ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)

Transkripsi

1 ARIMA (Auoregressive Inegraed Moving Average) I. Prinsip Dasar dan Tujuan Analisis. Prinsip Dasar ARIMA sering juga disebu meode runun waku Box-Jenkins. ARIMA sanga baik keepaannya unuk peramalan jangka pendek, sedangkan unuk peramalan jangka panjang keepaan peramalannya kurang baik. Biasanya akan cenderung fla (mendaar/konsan) unuk periode yang cukup panjang. Model Auoregresif Inegraed Moving Average (ARIMA) adalah model yang secara penuh mengabaikan independen variabel dalam membua peramalan. ARIMA menggunakan nilai masa lalu dan sekarang dari variabel dependen unuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akura. ARIMA cocok jika observasi dari dere waku (ime series) secara saisik berhubungan sau sama lain (dependen)..2 Tujuan Analisis Tujuan model ini adalah unuk menenukan hubungan saisik yang baik anar variabel yang diramal dengan nilai hisoris variabel ersebu sehingga peramalan dapa dilakukan dengan model ersebu. II. Forma Daa Dasar dan Program Kompuer yang Digunakan ARIMA hanya menggunakan suau variabel (univariae) dere waku. Misalnya: variabel IHSG. Program kompuer yang dapa digunakan adalah EViews, Miniab, SPSS, dll. III. Model Maemais dan Algorima Pokok Analisis Model ARIMA erdiri dari iga langkah dasar, yaiu ahap idenifikasi, ahap penaksiran dan pengujian, dan pemeriksaan diagnosik. Selanjunya model ARIMA dapa digunakan unuk melakukan peramalan jika model yang diperoleh memadai.

2 SKEMA PENDEKATAN BO JENKINS Tahap : Idenifikasi Rumuskan kelompok modelmodel yang umum Peneapan model unuk semenara Tahap 2 : Penaksiran dan Pengujian Penaksiran parameer pada model semenara Pemeriksaan diagnosa (apakah model memadai) idak Tahap 3 : Penerapan ya Gunakan model unuk peramalan Sasionerias dan Nonsasionerias Hal yang perlu diperhaikan adalah bahwa kebanyakan dere berkala bersifa nonsasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan dere berkala yang sasioner. Sasionerias berari idak erdapa perumbuhan aau penurunan pada daa. Daa secara kasarnya harus horizonal sepanjang sumbu waku. Dengan kaa lain, flukuasi daa

3 berada di sekiar suau nilai raa-raa yang konsan, idak erganung pada waku dan varians dari flukuasi ersebu pada pokoknya eap konsan seiap waku. Suau dere waku yang idak sasioner harus diubah menjadi daa sasioner dengan melakukan differencing. Yang dimaksud dengan differencing adalah menghiung perubahan aau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah sasioner aau idak. Jika belum sasioner maka dilakukan differencing lagi. Jika varians idak sasioner, maka dilakukan ransformasi logarima. Klasifikasi model ARIMA Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi kedalam 3 kelompok, yaiu: model auoregressive (AR), moving average (MA), dan model campuran ARIMA (auoregresive moving average) yang mempunyai karakerisik dari dua model perama. ) Auoregressive Model (AR) Benuk umum model auoregressive dengan ordo p (AR(p)) aau model ARIMA (p,0,0) dinyaakan sebagai beriku: dimana: + = µ ' + φ + φ φ p p e [0] µ ' = suau konsana φ p = parameer auoregresif ke-p e = nilai kesalahan pada saa 2) Moving Average Model (MA) Benuk umum model moving average ordo q (MA(q)) aau ARIMA (0,0,q) dinyaakan sebagai beriku: dimana: = µ... θ e ' + e θ e θ 2e 2 µ ' = suau konsana q k θ sampai θ q adalah parameer-parameer moving average e -k = nilai kesalahan pada saa k 3) Model campuran a. Proses ARMA Model umum unuk campuran proses AR() murni dan MA() murni, misal ARIMA (,0,) dinyaakan sebagai beriku: = µ ' + φ + e θe aau

4 ( φ ) = µ ' + ( θ B B) e AR() MA() b. Proses ARIMA Apabila nonsasionerias diambahkan pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) erpenuhi. Persamaan unuk kasus sederhana ARIMA (,,) adalah sebagai beriku: ( B )( φb) = µ ' + ( θb) e pembedaan AR() MA() perama Musiman dan Model ARIMA Musiman didefinisikan sebagai suau pola yang berulang-ulang dalam selang waku yang eap. Unuk daa yang sasioner, fakor musiman dapa dienukan dengan mengidenifikasi koefisien auokorelasi pada dua aau iga ime-lag yang berbeda nyaa dari nol. Auokorelasi yang secara signifikan berbeda dari nol menyaakan adanya suau pola dalam daa. Unuk mengenali adanya fakor musiman, seseorang harus meliha pada auokorelasi yang inggi. Unuk menangani musiman, noasi umum yang singka adalah: ARIMA (p,d,q) (P,D,Q) S Dimana (p,d,q) = bagian yang idak musiman dari model (P,D,Q) = bagian musiman dari model S = jumlah periode per musim Idenifikasi Proses idenifikasi dari model musiman erganung pada ala-ala saisik berupa auokorelasi dan parsial auokorelasi, sera pengeahuan erhadap sisem (aau proses) yang dipelajari. Penaksiran Parameer Ada dua cara yang mendasar unuk mendapakan parameer-parameer ersebu: a. Dengan cara mencoba-coba (rial and error), menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih sau nilai ersebu (aau sekumpulan nilai, apabila erdapa lebih dari

5 sau parameer yang akan diaksir) yang meminimumkan jumlah kuadra nilai sisa (sum of squared residual). b. Perbaikan secara ieraif, memilih aksiran awal dan kemudian membiarkan program kompuer memperhalus penaksiran ersebu secara ieraif. Pengujian Parameer Model. Pengujian masing-masing parameer model secara parsial (-es) 2. Pengujian model secara keseluruhan (Overall F es) Model dikaakan baik jika nilai error bersifa random, arinya sudah idak mempunyai pola erenu lagi. Dengan kaa lain model yang diperoleh dapa menangkap dengan baik pola daa yang ada. Unuk meliha kerandoman nilai error dilakukan pengujian erhadap nilai koefisien auokorelasi dari error, dengan menggunakan salah sau dari dua saisik beriku: ) Uji Q Box dan Pierce: Q = n' m 2 r k k = 2) Uji Ljung-Box: Q = n' ( n' + 2) r m 2 k k = ( n' k) 2 Menyebar secara Khi Kuadra ( χ ) dengan deraja bebas (db)=(k-p-q-p-q) dimana: n = n-(d+sd) d = ordo pembedaan bukan fakor musiman D = ordo pembedaan fakor musiman S = jumlah periode per musim m = lag waku maksimum r k = auokorelasi unuk ime lag, 2, 3, 4,..., k Krieria pengujian: Jika Q χ 2 ( α, db), berari: nilai error bersifa random (model dapa dierima). Jika Q > χ 2 ( α, db), berari: nilai error idak bersifa random (model idak dapa dierima).

6 Pemilihan Model Terbaik Unuk menenukan model yang erbaik dapa digunakan sandard error esimae beriku: dimana: SSE S = n n p n ˆ ) 2 2 ( Y Y = = n n p 2 Y = nilai sebenarnya pada waku ke- Yˆ = nilai dugaan pada waku ke- Model erbaik adalah model yang memiliki nilai sandard error esimae (S) yang paling kecil. Selain nilai sandard error esimae, nilai raa-raa persenase kesalahan peramalan (MAPE) dapa juga digunakan sebagai bahan perimbangan dalam menenukan model yang erbaik yaiu: MAPE = T = Y Yˆ T Y 00% dimana: T = banyaknya periode peramalan/dugaan. Peramalan Dengan Model ARIMA Noasi yang digunakan dalam ARIMA adalah noasi yang mudah dan umum. Misalkan model ARIMA (0,,)(0,,) 2 dijabarkan sebagai beriku: 2 ( B )( B ) = ( θ B)( Θ B ) 2 e Teapi unuk menggunakannya dalam peramalan mengharuskan dilakukan suau penjabaran dari persamaan ersebu dan menjadikannya sebuah persamaan regresi yang lebih umum. unuk model diaas benuknya adalah: = e e Θe 2 + Θe 3 θ θ

7 Unuk meramalkan sau periode ke depan, yaiu + maka seperi pada persamaan beriku: + = e+ e Θe + Θe 2 θ Nilai e + idak akan dikeahui, karena nilai yang diharapkan unuk kesalahan random pada masa yang akan daang harus dieapkan sama dengan nol. Akan eapi dari model yang disesuaikan (fied model) kia boleh menggani nilai e, e - dan e -2 dengan nilai nilai mereka yang dieapkan secara empiris (seperi yang diperoleh seelah ierasi erakhir algorima Marquard). Tenu saja bila kia meramalkan jauh ke depan, idak akan kia peroleh nilai empiris unuk e sesudah beberapa waku, dan oleh sebab iu nilai harapan mereka akan seluruhnya nol. Unuk nilai, pada awal proses peramalan, kia akan mengeahui nilai, -, - 2. Akan eapi sesudah beberapa saa, nilai akan berupa nilai ramalan (forecased value), bukan nilai-nilai masa lalu yang elah dikeahui. θ IV. Srukur Informasi Pokok Hasil Analisis (Cara Inerpreasi). Idenifikasi. a. Berdasarkan plo daa akual dapa dikeahui apakah daa sudah sasioner. Jika belum sasioner maka daa harus disasionerkan erlebih dahulu. b. Tenukan kombinasi model ARIMA yang mungkin. Dari plo auokorelasi enukan ordo MA (q), dari plo auokorelasi parsial enukan orde AR (p). 2. Esimasi dan pengujian model ARIMA yang mungkin sera pemilihan model erbaik. 3. Tenukan persamaan dan nilai ramalan model ARIMA erbaik. V. Conoh Aplikasi Analisis Misalkan kia ingin meramalkan nilai IHSG harian unuk jangka pendek. Conoh: daa IHSG harian (fikif) selama 48 periode: Hari IHSG Hari IHSG Hari IHSG Hari IHSG Hari IHSG Hari IHSG

8 Daa ersebu cenderung sudah sasioner, arinya nilai engah dan varian eap idak erganung pada perubahan waku. Plo daa adalah sebagai beriku: Gambar. Plo daa IHSG IHSG Tabel. Hasil Uni Roo Tes dari Daa IHSG ADF Tes Saisic % Criical Value* % Criical Value % Criical Value *MacKinnon criical values for rejecion of hypohesis of a uni roo. Tabel 2. Plo auokorelasi daa IHSG Dae: 09/04/04 Time: 22:37 Sample: 48 Included observaions: 48 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob. ****. **** *..* **. *** **.. ** * *. ** * *.. * * *

9 . *.. * *.. * *..* * *..* **..* Dari plo auokorelasi dan plo auokorelasi parsial, erliha bahwa lag signifikan. Sehingga ordo p dan q yang mungkin adalah. Kombinasi model ARIMA yang mungkin: ARIMA (0,0,), ARIMA (,0,), ARIMA (,0,0). Selanjunya cari nilai koefisiennya (penaksiran parameer) dengan menggunakan EViews didapakan hasil sbb: Hasil pengolahan oupu model ARIMA: ARIMA (0,0,) Dependen Variable: IHSG Mehod: Leas Squares Dae: 09/04/04 Time: 22:44 Sample: 48 Included observaions: 48 Convergence achieved afer 52 ieraions Backcas: 0 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C MA() R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic.7072 Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Invered MA Roos -.39 Dae: 09/04/04 Time: 22:42 Sample: 48 Included observaions: 48 Q-saisic probabiliies adjused for ARMA erm(s) Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob. *.. * **. ** ***. *** * *.. * * *.. * *..* *..* *.. *

10 *..* *.. ** * * * *. ** ARIMA(,0,) Dependen Variable: IHSG Mehod: Leas Squares Dae: 09/04/04 Time: 22:46 Sample(adjused): 2 48 Included observaions: 47 afer adjusing endpoins Convergence achieved afer ieraions Backcas: Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C AR() MA() R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Invered AR Roos.42 Invered MA Roos -.2 Dae: 09/04/04 Time: 22:45 Sample: 2 48 Included observaions: 47 Q-saisic probabiliies adjused for 2 ARMA erm(s) Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob *.. * ***. *** * * *.. * *..* *. ** *.. * * * *.. ** *.. *

11 .* *..* ARIMA (,0,0) Dependen Variable: IHSG Mehod: Leas Squares Dae: 09/04/04 Time: 22:47 Sample(adjused): 2 48 Included observaions: 47 afer adjusing endpoins Convergence achieved afer 3 ieraions Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C AR() R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Invered AR Roos.5 Dae: 09/04/04 Time: 22:47 Sample: 2 48 Included observaions: 47 Q-saisic probabiliies adjused for ARMA erm(s) Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob. *.. * *.. * ***. *** * * * *.. * *..* *..* *.. * * * *.. ** * *.. * * *..* Uji unuk masing-masing parameer, erliha bahwa pada ARIMA (0,0,) dan ARIMA (,0,0) ernyaa -hiung > dari -abel, dan mempunyai nilai prob < 0,005 sehingga dengan alpha 5%, H 0 diolak, arinya koefisien signifikan (berbeda dari nol). Semenara unuk

12 ARIMA (,0,) mempunyai -hiung < dari -abel, sehingga H 0 dierima, arinya koefisien idak signifikan. Pengujian secara keseluruhan (overall es): Hipoesa nol: idak ada lorelasi pada nilai sisa (residual) Dengan menggunakan Q-Sa, erliha bahwa pada ARIMA (0,,) pada lag 3 yaiu lebih besar dari nilai Chi-Square able (nilai prob sebesar 0.006) arinya dengan alpha 5% ada korelasi pada nilai sisa (lag 3) sehingga model idak cocok. Jadi dari 3 model yang mungkin, hanya ada model yang memenuhi syara, yaiu ARIMA (,0,0). Seandainya ada lebih dari sau model yang memenuhi syara, maka ambil model yang erbaik sesuai dengan krieria yang elah dijelaskan sebelumnya. Didapakan koefisien AR() dengan benuk persamaan: = e Model sudah dapa digunakan unuk peramalan Referensi: Deden. Summary (Dika Kuliah ADW). STIS Hendranaa, Anon. ARIMA (Auoregressive Moving Average), Manajemen Keuangan Sekor Publik FEUI, Makridakis, Spyros., Seven C. Wheelwrigh, dan Vicor E. McGee. Meode dan Aplikasi Peramalan, Jakara: Erlangga, 999.