GEOMETRI EUCLID D I S U S U N OLEH :

Transkripsi

1 GEOMETRI EUCLID D I S U S U N OLEH : SARI MEILANI ( ) TITIS SETYO BAKTI ( ) DEWI AYU FATMAWATI ( ) INKA SEPIANA ROHMAH ( ) KELAS II B MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO TAHUN AJARAN 2011/2012

2 GEOMETRI EUCLID Geometri berasal dari Yunani, Geo dan Metri berarti tanah dan pengukuran.geo, cabang matematika yang mempelajari titikl, garis, bidang, dan benda-benda ruang tentang sifat dan ukurannya serta hubungannya. Pengertian Pangkal Definisi Postulat / Aksioma Dalil Euclides dari Aleksandria, kira-kira 300 tahun sebelum Masehi. Dalam bukunya pertama dimulai dengan 23 definisi, 5 Postulat, 5 Aksioma, dan 45 Dalil. Definisi definisi 1. Titik ialah yang tidak mempunyai bagian 2. Garis ialah panjang tanpa lebar 3. Ujung-ujung suatu garis yang terletak rata dengan titik-titik padanya 4. Sauatu garis lurus ialah garis yang terletak rata titik-titik padanya 5. Suatu bidsng adalah hanya mempunyai panjang dan lebar 6. Ujung-ujung suatu bidang adalah garis 7. Suatu bidang datar ialah suatu bidang yang terletak rata dengan garis-garis padanya 8. Suatu sudut datar ialah inklinasi ( kemiringan ) sesamanya dari 2 garis dalam 1 bidang datar yang bertemu dan tidak terletak pada suatu garis lurus

3 9. Jika garis-garis yang memuat sudut itu lurus, maka sudut itu disebut sudut garis lurus 10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut yang bersisilah sama, masing-masing sudut ini disebut siku-siku dan garis yang berdiri pada garis lainnya tadi disebut tegak lurus pada garis yang lain 11. Suatu sudut tumpul ialah sudut yang lebih besar dan dari suatu sudut siku-siku 12. Sudut lancip ialah sudut yang lebih kecil dari suatu sudut siku-siku 13. Sudut batas ialah ujungnya ( akhirnya ) sesuatu 14. Suatu bangun adalah sesuatu yang termuat dalam suatu batas atau beberap batas 15. Suatu lingkaran ialah suatu bangundatar yang termuat dalam 1 garis sedemikian, hingga semua garis lurus yang melalui suatu titik dalam bangun itu dan mengenai garis tadi sama panjang 16. Titik itu disebut titik lingkaran 17. Suatu garis tengah lingkaran ialah sebarang garis lurus yang melalui titik pusat dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran dan garis itu membagi 2 sama lingkaran itu 18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam suatu garis tengah dan keliling lingkaran yang terbagi oleh garis tengah itu, titik pusat setengah lingkaran sama dengan titik pusat lingkaran 19. Bangun-bangun garis lurus ialah bangun-bangun yang termuat dalam (dibatasi oleh) garis-garis lurus. Bangun-bangun Inlateral ialah yang dibatasi oleh tiga, Quadrilateral dibatasi oleh 4 dan Multilateral dibatasi oleh lebih dari 4 garis 20. Dari bangun-bangun Trilateral (sisi tiga) suatu segitiga sama sisi ialah yang mempunyai 3 sisi sama, suatu segitiga sama kaki ialah yang hanya 2 sisinya sama dan suatu segitiga miring ialah semua sisinya tidak sam 21. Dan titik itu disebut titik pusat lingkaran 22. Selanjutnya dari bangun segitiga, suatu segitiga siku-siku yang mempunyai suatu sudut siku-siku, segitiga tumpul yang mempunyai sudut tumpul, segitiga lancip ketiga sudutnya lancip 23. Bangun-bangun sisi 4 yaitu suatu bujur sangkar yang sama sisi dan bersudut sikusiku. Suatu 4 persegi panjang yang bersudut siku-siku tetapi tidak bersudut sikusiku. Suatu jajargenjang yang sisinya dan sudutnya yang berhadapan sam. Tetapi tidak sama sisi dan tidak bersudut siku-siku, sisi empat yang lain dariini semua disebut trapesium. 24. Garis-garis lurus pararel ( sejajar ) ialah garis lurus yang terletak dalam suatu bidang datar dan jika diperpanjang tak terbatas pada ke-2 arahnya tidak akan bertemu pada arah yang manapun

4 Postulat postulat Hendaknya berikut dipostulatkan : 1. Menarik garis lurus dari sebarang tititk ke sebarang titik yang lain 2. Memperpanjang suatu ruas garis secara kontinu menjadi garis lurus 3. Melukis lingkaran dengan sebarang titik pusat dan sebarang jarak 4. Bahwa semua sudut siku siku adalah sama. 5. Bahwa, jika suatu garis lurus memotong 2 garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari 2 sudut siku-siku maka garis itu jika diperpanjang tak terbatas. Akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari 2 sudut siku-siku Pastikan akan memotong karena kurang dari 30 0

5 Aksioma aksioma 1) Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lainnya juga sama. Jika A = C A = B B = C 2) Jika suatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama, jumlahnya sama. A = B A + C = B + C 3) Jika suatu yang sama sikurangi dengan suatu yang sama maka sisanya sama. A = B A - C = B - C 4) Benda-benda yang berhimpit satu sama lain, suatu sama lainnya sama. 5) Seluruhnya lebih besar bagiannya. AB = CD Berimpit sama panjang dan semua unsurnya AOB < AOC AOC BOC 6) Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya. Buku yang dipindah dari 1 tempat ke tempat yang lain tetap sama berbentuk buku

6 7) Setiap sudut mempunyai garis bagi. Tiap sudut bisa dibagi menjadi 2garis bagi Membagi 2 sudut sama sebar 8) Setiap sudut mempunyai titik pertengahan. A M B AM = BM 9) Setiap segmen garis dapat diperpanjang sehingga sama dengan luas garis yang diketahui. 10) Semua sudut siku-siku adalah sama atau semua sudut lurus adalah sama.

7 TEOREMA TEOREMA TEOREMA 1 Sudut-sudut bertolak belakang sama besar Diketahui : garis L dan M berpotongan di O. L M 2 1 o 3 4 Buktikan : <1 = <3 <2 = <4 1. Definisi 9 ( Jika garis garis yang memuat sudut itu lurus maka sudut itu disebut sudut garis lurus ) 2. <1 + <2 <3 + <4 <1 + <2 + <2 + <3 sehingga <1 = <3 3. Satu sama lain juga sama TERBUKTI

8 TEOREMA 2 Melukis sebuah segita sama sisi pada sebuah garis terbatas diketahui Diketahui : garis AB A B Buktikan : segitiga ABC sama sisi 1. Postulat 3 ( Melukis lingkaran dengan sembarang titik pusat dan sembarang jarak ) C A B 2. Melalui titik A ke B dapat dibuat sebuah lingkaran yang berpusat dititik A. 3. Melalui titik B ke A dibuat sebuah lingkaran yang berpusat dititik B. 4. Definisi 15 ( segitiga yang ketiga sisinya sama maka disebut segitiga sama sisi )

9 TEOREMA 3 Dua buah segitiga mempunyai 2 sisi dan sudut apitnya yang sama,sisi ketiganya adalah sama Diketahui : ABC dan DEF Buktikan : AC = DF, AB = DE, A = D BC = BF Bukti : Dengan cara kontradiksi, andai BC EF BC > EF, BC < EF a. Misal BC > EF b. Aksioma 4 ( benda benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama ) c. Aksioma 6 ( suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya ) d. ABC dipindah berhimpit dengan DEF e. Titik C terletak diperpanjang garis EF c F i. a D E b f. Akibatnya < BCA < EDF <A > <D g. Ada kontradiksi antara <A dan <D karena <A = <D h. Ada kontradiksi dengan kata lain BC > EF i. Aksioma 4 ( benda benda yang berimpit satu sama lain, satu sama lain sama ) j. Aksioma 6 ( suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya) k. ABC dipindah berhimpit dengan DEF l. Titik C terletak pada garis EF

10 TEOREMA 4 Dua buah segitiga mempunyai dua sudut dan satu sisi apitnya yang sama maka sisi yang lainnya adalah sama C F A B D E Diketahui : ABC = DEF Buktikan : A = D, C = F, AC = DF Buktikan AB = DE dan BC = EF Misal AB > DE 1. Aksioma 4 Benda benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama 2. Aksioma 6 Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya D FC E 3. ABC dipindahkan berhimpit DEF 4. Akibatnya, Titik B terletak pada perpanjangan garis DE. <C > <F Kontradiksi dengan pernyataan <C = <F. > SALAH B Misal < D A F Titik B terletak digaris Akibatnya F > C Ada kontradiksi antara F dan C karena F = C < SALAH Pengandaian salah, maka = B E TERBUKTI

11 TEOREMA 5 Melalui suatu titik pada suatu garis pada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut Diketahui : Suatu garis lurus AB dan satu titik pada garis tersebut Buktikan : Ada satu garis yang tegak lurus a. membuat satu garis lurus AB A m B b. Letakkan satu titik pada garis tersebut c. Menarik garis lurus dari sebarang titik ke sebarang titik lain ( Postulat 1 ) d. Definisi 10

12 TEOREMA 6 Melalui suatu titik diluar garis pada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut Diketahui Ditanya : Suatu garis lurus PQ dan suatu titik diluar garis tersebut : Buktikan ada satu garis yang tegak lurus a. Membuat satu gurus lurus PQ P m Q b. Letakkan satu titik diluar garis tersebut c. Menarik garis lurus dari sebarang titik kesebarang titik lain d. Definisi 10

13 TEOREMA 7 Sebuah sudut diluar segitiga lebih besar dari salah satu sudut dalam yang tidak bersisisan dengan luar tersebut Diketahui : Garis AB yang diperpanjang hingga titik D ( Aksioma 9 ) Ditanya : Buktikan CBD > BAC CBD > ACB C E F A B D a. Menarik garis lurus dari titik B hingga titik C ( Postulat 1 ) b. Setiap segmen garis mempunyai titik pertengahan. Titik E dipertengahan garis BC sehingga BE = CE ( Aksioma 8 ) c. Tarik garis A ke E ( Postulat 1 ) d. Memperpanjang garis AE sampai titik F sehingga AE = EF ( Aksioma 9 ) e. Tarik garis dari C ke F ( Postulat 1 ) f. Tarik garis dari B ke F ( Postulat ) g. Perhatikan BEF dan ACE BEF dan AEC kongruen h. CAE = EFB dan ACE = EBF i. CBD ACE karena seluruhnya lebih besar dari baginya (Aksioma 5) TERBUKTI

14 TEOREMA 7.1 Dua buah garis sejajar dipotong oleh garis transversal maka : 1. Sudut sudut yang sehadap besarnya sama 2. Sudut dalam bersebrangan besarnya sama Diketahui : P 2 P 3 P 1 P 4 K Q 2 Q 1 Q 3 Q 4 m L Ditanya : Buktikan! i. P1 = Q1 ii. P3 = Q1 P2 = Q2 P4 = Q2 P3 = Q3 P4 = Q4 Penjelasan pertama : a. Misal Q4 > P4, maka K dan L akan membentuk sebuah segitiga, padahal K dan L sejajar ( Kontradiksi ) b. P1 + P4 = Q1 + Q4 = sudut garis lurus P4 = Q2 ( i.a ) P1 + Q4 Q4 = Q1 + Q4 Q4 ( Aksioma 3 ) c. Penjelasan selanjutnya sama. Penjelasan kedua : a. P3 + P4 = Q1 + Q4 = sudut garis lurus b. P3 + Q4 = Q1 + Q4 ( ii. A ) c. P3 + Q4 Q4 = Q1 Q4 ( Aksioma 3 ) P3 = Q1 d. Penjelasan selanjutnya sama. TERBUKTI

15 Definisi Suatu bentuk geometri dikatakan kongruen dengan bentuk lain bila ada korespondensi dan korespondensi tersebut mempunyai ukuran yang sama. Korespondensi antara dua segitiga merupakan kongruensi jika sudut-sudut yang berkorespondensi dan sisi-sisi yang berkorespondensi kongruen. Postulat Kesejajaran Euclid Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga jumlah sudut dalam sepihak dari transversal tersebut kurang dari 180, maka dua grais terseut akan berpotongan pada pihak dari transversal yang jumlah sudutnya kurang dari 180.

16 TEOREMA 8 Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga sudut sudut dalam bersebrangan sama, maka dua garis itu adalah sejajar. Diketahui : Dua garis K dan L yang dipotong oleh suatu transversal garis M P K Q L Ditanya : Buktikan K L Dungun cara kontradiksi Misal K tidak L, maka K dan L akan berpotongan dititik C K P C L Q a. Titik P, Q, dan C membentuk suatu segitiga PQC b. Sudut diluar segitiga lebih besar dari sudut didalam segitiga yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut, P1 > Q1 dan Q4 > P4 c. Sudut bertolak belakang sama besar ( Teorema 1 ) P1 = P2, P1 = P3 Q1 = Q3, Q4 = Q2 Dari pemisalan garis tersebut dapat dilihat bahwa : P3 > Q1 P4 < Q2 Terbukti kontradiksi Karena K L adalah salah, maka TERBUKTI bahwa K L.

17 TEOREMA 9 Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar Diketahui : Garis p dan garis q garis l, dan Berpotongan dititik m dan n Buktikan : p q Andai p q, maka akan berpotongan dititik s p q dititik m maka m1 = 90 q dititik n maka n1 = 90 m1 = n1 (fakta) lihat Δ msn n1 m1 (Teorema 7) KONTRADIKSI dengan yang diketahui, sehingga pengandaian salah Maka, p q TERBUKTI

18 Diketahui : Segitiga ABC Buktikan : A B 180 B C 180 A C 180 TEOREMA 10 Jumlah sembarang dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari 180 (Postulat 1) (Aksioma 9) Garis diperpanjang sedemikian hingga (Aksioma 9) Menarik garis lurus dari titik B ke titik O sehingga (Postulat 1) B 1 B 2 B (sudut lurus) B 2 C (Teorema 7.1) B 3 A (Teorema 7.1) B 1 B 2 B B 2 B B 1 B 2 B C A 180 TERBUKTI Melalui titik C dapat dibuat garis yang sejajar C 1 C 2 C (sudut lurus) C 1 A (Teorema 7.1) C 3 B (Teorema 7.1) C 1 C 2 C C 1 C C 2 C 1 C A B 180 TERBUKTI diperpanjang sedemikian hingga Menarik garis lurus dari titik B ke titik O sehingga (Postulat 1) A 1 A 2 A (sudut lurus) A 2 C (Teorema 7.1) A 3 A (Teorema 7.1) A 1 A 2 A A 2 A A 1 A 2 A C B 180 TERBUKTI

19 TEOREMA 11 Diketahui : Segitiga ABC Buktikan : A B C 180 Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 Menarik garis lurus dari titik C ketitik yang lain sehingga (Postulat 1) Karena maka teorema sudut bersebrangan dapat diterapkan sehingga diperoleh C 1 BAC, C 2 ACB, C 3 BC Jadi, C1 C2 C3 180 TERBUKTI

20 TEOREMA 12 Sebuah segitiga jika dua sudutnya sama maka sisi didepan sudut sama Diketahui : Segitiga ABC A B Buktikan : = 1. Setiap sudut mempunyai garis bagi melalui C ditarik garis bagi sehingga memotong dititik D 2. Lihat ΔAD2C2 dan ΔBD1C1 C1 C2 (Aksioma 7 ) (Aksioma 4) A C2 D2 180 B C1 D1 180 A C2 D2 B C1 D1 D2 1 (Aksioma 2) Karena : C1 C2 D2 1 Sehingga ΔAD2C2 ΔBD1C1 (sudut, sisi, sudut) Maka, = TERBUKTI

21 TEOREMA 13 Sebuah segitiga jika dua sisinya sama maka sudut didepan sisi tersebut sama Diketahui : Segitiga ABC = Buktikan : A B 1. Tarik garis bagi dan titik C sehingga memotong garis dititik D (Aksioma 7) 2. Lihat ΔAD1C1 dan ΔBD2C2 C2 C1 (Aksioma 7 ) (Aksioma 4) Karena : C2 C1 Sehingga AD1C1 ΔBD2C2 (sisi, sudut, sisi) Maka, A B TERBUKTI

22 TEOREMA 14 Diketahui : Sebuah segitiga Tiga sudut dalam suatu segitiga sama A B C Buktikan : ketiga sisinya sama jika 3 sudut dalam suatu segitiga sama maka ketiga sisinya sama = = Bukti selanjutnya 1. Tarik garis bagi dari titik C ke titik D (Aksioma 7) Sehingga C 2 C 1 Maka membentuk 2Δ yaitu ΔACD dan ΔDCB 2. A B ( Diketahui ) C 1 C 2 (Aksioma 7) (Aksioma 4) 3. A C 1 D (T.11 ) B C 2 D A C 1 D 1 B C 2 D D 1 D 2 Jika C 1 C 2,, D 1 D 2 Sehingga ΔACD ΔDCB (sisi, sudut, sisi) Maka = TERBUKTI 1. Tarik garis dari titik B ke titik D (Aksioma 7) Sehingga B 1 B 2 Terbentuk 2 Δ yaitu ABD dan ΔDBC 2. A C ( Diketahui ) (Aksioma 4) B 1 B 2 (Aksioma 7) 3. A B 2 D (T.11 ) B B 1 D A B 2 D 2 C B 1 D D 2 D 1 Jika B 1 B 2,, D 1 D 2 Sehingga ΔABD ΔCBD (sisi, sudut, sisi) Maka = = TERBUKTI

23 TEOREMA 14.1 Jumlah ukuran sudut suatu segi-n dirumuskan dengan (n-2) 180 Diketahui : Tiga buah segi-n yaitu a. Segi empat jumlah ukuran sudut 360 b. Segi lima jumlah ukuran sudut 540 c. Segi enam jumlah ukuran sudut 720 Buktikan : Jumlah ukuran sudut suatu segi-n adalah (n-2) 180 Bukti a. Segi empat jumlah ukuran sudut 360 Menarik garis dari titik A ke C (Postulat 1) Dari gambar diatas diketahui bahwa segi empat merupakan gabungan dari 2 segitiga Berdasarkan teorema 10 maka jumlah sudut segi empat adalah TERBUKTI b. Segi lima jumlah ukuran sudut 540 Menarik garis lurus dari titik B ke titik F dan titik C ketitik E (Posulat 1) Dari gambar diatas diketahui bahwa segi enam merupakan gabungan dari empat segitiga Berdasarkan Teorema 10, maka jumlah sudut segi enam adalah TERBUKTI Menarik suatu garis dari titik A ke titik C dan dari titik E ke titik C Dari gambar diatas diketahui bahwa segi lima merupakan gabungan dari tiga segi tiga Berdasarkan teorema 10, maka jumlah sudut segi lima adalah c. Segi enam jumlah ukuran sudut 720 Dari pola diatas dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah ukuran suatu segi-n adalah (n-2) 180 TERBUKTI

24 SEGI EMPAT Trapesium Adalah Segi Empat Dengan Sepasang Sisi Yang Berhadapan Sejajar (Minimal Sepasang) Jajar Genjang Adalah segi empat dengan kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar Persegi panjang adalah jajar genjang dengan ke empat sudutnya sikusiku Belah Ketupat Adalah Jajar Genjang Dengan Ke Empat Sisinya Kongkruen Bujur Sangkar Adalah Persegi Panjang Dengan Ke Empat Sisinya Kongkruen

25 TEOREMA 15 Diagonal jajaran genjang membentuk 2 segitiga yang konkruen Diketahui : Sebuah Jajar Genjang ABCD dan dan Adalah Diagonal Jajar Genjang Ditanyakan : Buktikan : 1) 2) 1) Perhatikan (Berimpit) (Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut, Sisi, Sudut) 2) Perhatikan (Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut, Sisi, Sudut)

26 Diketahui : TEOREMA 16 Sisi yang berhadapan pada jajaran genjang kongkruen Sebuah Jajar Genjang ABCD Ditanyakan : Buktikan : 1) 2) 1) Tarik garis lurus dari titik A ke titik C (Postulat 1) 2) AC adalah diagonal jajar genjang 3) Berdasarkan Teorema 15 ( Berimpit) 4) Karena semua yang berkrokuensi sama maka = dan =

27 TEOREMA 17 Sudut Sudut Yang Berhadapan Pada Jajar Genjang Adalah Kongkruen Diketahui : Sebuah Jajar Genjang ABCD Ditanyakan : Buktikan : 1) 2) 1) Menarik garis lurus dari titik B ke titik d (Postulat 1) 2) BD adalah diagonal jajar genjang 3) Berdasarkan Teorema 15 4) Karena semua berkrongkuensi sama maka 5) 6)

28 Diketahui : TEOREMA 18 Jika dua garis sejajar maka tiap dua titik pada satugaris berjarak sama terhadap garis lain Garis a garis b Titik C dan D di garis a Titik P dan Q di garis b Ditanyakan : Buktikan Jarak 1. jarak garis a ke b maka tegak lurus terhadap garis b 2. jarak garis a ke b maka tegak lurus terhadap garis b 3. (Teorema 9 Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar) 4. CDQP adalah jajar genjang (Definisi Jajar Genjang)

29 Diketahui : TEOREMA 19 Diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi 2 sama panjang JAJAR GENJANG ABCD dan adalah diagonal jajar genjang Ditanyakan : Buktikan Jarak Maka, (Sudut, Sudut, Sudut)Karena semua yang berkongruensi sama. Komplemen = 90 Suplemen = 180

30 Diketahui : TEOREMA 20 Tiap dua sudut yang berurutan pada jajar genjang saling bersuplemen Ditanyakan : Suatu Jajar Genjang ABCD Buktika A B 180 B C 180 C 180 A D 180 Perpanjang garis sampai E (Postulat 2) Perpanjangan garis sampai F (Postulat 2) Karena, maka A 2 B 1 (Sudut dalam bersebrangan) A 1 B 1 A 1 A (Sudut Pelurus) A 1 C (Teorema 17) B 1 C B 1 A (Sudut Pelurus) 1 (Teorema 17) C D C B (Sudut Pelurus) A 1 A 1 B 1 C D C B (Sudut Pelurus)

31 TEOREMA 21 Diketahui : Persegi panjang ABCD dan, diagonal persegi panjang ABCD Buktikan : = Diagonal persegi panjang kongruen = ( Berimpit ) = ( Teorema 16 ) A = B ( Definisi Persegi panjang ) ΔABD ΔABC ( sisi, sudut, sisi ) Semua yang berkongruensi sama, maka = TERBUKTI

32 TEOREMA 22 Jika kedua pasang sisi yang berhadapan dari suatu segi empat sejajar, maka segi empat itu adalah jajar genjang Diketahui : Segiempat ABCD dan Buktikan : ABCD Jajar genjang 1. Tarik garis dari titik A ke titik C ( Postulat 1 ) 2. (Berimpit) A2 C3 (Bersebrangan dalam) A1 C4 (Bersebrangan dalam) ΔABC ΔACD (sudut, sisi, sudut )Semua yang berkongruensi sama, maka ABCD Jajar Genjang (Teorema 15) TERBUKTI

33 TEOREMA 23 Diagonal belah ketupat saling tegak lurus Diketahui : Belah ketupat ABCD Buktikan : = = dan, diagonal belah ketupat O1 O2 (Tolak Belakang) O2 O4 (Tolak Belakang) O1 O2 180 (Garis Lurus) O1 O1 180 (Garis Lurus) 2 O1 180 O1, O2 O1 O2 (Teorema 13) O3 O4 (Teorema 13) O3 O4 180 (Berpelurus) O3 O3 180 (Berpelurus) 2 O3 180 O3, O4 O1 O2 O3 O4 maka (Definisi 10) TERBUKTI

34 TEOREMA 24 Diagonal belah ketupat merupakan garis bagi sudut-sudutnya Diketahui : Belah ketupat ABCD dan diagonal belah ketupat ABCD Buktikan : ACB = ACD Perhatikan ΔACB dan ΔACD (Berimpit) (Diketahui) (Diketahui) ΔACB ΔACD (sisi, sudut, sisi) Dua segitiga yang kongruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar ΔABC ΔACD TERBUKTI

35 TEOREMA 25 Jika dua sisi dan suatu segi empat sejajar dan konguen, maka segi empat tersebut jajaran genjang Diketahui : Segi empat ABCD, Buktikan : ABCD Jajar genjang Tarik garis dari titik A ke titik C, sehingga terbentuk diagonal ABCD A1 C4 (Bersebrangan dalam) A2 C3 (Bersebrangan dalam) (Berimpit) ΔABC ΔACD ( sudut, sisi, sudut ) Sehingga ABCD Jajar genjang (Teorema 15) TERBUKTI

36 TEOREMA 26 Jika suatu segmen ditarik dari titik tengah dua sisi segitiga maka segmen tersebut sejajar dengan sisi yang ke tiga dan panjangnya setengah dari sisi yang ke tiga Diketahui : ΔABC (D titik tengah ) (E titik tengah ) Buktikan : f. (akibat kongruensi) g. (diketahui) h. (dari f dan g) 1. Perpanjangan garis sampai titik F sehingga 2. Tarik garis dari titik B ke tititk F a. E1 E2 (bertolak belakang) b. (diketahui) c. (dari 1) ΔDEC ΔFEB (sisi, sudut, sisi) d. F3 D4 (akibat kongruensi) i. (dari e dan h) j. ABFD jajar genjang (dari h dan I, Teorema 25) k. (dari j) e. (akibat kongruensi) l. ( bagian dari dan k)...(1)terbukti m. (diketahui) n. (dari j) o. (dari m dan n)...(2)terbukti

37 TEOREMA 27 Median suatu trapezium sejajar dengan sisi-sisi yang sejajar dan panjangnya setengah dari jumlah sisi-sisi yang sejajar Diketahui : Trapesium ABCD Buktikan : ) 1. Tarik garis dari titik D ke titik G melalui titik A 2. Perpanjangan garis sampai titik G Perhatikan ΔGFB dan ΔDFC a. F1 D2 (Teorema 1) b. (diketahui) c. B3 4 (Bersebrangan dalam) d. ΔGFB (sudut, sisi, sudut) Perhatikan ΔADG e. (akibat d) f. (Diketahui) g. (Teorema 26) h. ( bagian dari ) Teorema 26 i. ( atau dari definisi trapesium) j. + ) (Teorema 26) k. (dari d) l. + ) (dari j dan k) TERBUKTI

38 TEOREMA 28 Jika suatu garis sejajar terhadap suatu sisi segitiga dan membagi dua sama panjang sisi ke dua, maka membagi dua juga sisi yang ke tiga Diketahui: 1. ΔABC Buktikan : 1. Tarik garis titik E ke titik F dan G sehingga 2. Tarik garis titik C ke titik F sehingga a. ( ) b. (diketahui) c. DEFC jajargenjang (a dan b) d. ( ) e. ( ) f. AGED jajargenjang (d dan e) g. (Teorema 16 e) h. (Teorema 16 ) i. (Diketahui) j. (g,h, dan i) k. E1 E2 (Bertolak belakang) l. F3 B4 (Bersebrangan dalam) m. ΔCEF (sudut, sisi, sudut) n. (Akibat m) TERBUKTI

39 Diketahui : Trapesium ABCD Buktikan : TEOREMA 29 Jika suatu garis sejajar terhadap sisi yang sejajar, pada suatu trapezium dan membagi sama panjang. Salah satu sisi yang tidak sejajar maka akan membagi dua sama panjang sisi yang tidak sejajar lainya 1. Tarik garis titik C ke titik G sehingga 2. Tarik garis titik F ke titik H sehingga a. ( b. (Diketahui) c. EGCD Jajar genjang (a dan b) d. Diketahui e. ( ) f. AHFE Jajar genjang (d dan e) g. (Teorema 16 dari c) h. (Teorema 16 dari f) i. (Diketahui) j. C1 F2 (Sehadap) k. G3 H4 (Sehadap) l. (Akibat c) m. (Akibat f) n. ( ) o. ΔGFC (sudut, sisi, sudut) p. (Akibat o) TERBUKTI

40 TEOREMA 30 Ada tiga garis sejajar dipotong sebuah garis transversal, sedemikian hingga membuat perbandingan yang sama maka ada garis transversal lain yang memotong garis sejajar itu dengan perbandingan yang sama pula Diketahui : Buktikan : 1. Tarik garis titik D ke titik G sehingga 2. Tarik garis titik E ke titik H sehingga a. ( bagian dari, ) b. (Akibat 1) c. ABGD Jajar genjang (dari a dan b) d. ( bagian dari, ) e. (dari 2) f. BCHE Jajar genjang (dari d dan e) g. D1 E3 (Sehadap) h. G2 H4 (Sehadap) i. (dari b dan e, ) j. ΔGED (sudut, sisi, sudut) k. (akibat j) TERBUKTI

41 Diketahui : Δ ABC TEOREMA 31 Jika dua sisi suatu segitiga tidak kongruen, maka sudut-sudut dihadapan sisi itu tidak kongruen, dan sudut yang lebih kecil berhadap dengan sisi yang lebih pendek A D Buktikan : 1. A B, A D 2. Sudut yang kecil menghadap sisi yang pendek 1. Tarik garis dari titik C ke garis sehingga 2. Δ ADC sama kaki Maka, A D (Teorema 13) D1 B (Teorema 7) A B 3., menghadap A A B, maka menghadap B TERBUKTI

42 KESEBANGUNAN DEFINISI : Dua poligon dikatakan sebangun jika hanya jika sudut-sudut yang berkorespondens dari dua segitiga itu kongruen dan sisi-sisi yang berkorespondens merupakan proposional. Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang berkorespondens kongruen. Proposional adalah jika ada dua atau lebih perbandingan bernilai sama. Ilustrasi: Bukti : 1. (Siku-siku) 2. (Berimpit) 3. Karena, maka Perbandingan :

43 TEOREMA 32 A B C Jika dan hanya jika D BC, B 0 dan D 0 Teorema ini mempunyai dua pembuktian : PEMBUKTIAN PERTAMA Jika maka, B 0 dan D Kalikan BD TERBUKTI!! PEMBUKTIAN KEDUA Jika maka, B 0 dan D Dibagi BD TERBUKTI!!

44 TEOREMA 33 Tiga buah garis sejajar dipotong oleh dua garis transversal, maka garis pembagi transversal dengan perbandingan proposional. Diketahui : l m n Ditanya : Buktikan 1. : = : 2. : = : 1. Tarik garis sejajar dari titik B Lihat! ABCC adalah jajar genjang CC EE adalah jajar genjang 2. Lihat dan Maka (Berimpit)-(Aksioma 4) (Sehadap) (Sehadap) Sehingga dan sebangun TERBUKTI!!

45 TEOREMA 34 Jika suatu garis memotong bagian dalam (interior) suatu segitiga dg sejajar pada salah satu sisi maka garis tersebut membagi dari sisi yg lain secara proposional. Diketahui : - Ada - Garis l memotong bagian dalam dititik D dan E - Ditanya : Buktikan! Lihat dan (Berimpit)-(Aksioma 4) (Sehadap)-(Teorema 7.1) (Sehadap)-(Teorema 7.1) Sehingga, maka TERBUKTI!!

46 TEOREMA 35 Jika suatu garis memotong bagian dalam (interior) suatu segitiga dengan sejajar pada suatu sisi maka sisi-sisi lain dipotong garis tersebut menurut suatu korespondens Diketahui : - Ada - Garis l memotong bagian dalam dititik D dan E - Ditanya : Buktikan! 1. Tarik garis dari titik E sejajar (Sehadap)-(Teorema 7.1) (Sehadap) Maka Sehingga, maka 2. Lihat AFDE Maka AFDE adalah jajar genjang Sehingga (Teorema 16), TERBUKTI!!

47 TEOREMA 36 Garis bagi suatu segitiga membagi sisi dihadapannya menjadi segmen-segmen secara proposional dengan perbandingan sisi-sisi yang mengapit sudut (segitiga harus sama kaki). Diketahui : - Ada - - adalah garis bagi Ditanya :Buktikan! Lihat = (Aksioma 4) (Diketahui) (Diketahui) Sehingga (sisi, sudut, sisi), maka TERBUKTI!!

48 TEOREMA 37 Jika sudut-sudut suatu segitiga kongruen dengan sudut-sudut segitiga lain, maka dua segitiga tersebut sebangun. Diketahui : dan DEF Ditanya : Buktikan ABC DEF! 1. (Diketahui) 2. Buat x pada, sehingga = 3. Buat y pada, sehingga = 4. Tarik garis dari titik x ke titik y (Postulat 1) 5. (Sisi, Sudut, Sisi) 6. = 7. = 8. = 9. (Teorema 8) 10. = 11. Karena = dan =, maka = (Teorema 28) 12. = (Diketahui) 13. Buat s pada, sehingga = 14. Buat t pada, sehingga = 15. Tarik garis dari titik s ke titik t (Postulat 1) 16. (Sisi, Sudut, Sisi) 17. = 18. = 19. = 20. // 21. = (Teorema 28) 22. Karena = dan =, maka = Karena = =, maka ABC DEF

49 TEOREMA 38 Jika dua sudut suatu segitiga kongruen dengan dua sudut segitiga lain, maka kedua segitiga tersebut sebangun. Diketahui : dan DEF Ditanya : Buktikan ABC DEF! 1. Pada 2. Pada DEF (Teorema 10) (Teorema 10) Karena dan, maka Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut), maka ABC DEF

50 TEOREMA 39 Jika dua segitiga siku-siku mempunyai sudut lancip yang kongruen sudut lancip segitiga siku-siku yang kedua, maka kedua segitiga siku-siku tersebut sebangun. Diketahui : - dan XYZ - (Siku-Siku) - Ditanya : Buktikan ABC XYZ! 1. Pada 2. Pada (Teorema 10) (Teorema 10) Karena dan, maka Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut), maka ABC XYZ

51 TEOREMA 40 Jika suatu garis sejajar dengan salah satu sisi dari suatu segitiga dan menentukan segitiga kedua, maka segitiga kedua sebangun dengan segitiga awal. Diketahui : - - Ditanya : Buktikan ABC XYC! 1. Putar ABC Sebesar, sehingga (Aksioma 6) 2. (Bertolak Belakang) 3. (Sudut dlm bersebrangan) 4. (Sudut dlm bersebrangan) Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut), maka ABC XYC

52 TEOREMA 41 Jika satu sudut dari suatu segitiga kongruen dengan satu sudut dari segitiga lain, dan sisi sisi yang mengapit kedua sudut tersebut proporsional, maka kedua segitiga sebangun. Diketahui : dan DEF Ditanya : Buktikan ABC DEF! 1. Memindah DEF ke ABC (Aksioma 6) 2. Karena, maka berdasarkan Teorema (Sehadap) 4. (Berimpit) 5. (Sehadap) Karena ketiga sudut ABC dan DEF kongruen yang berdasarkan teorema 37, maka ABC DEF

53 TEOREMA 42 Jika sisi-sisi yang berkorespondensi dari dua segitiga proporsional, maka kedua segitiga kongruen. Diketahui : - - dan DEF Ditanya : Buktikan ABC DEF! 1. Mencari sisi sisi yang berkorespondensi dari perbandingan yang proporsional (Diketahui) 2. Karena, maka berdasarkan teorema 30 (Sehadap) (Sehadap) (Teorema 10) (Teorema 10) Karena dan, maka Karena sisi-sisinya memiliki perbandingan yang proposional dan ketiga sudutnya sama, maka ABC DEF

54 TEOREMA 43 Keliling dua segitiga kongruen proposional dengan sisi yang berkorespondens. Diketahui : dan DEC Kongruen proposional Ditanya : Buktikan! 1. Keliling = 2. Keliling = 3. TERBUKTI!!

55 Garis tinggi suatu segitiga adalah ruas garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan tegak lurus terhadap sisi dihadapannya. TEOREMA 45 Garis tinggi dua segitiga kongruen roposional dengan sisi yang berkorespondens. Diketahui : dan MNO kongruen proposional - adalah garis tinggi - adalah garis tinggi MNO - (Siku-siku) Ditanya : Buktikan! 1. Pindahkan MNO ke, sehingga garis berimpit dengan garis 2. Perhatikan ACD dan MOP! (Diketahui) (Diketahui) 3. Berdasarkan Teorema 38, maka ACD MOP, sehingga 4. Karena, maka TERBUKTI!!

56 Garis berat suatu segitiga adalah ruas garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke pertengahan sisi dihadapannya. Diketahui : TEOREMA 46 Garis berat dua segitiga kongruen proposional dengan pasangan sisi yang berkorespondens. dan MNO kongruen proposional - adalah garis berat - adalah garis berat MNO - - Ditanya : Buktikan! 1. Karena, maka 2. Karena = dan =, maka 3. Perhatikan Pindahkan dan, sehingga (Diketahui) (Dari 2) 4. Karena Berdasarkan Teorema 41, maka, sehingga, maka

57 TEOREMA 47 Garis tinggi ke sisi miring suatu segitiga menjadikan dua segitiga yang sebangun dengan segitiga asal. Diketahui : - Suatu - adalah sudut siku-siku - adalah garis dari garis tinggi ke sisi miring Ditanya : Buktikan, a. b. 1. Karena adalah segitiga siku-siku, maka garis, sehingga (Siku-siku) 2. Perhatikan (Siku-siku) (Berimpit) Berdasarkan Teorema 38, maka 3. Perhatikan (Siku-siku) (Berimpit) Berdasarkan Teorema 38, maka

58 TEOREMA PHYTHAGORAS Pada sebarang segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. PEMBUKTIAN PERTAMA : Diketahui : 4 buah segitiga siku-siku yang sama Ditanya : Buktikan! 1. Susun 4 segitiga siku-siku seperti bujur sangkar berikut 2. LUAS Persegi dengan sisi c + 4 LUAS segitiga siku-siku = LUAS bujur sangkar dg sisi (a+b) TERBUKTI!!

59 PEMBUKTIAN KEDUA : Diketahui : - Suatu MNO siku-siku di M Ditanya : Buktikan! 1. Perpanjang garis menjadi (Postulat 2) sehingga 2. Tarik garis dari titik P ke titik Q (Postulat 1),, 3. Tarik garis dari titik Q ke titik O dan titik Q ke titik N (Postulat 1) 4. MNQP adalah Trapesium ( ) 5. adalah segitiga siku-siku (Sudut Pelurus) 6. LUAS trapezium MNQP = = = (1) 7. LUAS trapezium MNQP = LUAS 3 Segitiga = LUAS MNO + LUAS OPQ + LUAS NOQ = + + = = (2) 8. Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh = TERBUKTI!!

60 PEMBUKTIAN KETIGA : Diketahui : - Sebuah siku-siku di A (Siku-siku) Ditanya : Buktikan! 1. Perhatikan (Siku-siku) (Berimpit) (Teorema 10) (Teorema 10) Karena, maka Dari analisis di atas, maka 2. Perhatikan (Diketahui) (Berimpit) (Teorema 10) (Teorema 10) Karena Karena, maka Dari analisis di atas, maka 3. Karena, maka (1) 4. Karena, maka (2) 5. Karena c = +, maka berdasar persamaan (1) dan(2) diperoleh c + TERBUKTI!!