PEMODELAN COPULA: STUDI BANDING KUANTIFIKASI AUTOKORELASI

Transkripsi

1 PEMODELAN COPULA: STUDI BANDING KUANTIFIKASI AUTOKORELASI Fachrur Rozi Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri (UIN) Maulaa Malik Ibrahim Malag Abstrak Dalam tulisa ii aka dijelaska beberapa metode kuatifikasi depedesi atara dua variabel acak (bivariat) da perbadiga atara metode kuatifikasi depedesi tersebut. Selai itu aka diperkealka teori copula dalam kaitaya dega kuatifikasi depedesi pada data time series, yag biasa disebut autokorelasi, khususya kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau melalui copula. Kata kuci: autokorelasi, copula, kedall s tau.. Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari, serig kita dipertemuka dega feomea hubuga atara beberapa karakteristik yag diduga mempuyai keterkaita atara karakteristik yag satu dega karakteristik yag lai. Dalam ilmu statistika keterkaita ii serig disebut depedesi (keterhubuga) atara variabel yag satu dega variabel yag lai. Jogdeo (98) megataka: Hubuga ketergatuga (depedesi) atara beberapa variabel acak adalah salah satu persoala yag sagat bayak dipelajari dalam ilmu probabilitas da statistika..... Dalam tulisa ii aka dijelaska beberapa metode kuatifikasi depedesi atara dua variabel acak da perbadiga atara metode kuatifikasi depedesi tersebut. Salah satu hal yag bisa dikataka baru adalah memperkealka teori copula kaitaya dega depedesi atara dua variabel acak, khususya depedesi pada data time series, yag biasa disebut autokorelasi. Dalam hal ii copula hadir sebagai perluasa metode dalam memodelka depedesi atar variabel acak, copula akhir-akhir ii bayak dikembagka dalam bidag biostatistika, ilmu aktuaria, da keuaga. Pembahasa pada tulisa ii haya dilakuka dilakuka utuk depedesi atara dua variabel, khususya pada kasus depedesi data time series, yag biasa disebut autokorelasi lag-,. Dega demikia, teori-teori yag dijelaska lebih ditekaka pada depedesi atara dua variabel (bivariat). Dalam membadigka kuatifikasi depedesi dilakuka dega membadigka hasil simulasi dari kuatifikasi depedesi yag yag diperoleh.. Copula da Sifat-sifatya Pada bagia ii, aka dijelaska megeai defiisi copula da sifat-sifat dasarya sebagai teori dasar yag aka diguaka dalam pembahasa selajutya. Defiisi. Copula dua dimesi (-copula) adalah fugsi sifat-sifat: a. Utuk setiap u = ( x, y) t I, maka berlaku Cx (,0) = 0 = C(0, y) da Cx (,) C: I I yag memeuhi = x; C(, y) = y. (.) 38

2 Pemodela Copula: Studi Badig Kuatifikasi Autokorelasi t t b. Utuk setiap u = ( x, y), v = ( x, y) I sedemikia sehigga u v, maka berlaku Cx (, y) Cx (, y) Cx (, y) + Cx (, y) 0. (.) Himpua dari semua copula dua dimesi didefiisika sebagai C. Megigat, Cuv (, ) = Cuv (, ) Cu (,0) C(0, v) + C(0,0) (.3) = VC ([ 0, u] [ 0, v] ) maka hal ii aka meujukka bahwa Cuv (, ) sebagai pegaita suatu bilaga di I 0, u 0, v. terhadap persegi pajag [ ] [ ].. Copula da Variabel Acak Teorema. (Teorema Sklar) Misalka H adalah fugsi distribusi gabuga dari variable X da Y, dega F da G masig-masig adalah fugsi distribusi margial dari X da Y. Maka terdapat sebuah copula C sedemikia sehigga utuk setiap x, y R berlaku H ( xy, ) = CFx ( ( ), Gy ( )) = Cuv (, ), (.4) dega u = F( x) da v= G( y). Jika F da G kotiu, maka copula C tuggal, jika F da G tidak kotiu, maka copula C tuggal pada Rage( F) Rage( G). Sebalikya, misalka C adalah sebuah copula, F da G masig-masig adalah fugsi distribusi margial dari X da Y. Maka terdapat fugsi distribusi gabuga H sedemikia sehigga utuk setiap x, y R berlaku H ( xy, ) = CFx ( ( ), Gy ( )) = Cuv (, ). Sebagai kosekuesi dari teorema Sklar, jika X da Y adalah variabel acak dega fugsi distribusi gabuga H da mempuyai fugsi distribusi margial masig-masig adalah F da G, maka utuk setiap x, y R berlaku max F( x) + G( y),0 H( x, y) mi F( x), G( y). (.5).. Copula Empiris ( ) ( ) Defiisi. Misalka {( x, y )} = k k adalah sampel berukura dari distribusi bivariat k yag kotiu. Copula empiris adalah fugsi C yag didefiisika sebagai i j bayakya pasaga data ( x, y) dalam sampel sehigga x x() i da y y( j) C, = di maa x () i da y ( j), i, j, adalah statistik uruta dari sampel. Copula frekuesi empiris adalah fugsi c yag didefiisika sebagai c ( ) {( )} ( i) ( j) k k k = i j /, jika x, y adalah eleme dari x, y,, = (.6) 0, laiya. Ilustrasi: Misalka diberika sampel acak {( xk, yk)} k N dari variabel acak ( XY, ), TABEL. Data Sampel Acak K X Y Volume No. November

3 Fachrur Rozi i j Berdasarka defiisi, maka grafik dari copula frekuesi empiris c, i j C,, i, j =,,...,6 dari variabel X da Y adalah: da (a) (b) i j GAMBAR. (a) Grafik copula frekuesi empiris c, ; (b) Grafik copula frekuesi i j empiris C, 3. Depedesi Autokorelasi Berdasarka pembatasa masalah pada pedahulua, pembahasa aka difokuska dalam mempelajari perbadiga kuatifikasi depedesi dalam data deret waktu (time series), yag biasaya disebut dega istilah autokorelasi, da lebih khusus lagi utuk kuatifikasi autokorelasi lag-. Betuk klasik yag umum diguaka dalam kuatifikasi autokorelasi ii adalah koefisie autokorelasi dari fugsi autokorelasi (Autocorrelatio Coefficiet Fuctio/ACF). Betuk kuatifikasi depedesi yag lai adalah betuk moder yag megguaka kosep kokorda, yag salah satuya kuatifikasi autokorelasi dega pedekata copula. 3.. Autokorelasi Suatu himpua hasil pegamata yag dilakuka berdasarka uruta waktu, biasa disebut time series. Data time series yag dibahas dalam tulisa ii adalah berkaita dega data time series diskrit. Adapu suatu feomea statistika yag berkembag dalam kaitaya dega rututa waktu yag sesuai dega atura probabilistik di sebut proses stokastik. Jadi aalisa dari time series, diaggap sebagai realisasi dari proses stokastik. Salah satu proses yag khusus dalam proses stokastik, disebut proses stasioer (Box & Jekis, 976). Defiisi 3. Misalka Z = ( Zt) t T adalah proses stokastik pada ruag probabilistik ( Ω, F, P). Maka X dikataka stasioer kuat, jika utuk setiap m N, { t, t,..., t m } T da setiap h > 0 dega { t+ h, t + h,..., t m + h} T, kita puya ( t + h,..., t + h m) ( t,..., t m) P Z < z Z < z = P Z < z Z < z (3.) m utuk setiap z, z,..., zm R. Jika m =, asumsi kestasioera berakibat bahwa fugsi distribusi peluag f ( z t ) adalah sama utuk setiap t T, da cukup meuliska f ( z ). Oleh karea itu proses stasioer mempuyai mea kosta: μ= E[ Z ] = E[ Z] = Zf( z). dz (3.) t m 40 Volume No. November 009

4 Pemodela Copula: Studi Badig Kuatifikasi Autokorelasi da variasi kosta: σ z = E ( Zt μ ) = E ( Z μ ) = ( Z μ) f( z) dz. (3.3) Dalam praktek, mea da variasi dari proses statioer ditaksir dega N μ= ˆ z = zt (3.4) N t = da N σ ˆ ( ) z = zt z (3.5) N t = di maa z, z,..., z N adalah pegamata/sampel time series. Asumsi kestasioera juga berakibat bahwa fugsi distribusi peluag gabuga f ( zt, z ) t adalah sama utuk setiap t, t yag maa merupaka iterval kosta yag terpisah. Sehigga, karakteristik distribusi gabuga ii dapat diduga dega memplot diagram pecar dari data pasaga ( zt, z ) (, ) t = z t z t + k yag merupaka bagia dari data time series yag dipisahka oleh iterval kosta atau lag k..5. z i z i.. GAMBAR. Cotoh diagram pecar utuk data time series dega lag- Dalam hal ii kita dapat berbicara megeai kovariasi dari z t da z t+ k, yag dipisahka oleh k iterval waktu diskrit, yag disebut autokovariasi pada lag k yag didefiisika oleh: γ k = cov [ Zt, Zt+ k] = E ( Zt μ)( Zt+ k μ) (3.6) Sehigga, dari defiisi autokovariasi, kita bisa defiisika kuatifikasi autokorelasi pada lag k, didefiisika oleh: E ( Zt μ)( Zt+ k μ) ρ k = E ( Zt ) E ( Zt+ k ) μ μ (3.7) E ( Zt μ)( Zt+ k μ) = σz Dalam praktek, kuatifikasi autokorelasi di atas ditaksir oleh: ρ ˆ = k k t= ( z z)( z z) t t= ( z z) t Volume No. November t+ k (3.8)

5 Fachrur Rozi Betuk terakhir pada persamaa (3.8) merupaka betuk klasik dari depedesi time series yag disebut koefisie autokorelasi (Autocorrelatio Fuctio). 3.. Kedall s Tau da Copula Pada bagia ii aka dijelaska betuk kuatifikasi depedesi lai selai koefisie autokorelasi, salah satuya adalah statistik Kedall s τ, yaitu kuatifikasi depedesi yag didasarka atas data ragkig. Defiisi 4. Misalka ( X, Y ) da ( X, Y ) dua vektor acak yag idepede da berdistribusi idetik pada ruag peluag ( Ω, AP, ). Kedall s τ didefiisika sebagai. τ τ XY. = P( ( X X)( Y Y) > 0 ) P( ( X X)( Y Y) < 0) (3.9) Selajutya kita meyebut betuk di atas adalah defiisi Kedall s τ utuk populasi. Jadi, Kedall s τ adalah perbedaa atara peluag dari kokorda da peluag dari diskorda. Dalam praktekya, kita dapat medefiisika ukura depedesi Kedall s τ ( x, y ),...,( x, y ), adalah sampel berukura berdasarka sampel. Misalka { } dari vaktor acak kotiu (, ) XY. Setiap pasag sampel {( i, i),( j, j) } x y x y, i, j {,..., }, i j merupaka suatu diskorda atau kokorda. Maka jelas terdapat pasaga berbeda dari sampel yag ada. Misalka K meyataka bayakya pasaga kokorda, da D meyataka bayakya pasaga diskorda. Maka Kedall s τ utuk sampel didefiisika mejadi K D K D τ= ˆ = (3.0) K + D Dega defiisi Kedall s τ di atas, kita dapat meujukka bahwa copula mempuyai hubuga dega Kedall s τ, utuk meujukka hubuga tersebut, sebelumya perlu didefiisika terlebih dahulu suatu fugsi kokorda Q, yag meyataka perbedaa peluag dari kokorda da peluag diskorda atara dua vektor ( X, Y ) da ( X, Y ) dari variabel acak kotiu dega fugsi distribusi gabuga (yag mugki) berbeda H da H, tetapi dega fugsi distribusi margial yag sama F da G. Kemudia aka ditujukka bahwa fugsi kokorda ii bergatug pada distribusi dari ( X, Y ) da ( X, Y ) melalui copula mereka. Teorema. Misalka ( X, Y ) da ( X, Y ) adalah dua vektor radom dega fugsi distribusi gabuga masig-masig H da H, di maa Xi ~ F da Yi ~ G, i =,. Lebih lajut, misalka C da C meyataka copula dari ( X, Y ) da ( X, Y ), sedemikia sehigga H( xy, ) = C( Fx ( ), Gy ( )) da H( xy, ) = C( Fx ( ), Gy ( )). Jika Q meyataka perbedaa atara peluag dari kokorda da peluag diskorda dari ( X, Y ) da ( X, Y ), yag didefiisika sebagai Q= P( ( X X)( Y Y) > 0 ) P( ( X X)( Y Y) < 0), (3.) maka kita peroleh: Q= Q( C, C) = 4. C( u, v) dc( u, v). (3.) I 4 Volume No. November 009

6 Pemodela Copula: Studi Badig Kuatifikasi Autokorelasi Berdasarka defiisi fugsi kokorda pada teorema, maka kita dapat medefiisika Kedall s τ utuk X da Y melalui copula dega teorema berikut (Nelse, 999): Teorema 3. Misalka X da Y variabel acak kotiu dega copula C. Maka Kedall s τ utuk X da Y diberika oleh τxy. τ C = QCC (, ) = 4. CuvdCuv (, ) (, ). (3.0) I Perhatika bahwa betuk itegral yag ada pada persamaa (3.0) dapat diiterpretasika sebagai ekspektasi dari fugsi CUV (, ), di maa U da V variabel acak yag berdistribusi U (0,), atau dega kata lai τ = 4. E C( U, V). (3.) C C [ ] Teorema 4. Misalka X da Y variabel acak kotiu dega fugsi distribusi gabuga H, da misalka y' x' T= hxyhx (, ) ( ', y') hxy (, ') hxy (, ') dxdydxdy ' ' [ ]. (3.) Maka Kedall s τ utuk X da Y diberika oleh τ. = T. Berdasarka defiisi copula empiris, da dega memperhatika kembali defiisi Kedall s τ utuk populasi utuk suatu variabel acak kotiu X da Y dega copula C seperti pada persamaa 3. dega modifikasi yaitu v' u' τ = c( u, v) c( u ', v') c( u ', v) c( u, v ') dudvdu ' dv ' [ ] 0 0 0, (3.3) 0 Maka teorema berikut (Nelse, 999) aka mejelaska betuk turua koefisie Kedall s τ utuk sampel. Teorema 5. Misalka C da c masig-masig adalah fugsi copula empirik da. Jika t adalah koefisie = Kedall s τ utuk sampel, maka i j i j p j i q p q t = c, c, c, c, i= j= p= q=. (3.4) 3.3. Kedall s Tau utuk Autokorelasi fugsi frekuesi copula empirik utuk sampel {( xk, yk) } k Pada subbab ii, aka dijelaska pedekata Kedall s τ utuk kuatifikasi autokorelasi dari data time series, da dikhususka utuk autokorelasi lag- (first-order serial depedece). Misalka diberika barisa variabel acak X, X,..., X, 3 yag merupaka data time series da R, R,..., R adalah barisa rakig yag bersesuaia dega barisa variabel acak, maka ukura autokorelasi lag- secara khusus didasarka pada data pasaga ( R, R),( R, R3),...,( R, R), (3.5) da mugki meambah dega ( R, R ), dalam kasus barisa variabel acak tersebut bersiklus. Misalka diberika barisa variabel acak X, X,..., X, 3 yag bersesuaia dega barisa rakig R, R,..., R dari barisa acak. Maka kuatifikasi Kedall s τ utuk autokorelasi lag- utuk kasus barisa bersiklus dapat didefiisika sebagai: 4D τ = N =, (3.6).( ) Volume No. November XY

7 Fachrur Rozi di maa D meyataka bayakya diskorda, atau { ( i j, i+ j+ ) ( i j, i+ j+ ) } D= I R < R R > R + I R > R R < R i= j= i+ ( I( Ri Rj, Ri+ Rj+ ) ) = < > i= j= (3.7) di maa I ( A ) meyataka fugsi idikator dari himpua A. Utuk kasus barisa yag tidak bersiklus, dega mesubstitusika - utuk pada persamaa (3.6) da (3.7) Pegujia Keberartia Autokorelasi Setelah melakuka kuatifikasi autorkorelasi, utuk dapat membadigka hasil yag telah diperoleh dari masig-masig ukura depedesi yag telah dijelaska pada subbab sebelumya, perlu dilakuka pegujia keberartia depedesi dari masigmasig ukura depedesi, artiya hasil kuatifikasi autokorelasi harus diuji keberartiaya Pegujia utuk Koefisie Autokorelasi Klasik Misalka Z = ( Z, Z,..., Z), N adalah proses statioer dega waktu diskrit berukura, da ˆρ adalah taksira utuk koefisie autokorelasi lag-, maka Arcaa (005) megataka bahwa pada tigkat keberartia α pada tigkat keberartia α, ilai ˆρ dikataka berarti utuk pegujia dua arah jika Zα / ρ ˆ >, (3.8a) sedagka, utuk pegujia satu arah, jika Z α ρ ˆ > atau Zα ρ <, (3.8b) di maa Z α adalah suatu ilai sehigga PZ ( < ) =α dega Z ~ N (0,) Pegujia utuk Koefisie Autokorelasi Kedall s τ Misalka Z = ( Z, Z,..., Z), N adalah proses statioer dega waktu diskrit berukura, da τ ˆ adalah taksira Kedall s τ utuk koefisie autokorelasi lag-, maka Geest & Ferguse (999) medefiisika τˆ E[ τˆ] T =, (3.9) Var( τˆ ) di maa E[ τ ˆ ] = 0 adalah mea dari τ ˆ yag didefiisika, E [ τ ˆ ] = 3( ), 3, (3.30) utuk kasus proses stasioer yag bersiklus maupu tidak bersiklus. Da Var( τ ˆ) adalah variasi dari τ ˆ yag berbeda utuk kasus proses stasioer yag bersiklus da tidak bersiklus. Utuk kasus proses stasioer yag bersiklus Var( τ ˆ) = 0, utuk = 3, da Var( τ ˆ) =, utuk 4. (3.3) 45 ( ) Sedagka utuk kasus proses stasioer yag tidak bersiklus Var( τ ˆ) = 8/9, utuk = 3, da 44 Volume No. November 009 Z α

8 Pemodela Copula: Studi Badig Kuatifikasi Autokorelasi Var( τ ˆ) = 45( ) ( ), utuk 4. (3.3) Selajutya utuk pegujia keberartia ilai τ ˆ, Geest & Ferguse (999) megataka pada tigkat keberartia α, ilai τ ˆ dikataka berarti utuk pegujia dua arah, jika T > t α,, (3.33a) sedagka, utuk pegujia satu arah, jika T > t α, atau T < t α, (3.33b) di maa t α, adalah suatu ilai sehigga PT ( > t α, ) =α dega T ~ t. 4. Simulasi da Hasil Perbadiga Kuatifikasi Autokorelasi 4.. Desai Simulasi Simulasi ii dilakuka utuk membadigka hasil kuatifikasi autokorelasi klasik da kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau melalui copula empirik. Adapu desai dari simulasi yag dilakuka adalah membagu barisa data yag megikuti model proses stasioer, simulasi ii dilakuka utuk barisa data berukura = 0, 5, da 0. Cara membagu barisa data dalam simulasi ii adalah sebagai berikut: Misalka e i, i =,,..., adalah data yag dibagkitka secara acak dari distribusi ormal (0,), maka desai / ( ) e X = +θ da Xi = θ. Xi + ei, i =,..., (4.) di maa ilai θ disimulasika utuk beberapa ilai θ= (/ ) j, j =,,...,5 da θ= 0. Selajutya, kuatifikasi autokorelasi dari barisa data yag ada dilakuka dega metode yag telah dijelaska sebelumya. Percobaa ii lakuka sebayak 500 kali utuk setiap ukura, kemudia dilakuka pegujia keberartia autokorelasi berdasarka hipotesis ol yag meyataka bahwa tidak terdapat autokorelasi yag berarti pada barisa data simulasi. Perbadiga terhadap hasil kuatifikasi autokorelasi utuk masig-masig metode dilakuka dega meghitug prosetase peolaka hipotesis ol. Sehigga dalam simulasi ii diperluka data acak berdistribusi ormal (0,) sebayak 500 x 6 x (0+5+0) = data. 4.. Hasil Simulasi Setelah dilakuka simulasi berdasarka desai di atas, maka hasilya dapat dilihat pada tabel. Dari tabel tersebut, dapat dikataka secara keseluruha, jika ilai θ semaki medekati ol, maka prosetase peolaka hipotesis ol yag meyataka bahwa autokorelasi pada model proses stasioer cederug meuru. Dalam batas ilai θ yag diguaka dalam simulasi ii, perbadiga atara kuatifikasi autokorelasi klasik dega kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau, dapat dikataka megeai beberapa hal, yaitu:. Utuk ilai θ=,,, prosetase peolaka hipotesis ol berdasarka 4 8 kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau melalui copula lebih tiggi dibadig prosetase peolaka hipotesis ol berdasarka kuatifikasi autokorelasi klasik. Volume No. November

9 Fachrur Rozi. Sebalikya utuk ilai θ=,,0, prosetase peolaka hipotesis ol 6 3 berdasarka kuatifikasi autokorelasi klasik lebih tiggi dibadig prosetase peolaka hipotesis ol berdasarka kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau melalui copula. 3. Hal ii meujukka bahwa utuk ilai θ tertetu kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau melalui copula dikataka lebih baik dibadig dega kuatifikasi autokorelasi klasik, sedagka utuk θ yag medekati ol, kuatifikasi autokorelasi klasik dikataka lebih baik dibadig dega kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau melalui copula. TABEL. Prosetase Peolaka Hipotesis No pada Simulasi Pegujia Autokorelasi Statistic N Theta ½ ¼ /8 /6 /3 0 Autocorrelatio Fuctio 0 5.4% 3.0%.0% 0.8%.6% 0.% Kedall' Tau dg Copula 0.6% 8.4% 6.% 3.6% 3.4%.8% Autocorrelatio Fuctio 5 3.6%.8% 4.0% 4.0% 3.% 0.6% Kedall' Tau dg Copula % 8.4% 8.0% 7.% 6.6% 4.6% Autocorrelatio Fuctio % 5.4% 6.0% 3.% 4.0%.% Kedall' Tau dg Copula % 0.8% 0.6% 7.4% 5.6% 5.% 5. Kesimpula da Sara Berdasarka pejelasa teori da hasil simulasi yag dilakuka pada bagia sebelumya, peulis mecoba megambil beberapa kesimpula sebagai berikut:. Kedall s tau melalui copula adalah metode alteratif yag dapat diguaka dalam kuatifikasi depedesi atara dua variabel acak, lebih khusus dapat diguaka dalam kuatifikasi autokorelasi lag-.. Pada model Xi =θ. Xi + ei, i =,,,, utuk batas θ tertetu, kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau melalui copula dikataka lebih baik dibadig dega kuatifikasi autokorelasi klasik, sedagka utuk θ yag medekati ol, kuatifikasi autokorelasi klasik dikataka lebih baik dibadig dega kuatifikasi autokorelasi Kedall s tau melalui copula. 3. Utuk simulasi, perlu adaya peelitia lebih lajut megeai pemiliha model time series yag lai serta peetua batas ilai θ yag diguaka dalam model. 46 Volume No. November 009

10 Pemodela Copula: Studi Badig Kuatifikasi Autokorelasi Daftar Pustaka Arcaa, I Nyoma. (005), Batch Process, How to Measure a Process Capability with A Better Way: A Case Study at Soft Drik Factory, J. It. Cof. of App. Math. (ICAMs), Badug, Idoesia, pp 5-6. Box, G.E., da Jekis, G.M. (976), Time Series Aalysis: Forecastig ad Cotrol, Holde Day, Sa Fracisco, pp 3-8. Geest, C., da Ferguse, T., (999), Kedall s Tau for Autocorrelatio, Departemet of Statistics Papers of Uiversity of Califoria, Los Ageles, pp -9,,. Jogde, K., (98), Cocepts of Depedece, i Ecyclopedia of Statistical Scieces, Vol., S. Kotz da N.L, Johso, editor, Joh Wiley & Sos, New York. Nelse, B. Roger, (999), A Itroductio to Copula, Spiger-Verlag, New York. Schmitz, V., (003), Copulas ad Stochastic Processes, Disertasi Program Doktor, Shaker Verlag, Aache. Volume No. November