : Carilah sebuah bilangan (dari s.d. 0) yang jika dikuadratkan, hasilnya mendekati, tetapi tidak boleh lebih dari. Diperoleh karena 9. Perhatikan! 56 9 hasilnya Selesaikan! kelompok berikutnya diturunkan diperoleh 56. Langkah : Hasil yang diperoleh dikalikan dengan, diperoleh 6. Tuliskan bilangan 6 ini seperti berikut : Bilangan 6 disimpan (baca: enampuluh... kali...) Titik-titik harus diisi dengan bilangan yang sama. 6

51 Langkah : Lengkapi agar diperoleh 56. Diperoleh karena Perhatikan! Jadi, 56. Soal Latihan Tentukan nilai dari akar bilangan berikut! , , ,96 7

52 PENERAPAN KETERBAGIAN BILANGAN DALAM PEMBELAJARAN KONSEP AKAR PANGKAT TIGA DI KELAS VII SMP A. Pangkat Tiga Suatu Bilangan Bila a suatu bilangan bulat, maka pangkat tiga dari a ditulis a a a a. Perhatikan tabel berikut: Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Tiga Tiga Tiga Tiga Amati tabel di atas! Pola apa yang dapat kalian temukan antara bilangan a dan pangkat tiganya? B. Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan Perhatikan tabel berikut: 8

53 Akar Akar Akar Akar Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Bilangan Pangkat Tiga Tiga Tiga Tiga Amati tabel di atas! Pola apa yang dapat kalian temukan antara bilangan a dan akar pangkat tiganya? C. Metode Penarikan Akar Pangkat Tiga dengan Menggunakan Perkalian Bilangan (Keterbagian Bilangan) Contoh : Tentukan nilai dari 7! Penyelesaian: Bilangan 7 habis di bagi, sehingga dapat ditulis Bilangan 686 masih habis bila dibagi, sehingga dapat ditulis 686. Karena itu, bilangan 7 dapat ditulis sebagai berikut: 7 9

54 7 7 7 Karena itu Jadi, 7. Apakah ada cara lain yang dapat dilakukan? Contoh : Tentukan nilai dari 8! Penyelesaian: Bilangan 8 habis dibagi 8, sehingga dapat ditulis Bilangan 78 habis dibagi, sehingga dapat ditulis 78. Bilangan habis dibagi 8, sehingga dapat ditulis 8 5. Bilangan 5 dapat ditulis 5 7. Karena itu, bilangan Atau Karena itu, Jadi, 8. Apakah ada cara lain yang dapat dilakukan? Soal Latihan Tentukan nilai dari akar bilangan berikut!

55 D. Metode Penarikan Akar Pangkat Tiga dengan Menghitung Contoh : Dengan menghitung, tentukan nilai dari 765! Penyelesaian: Langkah : Kelompokkan bilangan itu atas angka-angka mulai dari satuan. Perhatikanlah! 7 65 Langkah : Carilah sebuah bilangan (dari s.d. 9) yang bila dipangkattigakan mendekati 7. didapatkan Perhatikan! hasilnya 6 Selesaikan! kelompok berikutnya diturunkan.. Langkah : Carilah sebuah bilangan yang bila disubtitusi ke dalam persamaan: {0 6 (6...) + (...) } Perhatikan angka satuannya, kemungkinan angkanya di sekitar 5. Coba subtitusikan dan hitung {0 6 (65) + (5) } ? {0 6 (65) + (5)} ? {80 (65) + (5)} ? {80 (65) + (5)} ? { } ? {75}

56 Jadi! {0 6 (6...) + (...) } Bilangan yang dicari adalah 5! Jadi, Periksa dengan Apakah ada cara lain yang dapat dilakukan? Silahkan mencoba! Contoh : Dengan menghitung, tentukan nilai dari 579! Penyelesaian: Langkah : Kelompokkan bilangan itu atas angka-angka mulai dari satuan. Perhatikanlah! 57 9 Langkah : Carilah sebuah bilangan (dari s.d. 9) yang bila dipangkattigakan mendekati 57. didapatkan Perhatikan! hasilnya 7 Selesaikan! kelompok berikutnya diturunkan. 5

57 Langkah : Carilah sebuah bilangan yang bila disubtitusi ke dalam persamaan: {0 7 (7...) + (...) } Perhatikan angka satuannya, kemungkinan angkanya di sekitar. Coba subtitusikan dan hitung {0 7 (7) + () } 9? Jadi! {0 7 (7) + ()} 9? {0 (7) + ()} 9? {0 (7) + ()} 9? {90 + } 9? {9} 9. 9 {0 7 (7...) + (...) } Bilangan yang dicari adalah! Jadi, Periksa dengan Dengan meminjam metode akar kuadrat untuk menentukan akar kuadrat bilangan yang bukan bilangan kuadrat, dapatkah cara di atas digunakan untuk menentukan akar pangkat tiga bilangan yang bukan bilangan kubik? Soal Latihan Tentukan nilai dari akar bilangan berikut! a. 768 b. 875 c d e. 95 f. 08 g h. 05 i. 5 j

58 PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan yang merupakan bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor yaitu dan dirinya sendiri. Banyak cara untuk mendapatkan faktor prima dari sebuah bilangan, diantaranya yang paling populer adalah dengan menggunakan pohon faktor. Akan tetapi penggunaan pohon faktor ini perlu didasari dengan penguasaan terhadap materi keterbagian sebuah bilangan. Untuk itu, Anda yang berminat agar membaca Keterbagian Bilangan yang ditulis oleh penulis yang sama. Contoh : Uraikan atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: 07 tidak dapat dibagi, tetapi habis dibagi. Karena itu, langsung bagi dengan hasilnya tidak habis dibagi dengan,, 5, dan 7. Karena itu faktor prima dari hanya dan 07. Contoh : Uraikan atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: habis dibagi (karena bilangan genap) hasilnya. habis dibagi hasilnya habis dibagi hasilnya tidak habis dibagi,, 5, 7,, dan. 5 Karena itu faktor-faktor prima adalah dan 5 atau 5. 5

59 Contoh : Uraikan 0.00 atas faktor-faktor primanya! Penyelesaian: habis dibagi hasilnya habis dibagi hasilnya habis dibagi 5 hasilnya habis dibagi 7 hasilnya. habis dibagi hasilnya. Karena itu, fakor prima dari 0.00 adalah,, 5, 7,, dan atau dapat ditulis Penerapan faktor prima yang banyak dikenal adalah untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan, dan menentukan Faktor Pesersekutuan Terbesar (FPB) dari dua atau lebih bilangan. Bagian ini tidak akan dibahas dalam tulisan ini. Tulisan ini akan membahas penerapan faktor prima untuk menyelesaikan bentuk aljabar khususnya pemfaktoran bentuk aljabar dan peneyederhanaan pecahan bentuk aljabar, penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu, dan penyelesaian bentuk a b c, a, b, dan c asli. B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar Bentuk a b Bentuk a b dikenal dengan nama selisih dua kuadrat. Bentuk ini faktor-faktornya adalah (a + b) dan (a b). Karena itu, a b ( a + b)( a b)... () Beberapa penerapan bentuk a b Sering kita menjumpai soal-soal seperti berikut ?...? ? 55

60 Nampaknya soal ini bila diselesaikan secara biasa akan membutuhkan waktu yang agak lama. Namun, dengan menggunakan faktor-faktor selisih dari dua kuadrat, maka soal ini ternyata dapat diselesaikan hanya dalam hitungan detik. Perhatikan bentuk soal di atas bila diubah menjadi bentuk seperti berikut: 5 9 (5 + 9) (5 9) ( + ) ( ) (0 + 0) (0 0) Soalnya amat mudah bukan? Tripel Pythagoras Salah satu teorema dalam matematika yang banyak digunakan adalah teorema Pythagoras. Teorema ini berbunyi pada segitiga siku-siku kuadrat hypotenusa sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Perhatikan gambar berikut: B a c ABC siku-siku di titik C. AC b satuan, BC a satuan, dan AB c satuan. Menurut Pythagoras berlaku hubungan: C b A c + a b a b, akibatnya: c b dan c a Perhatikan bahwa bentuk a c b yang dapat diubah menjadi a ( c + b)( c b), dan bentuk b c a dapat diubah menjadi b ( c + a)( c a). Dengan demikian, a ( c + b)( c b) ( c + b). ( c b),... () dan b ( c + a)( c a) ( c + a). ( c a)... () Bentuk () dan () masing-masing adalah panjang sisi a dan sisi b pada segitiga siku-siku dengan panjang hypotenusa c. 56

61 Contoh : Tentukanlah panjang sisi ketiga pada sebuah segitiga sikusiku bila diketahui panjang hypotenusa cm dan salah satu sisi sikusikunya berukuran cm! Penyelesaian: Perhatikan gambar!...? cm Contoh : Segitiga ABC siku-siku di titik B. Bila AC 5 cm dan AB cm, berapakah panjang BC? Penyelesaian: A Perhatikan gambar di samping! 5 BC BC ( 5 + )(5 ) 9. B BC...? C BC 7. BC 7 cm Garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah garis singgung persekutuan dua buah lingkaran. Garis singgung persekutuan dua buah lingkaran yang dikenal ada, yaitu; () garis singgung persekutuan dalan (gd), dan () garis singgung persekutuan luar (g l). Untuk menemukan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: 57

62 r P A' Perhatikan gambar! R g d Lingkaran P pusatnya di titik P A d dengan jari-jari r, dan lingkaran O O g d R pusatnya di titik O dengan jari-jari B R. Jarak antara kedua pusat lingkaran yaitu OP d. Panjang garis singgung persekutuan dalam oleh tranlasi kedua lingkaran adalah AB g d satuan. Berapakah AB? Untuk menemukan jawabannya, maka garis AB ditranslasikan B O sehingga titik B berimpit dengan titik O, titik A akan berimpit dengan A. Dengan demikian, AA R, A O gd, dan PA ' r + R. Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: r P R A A' d g d O Perhatikan bahwa segitiga siku-siku PA O siku-siku di titik A. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masingmasing adalah panjang garis singgung dalam (gd) dan jumlah jari-jari kedua lingkaran (r + R). Dengan demikian didapatkan hubungan: d (gd) + (r + R) yang mengakibatkan : (gd) d (r + R),... () dan (r + R) d (g d)... (5) Persamaan () dapat diubah menjadi: (g d) d (r + R) (g d) (d + r + R)(d r R) ( d + r + R). ( d r R)... (6) g d 58

63 Persamaan (5) dapat diubah menjadi: (r + R) d (gd) (r + R) (d + gd)(d gd) r + R) ( d + g ). ( d g )... (7) ( d d Persamaan (6) dan (7) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan dalam. Contoh : Perhatikan gambar di bawah ini! Panjang PQ 0 cm, PA 8 cm, dan AB 6 cm. Tentukan perbandingan luas lingkaran I dan II!. A P Q B I II Penyelesaian: g d 6 r...? R 8 d 0 Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga sikusiku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan : r + R) ( d + g ). ( d g ) ( d d ( r + 8) (0 + 6). (0 6) ( r + 8) 6. ( r + 8) 6. r Perbandingan Luas I : Luas II R : r 8 : 6 : 6 :. 59

64 Contoh : Perhatikan gambar di samping! Bila AB D 5 cm, AC cm dan BD 5 cm, A B berapakah panjang CD? C Penyelesaian: g d...? r R 5 d 5 Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga sikusiku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan : g d g d ( d + r + R). ( d r R) ( 5 + 7). (5 7) g d. 8 g d... g d.. g d g d.. Panjang CD cm. Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: D g l C Perhatikan gambar! Lingkaran A A r g l d R E B pusatnya di titik A dengan jari-jari r, dan lingkaran B pusatnya di titik B dengan jari-jari R. Jarak antara kedua pusat lingkaran yaitu AB d. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah AE g l satuan. Berapakah AE? 60

65 tranlasi Untuk menemukan jawabannya, maka garis CD ditranslasikan oleh D A sehingga titik D berimpit dengan titik A, titik C akan berimpit dengan E. Dengan demikian, CE DA r, AE g l, dan BE R r. Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: C D r g l g l r E R - r A d B Perhatikan bahwa segitiga siku-siku ABE siku-siku di titik E. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masing-masing adalah panjang garis singgung luar (gl) dan selisih jari-jari kedua lingkaran (R r). Dengan demikian didapatkan hubungan: d (gl) + (R r) yang mengakibatkan : (gl) d (R r),... (8) dan (R r) d (g l)... (9) Persamaan (8) dapat diubah menjadi: (g l) d (R r) (g l) (d + R r)(d (R r)) g d ( d + R r). ( d R + r)... (0) Persamaan (9) dapat diubah menjadi: (R r) d (g l) (R r) (d + gl)(d gl) R r) ( d + g ). ( d g )... () ( l l Persamaan (0) dan () inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan luar. 6

66 Contoh : Lingkaran M berjari-jari satuan dan lingkaran N berjari-jari 0 satuan memiliki garis singgung persekutuan luar PQ. Bila MN 5 satuan, berapakah panjang garis singgung persekutuan luar PQ? Penyelesaian: P M? Q 0 R 5 N Perhatikan gambar di atas. PQ MR. MRN sikusiku di titik R. NR 0 7. Karena itu, MR MR ( MN + NR) MR (5 + 7)(5 7) MR.8 MR MN + NR... ( MN NR) MR.. MR Jadi, panjang garis singgung PQ satuan. Contoh : Dua buah lingkaran memiliki garis singgung persekutuan luar dengan panjang 5 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran itu 7 cm. Bila jari-jari lingkaran pertama 5 cm, berapakah panjang jari-jari lingkaran yang kedua? Penyelesaian: D A? 5 C 5 E 7 B 6

67 Perhatikan gambar! ABE Karena itu, siku-siku di titik E. AB 7 adalah hypotenusa. AE DC 5. BE BC AD. BE BE AB 7 AE 5 BE (7 + 5)(7 5) BE 7. BE BE Karena BE BC AD, maka BC AD. AD BC AD 5 AD AD cm Panjang jari-jari lingkaran yang kedua cm. Bentuk a + b + c, a 0, a, b, c Real Bentuk a + b + c, a 0, a, b, c Real sering juga disebut bentuk kuadrat. Bentuk ini dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut:. Tuliskan a + b + c. Carilah nilai a.c. ( a...)( a...) a. Carilah faktor prima dari a.c.. Dari faktor-faktor prima itu carilah pasangan faktor a.c yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b. 5. Pasangan faktor yang didapatkan dimasukkan untuk mengisi titiktitik pada langkah. 6. Perhatikan faktor pembilang dari langkah. Tentukan faktor yang habis dibagi dengan a. 7. Faktor-faktor dari a + b + c akan didapatkan. Contoh : Tentukanlah faktor-faktor dari + 7 +! 6

68 Penyelesaian: Perhatikan bentuk a, b 7 dan c. ac. Faktor prima dari... Karena itu, 6,. Tuliskan (...)(...) (I) Sekarang, pilihlah faktor dari yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b 7. Didapatkan + dan +. Karena itu + dan + menggantikan titik-titik pada bentuk (I) sehingga Contoh : Penyelesaian: ( + )( + ) ( + )( + ) Tentukanlah faktor-faktor dari 5 +! (...)(...) 5 + ( )( ) ( )( ) 5 + ( )( ) ac..( )..( ) Pasangan faktor yang jumlahnya 5 adalah dan. Karena itu, yang menggantikan titik-titik adalah dan. Contoh : Tentukanlah faktor-faktor dari + 6 Penyelesaian: 6

69 (...)(...) + 6 ( )( 9) ( )( ) + 6 ( )( ) ac ( 8) 8.9.( 9) 8.6.( 6) Pasangan faktor yang jumlahnya adalah dan 9. Penyederhanaan pecahan aljabar Lanjutan dari pemfaktoran bentuk kuadrat di SMP adalah penyederhanaan pecahan bentuk aljabar. Bila pemfaktoran bentuk a + b + c belum dipahami dengan baik, maka berlatihlah sebelum melanjutkan pada penyederhanaan pecahan aljabar. Contoh : Penyelesaian: Sederhanakanlah bentuk ! Pembilangnya adalah Karena itu, ac dapat dituliskan dalam bentuk perkalian faktor primanya sebagai Pasangan-pasangan faktor dari 05 adalah 05 05, 05 5, 05 5, dan Pasangan faktor yang jumlahnya 8 adalah 5. Bila pasangan faktor ini dibagi dengan, sama artinya bila dibagi dengan 7. Sehingga didapatkan: (...)(...) ( + )( + 5) (7 + )( + 5) Pembilang dapat ditulis dalam bentuk ( 7 + )( + 5). 65

70 Contoh : Penyebutnya adalah Nilai ac 80. Bila ditulis dalam bentuk perkalian faktor primanya, maka Pasangan faktor yang mungkin untuk 80 adalah 80 80, 80 90, 80 60, 08 80, 80 5, , , , , dan Pasangan faktor yang jumlahnya 9 adalah 9 0. Bila pasangan faktor ini dibagi dengan, maka didapatkan bentuk seperti berikut: (...)(...) ( + 9)( + 0) ( + )( + 5) Penyebut dapat ditulis dalam bentuk ( + )( + 5). Jadi, bentuk sederhana dari: Penyelesaian: (7 + )( + 5) ( + )( Sederhanakan bentuk ! (...)(...) (...)(...) ( + )( 0) ( + )( + 0) 6 0 ( + )( 0) ( + )(( + 0) 66

71 Penjelasan pembilang. ac 0. Faktor yang jumlahnya b 6 adalah 0 ( 0). Penjelasan Penyebut. ac 0. Faktor yang jumlahnya b adalah 0 0. Contoh : Sederhanakan bentuk Penyelesaian: ! 0 (...)(...) 5 0 (...)(...) ( + )( 9) 5 0 ( + )( 5) 5 ( + )( ) 0 ( + )( 5) Penjelasan pembilang. ac 6. Faktor yang jumlahnya b 5 adalah 6 ( 9). Penjelasan Penyebut. ac 60. Faktor yang jumlahnya b adalah 0 ( 5). C. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah a + b + c 0, a 0, a, b, dan c Real. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara, yaitu dengan () memfaktorkan; () melengkapkan kuadrat sempurna; dan () dengan menggunakan rumus. Dalam tulisan ini yang akan dibahas hanya penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. 67

72 Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan hampir sama dengan menyelesaiakan bentuk kuadrat a + b + c, a 0, a, b, dan c Real dengan memfaktorkan yang sudah di bahas pada bagian terdahulu. Karena itu, untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai berikut: a + b + c 0 ( a...)( a...) a + b + c 0 a ( a...)( a...) 0 a Bandingkan dengan langkah-langkah berikut: Langkah I: Kalikan a dengan c hasilnya ac. Langkah II: Faktorkan ac atas faktor-faktor primanya. Langkah III: Pilihlah pasangan faktor ac yang jumlahnya sama dengan b. Langkah IV: Bagilah pasangan faktor ac yang memenuhi dengan a, kemudian masing-masing kalikan dengan. Hasil dari Langkah IV adalah penyelesaian yang dicari. Contoh : Tentukan nilai yang memenuhi persamaan ! Penyelesaian: 68

73 (...)(...) ( + )( + ) 0 ( + )( + ) ac 6 b b 5 + a a atau. Contoh : Nilai yang memenuhi persamaan adalah Penjelasan: Pasangan faktor ac 6 yang jumlahnya b 5 adalah. Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda. Tentukan nilai yang memenuhi persamaan + 0! Penyelesaian: + 0 (...)(...) + 0 ( )( 9) 0 ( )( ) ac 6 b 6 ( 9) + ( 9) 9 a a 9 69

74 Nilai yang memenuhi persamaan + 0 adalah atau. Penjelasan: Pasangan faktor ac 6 yang jumlahnya b adalah ( 9). Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda. Contoh : Tentukan nilai yang memenuhi persamaan 0 0! Penyelesaian: 0 0 (...)(...) 0 ( + 5)( 8) 0 ( + 5)( ) ac 0 b 0 5 ( 8) 5 + ( 8) 5 8 a a D. Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f() a + b + c, a 0, a, b,dan c Real. Fungsi kuadrat akan memotong sumbu bila ordinatnya sama dengan 0 (y f() 0). Karena itu, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu, sama dengan mencari nilai-nilai yang membuat fungsi f() bernilai 0, sehingga terbentuk persamaan f ( ) a + b + c 0. 70

75 Bentuk a + b + c 0 adalah bentuk umum dari persamaan kuadrat. Dengan demikian, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu, sama dengan mencari penyelesaian persamaan kuadrat. Contoh : Penyelesaian: Tentukan titik potong fungsi f ( ) dengan sumbu! Fungsi f ( ) memotong sumbu bila y f ( ) 0. Karena itu, f ( ) ( 6...)( 6...) 0 6 ( 6 + )( 6 + 5) 0 ( )( + 5) ac 0 b 7 0 (5) a a Jadi, titik potong fungsi f ( ) dengan sumbu 5 adalah di titik (,0) dan (,0). Perhatikan pada kolom kanan dalam penyelesaian di atas. Mengapa nilai dibagi dengan 6, sedang dibagi dengan 6? Contoh : Tentukan koordinat titik potong f : dengan garis y 0! 7

76 Penyelesaian: Contoh : f : dapat ditulis sebagai f ( ) y. Karena itu didapatkan, Penyelesaian: 0 (...)(...) 0 ( + )( ) Jadi, titik potong fungsi dengan garis y 0 masing-masing di titik (, 0) dan (, 0). Fungsi f ( ) berpotongan dengan garis y 5 di titik A dan B. Tentukanlah koordinat titik A dan titik B! Bila y f ( ) berpotongan dengan garis y 5 berarti keduanya memiliki titik persekutuan yang dilalui oleh fungsi f() dan garis y. Perhatikan bahwa, y... () dan y 5... () Persamaan () dan persamaan () memiliki ruas kiri yang sama, yaitu y. Karena itu, () (). Sehingga didapatkan persamaan berikut: ( + )

77 Nilai-nilai yang diperoleh disubstitusi ke persamaan () atau persamaan (). Untuk didapatkan y 5( ) A (, ) Untuk 0 didapatkan y 5(0) B (0, ) Jadi, titik perpotongannya adalah A (, ) dan B (0, ). E. Bentuk a b c, a, b, dan c Asli (Pengayaan) Bentuk a b c, a, b, dan c Asli memiliki n buah pasangan penyelesaian bila c memiliki n buah faktor. Faktor-faktor dari c dapat dengan mudah dicari dengan menggunakan kombinasi perkalian dari faktor prima yang dimiliki oleh c. Karena itu, bila c adalah bilangan prima, maka bentuk a b c, a, b, dan c Asli hanya memiliki satu pasang penyelesaian. Contoh : Diketahui a b 75, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu! Penyelesaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu sama dengan dari banyaknya faktor yang dimiliki oleh 75. Untuk mengetahui semua faktor dari 75, terlebih dahulu 75 difaktorkan atas faktor-faktor primanya. Semua faktor dari 75 (kecuali dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 75. Bilangan 75 dapat ditulis sebagai Dalam bentuk pasangan faktor-faktornya 75 75, 75 5, dan

78 Jadi, ada pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b. Pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut: Untuk pasangan faktor Karena a b (a + b)(a b), maka (a + b) 75 dan 75 (a b) dicari 8. Sehingga a b (8 + 7)(8 7) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (8, 7). Untuk pasangan faktor ( a + b) 5 dan ( a b). Perhatikan bahwa. ( a + b) ( + ) 5 ( a b) ( a + b) ( + ) 5 ( a b) Sehingga a b ( + )( ) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (, ). Untuk pasangan faktor ( a + b) 5 dan ( a b) 5. Perhatikan bahwa 8. ( a + b) (8 + 7) 5 ( a b) 8 7 ( a + b) (9 + 6) 5 ( a b) 9 6 ( a + b) (0 + 5) 5 ( a b) Sehingga a b (0 + 5)(0 5) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (0, 5). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a b 75, a, dan b adalah bilangan asli adalah (8, 7); (, ); dan (0,5). Contoh : Diketahui a b, a, dan b adalah bilangan asli. 7

79 Penyeleaian: Contoh : Penyelesaian: a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan itu! a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu hanya pasang, karena adalah bilangan prima yang ditulis sebagai. b. Untuk faktor, maka. Sehingga : a + b + a b Pasangan yang memenuhi a b ( + )( ). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (, ) Diketahui a b 5, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu! a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu sama dengan dari banyaknya faktor yang dimiliki oleh 5. Untuk mengetahui semua faktor dari 5, terlebih dahulu 5 difaktorkan atas faktorfaktor primanya. Semua faktor dari 5 (kecuali dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 5. Bilangan 5 dapat ditulis sebagai 5 5. Dalam bentuk pasangan faktor-faktornya 5 5, 5 5, 5 5 7, dan

80 Jadi, ada pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b.pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut: Untuk pasangan faktor ( a + b) 5 dan ( a b). Perhatikan bahwa ( a + b) ( ) 5 ( a b) Sehingga a b ( )(68 67) 5. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (68, 67). Untuk pasangan faktor ( a + b) 5 dan ( a b). Perhatikan bahwa 5. ( a + b) ( + ) 5 ( a b) ( a + b) ( + ) 5 ( a b) Sehingga a b ( + )( ) 5. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (, ). Untuk pasangan faktor ( a + b) 7 dan ( a b) 5. Perhatikan bahwa 7. ( a + b) ( + ) 7 ( a b) ( a + b) (5 + ) 7 ( a b) 5 ( a + b) (6 + ) 7 ( a b) 6 5 Sehingga a b (6 + )(6 ) 5. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (6, ). Untuk pasangan faktor ( a + b) 5 dan ( a b) 9. Perhatikan bahwa 8. 76

81 ( a + b) (8 + 7) 5 ( a b) 8 7 ( a + b) (9 + 6) 5 ( a b) 9 6 ( a + b) (0 + 5) 5 ( a b) ( a + b) (+ ) 5 ( a b) 7 ( a + b) ( + ) 5 ( a b) 9 Sehingga a b ( + )( ) 5. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (, ). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a b 5, a, dan b adalah bilangan asli adalah (, ); (6, ); (, ); dan (68, 67). F. Latihan. Hitunglah : a. b. 6 9 c. 5 5 d Bila pasangan bilangan (a, b, c) berikut merupakan tripel Pythagoras, carilah bilangan yang belum diketahui: a. b, c b. a 5, c 7 c. b 0, c 9 d. a 5, c 5. Garis singgung lingkaran a. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari cm dan cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran 7 cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan luarnya? b. Jarak dua pusat lingkaran cm. Bila panjang jari-jari masing-masing lingkaran cm dan cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan dalamnya? 77

82 . Pemfaktoran bentuk a + b + c, a 0, a, b, c Real Faktorkanlah : a. 7 + b c. 5 d Penyederhanaan pecahan aljabar Sederhanakanlah: a. b. c d Carilah nilai-nilai yang memenuhi persamaan kuadrat berikut: a. + 0 b c d Tentukan titik potong fungsi kuadrat berikut, dengan sumbu : a. f ( ) b. f ( )

83 8. Tentukanlah pasangan (a, b) dengan a, b bilangan asli, sedemikian sehingga memenuhi persamaan berikut: a. a b 560 b. a b 756 c. a b 66 d. a b 550 G. Kunci 79

84 KUMPULAN SOAL DAN PENYESAIAN KOMPETISI MATEMATIKA. Diketahui ABC siku-siku di titik A. Titik P dan Q terletak pada sisi BC sedemikian hinga BQ : QP : PC : :. Bila panjang BC 5 cm, hitunglah nilai dari PQ + AP + AQ! (Jabar 00) Perhatikan gambar berikut: Dianalisis dengan menggunakan sumbu koordinat untuk memudahkan perhitungan b y b b A C(0, b) a Q (a, b) P (a, b) B(a, 0) a a PQ AP AQ BC 6( a Berlaku hubungan : a PQ a a a 9a + b a + b + AP + b + b + b + 9b + a ) + b AQ dan 9( a + b + a + b + b ) 5. ABCD.EFGH merupakan balok dengan luas ABCD 56 cm, luas ABFE 8 cm, dan luas BCGF cm. Hitunglah panjang diagonal ruang balok itu! (Jabar 00) Perhatikan gambar berikut! 80

85 E H F G Bila AB p, AD l, dan maka : AE t, t A l D p B C Luas ABCD pl 56 Luas BCGF lt Luas ABFE pt 8 dan panjang diagonal ruang balok p + + l t. Sehingga : pl. lt. pt p. l. t Karena itu, p p l. t l t 8 ( pt) 8 t t ( pl) Jadi, panjang diagonal ruang balok itu Tentukan nilai a + b + c + d + e pada gambar berikut! a b c e d (Kota Bandung 00) Perhatikan gambar berikut : y +y 8

86 Karena itu, gambar dalam soal dapat dilukiskan sebagai berikut : a b c e a+c b+e d Jumlah besar sudut sebuah segitiga adalah 80. Jadi, a + b + c + d + e 80. a dan b R positif dan a>b. Buktikan bahwa ( a + b ) > ab! a, b R, a > 0, b > 0, dan a > b. Karena itu, a b > 0. a b > 0 ( a b) a a ( > 0 ab + b + b a > ab > 0 + b ) > ab 5. ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 8 satuan. Hitunglah luas lingkaran yang diarsir!... (terbukti) D C A B (Kota Bandung 00) 8

87 D C Perhatikan gambar di samping! Bila AB 8 maka G E AF BF dan BG 8. Bila jaro-jari lingkaran r, maka GE r EF. A F B Sehingga BE BG GE 8 r. Menurut dalil Pythagoras, BE BF + EF. Karena itu, (8 r) + r 6 6r + r 6 + r 8 6r r Luas arsiran πr π 9π satuan luas. 6. Diketahui : a + b + c + d + e a + b + c + d + e a + b + c + d + e 6 a + b + c + d + e a + b + c + d + e 9 Tentukanlah nilai a, b, c, d, dan e. (Jabar 000) Perhatikan penyelesaiannya bila menggunakan metode matriks. a b c d e Σ Ket B B B 6 B B5 9 8

88 a b c d e Σ Ket B B B B B B B B B B B5 B B B 6 + B 7 B B 7 + B 8 B B 8 + B 9 B B0 B B B B a + c a c b + d b d +...() c + e c e...() () substitusi ke () a e 5...() (), (), dan () substitusi a + b + c + d + e ( e 5) + ( d + ) + ( e ) + d + e e + d + e + d + e 0 + d + 6e 8...() ke B d + e...(5) Dari baris B9 : d + e 5 d + e 5... (6) Jumlahkan (5) dengan (6) didapatkan e 6 e d e dan d substitusi ke (), (), dan () didapatkan : a e 5 a 5 b d + b + c e c Jadi, a, b, c, d, dan e. 8

89 (Catatan : Cara penyelesaian ini mirip penyelesaian Gauss Jordan yang bisa disimulasikan di komputer). 7. M dan N berturut-turut adalah A tengah-tengah BC dan BA serta NC 8 cm dan AM 6 cm. Hitunglah panjang AC. N B M C (Jabar 000) Misalkan : AB a dan BC b Persamaan () substitusi ke () didapatkan : AC (a + b) AC a + b AC (a + b)... () AC NC + AM. 5 NC a + b AM a +b AC (8 + 6 ) 5 AC (00) 5 NC + AM 5a + 5b AC 80 NC + AM 5(a + b) NC + AM ( a + b) 5... () AC 5 cm. 8. Dua buah lingkaran pusatnya masing-masing di titik A. Bila talibusur BC panjangnya 0 cm, hitunglah luas daerah yang diarsir! B C 85

90 A E C Misalkan, jari-jari lingkaran besar adalah R dan jari-jari lingkaran kecil adalah r. Luas arsiran sama dengan luas lingkaran besar dikurangi luas lingkaran kecil. Sehingga, B D Luas arsiran πr π ( R πr r ) Bila titik tengah BC adalah E, maka : AC R R r AE r Jadi, luas arsiran + CE 5π satuan luas. 9. Bila jari-jari lingkaran A adalah 0 cm, berapakah keliling ABC? A B C D B A C E Bila jari-jari lingkaran B adalah cm dan jari-jari lingkaran C adalah y cm, maka dan BC + y. Karena itu, AB 0, AC 0 y, Keliling ABC AB + BC + AC y + 0 y 0 cm 86

91 0. Hitunglah luas yang diarsir pada gambar di bawah ini! ( π ) 7 7 cm 8 cm 0 cm 5 cm Luas tiga buah sektor (juring) lingkaran yang terletak pada sudut segitiga sama dengan luas satu lingkaran. Karena itu, L πr cm Luaspersegipanjang (0 7) + (5 7) + (8 7) Keliling cm. Luas arsiran L + Luaspersegipanjang 5 cm +7 cm 55 cm.. Segitiga ABC dengan panjang sisi AC 0 cm, panjang BC cm. Titik D pada sisi BC sehingga DA adalah garis tinggi. Titik E pada sisi AC sehingga BE adalah garis tinggi. Jika panjang AD cm, berapakah panjang BE? (MY 00) Perhatikan gambar berikut! C E D BE. AC AD. BC BE 0 BE BE 0 8, cm A B 87

92 . Jari-jari lingkaran yang terletak pada tiap sudut segitiga di samping adalah 7 cm. Hitunglah : a. Luas daerah yang diarsir! b. Keliling lingkaran bagian luar segitiga! c. Keliling daerah yang diarsir! a. Luas lingkaran πr dan jumlah besar sudut segitiga 80. Karena itu, luas juring yang tidak diarsir luas lingkaran. b. K πr Keliling luar K K K 5π r Keliling luar cm Sehingga, Luas arsiran Luas lingkaran Luas 7 7 lingkaran cm Luas ( πr lingkaran c. Karena keliling lingkaran bagian luar 5πr, maka keliling daerah yang diarsir 5πr + 6r 5r(π + 6) satuan. Jadi, keliling daerah yang diarsir 5 7 ( 7 + 6) 0 cm. ) 88

93 . Bila jari-jari kelima lingkaran pada gambar di samping sama, maka hitunglah : a. Luas arsiran. b. Keliling arsiran. Jumlah kelima sudut juring yang tidak diarsir 80 lingkaran. Karena itu, a. Luas arsiran 5 Luas lingkaran Luas lingkaran Luas lingkaran πr b. Keliling arsiran Keliling lingkaran + 0r πr + 0r 9πr + 0r r(9π + 0). ABCD adalah persegi dengan AB a satuan. Hitunglah : a. Jari-jari lingkaran yang diarsir! b. Luas daerah yang diarsir! c. Keliling daerah yang diarsir! 89

94 D C A B a. Bila AB a satuan, maka lingkaran A berjari-jari a satuan. Karena daerah yang diarsir adalah lingkaran yang menyinggung AB, AD dan busur BD, maka bila lingkaran yang diarsir berjari-jari r, akibatnya : a r + r r( + ) a r a + r a( ) Jadi, jari-jari daerah yang diarsir adalah a( ) satuan. b. Luas daerah yang diarsir : L πr L π.a.( + ). a π( ) satuan. c. Keliling daerah yang diarsir : K πr K πa( ) satuan. 5. Perhatikan gambar di samping! Hitung luas daerah D C yang tidak diarsir. (Kota cm Sukabumi 00) A cm B 90

95 Jari-jari lingkaran yang pusatnya di C dan D masing masing adalah cm. Jari-jari lingkaran kecil (di dalam) misalkan r cm. Dengan Pythagoras : ( + r) ( r) + + r + r r + r + r r r Jadi, jari-jari lingkaran kecil adalah satuan. Luas lingkaran kecil πr π( ) π 6 cm Luas lingkaran C Luas lingkaran D π π cm. Luas arsiran Luas lingkaran C + Luas lingkaran D + L l ingkaran kecil π cm + π cm π + 6 cm 8π 6 cm + π 6 cm 9π 6 cm Luas ABCD cm. 9

96 Luas yang tidak diarsir ( 9π 6 ) cm. 9π 6 cm. 6. Ditentukan sistem persamaan : ( 6 π 9 ) cm. y z t 5 + y + z Hitunglah : + y + z (Kota Sukabumi 00) t; y t; dan z 5t. (t) +(t) + (5t) t + t + 0t t t Karena itu, ; y ; z 5. Jadi, + y + z Tentukan nilai : a + b + c + d + e + f + g dari : ( + )( + )( + ) a 6 + b 5 + c + d + e + f + g (Kota Sukabumi 00) ( + )( + )

97 ( )( + ) a 6 + b 5 + c + d + e + f + g... Karena, maka a, b 6, c 7, d 0, e 9, f 0, g. Jadi, a + b + c + d + e + f + g Perhatikan gambar di R samping! Bila PR 6 cm, K L PQ 8 cm, tentukanlah luas daerah PMKL. P M Q (Kota Sukabumi 00) R(0, 6) y Selesaikan dengan menggunakan K L bantuan koordinat Cartesius. Q(8, 0) Persamaan garis P(0, 0) M yang melalui P dan L adalah y... 9

98 Persamaan garis yang melalui R dan Q adalah + y Persamaan disubstitusi ke persamaan didapatkan : + y y Luas PMKL y 8 ( ) ( ) 7 7 satuan luas. 9. tahun yang lalu umur P sama dengan dua kali umur Q, sedangkan 6 tahun kemudian umur P Q sekarang? kali umur Q. Berapa jumlah umur P dan (Kota Sukabumi 00) tahun yang lalu 6 tahun kemudian Sekarang 6 tahun yang akan datang P P + 6 P 6 P P + 6 Q Q + 6 Q 6 Q Q + 6 P (Q ) P Q... 9

99 P 6 (Q 6) P Q 8 P Q 6... Selesaikan persamaan dan sebagai berikut : P Q P Q P Q 6 P Q 6 Q 8 Q 8 disubstitusi ke, didapatkan : P Q P (8) P + 6 P. Jadi, P + Q + 8 tahun 0. Perhatikan gambar di samping! Tentukan berapa nilai α! α +5 ο α +0 ο α +5 ο α Cara I: (Kota Sukabumi 00) α +5 ο α +65 ο α +0 ο α +55 ο α +0 ο α α 0ο Perhatikan gambar di atas! 95

100 α + (α + 0 ) + α 0 80 α 0 80 α 0 Jadi, α 55 Cara II: Jumlah sudut luar segiempat adalah 60. Karena itu, α + α α α α α 0 Jadi, α 55. Perhatikan gambar di samping! Bila PR 5 cm, RT cm, dan PQSU adlah sebuah persegi, maka tentukanlah luas PQSU. T U S P Q R (Kota Sukabumi 00) Bila PR 5 cm, dan RT cm, maka PT 5 cm. Bila PR dan PT masing-masing diimpitkan dengan sumbu- dan sumbu-y maka koordinat P(0, 0), R(5, 0), dan T(0, ) sehingga : Persamaan garis yang melalui titik R dan T adalah : y Karena PQ QS, maka persamaan garis yang melalui P dan S adalah y... Dari persamaan dan didapatkan : y 7 96

101 60 Luas PQSU.y cm 89 Cara lain dapat diselesaikan dengan menggunakan kesebangunan. Bila PR 5 cm, dan RT cm, maka PT 5 cm. Karena SU PQR, TUS TPR, dan SU QS a cm sehingga didapatkan : SU UT PR PT a a 5 a 60 5a 7a 60 a 60 7 Luas PQSU a cm 89. Titik A, B, dan C masing-masing adalah pusat lingkaran dengan jarijari R. Tentukanlah perbandingan panjang busur di luar dan di dalam segitiga seperti tampat pada gambar di samping! A C B 97

102 Panjang busur dalam segitiga sama dengan setengah keliling lingkaran, sedagkan panjang busur di luar segitiga sama dengan keliling lingkaran. Karena itu, Panjang busurluar : Panjang busurdalam : 5 :.. Pada gambar di samping busur BC menyinggung lingkaran L. Jika A π tentukanlah : a. Keliling lingkaran L! b. Luas lingkaran L! dan A adalah pusat lingkaran dengan jari-jari cm, C L B A C E L B 0 o 0 o A Jari-jari lingkaran L adalah DL cm. Karena itu, 98

103 DL AL DL AL AE AL Karena cm, maka: K π 8π cm L π 6π cm. Jika A π maka tentukanlah perbandingan luas lingkaran B dan luas lingkaran C pada gambar di samping! Identik dengan soal No.. Bila jarijari lingkaran B adalah r, maka jari-jari lingkaran C adalah r. Karena itu, Llingkaran B πr, dan Llingkaran C 9r. A B C L lingkaran B : L lingkaran C : Pada gambar di samping terdapat lingkaran dalam segitiga siku-siku samakaki. Berapakah luas lingkaran tersebut? a 99

104 C Cara I : (Kesebangunan) BD r + r r( + ); AC a. A D E r G r F B AD DC a. ABC ADB BD AB BC AC r( + a r( + r ) a a ) a a ( + a + a + a a( ) Luas lingkaran E πr a π ( ) a π (6 ) satuan luas. Cara II : (Konsep Luas) Luas ABC r. a +. r. a + r. a. r (a + a r ( a + a )... 00

105 a Luas ABC... Karena persamaan sama dengan persamaan, maka : r ( a + a ) a r ( a + a ) a r r a a( + a + r a( ) a r (6 ) a Luas lingkaran E π (6 ) satuan luas. 6. Jari-jari lingkaran di samping adalah R dan ) C A diarsir! π. Tentukan luas daerah yang B A π A menghadap busur BC. Karena itu sudut pusat yang menghadap busur BC adalah 90. C Luas arsiran Luas lingkaran Luas OBC. O B Luas lingkaran πr A Luas OBC R Luas arsiran πr R Jadi, luas arsiran R ( π ) sl. 0

106 D U T C 7. Jika ABCD adalah bujursangkar dan PQRSTUVW adalah segi-8 beraturan, maka V S tentukanlah perbandingan luas segi-8 dengan luas bujursangkar. W R A P Q B D U T C Bila AB a dan DU didapatkan : V S Luas ABCD a, dan Luas segi-8 a. W R Karena TU UV dan TU a serta UV, maka : A P Q B a + a ( ) a ( ) a a (6 ) ( ) sehingga : Luas segi-8 a a. ( ) a + a ( + ) a a a + a a + a a ( ) sl. Luas segi-8 : Luas persegi a ( ) : a ( ) : Luas persegi : Luas segi-8 ( + ) : (Mengapa?) 0

107 8. Bila panjang sisi sebuah segi-8 beraturan adalah a cm, berapakah luas segi-8 itu? Perhatikan gambar di samping! Luas segi-8 Luas persegi b. b a b a b a b a b b a b a b a a Luas persegi (a + b) (a + a ) [a( + )] a ( + ) cm. Luas segi-8 Luas persegi b a ( + ) a a + a a a + a a ( + ) cm. 9. Bila jari-jari lingkaran pada gambar di samping adalah R, berapak luas segi-8 beraturan yang titik-titik sudutnya dilalui lingkaran? 0

108 Perhatikan bahwa segi-8 beraturan itu terdiri dari buah layanglayang yang kongruen. Layang-layang itu memiliki diagonal d R, dan d R. Karena itu, Luas segi-8..d.d.. R.R R satuan luas. 0. ABCD adalah persegi. Busur AC adalah D C busur lingkaran yang masing-masing berpusat di titik B dan D. Busur BD a adalah busur lingkaran yang masingmasing berpusat di titik A dan C. A a B Hitunglah luas daerah yang diarsir!. (Seleksi IMO Yogyakarta, 00) D C E a A a B Perhatikan gambar di samping! Luas arsiran Luas ABCD. Luas juring ADE Luas juring BCE, sehingga : L ABCD (L ABE + Luas juring ADE). Jadi, Luas arsiran L.ABCD {L.ABCD (L ABE + L juring ADE)} L ABE + 8L.juring ADE L.ABCD. ABE sama sisi dengan panjang sisi a, karena itu : Luas ABE. a a a (t ) 0

109 Luas juring ADE a 0 πa Luas ABCD π a a π... a... Jadi, luas arsiran a a π a a a +. π a a + a π 9a a ( + π 9) a (π + 9) satuan luas.. ABCD adalah persegi. Busur AC adalah busur lingkaran yang masingmasing berpusat di titik B dan D. Busur BD adalah busur lingkaran yang masing-masing berpusat di titik A dan C. Hitunglah luas daerah yang diarsir!. D C a A a B (Soal Kompetisi Nasional Matematika SMU, 999, Paket III) 05

110 (Soal Kompetisi Matematika Tkt. SLTP, Mardi Yuana Sukabumi, 00, No. Final) D y E y C a Luas arsiran LuasABCD ( + y). + y Luas juring BCE Luas tembereng BE L.tembereng BE L.juring ABE y y A a B L ABE Luas juring ABE Luas juring BCE, sehingga : Luas tembereng BE Luas juring BCE Luas ABE. + y Luas juring BCE ( Luas juring BCE Luas ABE) Luas ABE Luas juring BCE Perhitungan : a a Luas ABE a... 0 a Luas juring BCE πa π Luas ABCD a... a a a a π + y π a a π ( + y)... a a π Luas arsiran a a a + a π a ( + π a ( π + satuan luas. 06

111 . Bilangan p67q habis dibagi 7. Tentukan p q! Bila p67q habis dibagi 7, maka bilangan itu harus habis dibagi 9 8. Artinya : Bilangan p67q harus habis dibagi 8, dan Bilangan p67q harus habis dibagi 9. a. Sebuah bilangan habis dibagi dengan 8 bila tiga angka (digit) terakhir habis dibagi 8. Karena itu, 79q 8 sisanya harus q q 7q harus habis dibagi 8. Jadi q. b. Sebuah bilangan habis dibagi dengan 9 bila jumlah angka-angkanya habis dibagi 9. Karena itu, + p + 6 k 9, k Asli. p 8 Jadi, p q Seorang siswa menggunakan korek api untuk membuat rangkaian segitiga yang ada pada diagram di bawah ini. Sisi sebuah segitiga adalah jumlah korek api. Siswa tersebut membuat catatan : i. Banyaknyakorek api yang diperlukan ii. iii. Jumlah segitiga kecil yang dibuat Banyak titik pada atau lebih korek api yang bertemu Banyaknya korek api Banyaknya segitiga kecil Banyaknya titik

112 Banyaknya korek api Banyaknya segitiga kecil Banyaknya titik Jika banyaknya batang korek api adalah, tentukan : a. Banyaknya segitiga kecil. b. Banyaknya titik dari atau lebih korek api bertemu. Banyaknya korek api :, 9, 8, 0,... Banyaknya segitiga kecil :,, 9, 6,... Banyaknya titik :, 6, 0, 5,... Gunakan barisan bertingkat untuk menyelesaikan soal ini. (Baca Penerapan Barisan Bertingkat). Un an + bn + c a + b + c, a + b + c, 9a + b + c, 6a + b + c,... a + b 5a + b 7a + b a a Perhatikan bahwa a a. a + b 6 ( ) + b 6 b. a + b + c + + c c 0. 08

113 U n n + n (n + n) Bila (n + n) (n + n) () n + n 56 n + n 56 0 (n + ) (n ) 0 n. Banyaknya suku adalah (-)

114 Kolom kanan untuk mencari faktor dari 56, sehingga + ( ). a. Banyak segitiga kecil :,, 9, 6,... U n n U Jadi banyaknya segitiga kecil pada urutan ke- ada buah. b. Banyak tititik :, 6, 0, 5,... a a a + b + b b 5 a + b + c + + c c Un n + n + 6 U Jadi, banyaknya titik temu pada urutan ke- adalah 9.. Selisih kuadrat dua buah bilangan bulat positif (asli) adalah 5. Tentukan pasangan-pasangan bilangan yang mungkin! a b 5, a, b Asli dituliskan dalam bentuk sebagai berikut: (a + b)(a b) 5, a, b Asli. 5 dapat ditulis sebagai 5, 5, 7 5, dan 5 9. Karena itu banyaknya pasangan yang mungkin ada. Pasangan-pasangan itu adalah : 5 ( )(68 67) (68, 67) 5 ( + )( ) (, ) 7 5 (6 + )(6 ) (6, ) 5K9 ( + )( ) (, ) 0

115 Jadi, ada pasangan yang mungkin yaitu (68,67), (,), (6,), dan (,). 5. Selisih kuadrat dua buah bilangan bulat positif (asli) adalah 75. Tentukan pasangan-pasangan bilangan yang mungkin! a b 75, a, b Asli dituliskan dalam bentuk sebagai berikut: (a + b)(a b) 75, a, b Asli. 75 dapat ditulis sebagai 75, 5, dan 5 5. Karena itu banyaknya pasangan yang mungkin ada. Pasangan-pasangan itu adalah : 75 (8 + 7)(8 7) (8, 7) 5 ( + )( ) (, ) 5 5 (0 + 5)(0 5) (0, 5) Jadi, ada pasangan yang mungkin yaitu (8,7), (,), dan (0,5). (Petunjuk : Pada No. dan 5 cara mencari pasangan bilangan-bilangan itu, baca tulisan Penerapan Faktor Prima). 6. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk cm. P terletak pada perpanjangan DC sedemikian sehingga DC CP. Q adlah titik potong diagonal BD dengan garis AP. Tentukan jarak Q ke garis PG! Perhatikan gambar berikut! S 5 E H F G T A D Q C R B 5 P DQ : QB DB : BA : karena AQB PQD.

116 AS AP sehingga AQ : QP :, AQ AP. AS AP + AP 5. Karena AG adalah diagonal ruang kubus ABCD.EFGH, maka panjang AG. Karena DC CP, maka PQ (sama dengan diagonal sisi kubus). Dengan demikian APS adalah segitiga samakaki dengan alas PS, sehingga AG merupakan garis tinggi APS. Perhatikan gambar berikut: S 5 G T A 5 Q 8 5 P QT AG QT AG QT. QT 8 Jadi, jarak Q ke garis PG adalah 8 cm. 7. Sebuah bilangan terdiri atas angka. Bilangan tersebut 8 kali jumlah angka-angkanya. Jika disisipkan angka 0, maka bilangan tersebut 5 lebih dari 9 kali bilangan semula. Tentukan bilangan tersebut! Misal bilangan itu y, maka 0 + y 8( + y). 0 + y 8 + 8y 7y Bilangan kedua berbentuk 0y. Jadi, y y 00 + y 5 + 9(y) y

117 Jadi, 0 8y 5... Persamaan substitusi ke persamaan didapatkan : (70 6) y. Jadi, bilangan itu adalah Dalam ABC titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada sisi AB, BC, dan CA sedemikian sehingga AP cm, PB 7cm, BQ QC 6 cm, CR 8 cm, dan RA cm. Tentukanlah luas PQR! P 7 Q C B 6,5 Q 6,5 A P R B Q C 8 Perhatikan gambar di atas! Luas ABC s( s a)( s b)( s c) dengan s Keliling ABC, sehingga s 7 cm. Luas ABC satuan luas. Luas ABC AC BB 6.0. BB

118 6 BB 0,6 Karena PP BB PP,6 AP AB maka : PP,6( ) PP 8, Luas APR..8, Begitu pula 6(8,) 50, satuan luas QQ BB QQ,6 QC BC QQ,6( ) QQ 6, Luas QRC (8)(6,) 5, satuan luas Luas ABC. AB. CC Karena 6.. CC CC 56 CC QQ BQ maka : CC BC

119 QQ QQ 6 Sehingga Luas BPQ.7. 6 satuan luas. Jadi, Luas PQR Luas ABC Luas APR Luas QRC Luas BPQ 6 50, 5, 9, satuan luas 9. Operasi untuk himpunan bilangan A {0,,,,,5} didefinisikan sesuai tabel di bawah ini Jika, n n, hitunglah nilai 999. A. 0 C. B. D. Dengan mengamati pola yang terjadi dalam tabel, operasi berarti sisa dari hasil kali bilangan I dengan bilangan II dibagi 5. Untuk mendapatkan hasil dari 999 perhatikan pola berikut ini : n Hasil Sisa Pembagian n Hasil Sisa Pembagian Perhatikan pangkat dari. Setelah pangkat, sisa pembagiannya berulang kembali,,,. Dengan demikian, untuk mengetahui hasil 999 cukup 5

120 dengan memperhatikan sisa pembagian dari 999. Perhatikan tabel berikut : Sisa Pembagian Hasil Operasi sisa Kunci : C 0. Sebuah operasi bilangan dinamakan operasi β dan didefinisikan sebagai berikut : a + b, a > b aβ b a b, a b Hitunglah nilai (β)(β)? Peyelesaian : A. 6 C. B. D. Penyelesaian: a + b, a > b aβ b a b, a b (β)(β)? (β) 0 (β) + (β) (β) 0 Kunci : C. f ( + a + ) dan f(5). Hitung nilai a. A. C. B. 0 D. + a ().. () 6

121 Selesaikan persamaan () didapatkan. Nilai disubstitusi ke persamaan () sebagai berikut : + a a a + 5 6a a 0 a 0 Kunci : B. Grafik y f() disajikan di samping ini Hitung f( 6) + f(8) A. 5 C. B. D Persamaan y f() adalah y + + y y + y + Dengan demikian, f() + Jadi, f( 6) + f(8) 5 f( 6) + ( 6), f(8) + (8 ) + 6 Kunci : A 7

122 . Jika f( ) + 5, f()? A. 8 C. + B. + D. + 5 f( ) + 5. () Misalkan, f() a + b. Diperoleh : f( ) a( ) + b f( ) a a + b () Perhatikan persamaan () dan persamaan (). Koefisien pada persamaan () mestilah sama dengan koefisien pada persamaan (). Karena itu, a. Diperoleh a. Konstanta pada persamaan (0 mestilah sama dengan konstanta pada persamaan (). Karena itu, a + b 5 () + b 5. Diperoleh b. Jadi, f() + Kunci : C. a, b, dan c adalah bilangan asli. a.b 7 dan b.c 99. Hitunglah nilai minimum untuk hasil penjumlahan bilangan a + b + c! A. 8 C. 6 B. 7 D. 5 Perhatikan bahwa b adalah faktor persekutuan dari 7 dan 99. Agar a + b + c bernilai minimum, maka b adalah FPB(7, 99). FPB(7, 99) b, dan FPB(7, 99) 9. Karena itu, b 9. a.b 7 7 a 9 a 8 b.c c 9 c 8

123 Jadi, a + b + c Kunci : A 5. a, b, dan c adalah bilangan prima. c 7(b a). Hitunglah a + b + c! A. 9 C. B. 0 D. a, b, dan c adalah bilangan prima. c 7(b a). Perhatikan bahwa 7 adalah bilangan prima. Karena itu, c 7 dan b a. Dengan demikian haruslah b dan a. Jadi, a + b + c Kunci : D 6., y, dan z adalah bilangan asli yang genap dan berurutan, dan <y<z. ( z )( y ) Hitung. z y A. 8 C. B. 6 D. Misalkan, y, y y, dan z y +. ( z )( y ) z y ( y + ( y ))( y ( y )) y y. Kunci : C + 7. a dan 5 b. Hitung nilai (5) dalam a dan b adalah. 5 A. 5ab C. ab 9 5 B. a b 9 (5) (.5).5 9 D. a b 5 9

124 ( ).5 () a a () 5 + b 5 5 b () Persamaan () dan persamaan () disubstitusi ke (), diperoleh : (5) ( ).5 (a). 5 b b 9a a b Kunci : D 5 ( ) << dan a ( ), b, c. Manakah di antara pernyataan berikut yang benar? A. a<c<b C. b<a<c B. c<a<b D. b<c<a Karena terletak di antara 0 dan, maka pastilah bilangan pecahan. Semakin tinggi pangkat sebuah bilangan pecahan, maka pecahan itu semakin kecil ( ) 6 a ( ) a, b b, c 6. Karena itu, bila diurutkan dari kecil ke besar < atau b<c<a. < Kunci : D 9. (.... ).( ) (6) 6 kali kali 50. Hitung nilai. A. 0 C. B D. 0

125 (.... ).( ) (6) ( ( ( 6 kali 6 ) ) 6 ) ( + ) 00 6 ( Kunci :? 50 ) kali dan y adalah dua bilangan asli. Hitung nilai y yang memenuhi persamaan di bawah + 5y + y + 5y + y. Pernyataan ini hanya akan benar untuk berarti + 5y 0 atau + 5y + y 0 + y 0 0. Ini + 5y + 5y + y + y 9 y y Kunci : D K L 5. K + L + M, dan. Hitung nilai L! L M Misalkan L L, maka K L dan M L. K + L + M L + L + L

126 L + L + L 6 7L 6 6 L 7 L 8 Kunci : D 5. Suatu bilangan asli digit ( angka) jika dibagi atau atau 5 selalu sisa. Berapa hasil penjumlahan angka-angka dari bilangan tersebut jika ditentukan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan terkecil yang memenuhi persayaratan yang ditentukan. A. 8 C. 6 B. 7 D. 5 Bilangan tersebut adalah KPK(,, 5) + atau kelipatan dari KPK(,, 5) +. KPK(,, 5) Bilangan terkecil adalah. Jadi, Kunci : D y z yz 5., 8, dan. + y + z y + z Hitung nilai

127 y + y + y y + y z + z 6 + z z 6 + z 6 yz y + z y + z yz + z y () () () Misalkan, a, y b, dan c. Bila disubstitusi ke persamaan (), (), z dan () diperoleh : a + b + 0 a c b + c. (). (5). (6) Selesaikan sistem persamaan (), (5), dan (6) sebagai sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Persamaan (5) dikurangi persamaan (6) diperoleh : a b 6 a b. (7) Jumlahkan persamaan (7) dan persamaan () diperoleh :

128 a b a + b + a a Karena a maka. Jadi 8. Kunci : B 6 5. > y, dan. Berapa nilai? y y y y A. 5 C. 6 B. 8 D. Misalkan, a b ( a b) a b 6 a b a b 6 a, dan b diperoleh a, dan b sehingga : y a b Jadi, a b a b a b Kunci : D 55. Pada model penyimpanan air di bawah, terdapat dua buah kran. Kran A mampu mengisi bak dari kondisi kosong sampai penuh dalam waktu jam. Waktu yang sama dibutuhkan oleh kran B untuk menurunkan air dari kondisi penuh sampai ketinggian kran B. Jika kedua kran dibuka pada saat bersamaan, berapa waktu yang dibutuhkan untuk mengisi penuh bak air dari kondisi kosong?

129 A.,5 C.,5 B. D. 5 Waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak air sampai ketinggian kran B adalah jam. Waktu yang dibutuhkan untuk mengisi air dari ketinggian kran B sampai penuh adalah jam. Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak air adalah +,5,5 jam. Kunci : A 56. Diketahui n ( n+ ) n n+. Berapa nilai ? 5 5 A. 6 C. 7 6 B. 7 D. n ( n + ) n n Kunci : B 57., y, dan z adalah bilangan bulat negatif. Diketahui bahwa y dan z 5 y. Hitung nilai maksimum dari + y + z! 5