MATEMATIKA DASAR 1A Modul 2: Fungsi & Kurvana, dan Operasi pada Fungsi Tim Matematika TAHAP PERSIAPAN BERSAMA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA - LAMPUNG SELATAN 2018
PENDAHULUAN 1 Modul ini merupakan review materi ang telah dipelajari di tingkat SMA. Tujuanna adalah untuk memperdalam teori-teori ang menjadi dasar sebelum mempelajari Matematika Dasar (ilmu kalkulus). Pada modul ini akan dijelaskan mengenai Fungsi & Kurvana, dan Operasi pada Fungsi. Fungsi merupakan objek utama ang kita pelajari dalam Matematika Dasar. Fungsi ang dibahas dalam modul ini adalah fungsi bernilai riil. Fungsi inilah ang nantina akan kita observasi, mulai dari bagaimana nilai limitna disuatu titik, turunanna, serta integralna. Fungsi merupakan bentuk abstraksi matematika ang dapat kita representasikan dalam suatu kurva pada bidang (fungsi satu variabel), atau sebagai permukaan pada ruang (fungsi dua variabel). Alat ang kita gunakan untuk merepresentasikan fungsi tersebut merupakan sistem koordinat, dalam hal ini sistem koordinat kartesius (persegi panjang). Setelah mempelajari modul ini, diharapkan Mahasiswa dapat: 1. Menentukan nilai suatu fungsi. 2. Menggambarkan kurva suatu fungsi. 3. Menentukan Domain dan Range suatu fungsi. 4. Menentukan hasil operasi fungsi (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, serta komposisi fungsi) besarta Domain dan Rangena.
MATERI PERKULIAHAN 2 Fungsi & Grafikna Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan padanan ang menghubungkan tiap pada himpunan A, ang disebut daerah asal (Domain), tepat satu dengan pada himpunan B, ang disebut daerah lawan (Kodomain). Kumpulan anggota-anggota pada himpunan B ang mendapat pasangan dengan anggota pada himpunan A disebut daerah hasil (Range). Fungsi ang kita bahas dalam perkuliahan ini adalah fungsi f dari himpunan bilangan Riil ke himpunan bilangan Riil (f: R R). Sehingga pada kuliah ini, pengertian fungsi dapat juga diartikan untuk menatakan ketergantungan suatu besaran terhadap besaran lainna. Misal, volume suatu kubus bergantung pada panjang rusukna r, dengan persamaan V = r 3, sehingga dikatakan V fungsi dari r. Kecepatan v dari benda ang jatuh bebas pada medan gravitasi bumi bertambah seiring bertambahna waktu t sampai benda menentuh bumi, dikatakan v fungsi dari t. Secara umum, jika besaran bergantung pada besaran sehingga setiap nilai menentukan tepat satu nilai, maka dikatakan adalah fungsi dari. Sebagai contoh, persamaan = 2 + 1 mendefinisikan sebagai fungsi dari, sebab setiap nilai ang diberikan pada menentukan tepat satu nilai. Contoh lain, persamaan 2 2 = 3 tidak dapat mendefinisikan sebagai fungsi dari, sebab tidak setiap nilai ang diberikan pada menentukan tepat satu nilai. Misal = 0 kita dapat menentukan nilai ang berpadanan dengan mensubtitusikan = 0 ke dalam persamaan 2 2 = 3, sehingga didapatkan 2 2 (0) = 3 2 2 3 = 0 ( 3)( + 1) = 0 Dua bilangan ( 3) dan ( + 1) dikalikan sama dengan nol, maka salah satu haruslah sama dengan nol. Jadi 3 = 0 atau + 1 = 0 = 3 atau = 1 Kita dapatkan dua nilai, artina satu nilai aitu = 0, mempunai dua pasangan nilai, aitu = 3 dan = 1, perhatikan Gambar 2.1.
2 2 = 3 3 Gambar 2.1 Gambar 2.1 merupakan kurva dari persamaan 2 2 = 3. Dapat dilihat bahwa satu nilai tidak selalu mempunai pasangan tepat satu nilai ang berpadanan. Misal = 0 mempunai dua pasangan nilai ang berpadan aitu = 1 dan = 3, dan seterusna. Sehingga persamaan tersebut tidak mendefinisikan sebagai fungsi dari. Untuk mengetahui dengan mudah suatu persamaan dengan dua variabel dan bukan merupakan fungsi dari berdasarkan grafikna aitu dengan melakukan uji garis tegak. Buatlah suatu garis-garis tegak pada kurva, jika ada garis tegak ang memotong kurva lebih dari satu titik (mengartikan bahwa satu nilai mempunai pasangan tidak tepat satu nilai ), maka dapat kita simpulkan persamaan tersebut bukan fungsi dari. 3 5 + 2 = Gambar 2.2 Pada Gambar 2.2 terlihat bahwa, dari empat garis tegak ang dibentuk, ada garis ang memotong kurva di tiga titik (lebih dari satu titik), artina persamaan dari grafik tersebut bukan merupakan fungsi dari. Untuk menuliskan suatu fungsi dari kita dapat menggunakan notasi f(), kita gunakan huruf tunggal seperti f, g, F, dan seterusna untuk memberikan nama fungsina. Misal = f() dibaca adalah fungsi dari, dengan sebagai variabel bebas, dan sebagai variabel tak bebas, serta f adalah nama fungsina. Atau
misal V = g(r) dibaca V adalah fungsi dari r, dengan r sebagai variabel bebas, dan V sebagai variabel tak bebas, serta g adalah nama fungsina. Notasi f(a) dapat diartikan sebagai nilai fungsi f di = a. 4 Diberikan f() = 2 3 + 3 1, tentukan nilai dari f( 1), f(2), f( + 1). f( 1) = 2( 1) 3 + 3( 1) 1 = 2 3 1 = 6 f(2) = 2(2) 3 + 3(2) 1 = 16 + 6 1 = 21 f( + 1) = 2( + 1) 3 + 3( + 1) 1 Bahan Renungan: Apa perbedaan antara persamaan dengan fungsi? Daerah Asal (Domain) Suatu fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalna (Domain) diberikan. Jika terdapat fungsi = f(), maka Domain f dinotasikan sebagai D f, aitu himpunan nilai-nilai ang diperkenankan untuk variabel bebas, perhatikan Gambar 2.3. = f() R f f() Gambar 2.3 Dalam aplikasi, Domain suatu fungsi sering ditentukan oleh pertimbangkan fisis dan geometrik. Selain itu Domain fungsi dapat juga berupa Domain alami (natural), dan Domain ang ditentukan dengan pembatasan langsung. (Domain karena adana pertimbangan fisis dan geometrik) D f Perhatikan Gambar 2.4, bangun ang diperoleh dari bangun persegi dengan sisi 8 cm dipotong pada masing-masing sudut berbentuk persegi dengan sisi cm, dan
misalkan adalah luas lembaran karton ang tersisa (dalam cm 2 ), natakan luas lembaran karton ang tersisa sebagai fungsi dari. 5 8 cm Gambar 2.4 Luas lembaran karton ang tersisa merupakan luas karton sebelum dipotong dikurangi dengan luas keempat persegi dengan sisi cm, aitu = f() = 64 4 2 Ini merupakan fungsi dari ang didapatkan. Pada fungsi ini, karena menatakan panjang, maka tidak boleh negatif (pertimbangan fisis). Selain itu tidak boleh melibihi 4 (persaingan dengan potongan ang lainna). Jadi, haruslah diantara 0 dan 4, atau dapat kita tuliskan sebagai 0 4. Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, arti fisis dari menunjukkan bahwa, Domain fungsi = 64 4 2 adalah { 0 4}. Biasana fungsi dan Domainna dapat dituliskan secara berdampingan sebagai berikut f() = 64 4 2, 0 4 atau f() = 64 4 2, { 0 4, bilangan riil} Selain Domain karena alasan fisis, terdapat Domain ang muncul secara murni karena persamaanna bukan karena persoalan fisis dan geometrik, biasa disebut sebagai Domain natural (Domain alami). (Domain Alami/Natural) Diberikan suatu fungsi f() = 1, tentukan Domain naturalna (+2)( 1) Fungsi f tidak terdefinisi atau tidak memberikan nilai riil jika = 2 atau = 1, karena nilai = 2 atau = 1 menebabkan penebut menjadi nol, sehingga f() tak terdefinisi. Dengan demikian, untuk semua nilai ang lainna, fungsi f terdefinisi dan mempunai nilai riil. Jadi Domain D f (Domain f) terdiri dari semua bilangan riil kecuali = 2 atau = 1.
Walaupun secara eksplisit dapat dinatakan rumus fungsi f beserta Domainna f() = 1, { 2 dan 1, bilangan riil} (+2)( 1) 6 dapat juga menuliskan rumus fungsi f saja. f() = 1 ( + 2)( 1) dengan asumsi bahwa pembatasan 2 dan 1 sudah jelas dari rumus fungsi tersebut. Secara umum dibuat kesepakatan, jika suatu fungsi ang daerah asalna tidak dirinci (disebutkan) secara eksplisit, kita selalu menganggap bahwa daerah asalna adalah himpunan bilangan riil terbesar sehinga aturan fungsi ada maknana atau memberikan nilai bilangan riil. Ini disebut daerah asal alami (Domain natural). Tentukan Domain natural dari f() = 2 Fungsi f tidak terdefinisi atau tidak memberikan nilai riil jika 2 < 0 atau < 2. Nilai < 2 menebabkan nilai dalam akar negatif, sehingga f() bernilai kompleks. Dengan demikian, untuk semua nilai 2, fungsi f terdefinisi dan mempunai nilai riil. Jadi Domain D f (Domain f) terdiri dari semua bilangan riil ang lebih besar atau sama dengan 0, dapat ditulis sebagai D f = { 2, bilangan riil} Daerah Hasil (Range) Jika adalah suatu bilangan pada Domain fungsi f, maka bilangan f() disebut sebagai nilai f di. Himpunan semua nilai f() disebut sebagai Range dari f, dapat dinotasikan sebagai R f. Jika = f(), maka Range f dapat dipandang sebagai himpunan semua nilai ang mungkin dari variabel tak bebas, perhatikan Gambar 2.3. Tentukan Range dari f() = 2 dengan 0 3 Untuk mendapatkan Range f, diperkenalkan variabel bebas = f(), sehingga = 2 Untuk nilai ang berubah-ubah pada Domain f, nilai ang bersesuaian dengan berubah-ubah pada interval [0, 9]. Interval ini merupakan Range dari f.
Contoh berikut mengilustrasikan suatu cara ang dapat digunakan sebagai bantuan dalam mendapatkan Range dari suatu fungsi. 7 Tentukan Range dari fungsi berikut f() = 1 + 2 Seperti pada contoh sebelumna, diperkenalkan variabel = f(), sehingga = 1 + 2 Himpunan ang mungkin dapat diperoleh dengan menatakan kedalam, aitu sebagai berikut = 1 + 2 ( + 2) = 1 + 2 = 1 = 2 1 ( 1) = 2 1 = 2 1 1 Dari persamaan terakhir dapat disimpulkan bahwa tidak boleh sama dengan 1. Sehingga Range dari f adalah semua bilangan riil kecuali 1, atau dapat ditulis sebagai R f = { 1, bilangan riil}. Kurva Fungsi Kita dapat membaangkan suatu fungsi dengan menggambarkan kurvana pada suatu bidang koordinat, dan kurva fungsi tersebut merupakan kurva persamaan = f(). Dalam hal ini, sebagai variabel bebas, dan sebagai variabel tak bebas. Pada bidang koordinat kartesius, variabel bebas digambarkan sebagai koordinat pada sumbu horisontal/mendatar, sedangkan variabel tak bebas digambarkan sebagai koordinat pada sumbu vertikal. Gambarkan kurva fungsi dari f() = 2 + 1 Kurva fungsi dari f() = 2 + 1 tidak lain merupakan kurva dari persamaan = f(), aitu = 2 + 1. Seperti ang sudah dijelaskan pada Sub Bab Grafik Persamaan, untuk menggambarkan kurva dari suatu persamaan, kita dapat menggunakan tiga
langkah berikut, pertama menentukan beberapa titik koordinat ang memenuhi persamaan, kemudian menggambarkan titik-titik koordinat tersebut pada bidang kartesius, dan terakhir menghubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. 8 = f() = 2 + 1 Titik Koordinat (, ) 2 5 ( 2, 5) 1.5 3.25 ( 1.5, 3.25) 1 2 ( 1, 2) 0.5 1.25 ( 0.5, 1.25) 0 1 (0, 1) 0.5 1.25 (0.5, 1.25) 1 2 (1, 2) 1.5 3.25 (1.5, 3.25) 2 5 (2, 5) f() = 2 + 1 Gambar 2.5 Grafik Fungsi f() = 2 + 1 Transformasi Fungsi Dasar Selain menggunakan cara diatas, kita juga dapat menggambarkan kurva suatu fungsi dengan menggunakan transformasi (pergeseran dan pencerminan) dari fungsi-fungsi dasar ang sudah diketahui. Berikut contoh beberapa kurva fungsi dasar.
f() = 2 f() = 3 f() = 9 Gambar 2.6 Pergeseran Vertikal Kurva dari = f() + a merupakan pergeseran vertikal dari kurva f(). Jika a lebih besar dari 0, maka kurva dari = f() + a merupakan kurva f() ang digeser ke atas sejauh a satuan. Jika a kurang dari 0, maka kurva dari = f() + a merupakan kurva f() ang digeser ke bawah sejauh a satuan. Gambarkan kurva dari g() = 2 + 1 dan h() = 2 1 Kurva dasar dari dari kedua fungsi tersebut adalah f() = 2, jadi g() = f() + 1, ang berarti bahwa kurva g() merupakan kurva dari f() ang digeser ke atas sejauh 1 satuan. Sedangkan h() = f() 1, ang berarti bahwa kurva dari h() merupakan kurva dari f() ang digeser ke bawah sejauh 1 satuan. Perhatikan Gambar 2.7. g() = 2 + 1 f() = 2 h() = 2 1 Gambar 2.7
Pergeseran Horisontal Kurva dari = f( c) merupakan pergeseran horisontal dari kurva f(). Jika c lebih besar dari 0, maka kurva dari = f( c) merupakan kurva f() ang digeser ke kanan sejauh c satuan. Jika c kurang dari 0, maka kurva dari = f( c) merupakan kurva f() ang digeser ke kiri sejauh c satuan. 10 Gambarkan kurva dari g() = ( 2) 2 dan h() = ( + 2) 2 Kurva dasar dari kedua fungsi tersebut adalah f() = 2, jadi g() = f( 2), ang berarti bahwa kurva g() merupakan kurva dari f() ang digeser ke kanan sejauh 2 satuan. Sedangkan h() = f( + 2) atau dapat ditulis sebagai h() = f( ( 2)), ang berarti bahwa kurva dari h() merupakan kurva dari f() ang digeser ke kiri sejauh 2 satuan. Perhatikan Gambar 2.8. g() = ( 2) 2 f() = 2 h() = ( + 2) 2 Pencerminan Gambar 2.8 Kurva dari = f() merupakan pencerminan dari kurva f() terhadap sumbu-.. Gambarkan kurva dari g() = dan Kurva dasar dari kedua fungsi tersebut adalah f() =, jadi g() = f(), ang berarti bahwa kurva g() merupakan pencerminan dari kurva f() terhadap sumbu-. Perhatikan Gambar 2.9.
11 g() = f() = Gambar 2.9 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Suatu fungsi f() dikatakan fungsi genap jika f( ) = f(), ini kaitanna dengan kesimetrian grafik fungsi tersebut. Jika suatu fungsi f() merupakan fungsi genap, maka grafik fungsi tersebut simetri terhadap sumbu-. Sedangkan suatu fungsi f() dikatakan fungsi ganjil jika f( ) = f(), ini kaitanna dengan kesimetrian grafik fungsi tersebut. Jika suatu fungsi f() merupakan fungsi ganjil, maka grafik fungsi tersebut simetri terhadap titik asal. 1. Tentukan apakah f() = 3 2 merupakan fungsi ganjil, genap, atau bukan keduana? f() = 3 2 f( ) = 3( ) 2 f( ) = 3 2 f( ) = f() Karena ternata f( ) = f() maka fungsi tersebut merupakan fungsi genap. Perhatian Gambar 2.10, dapat dilihat bahwa kurva dari f() = 3 2 simetri terhadap sumbu-. f() = 3 2 Gambar 2.10
2. Tentukan apakah f() = 3 merupakan fungsi ganjil, genap, atau bukan keduana? 12 f() = 3 f( ) = ( ) 3 f( ) = 3 f( ) = f() Karena ternata f( ) = f() maka fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil. Perhatian Gambar 2.11, dapat dilihat bahwa kurva dari f() = 3 simetri terhadap titik asal. f() = 3 Gambar 2.11 3. Tentukan apakah f() = 2 + 2 1 merupakan fungsi ganjil, genap, atau bukan keduana? f() = 2 + 2 1 f( ) = ( ) 2 + 2( ) 1 f( ) = 2 2 1 Karena ternata f( ) tidak dapat kita upaakan menjadi f() ataupun f(), maka fungsi tersebut bukan merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil. Perhatikan Gambar 2.12, dapat dilihat bahwa kurva dari f() = 2 + 2 1 tidak simetri terhadap titik asal maupun terhadap sumbu-. f() = 2 + 2 1 Gambar 2.12
Pengetahuan mengenai fungsi ganjil dan fungsi genap ini akan membantu menambah informasi buat kita dalam menggambarkan kurva dari suatu fungsi, dan juga akan ada kaitanna dengan pembahasan pada modul berikutna (integral). 13 Operasi pada Fungsi Selain fungsi-fungsi ang sudah mempunai nama tersendiri, misal fungsi polinom, konstan, fungsi trigonometri, dan lain sebagaina, kita dapat membentuk fungsi baru dengan cara menjumlahkan, mengurangkan, mambagi ataupun mengalikan fungsi-fungsi ang sudah ada, ini ang disebut sebagai fungsi aljabar. Sebagai contoh, misal f() = dan g() = 2. Maka f() + g() = + 2, f() g() = 2, f() g() = 3, f() g() = 2 Dalam penulisanna f() + g() = (f + g)(), f() g() = (f g)(), f() g() = (f g)(), dan f() g() = (f/g)(). Dalam melakukan operasi suatu fungsi, kita harus berhati-hati mengenai Domain. Domain dari suatu fungsi baru hasil dari operasi, haruslah berlaku pada fungsi-fungsi pembentukna (fungsi-fungsi ang dioperasikan). Khusus pada operasi pembagian, kita harus mengecualikan nilai fungsi nol pada penebutna. Dalam hal ini Domain fungsi-fungsi f() + g(), f() g(), f() g() merupakan irisan dari Domain- Domain f dan g. Atau dapat dituliskan sebagai D f+g = D f g = D f g = D f D g. Sedangkan Domain dari f() adalah irisan Domain f dan g serta dengan g() mengecualikan titik-titik ang menebabkan g() = 0 (menghindarkan penebut sama dengan nol), atau dapat ditulis sebagai Df = D f D g { g() = 0}. g Misal f() = 1 + dan g() = 2 Tentukan (f + g)(), (f g)(), (f g)(), (f/g)(), dan tentukan Domain-na Rumus fungsi masing-masing operasi adalah sebagai berikut (f + g)() = f() + g() = (1 + ) + ( 2) = + 1 (f g)() = f() g() = (1 + ) ( 2) = + 3
(f g)() = f() g() = (1 + ) ( 2) = 2 + ( 2) (f/g)() = f() g() = 1 + 2 14 Domain f adalah interval [0, ) (Domain Natural) dan Domain g adalah interval (, ). Jadi Domain dari (f + g)(), (f g)(), dan (f g)() adalah irisan dari dua interval tersebut aitu [0, ). Sedangkan Domain ( f ) () selain irisan kedua Domain g penusunna, kita perlu memperhatikan juga pada fungsi penebut, dalam hal ini g(), kita kecualikan = 2 dalam Domaina, karena = 2 mengakibatkan g() = 0. Sehingga kita dapatkan Domain ( f ) () adalah semua dalam interval [0, ) kecuali g = 2, atau dapat kita tulis D f ( = [0,2) (2, ). ) g Komposisi Fungsi Secara informal dinatakan bahwa operasi komposisi dibentuk dengan mensubstitusikan suatu fungsi pada variabel bebas dari fungsi lainna, sebagai contoh, misalkan f() = + 1 dan g() = 2 + 2 Jika f() disubstitusikan pada dalam fungsi g, maka akan didapatkan fungsi baru, aitu g(f()) = (f()) 2 + 2 = ( + 1) 2 + 2 ang kemudian dituliskan sebagai (g f)(). jadi Cotoh: (g f)() = g(f()) = (f()) 2 + 2 = ( + 1) 2 + 2 Tentukan (f g)() dan (g f)(), jika f() = 1 dan g() = 2 (f g)() = f(g()) = g() 1 = 2 1 (g f)() = g(f()) = (f()) 2 = ( 1) 2 = 1 Operasi (f g)() dapat diartikan juga sebagai komposisi dari g dilanjutkan oleh f, aitu pemetaan dari sebagian D g langsung ke sebagian R f. Perhatikan Gambar 2.13.
g f 15 D g R g D f R f Gambar 2.13 Pada Gambar 2.13 terlihat bahwa tidak semua R g dapat dilanjutkan ke R f, sehingga dapat dikatakan hana sebagian D g ang dipetakan oleh (f g)() ke R f. Selain itu, tidak semua R f hasil pemetaan oleh f dari D f ang merupakan hasil pemetaan sebelumna oleh g, sehingga dapat dikatakan hana sebagian R g hasil pemetaan oleh (f g)() dari sebagian D g. Dari penjelasan diatas maka dapat disimpulkan bahwa, (f g)() akan terdefinisi/mempunai arti jika R g D f (irisan dari D f dan R g tidak kosong), dan domain dari (f g)() ditulis sebagai D f g adalah prapeta g dari R g D f, atau semua pada D g ang mempunai pasangan di R g D f, aitu D f g = { g() R g D f } Periksa apakah (f g)() terdefinisi? Jika ia, tentukan rumus pemetaan (f g)() dan D f g dari f() = 1 2 dan g() = + 1. D f = [ 1,1] D g = [ 1, ) R g = [0, ) Sehingga didapatkan R g D f = [0, ) [ 1,1] = [0,1]. Karena R g D f tidak kosong maka (f g)() terdefinisi. Rumus pemetaan dari (f g)() adalah sebagai berikut (f g)() = f(g()) = f( + 1) = 1 ( + 1) 2 = 1 ( + 1) = 1 1 = Sedangkan domain dari (f g)(), adalah sebagai berikut D f g = { g() R g D f } = { g() [0,1]} = { 0 + 1 1} = { 0 + 1 1} = { 1 0}
SOAL LATIHAN 16 1. Tentukan nilai fungsi dari f() = 2 + 2 di ang diberikan a. = 1 b. = 2 c. = (a 2) d. = ( a 1) e. = (a 2 1) 2. Gambarkan kurva dari fungsi-fungsi berikut a. g() = 2 3 b. h() = ( 2) 2 + 4 c. f() = 2 + 2 d. f() = 3 + 1 3. Tentukan Domain natural dan Range dari fungsi-fungsi ang diberikan a. f() = 2 + 3 b. f() = 1 + 3 c. f() = +1 ( 3)(+1) 4. Misal f() = 2 dan g() = 3 2. Tentukan masing-masing rumus fungsi dan Domainna dari a. (f + g)() b. (f g)() c. (f g)() d. (f/g)() e. (f g)() f. (g f)()
DAFTAR PUSTAKA 17 [1] C. Neuhauser, Calculus for Biolog and Medicine Thrid Edition, United States of America: Pearson Education, 2011. [2] E. J. Purcell dan D. Varberg, Calculus with Analtic Geometr 5th Edition, Prentice-Hall, 1987. [3] T. M. F. ITS, Kalkulus 1 Edisi Ke-4, Surabaa: Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2012. [4] I. N. Susila, B. Kartasasmita dan R., Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Ke-5 Jilid 1, Bandung: Institut Teknologi Bandung-Erlangga.