06//0 Tori graf Sumiyatun, S.Kom Pndahuluan Graf digunakan untuk mrprsntasikan objkobjk dan hubungan antara objk-objk trsbut. Gambar di bawah ini sbuah graf yang mnyatakan pta jaringan jalan raya yang mnghubungkan sjumlah kota di Provinsi Jawa Tngah. Brbs Tgal Slawi Purwokrto Pmalang Purbalingga Banjarngara Pkalongan Kndal Tmanggung Wonosobo Boyolali Dmak Smarang Salatiga Solo Kudus Purwodadi Sragn Rmbang Blora Cilacap Kroya Kbumn Maglang Sukoharjo Purworjo Klatn Wonogiri
06//0 dfinisi Graf G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vrtics) = { v, v,..., v n } E = himpunan sisi (dgs) yang mnghubungkan spasang simpul = {,,..., n } Graf 6 7 8 6 7 G G G
06//0 GRAF Graf G G adalah graph dngan V = {,,, } E = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } GRAF Graf G 6 7 G adalah graph dngan V = {,,, } E = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } = {,,,,, 6, 7}
06//0 GRAPH Graph G 6 7 8 G adalah graph dngan V = {,,, } E = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) } = {,,,,, 6, 7, 8} 6 7 8 6 7 G G G Gambar. (a) graf sdrhana, (b) graf ganda, dan (c) graf smu Pada G, sisi = (, ) dan sisi = (, ) dinamakan sisiganda (multipl dgs atau parall dgs) karna kdua sisi ini mnghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul dan simpul. Pada G, sisi 8 = (, ) dinamakan glang atau kalang (loop) karna ia brawal dan brakhir pada simpul yang sama.
06//0 Jnis-Jnis Graf Brdasarkan ada tidaknya glang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan mnjadi dua jnis:. Graf sdrhana (simpl graph). Graf yang tidak mngandung glang maupun sisi-ganda dinamakan graf sdrhana. G pada Gambar adalah contoh graf sdrhana. Graf tak-sdrhana (unsimpl-graph). Graf yang mngandung sisi ganda atau glang dinamakan graf tak-sdrhana (unsimpl graph). G dan G pada Gambar adalah contoh graf tak-sdrhana Brdasarkan orintasi arah pada sisi, maka scara umum graf dibdakan atas jnis:. Graf tak-brarah (undirctd graph) Graf yang sisinya tidak mmpunyai orintasi arah disbut graf tak-brarah. Tiga buah graf pada Gambar adalah graf tak-brarah.. Graf brarah (dirctd graph atau digraph) Graf yang stiap sisinya dibrikan orintasi arah disbut sbagai graf brarah. Dua buah graf pada Gambar adalah graf brarah.
06//0 (a) G (b) G Gambar (a) graf brarah, (b) graf-ganda brarah Tabl Jnis-jnis graf [ROS99] Jnis Sisi Sisi ganda dibolhkan? Graf sdrhana Tak-brarah Tidak Graf ganda Tak-brarah Ya Graf smu Tak-brarah Ya Graf brarah Barah Tidak Graf-ganda brarah Barah Ya Sisi glang dibolhkan? Tidak Tidak Ya Ya Ya 6
06//0 Trminologi Graf. Kttanggaan (Adjacnt) Dua buah simpul dikatakan brttangga bila kduanya trhubung langsung. Tinjau graf G : simpul brttangga dngan simpul dan, simpul tidak brttangga dngan simpul. G G G. Brsisian (Incidncy) Untuk smbarang sisi = (v j, v k ) dikatakan brsisian dngan simpul v j, atau brsisian dngan simpul v k Tinjau graf G : sisi (, ) brsisian dngan simpul dan simpul, sisi (, ) brsisian dngan simpul dan simpul, ttapi sisi (, ) tidak brsisian dngan simpul. G G G 7
06//0. Simpul Trpncil (Isolatd Vrtx) Simpul trpncil ialah simpul yang tidak mmpunyai sisi yang brsisian dngannya. Tinjau graf G : simpul adalah simpul trpncil. G G G. Graf Kosong (null graph atau mpty graph) Graf yang himpunan sisinya mrupakan himpunan kosong (N n ). Graf N : 8
06//0. Drajat (Dgr) Drajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang brsisian dngan simpul trsbut. Notasi: d(v) G G G Tinjau graf G : d() = d() = d() = d() = Tinjau graf G : d() = brsisian dngan sisi ganda d() = d() = brsisian dngan sisi glang (loop) Tinjau graf G : d() = 0 simpul trpncil d() = simpul anting-anting (pndant vrtx) Pada graf brarah, d in (v) = drajat-masuk (in-dgr) = jumlah busur yang masuk k simpul v d out (v) = drajat-kluar (out-dgr) = jumlah busur yang kluar dari simpul v d(v) = d in (v) + d out (v) 9
06//0 Tinjau graf G : G G d in () = ; d out () = d in () = ; d out () = d in () = ; d out () = d in () = ; d out () = Lmma Jabat Tangan. Jumlah drajat smua simpul pada suatu graf adalah gnap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf trsbut. Dngan kata lain, jika G = (V, E), maka v V d( v) E Tinjau graf G : d() + d() + d() + d() = + + + = 0 = jumlah sisi = Tinjau graf G : d() + d() + d() = + + = 0 = jumlah sisi = Tinjau graf G : d() + d() + d() + d() + d() = + + + + 0 = 8 = jumlah sisi = G G G 0
06//0 Contoh. Diktahui graf dngan lima buah simpul. Dapatkah kita mnggambar graf trsbut jika drajat masing -masing simpul adalah: (a),,,, (b),,,, Pnylsaian: (a) tidak dapat, karna jumlah drajat smua simpulnya ganjil ( + + + + = 9). (b) dapat, karna jumlah drajat smua simpulnya gnap ( + + + + = 6). 6. Lintasan ( Path ) Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v 0 k simpul tujuan v n di dalam graf G ialah barisan brslang -sling simpul -simpul dan sisi -sisi yang brbntuk v 0,, v,, v,..., v n, n, v n sdmikian shingga = ( v 0, v ), = ( v, v ),..., n = ( v n-, v n ) adalah sisi -sisi dari graf G. Tinjau graf G : lintasan,,, adalah lintasan dngan barisan sisi (,), (,), (,). Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan trsbut. Lintasan,,, pada G mmiliki p anjang. G G G
06//0 Lintasan sdrhana Lintasan sdrhana (simpl path) yaitu sisi dilalui hanya satu kali a b c d Lintasan lmntr Lintasan lmntr yaitu lintasan dngan smua simpul / vrtk yang dilalui hanya satu kali a b c d d
06//0 Lintasan trtutup & Linatasan trbuka Lintasan trtutup lintasan yang brawal & brakhir pada simpul yang sama a c d a Lintasan trbuka lintasan yang brawal & brakhir pada lintasan yang brbda a c d c b d 7. Siklus (Cycl) atau Sirkuit (Circuit) Lintasan yang brawal dan brakhir pada simpul yang sama disbut sirkuit atau siklus. Tinjau graf G :,,, adalah sbuah sirkuit. Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit trsbut. Sirkuit,,, pada G mmiliki panjang. G G G
06//0 8. Trhubung (Connctd) Dua buah simpul v dan simpul v disbut trhubung jika trdapat lintasan dari v k v. G disbut graf trhubung (connctd graph) jika untuk stiap pasang simpul v i dan v j dalam himpunan V trdapat lintasan dari v i k v j. Jika tidak, maka G disbut graf tak-trhubung (disconnctd graph). Contoh graf tak-trhubung: 6 8 7 Trhubung (Connctd) Graph brarah Dua simpul, u dan v, pada graph brarah G disbut trhubung kuat (strongly connctd) jika trdapat lintasan brarah dari u k v dan juga lintasan brarah dari v k u. Jika u dan v tidak trhubung kuat ttapi trhubung pada graph tidak brarahnya, maka u dan v dikatakan trhubung lmah (wakly connctd).
06//0 a. graf brarah trhubung lmah b. graf brarah trhubung kuat