La Ode Mammd Umar Re Ramad R//Paradgma Vol. 5 No. Otober 0 lm. 33-47 33 MENYELESAIKAN MASALAH SYARAT BATAS PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON D La Ode Mammad Umar Re Ramad R Jrsan Matemata FMIPA Unverstas Haloleo Kendar 933 Emal: marr3@aoo.com ABSTRAK Termotvas dar sltna menelesaan masala sarat batas persamaan Posson secara nmer maa pada tlsan n dberan beberapa sema nt menelesaaan persamaan dfferensal Posson da dmens dengan sarat batas Nemann Robn dan Drclet pada grd artess dengan doman berbent segempat. Sema-sema tersebt dbangn e dalam sema persamaan Posson berdasaran metode beda ngga dan metode Sccessve Over Relaaton (SOR. Cara n ternata berasl dterapan pada seba conto selntna domentar pla masala eonvergenan dan aras asl nmer tersebt. Kata-ata Knc : Sarat Batas Persamaan Dfferensal Posson Metode Beda Hngga Metode Scessve Over Relaatn (SOR ABSTRACT Motvated b te dffclt n solvng nmercall te bondar condton problems of Posson dfferental eqaton we present some scemes for solvng a two dmensonal Posson dfferental eqaton wt Nemann Robn and Drclet bondar condtons on a Cartesan grd wt rectaglar doman bondares. Tese scemes were developed n te posson eqaton scemes based on te fnte dfference metod and Sccesve Over Relaaton (SOR metod. Te proposed metod was sccessfll mplemented on an eample for wc we present and dscss te convergence and accrac of te nmercal reslt. Kewords: Bondar Condton Posson dfferental eqaton Fnte Dfference Metod Sccesve Over Relaaton (SOR Dterma: 5 Jn 0 Dset nt dpblasan: 0 Agsts 0
Menelesaan Masala Sarat Batas Persamaan Dfferensal Posson D 34. PENDAHULUAN Persamaan dfferensal Posson mempna aplas ang las pada bdang reaasa. Persamaan dfferensal n dapat dmpa pada masala eletrostat dnama fldapegas onds panas masala ar tana dan lan-lan []. Pendeatan persamaan dfferensal Posson dan Laplace D menggnaan metode beda ngga mengaslan sstem persamaan lner ang berran besar tetap mempna strtr teratr dan elemenna ebanaan nol sengga penelesaan sstm persamaan lner tersebt serng dpl metode teras []. Metode teras mempna erangan at proses teras dapat tda onvergen metode teras mengaslan proses teras ang onvergen a dan ana a nla egen ang mempna nla mtla terbesar (spectral rads dar matrs tersna bernla rang dar []. Menelesaaan persamaan dfferensal menggnaan metode Metode Beda Hngga (Fnte Dfference Metods mmna menem esltan pada cara memperole sema nmer pada batas-batas doman sesa sarat batas ang dberan. Ole arena t pentng nt menga bagamana menelesaan masala sarat batas persamaan dfferensal Posson D dengan berbaga tpe sarat batasna.. PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON DAN TIPE SYARAT BATAS Bent persamaan dfferensal (PD Posson D adala ( ( f(. Bent mm sarat batas (tpe Robn adala PQ n G dengan n adala vetor normal satan (vetor tega lrs pada rva batas P dan Q adala blangan onstan ang tda bernla nol secara serenta. Sarat batas Drclet dperole a Q0 sedangan a P0 dperole sarat batas bertpe Nemann. [3]
La Ode Mammd Umar Re Ramad R//Paradgma Vol. 5 No. Otober 0 lm. 33-47 35 3. SKEMA BEDA HINGGA PADA TITIK DALAM DOMAIN (TITIK INTERIOR Dberan persamaan dfferensal Posson D ( ( ( f ( dengan doman { } q p Ω 0 0 (. Batas-batas doman dapat bertpe Drclet Nemann ata Robn. Penelesaan persamaan ( dengan metode beda ngga dmla dengan memparts doman sepert pada Gambar. [4] Persamaan ( selantna dtls menad f ( (. ( Ja dgnaan rms pendeatan ( Gambar. Doman dan partsna
Menelesaan Masala Sarat Batas Persamaan Dfferensal Posson D 36 dan ( maa persamaan ( dapat ddeat dengan sema f ata. f (3 3...I-; 3...J-. 4. SKEMA BEDA HINGGA PADA BATAS DOMAIN Persamaan (3 merpaan sema nt mencar pada tt-tt grd ang terleta pada bagan dalam doman ad berndes 3...I- 3...J-. Adapn nt tttt grd ang terleta pada batas doman dalam al n dengan sala sat ata eda ndesna adala I J dbtan modfas persamaan (3 sesa sarat batas ang dberan (Robn ata Nemann. Pada batas bertpe Drclet nla tela deta sengga tda dbtan sema nmer nt mencar nla pada batas tersebt. [5] Pada sdt batas ang dbent ole da batas bertpe Drclet nla dasmsan sama dengan nla rata-ratana. Ja sdt batas dbent ole batas bertpe Drclet dan batas lanna bertpe Robn ata Nemann maa nla pada sdt batas tersebt dasmsan mengt nla dar batas Drclet. Nla-nla pada batas bertpe Robn ata Nemann belm deta ole arena t dbtan sema nmer nt mencar nla pada batas-batas tersebt.
La Ode Mammd Umar Re Ramad R//Paradgma Vol. 5 No. Otober 0 lm. 33-47 37 Deta bent mm sarat batas merpaan tpe Robn at P ( Q ( n G dengan n adala vetor ara normal satan (vetor satan ang tega lrs pada rva batas. Y n n n n Doman n n n n X Gambar Vetor normal satan Ja sat batas tda bertpe Drclet ( Q 0 maa bent mm sarat batas (Tpe Robn tersebt dapat dnataan sebaga ( n α ( β (4 dengan α P / Q β G / Q. Ja α 0 maa persamaan (4 menad sarat batas bertpe Nemann. Sema nmer nt mencar nla pada sat batas bertpe Robn ata Nemann pada prnspna adala modfas persamaan (3 sesa sarat batasna
Menelesaan Masala Sarat Batas Persamaan Dfferensal Posson D 38 sengga sema tersebt tda menggnaan tt-tt dlar doman. Hal n aan dcontoan pada bagan bert. Msalan doman pada Gambar 3 dengan batas batas r doman bertpe Robn ( α 3 ( β 0 0 q (5 3 dengan α 3 β 3 blangan onstan. Y q α β α 3 β 3 α 4 β 4 0 P α β X Gambar 3. Doman dengan sarat batas Robn ata Nemann Persamaan (5 dapat dtls menad Ja dgnaan rms pendeatan α 3 β... J. (6 ( 3 ( maa persamaan (6 dapat ddeat dengan sema
La Ode Mammd Umar Re Ramad R//Paradgma Vol. 5 No. Otober 0 lm. 33-47 39 3 α β 3 ; ;...J. (7 Ja dgnaan pada sema PD Posson (3 dan persamaan (7 maa aan dmpa 0 dengan...j. Sedangan deta bawa ndes terecl nt adala n berart langsng. 0 adala tt-tt ftf. Ole arena t 0 tda dapat dgnaan secara Persamaan (3 nt dperole Persamaan (7 nt dperole ata 0. f (8 0 α β 3 0 β 3 α 3 3. (9 Persamaan (9 dsbstts pada persamaan (8 dperole β 3. α 3 f. (0
Menelesaan Masala Sarat Batas Persamaan Dfferensal Posson D 40 Persamaan (0 merpaan sema nt mencar nt mencar dan ang membent sdt-sdt tersebt. Robnat 3... J-. Sedangan sema J belm dapat dtentan arena melbatan sarat batas lan Msalan doman pada Gambar 3 batas bagan atas doman ga dengan α β blangan onstan. Persamaan ( dapat dtls menad Ja dgnaan rms pendeatan bertpe ( α ( β 0 p q ( ( α β...i J. ( ( maa persamaan ( dapat ddeat dengan ata α β ;...I; J J J β α...i. (3 Sema PD Posson (3 nt J adala J J.J J f J J (4
La Ode Mammd Umar Re Ramad R//Paradgma Vol. 5 No. Otober 0 lm. 33-47 4 Deta ndes terbesar nt adala J. Ha n berart J 3...I adala tttt ang berada dlar doman (tt ftf. Unt mengndar penggnaan tt-ttftf tersebt maa persamaan (3 dsbstts e persamaan (4 dperole J J J.J β α f J (5 3...I-. Sema nt J dan I J ( pada tt sdt doman mas memerlan nformas tambaan dar sarat batas ss ang lan ang membent sdt-sdt tersebt. Deta doman pada Gambar 3 bawa batas r dan batas anan doman bertpe Robn maa sema pada sdt r atas ( dperole dengan mensbstts persamaan (9 dan (3 e persamaan (3 dperole J J J β 3.J β f J α 3 α. (6 Kss nt sdt batas ang dbent ole batas-batas Drclet nla pada sdt dasmsan sama dengan nla rata-ratana. Ja sdt batas dbent ole batas bertpe Drclet dan batas ang lanna bertpe Robn ata Nemann maa nla pada sdt tersebt dasmsan mengt nla dar batas bertpe Drclet. [4]. Setela sema sema beda ngga nt terseda maa nt ang belm deta nlana dberan sebarang nla awal msalan teras menggnaan sema SOR at ( ( 0 v v. ( ω.( selantna dlaan ω (7
Menelesaan Masala Sarat Batas Persamaan Dfferensal Posson D 4 dengan v nomor teras (v 3... adala dar sema tt grd pada bagan dalam doman (persamaan (3 dan sema batas Robn ata Nemann. Parameter SOR at ω dpl 0 < ω <.[5] 5. SIMULASI KOMPUTER Dberan persamaan dfferensal ( ( dengan doman Ω {( 0 0 } dan sarat batas (0 0 0 3 4. Gambar 4. Nla-nla pada doman
La Ode Mammd Umar Re Ramad R//Paradgma Vol. 5 No. Otober 0 lm. 33-47 43 Sols nmer bert n dperole dengan melaan teras menggnaan sema beda ngga nt tt nteror (persamaan (3 dan sema beda ngga nt batas doman menggnaan metode teras SOR (Sccesve Over Relaaton. Doman dparts sebana 3 plaan seara smb X (I33 dan 3 plaan seara smb Y (J33. Nlanla ang aan dcar sesa letana pada domandapat dlat pada Gambar 4. Gambar 5. Sols nmer. Gambar 6. Realtas sols nmer sesa letana pada doman.
Menelesaan Masala Sarat Batas Persamaan Dfferensal Posson D 44 Realtas sols nmer tersebt dapat dlat pada Gambar 6 dgnaan nt memperlatan bawa sols nmer ang dperole ternata sesa dengan sema nmer ang dgnaan. Sols nmer pada Gambar 5 dan Gambar 6 dperole dengan memparts doman sebana 3 plaan seara smb X (ad I33 lebar grd lebar doman/(i- /3 dan 3 plaan seara smb Y (ad J33 tngg grd tngg doman/(i- /3. Pada ass n fngs f0 ran grd sengga sema tt nteror pada persamaan (3 menad 4 (7 3...I-; 3...J-. Terlat pada Gambar 6 bawa nla-nla pada bagan dalam doman (tt nteror mengt sema persamaan (7 sedangan nla-nla pada masng-masng batas mengt sarat batas ang dberan. Seberapa besar aras dar asl nmer tersebt dapat dlat melal graf tentang error pada gambar bert. X Y Gambar 7. Graf error nmer.
La Ode Mammd Umar Re Ramad R//Paradgma Vol. 5 No. Otober 0 lm. 33-47 45 Besarna error terlat mendeat nol nla absolt error relatf terbesarna adala 9.8 0-4 terad pada oordnat 0.000 0.7875. Apabla nla absolt error relatf terbesar dar tap-tap teras dplot sesa nomor terasna maa dperole graf ang memperlatan bawa error fenomena bawa error ang seman ecl serng dengan menngatna mla teras. Terlat pada Gambar 8 bawa nla absolt error relatf terbesar dar tap-tap teras setela setar 0 teras mla mendeat nol. Error seman ecl a mla teras dperbana al n mengndasan bawa proses teras berasl onvergen. Gambar 8. Error man ecl serng menngatna mla teras 6. KESIMPULAN Kesmplan dar cara menelesaan masala sarat batas persamaan dfferensal Posson D pada tlsan adala sebaga bert
Menelesaan Masala Sarat Batas Persamaan Dfferensal Posson D 46 Ja batas doman bertpe Drclet maa tda dperlan sema beda ngga pada batas tersebt arena nlana tela deta. Pada batas doman bertpe Nemann ata Robn dperlan sema beda ngga ang merpaan modfas sema beda ngga tt nteror (tt bagan dalam doman sesa leta batas tersebt sedeman sengga sema beda ngga nt batas tersebt tda melbatan tt-tt dlar doman. Pada tt batas doman ang dbent ole ss bertpe Drclet dan ss lanna ban bertpe Drclet maa nla pada tt tersebt mengt tt Drclet. Pada tt batas doman ang dbent ole ss bertpe Drclet dan ss lanna ga bertpe Drclet maa nla pada tt tersebt mengt rata-ratana. Pada tt batas doman ang dbent ole ss bertpe selan Nemann ata Robn dan ss lanna ga bertpe Nemann ata Robn maa nla pada tt tersebt mengt sema nmer ang merpaan perpadan dar eda sema nmer sarat batas tersebt. DAFTAR PUSTAKA [] O brenjj.986 Advanced Pscal Oceanograpc Nmercal Modellng Redel pblsng compan Florda. [] NaamraS99 Appled Nmercal Metods wt Software Prentce- Hall-nc New Yor. [3] Bassarddn T. 994 Metode Beda Hngga nt Persamaan Dfferensal Ele Meda Komptndo Jaarta.
La Ode Mammd Umar Re Ramad R//Paradgma Vol. 5 No. Otober 0 lm. 33-47 47 [4] BaleW. 003 Te SOR algortm & ts Applcaton to Nmercal Solton of Elptc Partal Dfferental Eqaton Dbln Insttte of Tecnolog Ireland. [5] ConstantndesA 987Appled Nmercal Metods wt Personal Compter Graw-HllMc-Inc New Yor.