FUNGSI. Modul 3. A. Definisi Fungsi

Transkripsi

1 Modul 3 FUNGSI A. Definisi Fungsi Definisi 1. Misalkan A dan B suatu himpunan. Suatu relasi f A x B, dimana setiap a A dipasangkan dengan tepat satu di b B, disebut dengan pemetaan (atau fungsi) dari A ke B, yang ditulis f: A B. Himpunan A disebut dengan domain (daerah asal), himpunan B disebut dengan kodomain (daerah kawan), dan setiap anggota di B yang dipasangkan dengan anggota A disebut dengan range (daerah hasil). Gambar 1. Contoh 1. Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, merupakan suatu fungsi dari A ke B dengan domain A, kodomain B, dan range = B. Sementara relasi f = {(1, u), (1, v) (2, v), (3, w)} jelas bukan merupakan fungsi Misalakan f dan g adalah fungsi dari A ke B. fungsi f dan g dikatakan sama, f = g, apabila memenuhi kondisi berikut: a. D f = D g 20 Matematika Diskrit Fungsi Aswad2013

2 b. R f = R g c. f(x) = g(x), x A Contoh 2. A= {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 7, 8, 17, 18, 31, 32} f: A B didefinisikan sebagai f = {(1, 2), (2, 8), (3, 18), (4, 32)} g: A N didefinisikan sebagai g(x) = 2x 2. Jelas bahwa D f = D g, R f = R g, dan f(x) = g(x), x {1, 2, 3, 4}. Sehingga dapat dikatakan bahwa f = g. Definisi 2. Fungsi f dikatakan injektif atau satu-satu jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan yang sama di B. Atau dengan kata lain, jika a b maka f(a) f(b) atau jika f(a) = f(b) maka a = b, untuk setiap a, b A. Gambar 2. Contoh 3. f: Q Q, dengan f(x) = 4x + 3, x Q jelas bahwa f(x 1 ) = f(x 2 ) untuk x 1, x 2 Q mengakibatkan x 1 = x 2. Sehingga f injektif. Definisi 3. Fungsi f dikatakan surjektif atau onto atau pada jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu elemen atau lebih dari himpunan A. 21 Matematika Diskrit Fungsi Aswad2013

3 Gambar 3. Contoh 4. f: Q Q, dengan f(x) = 4x + 3, x Q y 3 jelas bahwa terdapat x, dengan x Q. 4 Akibatnya f surjektif. Definisi 4. Fungsi f dikatakan bijektif atau korespondensi satu-satu apabial f injekti dan surjektif. Gambar 4. Fungsi yang bijektif biasa juga disebut dengan fungsi yang dapat dibalik atau invertible. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b anggota himpunan B, fungsi invers (kebalikan) dari fungsi f(a) = b dinotasikan dengan f -1 (b) = a. Gambar Matematika Diskrit Fungsi Aswad2013

4 B. Komposisi Fungsi Definisi 5. Misalkan suatu fungsi g: A B dan f: B C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan fog adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (fog)(a) = f(g(a)). Dengan kata lain, fog adalah suatu fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f. Gambar 6. Contoh 5. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah fog = {(1, y), (2, y), (3, x)}. Contoh 6. Diberikan fungsi f(x) = x 1 dan g(x) = x Maka: fog(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = (x 2 + 1) 1 = x 2 gof(x) = g(f(x)) = g(x 1) = (x 1) = x 2 2x = x 2 2x + 2 Contoh 7. Perhatikan diagram panah berikut: 23 Matematika Diskrit Fungsi Aswad2013

5 Gambar 7. Maka gof: A C adalah: gof(1) = g(f(1)) = g(b) = z gof(2) = g(f(2)) = g(c) = x gof(3) = g(f(3)) = g(b) = z C. Fungsi Rekursif Definisi 6. Fungsi f dikatakn fungsi rekursif apabila definisi fungsinya mengacu kepada dirinya sendiri. Fungsi rekursif terdiri dari dua bagian yaitu bagian (1) disebut basis yakni berisi nilai awal yang tidak mengacu kepada dirinya sendiri. Sementara bagian (2) disebut dengan rekurens yakni berisi argumen fungsi dalam terminologinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat kepada nilai awal atau basisnya. Berikut contoh fungsi rekursif 0 x 0 f( x) 2 2 f ( x 1) x, x o 24 Matematika Diskrit Fungsi Aswad2013

6 Latihan 1. Misalkan f: A A dan g: A A, dengan f = {(1, 3), (2, 5), (3, 3), (4, 1), (5, 2)}, dan g = {(1, 4), (2, 1), (3, 1), (4, 2), (5, 3)}. Daerah hasil dari masing-masing f dan g adalah f(a) = {1, 2, 3, 4, 5}, dan g(a) = {1, 2, 3, 4}. Tentukanlah: a. fog(1), gof(1) b. fog(4), gof(4) c. gambarkan ilustrasinya dengan menggunakan diagram panah. 2. Tentukan fungsi mana yang merupakan fungsi satu-satu dari Z ke Z a. f(n) = n + 2 b. f(n) = n 3 3. Misalkan f adalah fungsi dari X = {0, 1, 2, 3, 4} ke X yang didefinisikan oleh f(x) = 3x mod 5. Tuliskan f sebagai pasangan terurut. Apakah f injektif atau surjektif? 4. Perhatikan kembali soal nomor 1. a. Tentukan setiap fog dan gof dalam bentuk pasangan terurut. b. Periksa apakah fog injektif, surjektif, atau bijektif? 5. Misalkan f(x) = 3x 2 dan g(x) = x 2 + x 1. Tentukanlah a. fog(-1) dan gof(-1) b. fof(2/3) dan gog(2/3) 25 Matematika Diskrit Fungsi Aswad2013