Modul Tranformai aplace Bagian M PENDAHUUAN Prof. S.M. Nababan, Ph.D eode maemaika adalah alah au cabang ilmu maemaika yang mempelajari berbagai meode unuk menyeleaikan maalah-maalah fii yang dimodelkan oleh peramaan diferenial biaa aau parial. Salah au meode yang digunakan ialah ranformai aplace. Tranformai aplace adalah uau ranformai dari fungi yang menggunakan inegral ak wajar. Konep inegral ak wajar dan kekonvergenannya dibuuhkan unuk mempelajari ranformai aplace. Tranformai aplace banyak digunakan dalam meyeleaikan maalah nilai awal uau peramaan diferenial biaa dan maalah-maalah yara baa khuunya ranformai aplace anga ampuh unuk menyeleaikan peramaan gelombang dan peramaan pana dimeni au. Dalam modul ini Anda akan mempelajari ebagian dari ranformai aplace yang menyangku konep ranformai aplace, ekieni ranformai aplace dan ranformai aplace dari urunan dan inegral uau fungi. Conoh-conoh akan diberikan unuk memaangkan pengerian dan penguaaan Anda. Dalam Kegiaan Belajar Anda akan mempelajari konep ranformai aplace, ifa kelinearan ranformai aplace dan invernya beera ekieni ranformai aplace. Kegiaan Belajar akan membaha ranformai aplace urunan dan inegral uau fungi beera aplikainya dalam menyeleaikan uau peramaan diferenial. Seelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapa memahami konep ranformai aplace dan erampil menggunakannya unuk menenukan ranformai aplace uau fungi era unuk menyeleaikan PD linear ebarang.
. Meode Maemai II Secara khuu, eelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapa: a. menenukan rumu ranformai aplace dan menggunakannya ecara langung unuk menenukan ranformai aplace fungi-fungi ederhana, b. menenukan rumu inver ranformai aplace fungi-fungi erenu; c. menerangkan ifa kelinearan ranformai aplace dan menggunakannya unuk menenukan ranformai aplace uau fungi yang merupakan kombinai dari fungi-fungi yang dikeahui ranformai aplacenya, d. menerangkan ifa kelinearan inver ranformai aplace dan menggunakannya unuk menenukan inver ranformai aplace uau fungi yang dapa dipiah aa fungi-fungi yang dikeahui inver ranformai aplacenya, e. memerika apakah uau fungi mempunyai ranformai aplace aau idak, f. menenukan rumu ranformai aplace urunan dan inegral uau fungi dan menggunakannya unuk menenukan ranformai aplace fungi-fungi erenu, g. menggunakan ranformai aplace dari urunan fungi unuk menenukan olui PD linear homogen dengan koefiien konana yang dierai yara awal (maalah nilai awal PD), h. menenukan inver ranformai aplace dengan menggunakan ifa-ifa yang dikeahui dan banuan abel yang ederhana.
MATA443/MODU.3 D Kegiaan Belajar Pengerian Tranformai aplace dan Inver Tranformai aplace alam Kegiaan Belajar ini akan dibaha konep ranformai aplace, inver ranformai aplace, ifa kelinieran ranformai aplace dan invernya beera ekieni ranformai aplace. Juga diberikan abel dari ranformai aplace dan invernya unuk fungi-fungi yang pening. Definii. Mialkan f ( ) uau fungi yang didefiniikan unuk. Bila inegral ak wajar e f ( ) d konvergen ke uau fungi F( ), maka F( ) diebu ranformai aplace dari ( ) Jadi ranformai aplace dari f() adalah F dan dinyaakan dengan { f ( ) { f ( ) F( ) e f ( ) d.. Selanjunya f ( ) diebu inver ranformai aplace dari F( ) dan dinyaakan dengan { F( ) Jadi. { F. f ( ) ( ) Conoh. f ( ) apabila f ( ),. Tenukan { Penyeleaian: { { b f ( ) e.d lim e d e b b Karena lim unuk b b lim e lim b b >, maka { b ( e ) ( ) unuk >.
.4 Meode Maemai II Jadi {, >. Conoh. f ( ) α apabila f ( ), α >, >. Tenukan { Penyeleaian: { f ( ) { α e α d α + e ( ) d ( ), ubiui u α + u α + α + Γ ( α + ) α +. e u du Di ini Γ ( α ) memenuhi ifa Γ ( α ) α Γ ( α ) α n, n bilangan ali, didapa Γ ( n + ) n! Jadi n Γ ( n + ) n! { n+ n+ Keimpulan +. Khuunya unuk Γ ( α + ), α > dan { α α + ( n n! ), > n+ Conoh.3 Bila dikeahui f ( ) a e,, maka enukan { f ( ).
MATA443/MODU.5 Penyeleaian: { a a f ( ) { e e e d ( ) b a ( a) e d lim e d b b b ( a) b( a) lim e lim ( e ). a b a Unuk a > aau > a, maka b ( a) e b lim. Jadi { a e, a a > Conoh.4 Unuk f ( ) co a,, enukan { f ( ). Penyeleaian: { b co a e co a d lim e co a d b Dengan melakukan inegrai parial dua kali, didapa e co a d e d(in a) e in a + e in a d a a e in a e d(co a) a a e in a e co a + e co a d a a e in a e co a e co a d a a a + e c o in co a a d e a e a + c a a e co a d a e in a e co a + c. + a
.6 Meode Maemai II Selanjunya karena ina, co a maka dengan mudah dapa diperlihakan bahwa unuk > Jadi lim e in a dan lim e co a. {co a lim ( a e in a e co a) b + a lim [( in co ) + ] b + a + a unuk >. b b a e ab e ab b Dengan demikian diperoleh rumu: {co a, > + a Dengan cara yang ama dapa diunjukkan bahwa a {in a, > + a Sifa Kelinearan Tranformai aplace Teorema. F( ) f ( ) Bila { dan G( ) { g( ) konana-konana α, β berlaku maka unuk eiap { α f ( ) β g( ) α F( ) βg( ) α { f ( ) β { g( ) + + +.
MATA443/MODU.7 Buki: { α ( ) + β ( ) ( α ( ) + β ( )) Conoh.5 f g e f g d { f ( ) β { g( ) { Unuk f ( ) coh a, enukan f ( ) α e f ( ) d + β e g( ) d α + α F( ) + βg( ).. Penyeleaian: a a e + e Kia elah mengeahui bahwa coh a. Jadi dari Teorema. dan Conoh. 3 didapa a a e + e a a { coh a { e + { e. +. +. a + a a + a a unuk > a dan > a aau > a. Jadi { coh a, > a a Dengan cara yang ama dapa diperlihakan bahwa a { inh a, > a a
.8 Meode Maemai II Conoh.6 Tenukan { 3co 4 6 +. Penyeleaian: Dari Teorema. dan hail-hail di aa, didapa { 3 co 4 + 6 3 { co 4 + 6 {! 3 3. + 6. + 3 3 + 6 + 6 S Dari rumu-rumu yang dihailkan dalam conoh-conoh di aa, diperoleh abel ranformai beriku TABE TRANSFORMASI APACE ( ) f ( ) F( ) f {, > n, n n!,, 3,, > n + α Γ ( α + ), α >, > a + a e α a co a + a in a a + a coh a a inh a a a, > a, >, >, > a, > a
MATA443/MODU.9 TABE INVERS TRANSFORMASI APACE F( ) { f ( ) F( ) n n + α +,,, 3,... a, n α > e + a a a a + a, a, a, a Sifa Kelinearan Inver Tranformai aplace Teorema. f ( ) F( ) Bila { dan { g ( ) G( ), maka unuk eiap konanakonana α dan β, n n! α Γ ( α + ) a e in a a co a inh a a coh a { α β α { β { α β F( ) + G( ) F( ) + G( ) f ( ) + g( ). Buki: Dari Teorema. elah dikeahui bahwa α f ( ) + β g( ) α f ( ) + β g( ) α F( ) + βg( ). Jadi aau { { { α f ( ) + β g( ) { α F( ) + βg( )
. Meode Maemai II { α β α β F( ) + G( ) f ( ) + g( ). Conoh.7 4 4 6 Tenukan + + 7 5. + 9 Penyeleaian: Dari Tabel Inver Tranformai aplace, didapa 4 4 6 4 6 + + + 4 7 5 7 + 5 + 9 + 9 4 4 6 7 + 5 ( ) + 9 + 9 4 4 6 7 + 5 + 9 + 9 7 4 in 3 e 4co 3 6 + 3 4! 7 4 e 4co 3 in 3 +. Conoh.8 5 7 Tenukan +. + 3 + Penyeleaian: Kia melakukan pemiahan variabel eperi beriku: 5 + 7 5 + 7 A B A( + ) + B ( + ) + + 3 + ( + )( + ) + + ( + )( + ) 5 + 7 A( + ) + B ( + ) Unuk A( + ) A A 3 B( + ) B B 3.
MATA443/MODU. Jadi 5 + 7 3 +, dan dari abel diperoleh + 3 + + + 5 + 7 3 + + 3 + + + + 3 e + 3 e. + + Conoh.9 3 4 Tenukan + +. ( + )( + 4) Penyeleaian: Kia melakukan pemiahan variabel eperi beriku: + 3 + 4 A B + C A( + 4) + ( B + C)( + ) + ( + )( + 4) + + 4 ( + )( + 4) + 3 + 4 A( + 4) + ( B + C)( + ) ( A + B) + ( B + C) + (4A + C). Dari prinip idenia diperoleh A + B B + C 3 4A + C 4 Penyeleaian keiga peramaan ini menghailkan A, B dan C 3. Jadi + 3 + 4 3 + ( + )( + 4) + + 4 dan dari abel didapa 3 4 3 + + + ( ) ( 4) 4 + + + + 3 + 3 e + in. + + 4
. Meode Maemai II Ekieni Tranformai aplace Sebelum memberikan yara cukup agar ranformai aplace dari fungi f ( ) ada, erlebih dahulu kia memberikan konep fungi koninu bagian demi bagian. Definii. Fungi f ( ), a b, dikaakan koninu bagian demi bagian pada elang [a, b], apabila banyaknya iik-iik dikoninuia dari f ( x ) adalah berhingga dan limi-limi kiri dan kanan di iik-iik dikoninuia ada dan berhingga, yaiu f idak mempunyai iik dikoninuia ak hingga. Conoh. Fungi-fungi beriku, yaiu:, x (a) f ( x) x +, < x < adalah koninu bagian demi bagian pada elang [, ], x (b) g( x), < x 4 x adalah koninu bagian demi bagian pada elang [, 4], x (c) h( x), < x x idak koninu bagian demi bagian pada elang [, ], karena h( x ) dikoninu ak hingga di x, yaiu lim h( x) lim. x + + x x Caaan: Seiap fungi yang koninu bagian demi bagian pada elang [a, b] adalah erinegralkan (dapa diinegralkan) Sekarang kia memberikan eorema ekieni ranformai aplace beriku.
MATA443/MODU.3 Teorema.3 Mialkan f ( ),, uau fungi yang koninu bagian demi bagian pada elang [, a] unuk eiap a >, dan memenuhi γ f ( ) Me,, () unuk uau konana M > dan γ. Maka ranformai aplace dari f ( ), F( ) ada unuk eiap > γ. Buki: Karena f ( ) koninu bagian demi bagian pada elang [, a], a >, maka e f ( ) d ada unuk eiap a >. a Selanjunya, dari () didapa Jadi { f ( ) ( ( )) ( ) ( ) f e f d e f d a a γ lim e f ( ) d lim Me e d a a a ( γ ) ( γ ) e lim M e d lim M a a ( γ ) M a( γ ) M lim e, unuk > γ a γ γ ada unuk eiap > γ. a Conoh. n (a) {coh dan ( ) ada karena e + e e + e coh coh < e, >, dan n n < n! e, >, n,,, 3,
.4 Meode Maemai II (b) { n α inα dan { e in n n β ada, karena in β n! e,, n,,, 3, α α dan e in β e,. ATIHAN ) Tenukan ranformai aplace dari fungi-fungi beriku, dimana k dan c konana- konana. (a) Unuk memperdalam pemahaman Anda mengenai maeri di aa, kerjakanlah laihan beriku! f() (b) f() k k c (c) (d) f () f () ) Tenukan { f ( ) (a) (b) apabila f ( ) maing-maing fungi beriku f ( ) a + b + c ; a, b, c konana-konana f ( ) 3e + (c) f ( ) co ( ω + θ ), θ uau konana (d) f ( ) i e ω
MATA443/MODU.5 3) Tenukan { f ( ) (a) (b) (c) (d) apabila f ( ) maing-maing fungi beriku f ( ) co 3 4 f ( ) 5 6in + 4e f ( ) 3 + 4inh 4 3 f ( ) inh coh + 4e in 4) Tenukan f ( ) { F( ) apabila F( ) maing-maing fungi beriku (a) 3 + 4 F( ) + + 4 + 4 (b) 4 + 5 3 F( ) + + 4 4 9 (c) 5 5 3 + 5 + 3 F( ) + 6 ( + )( + 4) (d) 3 3 + + 5 3 + 3 + 9 + 6 F( ) + 3 + 9 9 ( + ) 5) Manakah di anara fungi-fungi f ( ) beriku yang mempunyai ranformai aplace dan jelakan jawab Anda? in (a) f ( ) (b) f ( ) e (c) f ( ) e (d) f ( ) e ln ( + ) Peunjuk Jawaban aihan k c ) (a) ( e ) (b) k ( e e )
.6 Meode Maemai II (c) ( e + e ) (d) ( + e ) ) (a) (c) 3 ( a b c ) + ω 5 3 Γ ( ) + + (b) + 5 + ( coθ ω in θ ) (d) + ω ( + iω) + + 3) (a) Tuli co co 4 ; { f ( ) 3 4 (b) + 4 + 4 + 4 Γ ( 7) 6 (c) 3 + 7 6 (d) 3 4 3 9 + + + 4 + 6 4) (a) 4 + + e 3 co in 5 5 3 (b) e coh 3 inh 3 + 3 3 (c) e 3 e + + + 3 + e (d) e + co 3 + in 3 + co + in + co + in 5) (a) in M e ada., unuk uau M, >. Jadi { f ( ) (b) (c) e karena e γ >, unuk eiap γ > berapapun bearnya unuk > γ, > γ unuk γ >. Jadi { f ( ) idak ada. 3. Jadi { f ( ) f ( ) e e. e e, ada. +. Jadi { f ( ) f ( ) e ln( ) e. 4 e, ada.
MATA443/MODU.7 RANGKUMAN Tranformai aplace dari fungi f ( ), adalah { f ( ) F( ) e f ( ) d, dan inver ranformai aplace dari F( ) adalah { F( ) f ( ). Tranformai aplace dan invernya memenuhi ifa kelinearan: α f ( ) + β g( ) α f ( ) + β g( ) { { { { α F( ) + βg( ) α { F( ) + β { G( ) Selanjunya { F( ) ada apabila f ( ) koninu bagian demi bagian pada elang [, a], a > f ( ) Me γ unuk uau M dan γ. { F( ) F( ) erdefinii unuk > γ. TES FORMATIF Pilihlah au jawaban yang paling epa! ) Tranformai aplace dari fungi f ( ) beriku f ( ) adalah. A. F( ) e ( ) e + + B. F( ) e ( ) e +
.8 Meode Maemai II C. D. F( ) e ( ) e F( ) e ( ) e + ) { 4in + adalah. A. B. C. D. + 6 3 ( + 4) 6 3 ( + 4) + 6 3 ( + 4) 3 6 ( + 4) 3) { 4e 7coh 8inh 3 + adalah. A. + 8 3 4 9 B. + 8 3 4 + 9 C. 8 3 4 9 D. 8 3 4 + 9 4) 3 4 + + A. B. C. D. adalah. ( + ) ( + ) f ( ) e + co + in f ( ) e + co + in f ( ) e + co + in f ( ) e + co + in
MATA443/MODU.9 5) Fungi f ( ) yang idak mempunyai ranformai aplace ialah. A. B. f ( ) e in 3, 4 f ( ) co, C. f ( ) 5in coh, D. 3 f ( ) e, Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Te Formaif yang erdapa di bagian akhir modul ini. Hiunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumu beriku unuk mengeahui ingka penguaaan Anda erhadap maeri Kegiaan Belajar. Jumlah Jawaban yang Benar Tingka penguaaan % Jumlah Soal Ari ingka penguaaan: 9 - % baik ekali 8-89% baik 7-79% cukup < 7% kurang Apabila mencapai ingka penguaaan 8% aau lebih, Anda dapa menerukan dengan Kegiaan Belajar. Bagu! Jika maih di bawah 8%, Anda haru mengulangi maeri Kegiaan Belajar, eruama bagian yang belum dikuaai.
. Meode Maemai II Kegiaan Belajar Tranformai aplace Turunan dan Inegral Suau Fungi D alam Kegiaan Belajar ini akan dibaha ranformai aplace urunan dan inegral uau fungi. Hail ini banyak digunakan dalam menyeleaikan peramaan diferenial. Teorema.4 [Turunan f ( ) ] Mialkan f ( ) koninu unuk eiap dan memenuhi () (di Kegiaan Belajar ) unuk uau konana γ dan M. Mialkan pula f ( ) koninu bagian demi bagian demi bagian pada elang [, a], a >. Maka ranformai aplace dari f ( ) ada unuk > γ dan berlaku { { f ( ) f ( ) f () () Buki: Kia meninjau kau f ( ) koninu unuk. Dari definii ranformai aplace dan penginegralan parial, didapa { b f ( ) e f ( ) d lim e f ( ) d unuk >γ. b b b lim e f ( ) + e f ( ) d b b lim e f ( b) f () + lim e f ( ) d b f () + e f ( ) d { f ( ) f () b b Unuk kau f ( ) koninu bagian demi bagian, pembukian eperi di aa, hanya penginegralan dipecah aa elang-elang dimana f ( ) dikoninu.
MATA443/MODU. Perhaikan bahwa Teorema.4 dapa digunakan unuk f ( ) dan diperoleh { f ( ) f ( ) f () { { { f ( ) f () f () { f ( ) f () f (). Dengan cara yang ama, didapa { f ( ) f ( ) f () { { { f ( ) f () f () f () 3 { f ( ) f () f () f () aalkan f ( ), f ( ) memenuhi peryaraan eperi di Teorema.4. (3) (4) Dengan proe induki akan diperoleh eorema beriku. Teorema.5 [Turunan ke-n] Mialkan f ( ) dan urunan-urunannya ( n ) f ( ), f ( ),, f ( ) koninu unuk dan memenuhi kondii () di kegiaan belajar unuk ( n uau konana γ dan M. Mialkan pula urunan f ) ( ) koninu bagian demi bagian pada elang [, a], a >, maka ranformai ( n aplace dari f ) ( ) ada unuk > γ berlaku { { ( n ) n n ( n ) f ( ) f ( ) f () f () (5) Conoh. Tenukan {
. Meode Maemai II Penyeleaian: Ambil f ( ) dan gunakan rumu (3). Jela bahwa f (), f (), f ( ) dan { {. Jadi dari rumu (3) didapa { f ( ) { { f ( ) {. Ini memberikan {, euai dengan abel ranformai aplace. 3 Conoh.3 Tenukan { in. Penyeleaian: Ambil f ( ) in, maka f ( ) in co in ; f () dan { f ( ) { in. + 4 Dari rumu (), didapa { f ( ) f ( ) f () Jadi { { f ( ). + 4 { f ( ) {in ( + 4). Conoh.4 in ω. Tenukan { Penyeleaian: Ambil f ( ) inω, maka f () dan f ( ) inω + ω co ω ; f () { f ( ) ω { co ω ω { f ( ) { f f ( ) ωcoω + ω coω ω inω ω co ω ω f ( ) ω ω + ω ( ).
MATA443/MODU.3 Dari rumu (3) didapa f f f f f ( ω ) f ( ) { ( ) ( ) ω ω { f ( ) f ( ) + ω { ( ) ( ) { ( ) { ω + { + ω Jadi ω { f ( ) { in ω ( + ω ) Conoh.5 Tenukan olui Maalah Nilai Awal y + 4y + 3y, y() 3, y (). Penyeleaian: Dengan mengambil ranformai aplace dari PD dan dengan menggunakan rumu () (3) maka didapa { y y y { y { y { y { ( { ) { ( ) { { y + 4 + 3 { ( ) + 4 ( ) + 3 ( ) y( ) y() y () + 4 y( ) y() + 3 y( ) + 4 + 3 y( ) y() + y () + 4 y() 3 + + 3 + 3 3 + 3 3 + 3 5 ( ) +. + 4 + 3 ( + 3) ( + ) + 3 + Jadi 5 y( ) 5 + + + 3 + + 3 + 3 e + 5 e. Solui maalah nilai awal di aa adalah 3 y( ) 5 e e.
.4 Meode Maemai II Sekarang kia memberikan eorema enang penginegralan. Teorema.6 [Penginegralan f ( ) ] Mialkan f ( ) uau fungi koninu bagian demi bagian yang memenuhi keidakamaan () di Kegiaan Belajar, unuk emua γ dan M, maka f ( u) du { f ( ) F( ), >, > γ (6) aau F( ) f ( u) (7) Buki: Sebu g{ f ( u) du,. Karena f() koninu bagian demi bagian unuk >, Maka g( ) koninu unuk Selanjunya g ( ) f ( ), kecuali diiik-iik dikoninuia dari f ( ) yang banyaknya berhingga. Jadi g ( ) koninu bagian demi bagian unuk elang [, a], a >. γ Karena f ( ) Me,, unuk uau γ dan M, maka unuk γ yang diambil poiif berlaku M M g( ) f ( u) du M e du ( e ) e γ γ γ u γ γ. Jadi fungi g() memenuhi emua peryaraan di Teorema. dan g( ) ada dan berlaku berdaarkan Teorema. erebu, { aau { { g ( ) g( ) g() f ( ) f ( u) du {
MATA443/MODU.5 f u du ( ) { f ( ). Conoh.6 Tenukan in u du. Penyeleaian: Ambil f ( ) in, maka. + 4 { f ( ) { in Dari Teorema.3, diperoleh in u du { in. ( + 4) Conoh.7 Tenukan u in 4 u du. Penyeleaian: Sebu f ( ) in 4, maka dari Conoh.4 dengan mengambil ω 4, didapa 8 ( + 6) { in 4. Selanjunya dari Teorema.3 didapa 8 8 u in 4 u du { in 4 ( + 6) ( + 6) Conoh.8 Tenukan. ( + )
.6 Meode Maemai II Penyeleaian: ( ) ( ) ( ) + + +. ( ) + ( + ) Sebu Jadi dan F( ), maka { F( ) + ( + ) e + u u e du e e ( ) ( + ) +. ( + ) u u e du u e e Ini memberikan ( e ( ) + ) ( + e ) e.. Conoh.9 Tenukan Penyeleaian: Ambil ( + ω ) F( ), ω. elanjunya kia menggunakan dua + ω kali beruru-uru Teorema.6, eperi Conoh.8 maka { in F( ) ω. + ω ω Jadi
MATA443/MODU.7 ω inωu du ( ω ) ω + ω ω F( ) co u coω dan co u inωu u ( ω ) ω ω ω + ω du inω 3 ( ω in ω ). ω ω ω Perhaian Teorema.4 dapa diperlua unuk fungi f() yang dikoninu unuk >. Bila f() dikoninu lonca di a, a >, maka a f ( ) { f f () [ f ( a + ) f ( a )] e, (7) { di mana f ( a + ) adalah limi kanan f di a dan f ( a ) adalah limi kiri f() di a. Pembukian erupa eperi di Teorema., hanya berbeda dalam cara mengevaluai a e f ( ) e f ( ) + e f ( ) b b a+, menginga f() dikoninu lonca di a, yaiu Conoh. f ( ) apabila Tenukan {, f ( ), > Penyeleaian: f ( ),,, f () f( + ) dan f( ). Dari hubungan f ( ) f ( ) f () [ f ( + ) f ( )] e { {
.8 Meode Maemai II didapa { f ( ) [ ] e { f ( e ) ( ). Conoh. ; Tenukan { f ( ) apabila f ( ) ; Penyeleaian: ; < f ( ) ; > dan ; < f ( ) ; > Dengan menggunakan (8) unuk f ( ), maka diperoleh { { f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) + e { f ( ) ( ) e { f ( e ) ( ). Dengan menggunakan (8) kembali unuk f(), maka diperoleh f ( ) f ( ) f () f ( + ) f ( ) e Jadi { { [ ] ( ) { ( ) e f + e. f ( ) e e. { ( )
MATA443/MODU.9 ATIHAN Unuk memperdalam pemahaman Anda mengenai maeri di aa, kerjakanlah laihan beriku! ) Tunjukkan bahwa (a) { coω (b) { cohω (c) { inh a ω ( + ω ) a (d) { e + ω ( ω ) a ( a ) ( + a) ) Tenukan { f ( ) (a) (b) (c) apabila ; < < f ( ) ;, ; < < f ( ) ; < < ; lainnya ; < < f ( ) ; lainnya 3) Dengan menggunakan ranformai aplace, enukan olui maalah nilai awal beriku. (a) y + 9y, y(), y () (b) y + y y, y(), y () 3
.3 Meode Maemai II (c) y y 3y, y(), y () 7 4) Tenukan: (a) co3 u du (b) (c) (d) in e u u e u du du u du 5) Gunakan Teorema.6 unuk menenukan { F( ) (a) (b) F( ) ( ) F( ) ( ) π (e) F( ) ( π ) (f), apabila F( ) ( + ω ) (c) 54 F( ) 3 ( 3) (g) F( ) ( + ω ) (d) F( ) ( + 4) Peunjuk Jawaban aihan ) Gunakan rumu unuk { f ( ) ) (a) { f ( ) ( e e ) f ( ) e e (b) { ( ) unuk oal-oal (a), (b), (c) dan (d).
MATA443/MODU.3 f e e e (c) { ( ) ( ) 3) (a) (b) (c) 4) (a) (b) (c) (d) (e) y( ) in 3 3 y( ) e e 3 ( ) y e e +9 ( + 4) ( ) ( ) ( + 4) ( e ) 5) (a) (b) coh (c) (d) (e) (f) (g) 3 e 9 6 in co + 4 4 4 ( π e ) + π [in ω ω co ω ] (Gunakan Conoh.4) 3 ω coω + inω. [Peunjuk : Gunakan aihan (a) dan ω 5(f)].
.3 Meode Maemai II RANGKUMAN Tranformai aplace dari urunan diberikan oleh { { ( n ) n n n ( n ) f ( ) f ( ) f () f () f () Khuunya: f ( ) f ( ) f () { { { { { { f ( ) f ( ) f () f () 3 f ( ) f ( ) f () f () f () Bila f ( ) dikoninu lonca di a, a >, maka { ( ) { ( ) () [ ( ) ( ) ] a f f f f a + f a e. Peramaan erebu dapa diperlua unuk iik dikoninuia lonca yang banyaknya berhingga. Tranformai aplace dari Inegral: f ( u ) du { f ( ) F ( ) dan invernya adalah F( ) f ( u) du. ) { co TES FORMATIF Pilihlah au jawaban yang paling epa! adalah. A. B. + 4 ( + 4) 4 ( + 4)
MATA443/MODU.33 C. D. + ( + 4) ( + 4) ; 3 ) Bila f ( ) ; > 3 A. 3 ( e ) B. 3 ( e ) C. 3 ( + e ) D. 3 ( e ), maka { f ( ) adalah. 3) Solui maalah nilai awal: y + y 8y, y(), y () 8 adalah. A. 4 ( ) y e + e B. C. D. 4 y( ) 3e e 4 y( ) e + 3e 4 ( ) y e e 4) co u du adalah. A. + 4 B. + 4 C. + 4 D. + 4
.34 Meode Maemai II 5) 4 + ( + 4) adalah. A. ( + co in ) co + in + + co in + co in B. ( ) C. ( ) D. ( ) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Te Formaif 3 yang erdapa di bagian akhir modul ini. Hiunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumu beriku unuk mengeahui ingka penguaaan Anda erhadap maeri Kegiaan Belajar 3. Jumlah Jawaban yang Benar Tingka penguaaan % Jumlah Soal Ari ingka penguaaan: 9 - % baik ekali 8-89% baik 7-79% cukup < 7% kurang Apabila mencapai ingka penguaaan 8% aau lebih, Anda dapa menerukan dengan modul elanjunya. Bagu! Jika maih di bawah 8%, Anda haru mengulangi maeri Kegiaan Belajar 3, eruama bagian yang belum dikuaai.
MATA443/MODU.35 Kunci Jawaban Te Formaif Te Formaif ) B ) A 3) C 4) D 5) D Te Formaif ) C ) A 3) D 4) B 5) A
.36 Meode Maemai II Dafar Puaka Kreyzig E., (993). Advanced Engineering Mahemaic, John Willey and Son, 7 h ediion. Willey C.R. and Barre.C., (985). Advanced Engineering Mahemaic, Mc.Graw Hill Co.