G r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Transkripsi

1 G r a f Oleh: Panca Mudjirahardjo Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. 1

2 Pendahuluan Jaringan jalan raya di propinsi Jawa Tengah 1. Sejarah Graf Masalah jembatan Kőnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (1736). Masalahnya adalah: apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula? 2

3 2. Definisi Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) dimana: V : himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) : {v 1, v 2,.., v n } E : himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul. : {e 1, e 2,.., e n } 2. Definisi Graf (lanjutan) Graf sederhana G 1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E, dimana: V = {1,2,3,4} E = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)} 3

4 2. Definisi Graf (lanjutan) Graf ganda G 2 adalah himpunan simpul V dan himpunan sisi E, dimana: V = {1,2,3,4} E = {(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4)(3,4)} 2. Definisi Graf (lanjutan) Graf semu G 3 adalah himpunan simpul V dan himpunan sisi E, dimana: V = {1,2,3,4} E = {(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3)} 4

5 3. Jenis-jenis Graf Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, graf dibedakan: Graf sederhana (simple graph) (G 1 ) Graf tak sederhana (unsimple graph) (G 2, G 3 ) 3. Jenis-jenis Graf (lanjutan) Berdasarkan jumlah simpul, graf dibedakan: Graf berhingga (limited graph) Graf tak-berhingga (unlimited graph) 5

6 3. Jenis-jenis Graf (lanjutan) Berdasarkan orientasi arah pada sisi, graf dibedakan: Graf tak berarah (undirected graph) Graf berarah (directed graph atau digraph) 3. Jenis-jenis Graf (lanjutan) Jenis Sisi Sisi ganda Sisi gelang graf dibolehkan? dibolehkan? Sederhana tak-berarah tidak tidak Ganda tak-berarah ya tidak Semu tak-berarah ya ya Berarah berarah tidak ya Ganda berarah ya ya berarah 6

7 Contoh Terapan Graf Rangkaian Listrik Isomer senyawa kimia karbon Transaksi konkuren pada basis data Pengujian program Terapan graf pada teori otomata Turnamen round-robin Terminologi Graf (1) Ketetanggaan (adjacent) Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung. Simpul 3 bertetangga dengan simpul 1,2, dan 4 7

8 Terminologi Graf (lanjutan) (2) Bersisian (Iicidency) Untuk sembarang sisi e = (v j,v k ) dikatakan e bersisian dengan simpul v j, atau e bersisian dengan simpul v k. Contoh: sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4. Terminologi Graf (lanjutan) (3) Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Contoh: simpul 5 adalah simpul terpencil. 8

9 Terminologi Graf (lanjutan) (4) Graf Kosong Definisi graf menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Contoh: Graf kosong N Terminologi Graf (lanjutan) (5) Derajat (Degree) Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Notasi : d(v) Contoh: d(2) = d(3) = 3 dan d(1) = d(2) = 2 9

10 Terminologi Graf (lanjutan) (5) Derajat (Degree) Jika terdapat g buah gelang dan e buah sisi bukan gelang yang bersisian dengan simpul v, d(v) = 2g + e Contoh: d(3) = 2(1)+2 = 4 Terminologi Graf (lanjutan) (5) Derajat (Degree) Pada graf berarah dibedakan menjadi dua macam: d in (v) = jumlah busur yang masuk ke simpul v d out (v) = jumlah busur yang keluar dari simpul v d(v) = d in (v) + d out (v) Contoh: d in (3) = 3, d out (3) = 4 10

11 Terminologi Graf (lanjutan) (5) Derajat (Degree) Untuk graf berarah: d in (v) = d out (v)= E Contoh: d in (1)+ d in (2)+ d in (3)+ d in (4)= d out (1)+ d out (2)+ d out (3)+ d out (4) = = 9 Terminologi Graf (lanjutan) (5) Derajat (Degree) Untuk graf sembarang: d(v) =2 E Contoh: d(1)+ d(2)+ d(3)+ d(4)= = 18 = 2(9) 11

12 Terminologi Graf (lanjutan) (6) Lintasan (Path) Sederhana: lintasan dengan semua sisi yang dilalui hanya sekali Elementer: lintasan dengan semua simpul yang dilalui hanya muncul sekali, kecuali, mungkin simpul pertama & simpul terakhir Tertutup: berawal dan berakhir pada simpul yang sama Terbuka: berawal dan berakhir pada simpul yang tak sama Terminologi Graf (lanjutan) (7) Siklus atau Sirkuit Adalah: lintasan elementer dengan simpul pertama sama dengan simpul terakhir Contoh : Panjang sirkuit: jumlah sisi dalam sirkuit tersebut, 12

13 Under construct Terima kasih 13