Hardwiyao Uomo 060545 4.3 Samlig dari disribusi ormal da simasi liklihood maksimum Liklihood ormal mulivaria Kia asumsika vkor,,..., dga mrrsasika saml acak dari oulasi ormal mulivaria dga raa-raa µ da kovaria marik. Kara,,..., sau sama lai idd da brdisribusi N (, mruaka roduk dari kadaa ormal margial, yaiu µ, fugsi kadaa brsama dari smua obsrvasi kadaa brsama ( ' ( µ µ / = / dari /,,..., = ( π (4- = ( π / / ( i µ ' ( i µ / = Saa ilai kuaiaif dari obsrvasi rsdia, da disubiusi k ada (4-. Hasil yag dirlihaka, dirhaika sbagai fugsi dari µ da uuk himua yag diaka dari obsrvasi,,..., disbu liklihood. Pada bab ii kia aka bayak mgguaka rac dari suau marik kuadra. Akiba 4.9. Dibrika A marik k k da vcor k. a. ' A = r ( ' A = r ( A ' b. r ( A k = λi, dimaa λi adalah ilai ig dari A. Proof. Uuk (a rama kia uliska ' A sbagai skalar, shigga ' A = r( ' A kia uya bahwa r( CB = r( BC uuk sia marik B da C dga m k da k m. Diagoal lm dari BC adalah k bi c i, shigga = m k r( BC = bi c i. Hal ii srua dga =
diagoal lm dari CB adalah m bi c i, shigga kia uya k m m k r( CB = bi c i = bi c i = r( = BC. Kia misalka ' adalah B dga m = da = A adalah C, maka ' = r ( ' = r ( ' Uuk (b, misalka A A A. A = P ' BP, dimaa PP ' = I da B adalah marik diagoal dga ri-riya adalah λ, λ,..., λ k. Kia uga uya ( A ( P BP ( BPP ( B r = r ' = r ' = r = λ + λ +... + λk Ekso dari kadaa brsama ada (4-, daa disdrhaaka. ( µ ' ( µ = r ( µ ' ( µ = r ( µ ( µ Slauya ( µ ' ( µ = r ( µ ( µ ' ' (4- = r ( µ ( µ ' (4-3 Kara rac dari umlah marik sama dga umlah rac dari marik rsbu, shigga kia daa mambah aau mguragi dga ada buk ( µ maka aka mmbrika ( + ( + = ( ( + ( µ ( µ µ µ ' ' '(4-4 Kara cross-roduc dari, ( ( µ ' da ( µ ( ' adalah kduaya marik ol, kia uya buk fugsi kadaa brsama suau saml acak yag brasal dari oulasi yag brdisribusi ormal mulivaria yaiu: r ( ( ' + ( ( ' / µ µ L( µ, = (4-6 / / ( π Fugsi di aas lbih dikal dga ama fugsi liklihood (ii slah dimasukka ilai-ilai dari,,...,.
Esimasiµda uuk maksimum liklihood Akiba 4.0. Dibrika marik B rbaas osiif da simri da b > 0skalar. Uuk sia = ( / b B. ( B / ( b b b B r b b rbaas osiif, dga mmgag ksamaa rsbu haya uuk Esimasi µ da uuk maksimum liklihood dioasika ˆµ da ˆ mruaka ilai maksimum dari fugsi L(,,,..., yag mlwai rigkasa saisik da S. µ ada (4-6. ˆµ da ˆ aka rgaug ada ilai Akiba 4..,,..., adalah saml acak yag brasal dari oulasi ormal dga raaraa µda kovaria. aka µ ˆ = da = ( ( ' = = ( adalah simaor dari µ da uuk maksimum liklihood. Nilai obsrvasi mrka, da ( ( (/ ', dikaaka simasi uuk µda ada maksimum liklihood. = Proof. Pada rsamaa liklihood (4-6 kia uya bagia dari fakor rkalia - yaiu: Dari akiba 4., r + µ µ S ( ( ' ( ' ( rbaas osiif, adi arak ( ( µ ' µ > 0 kcuali uuk µ =. Shigga fugsi liklihood madi maksimum saa µ ˆ = shigga kia iggal mmaksimumka L( µ ˆ, = ( π / / r ( ( ' + /
rhada. Dga mgguaka akiba 4.0 dimaa b = / da B = ( ( ', i i hasil maksimumya saa ( ˆ = / ( i ( i ' dibuk. Esimaor ada maksimum liklihood adalah sbuah umlah acak. Esimaor ii didaa dga mggaika gamaa,,..., yag mruaka ksrsi uuk ˆµ da ˆ dga vkor acak,,...,. Kia yaaka simaor dari maksimum liklihood sbagai vkor acak da simaor dari maksimum liklihood ˆ sbagai vkor marik. Esimasi maksimum liklihood mruaka ilai rilih yag dibrika olh suau daa. Dari lasa di aas kia daaa maksimum dari fugsi liklihood adalah ( ˆ, ˆ / L µ = (4-8 / ˆ / ( π Saisik cuku Dibrika,,..., saml acak dari oulasi ormal mulivaria dga µ da kovaria. aka da S mruaka saisik cuku (4-
4.4 DISTRIBUSI SAPLING DARI da S = K K K = [ K ] mariks dga ordo, dikahui da S saisic cuku uivaria ruaka saml radom dari oulasi ormal dga ma µ dak kovarias mariks Uuk disibusi ormal uivaria ormal dga ma µ = ma oulasi da variasi σ variasi oulasi = ukura saml Buki : brdisribusi ormal uivaria dga ma µ da variasi σ ( = µ + σ., K, saml radom dari oulasi ormal uivaria dga ma µ da variasi σ. i ( = µ + σ i =,,..., ( = ( = i i = = µ σ + σ µ + Jadi brdisribusi ormal dga ma µ da variasi σ
Uuk disribusi ormal mulivaria ~ N ( µ, ~ N µ, Buki : ~ N µ (, µ + ( =, K, saml radom dari disribusi ormal varia dga ma µ da kovarias. i ( = µ+ i =,,..., = i ( = = i i ( = µ + + + = µ Jadi brdisribusi ormal dga ma µ da variasi Uuk variasi saml dari oulasi ormal uivaria S ( ( = σ σ = ( S brdisribusi σ brdisribusi idik dga ( ( ( + + z = σ z + K+ σ z z K.
Dimaa z i ~ ( µ, N aau σ z ~ N ( 0 σ i, Uuk oulasi ormal mulivaria Bila z ~ ( µ, N =,, = z z brdisribusi Wishar dga draa bbas - dibri oasi W. Sifa sifa disribusi Wishar. Dsias wishar idak ada bila Bila ada hargaya uuk mariks dfii osiif A adalah : W ( A/ =. ~ W ( A A m ( A A ( r A ( ( ( π 4 - A ~ Wm. A da A idd A + A ~ + W ( A + A Wm m ( i 3. A ~ W ( A m (. CC C A C ~ W m
4.5 DISTRIBUSI da S UNTUK SAPEL BESAR Torma Limi Pusa K Saml radom dari disribusi dga ma,,, µ da kovariasi maka ( µ mdkai N ( 0,. Uuk bsar brdisribusi Torma Bila mdkai ormal dga ma µ da kovaria mariks maka µ µ mdkai χ ( (