Jur. Ris. & Apl. Mat. (018), o. 1, 1-64 Jural Riset da Aplikasi Matematika e-issn: 581-0154 URL: joural.uesa.ac.id/idex.php/jram ANALISIS PENGELOMPOKAN K-MEANS UNTUK DATA BIVARIAT LAJU KUNJUNGAN DAN RASIO RUJUKAN (Studi Data pada Seluruh Fasilitas Kesehata Tigkat I di BPJS Kesehata Surakarta) Oktaviaa Rei Kristyaigrum 1, Adi Setiawa, Leopoldus Ricky Sasogko 3 Program Studi Matematika, Fakultas Sais da Matematika, Uiversitas Kriste Satya Wacaa email: 66014015@studet.uksw.edu 1, adi_setia_03@yahoo.com, leopoldus.sasogko@staff.uksw.edu 3 ABSTRAK Pegelompokka fasilitas kesehata (faskes) tigkat I berdasarka tiggi atau redah laju kujuga da rasio rujuka perlu dilakuka. Hal ii bergua bagi BPJS Kesehata utuk meetuka arah kebijakaya maupu pemeritah Idoesia dalam mesejahteraka kehidupa masyarakat Idoesia. Metode pegelompoka yag diterapka pada data laju kujuga da rasio rujuka di 356 faskes tigkat I BPJS Kesehata Surakarta adalah metode pegelompokka k-meas. Pegelompokka k- meas yag telah dilakuka pada data meghasilka empat kelompok dega tigkat laju kujuga da rasio rujukaya yaitu kelompok 1 dega tigkat redah-redah, kelompok dega tiggi-redah, kelompok 3 dega tigkat redah-tiggi, da kelompok 4 dega tigkat redah-sedag yag maa secara beruruta masig-masig kelompok beraggotaka 164, 19, 0, da 43 faskes tigkat I. Setelah data dikelompoka, aalisis hubuga atara data laju kujuga da rasio rujuka mejadi perhatia dalam paper ii. Aalisis hubuga didasarka pada data di tiap kelompok hasil pegelompokka sehigga selajutya dapat diketahui bagaimaa keterhubuga data laju kujuga da ratio rujuka faskes-faskes tigkat I di tiap kelompok. Aalisis hubuga dilakuka dega megguaka pedekata copula (bivariat). Ukura keterhubuga yag diguaka utuk megetahui keterhubuga data dalah Kedall s Tau da Spearma s Rho. Copula yag terbaik utuk mejelaska keterhubuga data didasarka pada p-value tertiggi dari uji kecocoka statistik Crame r-vo Mises yag diperoleh melalui simulasi parametric bootstrap. Paper ii memberika hasil bahwa dua kelompok (kelompok 1 da kelompok 4) yag maa keterhubuga data di dalamya dapat digambarka melalui copula, sedagka dua kelompok yag lai tidak dapat digambarka dari lima copula yag diujika dalam paper ii. Kelompok 1 digambarka melalui copula Gumbel dega margial-margialya adalah Normal- Normal, sedagka kelompok 4 digambarka melalui copula Ali-Mikhail-Haq (AMH) dega margial-margialya Weibull-Gamma. Kata Kuci: Faskes tigkat I BPJS Kesehata,Laju Kujuga, Rasio Rujuka, Pegelompoka K- meas,copula 1. Pedahulua Petigya asurasi kesehata telah medorog pemeritah Idoesia utuk membetuk Bada Peyeleggara Jamia Sosial (BPJS) Kesehata, suatu bada hukum publik yag memiliki tugas utuk meyeleggaraka Jamia Kesehata Nasioal (JKN) bagi rakyat Idoesia. Dalam peyeleggaraaya, BPJS Kesehata megguaka sistem rujuka berjejag kepada pesertaya. Setiap peserta BPJS Kesehata terdaftar di tepat satu fasilitas kesehata (faskes) tigkat I, tempat pertama yag harus peserta kujugi sewaktu peserta Taggal Masuk: 4-04-18; Revisi: 8-04-18; Diterima: 30-04-018
ANALISIS PENGELOMPOKAN K-MEANS.. memerluka pelayaa kesehata. Bada Peyeleggara Jamia Sosial (BPJS) Kesehata Kota Surakarta berfugsi sebagai peyeleggara program jamia kesehata di wilayah Surakarta, yag maa meliputi Kota Surakarta, Kabupate (Kab.) Karagayar, Kab. Srage, Kab. Sukoharjo da Kab. Woogiri. Di wilayah tersebut terdapat 13 dokter praktik peroraga, 58 kliik pratama, 109 puskesmas, 43 dokter gigi, 5 kliik POLRI, da 9 kliik TNI yag telah bekerjasama dega BPJS Kesehata sebagai faskes tigkat I. Bayak peserta yag berkujug tiap bula di tiap faskes tigkat I tersebut tercatat. Dari semua peserta yag berkujug tersebut, terdapat peserta yag dirujuk ke faskes tigkat selajutya. Bayak peserta yag dirujuk tersebut juga tercatat. Berdasarka hal-hal tersebut diperoleh data megeai laju kujuga da rasio rujuka per bula utuk tiap faskes tigkat I. Laju kujuga diperoleh dari bayakya kujuga pada bula itu dikali 1000 jiwa, lalu dibagi dega jumlah peserta yag terdaftar pada suatu faskes tigkat I. Sedagka rasio rujuka diperoleh dari jumlah peserta yag dirujuk dikali 1000 jiwa, lalu dibagi jumlah peserta yag terdaftar pada suatu faskes tigkat I. Iformasi megeai seberapa tiggi atau redah laju kujuga da rasio rujuka di suatu faskes tigkat I merupaka hal yag petig utuk diperhatika. Iformasi tersebut dapat bermafaat bagi BPJS Kesehata gua meetuka arah kebijakaya pada waktu medatag. Selai itu, iformasi tersebut petig bagi pemeritah Idoesia dalam megambil kebijaka dalam ragka mesejahteraka kehidupa masyarakat Idoesia seperti pemberia peyuluha, kosultasi kesehata, atau pegobata gratis bagi masyarakat (terutama peserta) di faskes tigkat I yag memiliki laju kujuga atau rasio rujuka pada tigkat tertetu. Utuk memperoleh iformasi tersebut, pegelompoka (clusterig) data megeai seberapa tiggi atau redah laju kujuga da rasio rujuka faskes-faskes tigkat I perlu dilakuka. Pegelompoka data dalam peelitia ii megguaka clusterig dega metode k-meas dimaa faskes-faskes tigkat I di BPJS Kesehata Surakarta dikelompoka mejadi k kelompok sesuai dega karakteristik tigkat laju kujuga da rasio rujuka. Peelitia megeai pegelompoka data atara lai Dhuhita [1] melakuka aalisis clusterig dega metode k- meas utuk meetuka status gizi balita da Lesussa [] yag juga melakuka aalisis clusterig dega metode k-meas pada data Ideks Pembagua Mausia (IPM) tahu 004-010 provisi Maluku Utara. Setelah data dikelompoka, aalisis hubuga atara laju kujuga da rasio rujuka mejadi perhatia peelitia. Aalisis hubuga didasarka pada data tiap kelompok hasil aalisis clusterig sehigga selajutya dapat diketahui bagaimaa hubuga laju kujuga da ratio rujuka faskes-faskes tigkat di suatu kelompok. Aalisis hubuga tersebut dilakuka dega megguaka pedekata copula dimaa copula dapat meggambarka keterhubuga dua peubah secara umum (liier maupu oliier) melalui distribusi bivariatya. Peelitia sebelumya megeai aalisis hubuga dua peubah megguaka copula atara lai Darwis [3] yag melakuka aalisis hubuga Ideks Harga Saham Gabuga (IHSG) dega faktor makroekoomi melalui pedekata copula. Sedagka peelitia tetag keterkaita pegelompoka data da copula belum ada. Tujua dari peelitia ii adalah utuk memperoleh kelompok-kelompok faskes tigkat I BPJS Kesehata Surakarta berdasarka tiggi/redah laju kujuga da rasio rujuka. Setelah itu, memperoleh model copula yag cocok utuk mejelaska hubuga atara data laju kujuga da rasio rujuka tiap kelompok faskes tigkat I BPJS Kesehata Surakarta yag telah diperoleh. 51
O. R. Kristyaigrum, A. Setiawa, L. S. Sasogko. Dasar Teori da Metode Peelitia.1. K-Meas Clusterig K-Meas Clusterig merupaka salah satu cara pegelompoka data megguaka metode o-hierarki yag berbasis jarak (Lesussa []). Pegelompoka K-Meas utuk Data Bivariat Misalka diketahui sebayak data bivariat (titik di dua dimesi) yaitu X 1, X, X 3,, X dega X i = (x i1, x i ), i = 1,, 3,,. Misalka pula terdapat k kelompok awal yaitu C 1, C, C 3,, C k dega titik-titik pusat tiap kelompok tersebut beruruta adalah μ 1, μ, μ 3,, μ k dega μ j = (μ j1, μ j ), j = 1,, 3,, k. Pegelompoka dega metode k- meas utuk data bivariat tersebut dilakuka dega memiimumka fugsi tujua k D = d(x i, μ j ) j=1 X i C j dega d(x i, μ j ) adalah jarak setiap titik terhadap titik pusat kelompokya yag dapat dicari megguaka metode Euclidea. Meurut Lesussa [], Jarak Euclidea didefiisika sebagai akar dari jumlaha kuadrat perbedaa/deviasi atar eleme pada titik yag diyataka oleh d(x i, μ j ) = (X ik μ ik ) p=1 (1). () Utuk Algoritma pegelompoka k-meas dapat dijabarka melalui pseudocode berikut: 1. Iisialisasi X 1, X, X 3,, X ; k;da μ 1, μ, μ 3,, μ k,. Ulagi higga D koverge:.a. tetuka tiap titik X i ke kelompok dega jarak X i terhadap μ j adalah terdekat, sehigga diperoleh C 1, C, C 3,, C k,.b. hitug D seperti pada (1),.c. tetuka titik pusat yag baru tiap kelompok yaitu μ j = 1 C j X i x C j dega C j meyataka bayakya titik pada kelompok ke-j... Goodess of Fit Test Goodess of fit test diguaka utuk mejelaska seberapa baik data empiris megikuti atau merupaka sampel acak dari suatu distribusi tertetu. Lagkah pertama dari goodess of fit adalah megestimasi parameter suatu distribusi berdasarka data empiris. Estimasi parameter ii megguaka metode maximum likelihood estimatio. Selajutya dilakuka uji kecocoka distribusi melalui metode teoritis tertetu salah satuya adalah metode Kolmogorov- Smirov. Dalam paper ii, goodess of fit test diguaka utuk megestimasi distribusi margial data laju kujuga da rasio rujuka sebelum dilakuka uji kecocoka copula..3. Copula 5
ANALISIS PENGELOMPOKAN K-MEANS.. Meurut Sasagko [4], Copula (bivariat) adalah suatu fugsi distribusi bivariat dega margial-margialya berdistribusi seragam [0,1]. Copula C diyataka oleh C(u, v) = Pr[U u, V v] Utuk peubah acak U da V berdistribusi seragam di [0,1]. Misal peubah-peubah acak baru U = F(X) da V = G(Y). Meurut Teorema Sklar, jika H adalah fugsi distribusi bivariat dega fugsi-fugsi distribusi margial F da G, maka terdapat suatu copula C utuk semua (x, y) sedemikia higga H(x, y) = C(F(x), G(y)) dega F(x) da G(y) merupaka peubah acak baru. Kedall s Tau Misalka {(x 1, y 1 ), (x, y ),, (x, y )} meujukka sampel acak pegamata dari sebuah vector (X, Y) dari variabel acak kotiu. Terdapat ( ) pasaga yag berbeda (x i, y i ) da (x j, y j ), da masig-masig pasaga cocordat atau discordat, maka Kedall s tau didefiisika oleh c d τ = c + d = (c d) ( ) dega c meujukka jumlah pasaga yag cocordat da d meujukka jumlah pasaga yag discordat. Spearma s Rho Misalka X da Y variabel acak kotiu meurut Nelse [5] Spearma s Rho utuk X da Y diberika oleh ρ s = 1 6 d 1 ( 1) dega d i merupaka perbedaa rakig dari masig-masig pegamata da merupaka jumlah pegamata. Pembagkit Sampel Acak Bivariat Copula (Sasogko [4]) Prosedur utuk membagkitka sampel acak bivariat {(x, y)} dari suatu fugsi distribusi bivariat H megguaka copula terlebih dahulu padag fugsi C(u,v) adalah fugsi dalam v, misal u = F(x) da v = G(y), C(u, v) z u (v) =. u Prosedur pembagkita sampel acak bivariat {(x, y)} melalui lagkah: Membagkitka dua bilaga acak salig bebas u da t, distribusi seragam di [0,1]; Memperoleh v = z ( 1) u (t), dimaa z ( 1) u adalah ivers fugsi dari z u ; Memperoleh sepasag bilaga acak bivariat dari suatu Copula yaitu (u, v); Memperoleh sepasag bilaga acak bivariat (x, y) = (F 1 (u), G 1 (v)); Goodess of Fit for Copula (Geest dkk [6]) u 53
O. R. Kristyaigrum, A. Setiawa, L. S. Sasogko Uji kecocokaa Copula diperluka utuk megetahui seberapa cocok copula dapat memodelka data. Uji dilakuka berdasarka proses empirik pada fugsi distribusi bivariat ataupu Copula utuk parameter φ diyataka oleh (x i, y i ) = [H e (x i, y i ) H φ (x i, y i )] = [C e (F(x i ), G(y i )) C φ (F(x i ), G(y i ))] dega H e (x i, y i ) = C e (F(x i ), G(y i )) = #(x x i,y y i ) fugsi distribusi bivariat empiris atau +1 copula empiris utuk data {(x i, y i )}, i = 1,,,, fugsi #(x x i, y y i ) meyataka bayakya data bivariat {(x, y)} dega x x i da y y i. Ukura statistik yag diguaka adalah statistik Crame r-vo Mises ( S ), yag diperoleh dari S = 1 [ (x i, y i )] = [H e (x i, y i ) H φ (x i, y i )] i=1 i=1 = [C e (F(x i ), G(y i )) C φ (F(x i ), G(y i ))]. i=1 Kecocoka data terhadap suatu fugsi distribusi bivariat atau copula bergatug pada ilai S terkecil dari beberapa fugsi distribusi bivariat atau copula yag dicocokka. Setelah diperoleh ilai S utuk setiap kelompok, dilakuka uji hipotesis megguaka parametric bootstrap. H 0 ditolak apabila p-value kurag dari ilai sigifikasi tertetu (0.1, 0.05 atau 0.001). Misal diketahui data bivariat sebayak pasag yaitu {(x a, y a )}, a = 0,1,,3,,. Utuk N bilaga bulat positif sagat besar, algoritma parametric bootstrap adalah sebagai berikut: 1. Membagkitka sampel acak bivariat {(x i, y i )} dega i = 0,1,,, dari suatu distribusi bivariat H θ (x, y)atau Copula C θ (F(x), G(y)),. Meghitug H e (x i, y i ) = C e (F(x i ), G(y i )) = #(x a x i,y a y i ) y i ) adalah bayak data bivariat {(x a, y a )} dega x a x i da y a y i, 3. Jika j = 1, hitug = [H e (x i, y i ) H θ (x i, y i )] s,j i=1 i=1 4. Jika j = j + 1, ulagi poi 1 sampai poi 3 5. Jika j = N + 1, hitug p-value, #(s,j >s ) N +1 (3) dega #(x a x i, y a = [C e (F(x i ), G(y i )) C θ (F(x i ), G(y i ))] atau adalah fugsi berilai 1 utuk ilai s,j > s. N j=1 ( I(s,j >s ) N ), yag maa I(s,j > s ).4. Copula Archimedea Meurut Nelse [5], copula Archimedea memiliki kekhasa bahwa suatu copula yag memiliki satu parameter kebergatuga (θ) dapat dibetuk dari suatu fugsi pembagkit copula φ. Copula Archimedea utuk peubah acak bivariat dapat dituliska sebagai φ(c(u, v)) = φ(u) + φ(v). Misalka X da Y adalah variabel acak dega Copula Archimedea C yag dihasilka oleh φ pada W. Estimasi parameter θ dari Copula Archimedea diperoleh dari meyelesaika solusi berikut 54
ANALISIS PENGELOMPOKAN K-MEANS.. Copula Clayto Betuk umum dari copula Clayto: C C,θ (u, v) = (u θ + v θ 1) 1 θ dega θ (0, ). Fugsi geerator copula Clayto yaitu 1 τ C = 1 + 4 φ θ(t) φ dt. (4) θ (t) 0 φ θ (t) = 1 θ (t θ 1). (5) Dega meyelesaika persamaa (4) da (5) diperoleh parameter θ utuk copula Clayto: θ = τ 1 τ. (6) Copula Gumbel Betuk umum dari copula Gumbel: C G,θ (u, v) = exp ( [( l u) θ + ( l v) θ ] dega θ [1, ). Fugsi geerator copula Gumbel yaitu φ θ (t) = ( l t) θ. (7) Dega meyelesaika persamaa (4) da (7) diperoleh parameter θ utuk copula Gumbel: θ = 1 1 τ. (8) Copula Ali-Mikhail-Haq (AMH) Betuk umum dari copula AMH: uv C A,θ = 1 θ(1 u)(1 v) dega θ [ 1, 1). Fugsi geerator copula AMH adalah 1 θ(1 t) φ θ (t) = l [ ]. (9) t Dega meyelesaika persamaa (4) da (9) diperoleh parameter θ utuk copula AMH: τ = 3θ 3θ Copula Frak Betuk umum dari copula Frak: 1 θ ) (1 θ) l(1 θ) 3θ. (10) C F,θ (u, v) = 1 θ l (1 + (e θu 1)(e θv 1) e θ ) 1 dega θ R\{0}. Fugsi geerator copula Frak adalah φ θ (t) = l ( e θt 1 e θ 1 ). (11) Dega meyelesaika persamaa (4) da (11) diperoleh parameter θ utuk copula Frak: τ = 1 4 (1 θ 1 θ t dt 0 e t 1 θ.5. Copula Plackett Copula Plackett mempuyai betuk umum sebagai berikut: ). (1) 55
O. R. Kristyaigrum, A. Setiawa, L. S. Sasogko [1 + (θ 1)(u + v)] C P,θ (u, v) = [1 + (θ 1)(u + v)] 4uvθ(θ 1) (θ 1) (θ 1) utuk 0 < θ < da θ 1. Saat θ = 1, C P,1 (u, v) = uv. Estimasi parameter θ dapat dilakuka melalui persamaa Spearma s rho dega mecari solusi dari ρ = θ + 1 θ 1 θ l(θ). (13) (θ 1).6. Metode Bagi Dua Metode bagi dua diguaka utuk mecari akar persamaa dari suatu fugsi. Diasumsika fugsi f(θ) kotiu pada iterval [a 1, b 1 ] da f(a 1 ) f(b 1 ) < 0 sehigga terdapat miimal satu akar pada iterval tersebut. Ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 1. Gambar 1. Ilustrasi grafis utuk akar hampira dalam metode bagi dua Meurut Nugroho [7], Algoritma utuk metode bagi dua sebagai berikut: 1. Meghitug θ = a +b.. Meetuka subiterval maa yag aka megurug akar: a. Jika f(a 1 ) f(b 1 ) < 0, maka a +1 = a, b +1 = θ. b. Jika f(a 1 ) f(b 1 ) > 0, maka a +1 = θ, b +1 = b. c. Jika f(a 1 ) f(b 1 ) = 0, maka diperoleh akar sama dega θ. 3. Meghitug ε = θ θ 1 θ 100% dimaa 1 4. Megulagi lagkah 1 higga lagkah 3 sedemikia sehigga f(θ ) 0. 5. Medapatka akar persamaa yaitu θ. Dalam peelitia ii, metode bagi dua diguaka utuk mecari parameter θ pada copula AMH, Frak, da Plackett..7. Metode Peelitia Dilakuka pegolaha data yag dimiliki melalui lagkah-lagkah berikut: 1. Melakuka algoritma k-meas clusterig utuk memperoleh kelompok-kelompok data dimaa ilai D pada persamaa (1) miimum yaitu dega lagkah-lagkah: a. Meetuka kelompok awal berdasarka media dari data. b. Meetuka titik pusat awal kelompok-kelompok berdasarka media dari setiap kelompok. c. Melakuka algoritma k-meas clusterig d. Memperoleh da megiterpretasika kelompok-kelompok data yg telah diperoleh.. Estimasi distribusi data tiap kelompok melalui pedekata copula yag meliputi a. Estimasi distribusi margial data melalui: estimasi parameter distribusi data megguaka metode maximum likelihood estimatio, 56
ANALISIS PENGELOMPOKAN K-MEANS.. uji kecocoka distribusi megguaka uji Kolmogorov-Smirov. b. Estimasi Kedall s tau da Spearma s rho. c. Estimasi parameter copula Archimedea berdasarka Kedall s tau da copula Plackett berdasarkaa Spearma s rho dimaa: estimasi parameter θ dari copula Clayto berdasarka persamaa (6), estimasi parameter θ dari copula Gumbel berdasarka persamaa (8), estimasi parameter θ dari copula Ali-Mikhail-Haq berdasarka persamaa (10) da mecari solusi dega megguaka metode bagi dua, estimasi parameter θ dari copula Frak berdasarka persamaa (1) da mecari solusi dega megguaka metode bagi dua, estimasi parameter θ dari copula Plackett berdasarka persamaa (13) da mecari solusi dega megguaka metode bagi dua. d. Uji kecocoka copula megguaka uji statistik Crame r-vo Mises seperti pada persamaa (3) dega batua parametric bootstrap. 3. Hasil da Pembahasa 3. 1. Data Data yag diguaka dalam peelitia ii terdiri dari data laju kujuga da rasio rujuka bula April 017 di faskes-faskes tigkat I yag tercatat di BPJS Kesehata Surakarta. Scatterplot dari data dapat dilihat pada Gambar. Gambar. Scaterplot Data Laju Kujuga da Rasio Rujuka 3.. Kelompok Data Pegelompoka data dalam peelitia ii megguaka metode k-meas clusterig, data aka dikelompoka mejadi empat kelompok. Utuk lagkah pegerjaa da hasil adalah sebagai berikut: Meetuka Kelompok Awal da Titik Pusat Awal Kelompok Lagkah pertama utuk meetuka kelompok awal terlebih dahulu dicari ilai media dari data. Nilai media bergua utuk membagi data mejadi 4 kelompok yaitu: data dega laju kujuga da rasio rujuka di bawah ilai media, data dega laju kujuga di atas ilai media sedagka rasio rujuka berada di bawah ilai media, data dega laju kujuga di bawah ilai media sedagka rasio rujuka berada di atas ilai media, 57
O. R. Kristyaigrum, A. Setiawa, L. S. Sasogko da data dega laju kujuga da rasio rujuka di atas ilai media. Dari data, diperoleh ilai media (88.13967, 105.0509). Dari media yag telah diperoleh terbetuk kelompok awal yag dapat dilihat pada Gambar 3. Gambar 3. Kelompok Awal Faskes Tigkat I Peetua titik pusat awal kelompok berdasarka media dari masig-masig kelompok awal yag terbetuk. Diperoleh titik pusat awal kelompok seperti pada Tabel 1. Tabel 1. Titik Pusat Awal Kelompok Laju kujuga (x i ) μ 1 μ μ 3 μ 4 43.185 191.38 35.649 143.865 Rasio Rujuka (x j ) 66.667 7.07 8.045 133.333 Meetuka tiap titik X i ke kelompok dega jarak X i terhadap μ j adalah terdekat, sehigga diperoleh C 1, C, C 3, C 4. Setelah diperoleh titik pusat awal kelompok (μ 1, μ, μ 3, μ 4 ), selajutya meghitug jarak setiap titik X i terhadap μ j. Dalam peelitia ii perhituga jarak megguaka metode Euclidea seperti pada persamaa (). Kelompok yag baru dipilih berdasarka jarak terdekat dari titik data terhadap titik pusat kelompok. Lagkah-lagkah tersebut bersifat iteratif higga diperoleh ilai D pada persamaa (1) yag miimum atau dijumpai titik-titik pusat kelompok yag sama pada iterasi selajutya.gambar 4 sampai dega Gambar 7 meujuka beberapa iterasi yag dilakuka. Gambar 4. Scatterplot Hasil Akhir Kelompok pada Iterasi 1 Gambar 5. Scatterplot Hasil Akhir Kelompok pada Iterasi 3 58
ANALISIS PENGELOMPOKAN K-MEANS.. Gambar 6. Scatterplot Hasil Akhir Kelompok pada Iterasi 5 Gambar 7 Scatterplot Hasil Akhir Kelompok pada Iterasi 7 Iterasi berheti pada iterasi ke 11 karea dijumpai titik pusat kelompok yag sama seperti iterasi sebelumya (iterasi ke 10). Diperoleh titik pusat kelompok terakhir seperti Tabel. Tabel. Titik Pusat Kelompok Terakhir μ 1 μ μ 3 μ 4 x 1 56.0486 01.66174 0.01157 63.37815 x 95.49006 93.45363 893.4561 307.7357 Dega ilai fugsi tujua D = 710.4. Scatterplot hasil akhir kelompok dapat dilihat pada Gambar 8. Gambar 8. Scatterplot Hasil Akhir Kelompok 3. 3. Model Copula utuk Keterhubuga tiap Kelompok Dari hasil pegelompoka data megguaka metode k-meas clusterig diperoleh 4 kelompok dimaa scatterplot da histogram dari ke empat kelompok tersebut dapat dilihat pada Gambar 9 sampai dega Gambar 1. 59
O. R. Kristyaigrum, A. Setiawa, L. S. Sasogko Gambar 9. Scatterplot da Histogram Data Kelompok 1 Gambar 10. Scatterplot da Histogram Data Kelompok Gambar 11. Scatterplot da Histogram Data Kelompok 3 Gambar 1. Scatterplot da Histogram Data Kelompok 4 Estimasi Distribusi Margial Megguaka Uji Kolmogorov-Smirov Dalam peelitia ii, peetua distribusi margial data megguaka batua program Easyfit. Tabel 3 meampilka taksira parameter-parameter (MLE) da tes uji kecocoka dari uji Kolmogorov Smirov (p-value). Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa ilai dari p-value masigmasig tes uji kecocoka setiap margial data lebih besar dari 0.05, sehigga peaksira awal data margial masig-masig distribusi yag telah dipilih diterima. Distribusi margial yag dipakai merujuk pada lampira 1. Tabel 3. Parameter da Tes Uji Kecocoka Distribusi Margial Data Kel. Marg. Dist. Taksira Parameter Kolmogorov-Smirov (p-value) 1 X 1 Normal μ = 56 σ = 34.8 0.5199 X Normal μ = 94.9 σ = 50.7 0.4645 X 1 Log-ormal μ = 5.3 σ = 0.3 0.4718 X Weibull α =.6 β = 103.1 0.97765 3 X 1 Gamma α = 1. β = 16 0.7513 X Weibull α = 5.9 β = 957. 0.07818 4 X 1 Weibull α = 1. β = 66.7 0.78198 X Gamma α = 13. β = 3.3 0.19768 Ukura Keterhubuga Utuk megetahui keterhubuga atar peubah data dilakuka estimasi ukura keterhubuga megguaka Kedall s Tau da Spearma s Rho. Hasil ukura keterhubuga setiap kelompok dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4. Ukura keterhubuga Kedall s Tau da Sperma s Rho Setiap Kelompok Kelompok Kedall s Tau Spearma s Rho 1 0.49901 0.3489590-0.1739341-0.58089 3-0.3133580-0.418848 4-0.544459-0.385576 Estimasi Parameter Copula Archimedia da Copula Plackett 60
ANALISIS PENGELOMPOKAN K-MEANS.. Estimasi parameter copula Archimedia yag terdiri dari copula Cayto, Gumbel, Ali- Mikhail-Haq (AMH), da Frak megguaka ukura keterhubuga Kedall s tau bedasarka persamaa (4) sedagka estimasi copula Plackett megguaka ukura keterhubuga Spearma s Rho berdasarka persamaa (9). Tabel 5 meujuka ilai parameter θ dari setiap kelompok utuk setiap copula. Utuk megestimasi parameter copula gumbel, ilai ukura keterhubuga tidak boleh egatif. Oleh karea itu, tidak dilakuka estimasi parameter Copula Gumbel utuk kelompok higga kelompok 4. Tabel 5. Nilai Parameter Copula Setiap Kelompok Kel. Clayto Gumbel AMH Frak Plackett 1 0.6419 1.310 0.8.984.9086 3 4-0.963 - -0.9490-1.6050 0.4537-0.477 - -1-3.0704 0.649-0.4057 - -1 -.4190 0.973 Uji Kecocoka Copula Uji kecocoka copula dilakuka melalui statistik Crame r-vo Mises (S ) seperti pada persamaa (3). Tabel 6 meujuka ilai S yag telah diperoleh. Copula yag dipilih adalah copula dega ilai S terkecil dibadigka dega copula laiya. Tabel 6. Statistik Crame`r-vo Mises (S ) Kel. Clayto Gumbel AMH Frak Plackett 1 0.193 0.1988 0.15755 0.19540 0.1975 0.0816-0.0896 0.080 0.08196 3 0.34164-0.397 0.39166 0.37335 4 0.10930-0.08573 0.1097 0.1079 Setelah diperoleh ilai S utuk setiap kelompok, dilakuka uji hipotesis megguaka parametric bootstrap. Melalui simulasi parametric bootstrap aka diperoleh 1000 ilai statistik uji S utuk kecocoka distribusi setiap kelompok seperti pada histogram Gambar 13 sampai Gambar 16. 61
O. R. Kristyaigrum, A. Setiawa, L. S. Sasogko Gambar 13. Histogram S (1000 ilai) Kelompok 1 Copula Clayto Distribusi Margial Normal-Normal Gambar 14. Histogram S (1000 ilai) Kelompok Copula Ali-Mikhail-Haq Distribusi Margial Logormal-Weibull Gambar 15. Histogram S (1000 ilai) Kelompok 3 Copula Ali-Mikhail-Haq Distribusi Margial Gamma-Weibull Gambar 16. Histogram S (1000 ilai) Kelompok 4 Copula Ali-Mikhail-Haq Distribusi Margial Weibull-Gamma Setelah melakuka simulasi, lagkah selajutya adalah megulagi simulasi sebayak 1000 kali. Tabel IV.13 meujukka bayakya H0 yag diterima, rata-rata p-value da stadar deviasi p-value setelah dilakuka pegulaga sebayak 1000 kali. Terlihat bahwa semaki besar ilai S membawa kesimpula ditolakya H 0. H 0 ditolak apabila p-value kurag dari ilai sigifikasi tertetu (0.1, 0.05 atau 0.001). Tabel 7. Hasil Simulasi 100 Kali Parametric Bootstrap Kel. Clayto Gumbel AMH Frak Plackett H0 acc 100 100 100 100 100 1 p value 0.1337 0.3868 0.0886 0.437 0.14 Sd p value 0.01 0.0139 0.0088 0.014 0.0139 H0 acc 0-4 0 0 p value 0.0001-0.0377 0.019 0.0139 Sd p value 0.0004-0.0064 0.0039 0.0040 H0 acc 0-0 0 0 3 p value 0.0009-0.0073 1e-05 9e-05 Sd p value 0.0010-0.008 1e-04 0.0004 H0 acc 99-100 8 7 4 p value 0.0687-0.81 0.0569 0.0389 Sd p value 0.008-0.0139 0.0076 0.006 Setelah dilakuka pegulaga simulasi terlihat bahwa utuk tigkat sigifikasi 0.05 (5%) pada copula terpilih (p-value terbesar) memberika kesimpula yag sama utuk kelompok 1 da kelompok 4. Sedagka utuk kelompok da kelompok 3 uji kecocoka ditolak yag berarti tidak ada copula yag cocok utuk meggambarka distribusi pada kelompok da kelompok 3. 4. Kesimpula Peelitia ii mempelajari bagaimaa megelompoka data laju kujuga da rasio rujuka dari faskes tigkat I BPJS Kesehata da kemudia megaalisis hubuga atar data 6
ANALISIS PENGELOMPOKAN K-MEANS.. pada setiap klaster yag telah terbetuk. Beberapa hal yag dapat ditarik mejadi kesimpula pada peelitia ii atara lai : 1. Melalui metode K-Meas Clusterig diperoleh kelompok-kelompok faskes tigkat I yag dapat dilihat pada Gambar 8 dimaa: kelompok 1 meujukka faskes dega laju kujuga redah da rasio rujuka juga redah, kelompok meujukka faskes dega laju kujuga tiggi da rasio rujuka redah, kelompok 3 meujukka faskes dega laju kujuga redah da rasio rujuka tiggi, kelompok 4 meujukka faskes dega laju kujuga redah da rasio rujuka sedag.. Hubuga atar laju kujuga da rasio rujuka setiap kelompok diyataka oleh Kedall s tau da Spearma rho pada Tabel 4 dimaa setiap kelompok memiliki ukura keterhubuga yag berbeda, dari: kelompok 1 memiliki ukura keterhubuga yag positif da diperoleh copula gumbel dega margial Normal-Normal, kelompok memiliki ukura keterhubuga yag egatif da tidak diperoleh copula yag cocok dega margial Logormal-Weibull, kelompok 3 memiliki ukura keterhubuga yag egatif da tidak diperoleh copula yag cocok dega margial Gamma-Weibull, kelompok 4 memiliki ukura keterhubuga yag egatif da diperoleh copula AMH dega margial Weibull-Gamma. 5. Daftar Pustaka [1] W. M. P. Dhuhita, Clusterig dega metode k-meas utuk meetuka status gizi balita Jural Iformatika, Vol. 15, No, Desember 016. [] T. P. Lesussa, Aalisis klaster Ideks Pembagua Mausia tahu 004-010 provisi Maluku Utara megguaka aalisis klaster k-meas, Skripsi, Fakultas Ilmu Alam da Tekologi Rekayasa Uiversitas Halmahera, Tobelo, 013. [3] Darwis Aalisis Hubuga da Prediksi Ideks Harga Saham Gabuga dega Faktor Makroekoomi Melalui Pedekata Copula, Disertasi, Sekolah Pascasarjaa Istitut Pertaia Bogor, Bogor, 016. [4] L. R. Sasogko, Copula utuk Memodelka Kegagala Dua Dimesi pada Produk Bergarasi dega Strategi Peggatia, M.Si. tesis, Program Pascasarjaa Magister Aktuaria, Istitut Tekologi Badug, Badug, 014. [5] R. B. Nelse, A Itroductio to Copulas, New York: Spriger Series i Statistics, USA, 006. [6] C. Geest, B. Remillard, da D. Beaudoi, Goodess-of-fit Tests for Copulas: a review ad a power study, Isurace : Mathematics ad Ecoomics, 44, 199-14, 009. [7] D. B. Nugroho, Metode Numerik, upublished. 63
O. R. Kristyaigrum, A. Setiawa, L. S. Sasogko Lampira 1. Fugsi Distribusi Uivariat Pada bagia ii diberika fugsi distribusi uivariat yag diguaka da dituliska dalam paper ii. Misalka X adalah peubah acak kotiu dega fugsi distribusi F X. 1. Normal, ~ N, X. F X. Logormal, ~ Logormal, X. 1 x 1 exp x 1 x 1 F X exp x 3. Weibull dua parameter, ~ Weibull, 4. Gamma, X ~ Gamma, X. t t dt, dt, x 0, x F X 1 exp, x 0, F X X, x 0, x 0, 64