Ikhtisar: Teknik Kontrol Optimal Untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial
|
|
- Veronika Tedja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ISSN (print) Electrical Engineering Journal Vol. 4 (4) No., pp. -3 Ikhtisar Teknik Kontrol Optimal Untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Tio Dewantho Sunoto Jurusan Teknik Elektro, Universitas Kristen Maranatha, Bandung Jl. Suria Sumantri 65, Bandung 464, Indonesia tiodewantho@gmail.com Abstrak Untuk menyatakan karakteristik sebuah sistem sering dipergunakan persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation, ODE), formula ini sudah lama dikembangkan dan telah banyak metode untuk menyelesaikannya dalam bentuk masalah nilai awal (initial value problem). Selain itu terdapat masalah nilai batas dua titik (two point boundary problem) yang mirip dengan masalah nilai awal dan keduanya bisa saling berhubungan. Teknik kontrol optimal dapat dipakai untuk menyelesaian persamaan diferensial biasa, karena melalui teknik ini masalah yang ditinjau dapat ditransformasikan menjadi masalah nilai batas. Karya tulis ini sebagai ikhtisar dari karya tulis sebelumnya [], untuk menjembatani bagaimana hubungan yang berlaku antara masalah nilai awal, masalah nilai batas dan penerapan teknik kontrol optimal (optimal control technique) untuk menyelesaikan persaman diferensial biasa melalui metode tertentu (shooting method, finite-difference method). Pernyataan bahwa kesalahan yang diperoleh lebih kecil dengan menggunakan teknik kontrol optimal, bisa menjadi topik diskusi selanjutnya karena dengan metode Taylor pun bila pendekatannya melalui orde tinggi akan menghasilkan akurasi solusinya yang tinggi dan faktor lainnya yang mempengaruhi pendekatan solusi antara lain pemotongan lokal (local truncation) dan proses pembulatan (round-off). Kata kunci ordinary differential equations, initial value problems, two point boundary value problem, optimal control Abstract In order to express the characteristics of a system of ordinary differential equations are often used ordinary differential equation, ODE, this formula has been developed and have a lot of methods to solve them in the form of the initial value problem. In addition there are two point boundary value problems which are similar to the initial value problem and both can be interconnected. Optimal control techniques can be used for resolving ordinary differential equations, because through this technique are reviewed problems can be transformed into a boundary value problem. This paper is an overview of the previous paper [], to bridge the existing relationship between the initial value problems, boundary value problems and the application of optimal control techniques to solve ordinary differential equations through a particular method (shooting method, finite-difference method). The statement that the obtained error is smaller by using optimal control technique, could be a topic of further discussion as to the method of Taylor was when the approach through higher order will generate a high accuracy solution and other factors that affect the solution approaches such as local truncation and round-off process.
2 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 Keywords ordinary differential equations, initial value problems, two point boundary value problem, optimal control. I. PENDAHULUAN Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) sudah lama dipergunakan untuk memodelkan sistem kontinyu baik pada disiplin rekayasa atau ilmu pengetahuan. Telah banyak buku ditulis dan dipakai sebagai pegangan umum untuk mencari solusi numerik persamaan diferensial [], dan metode-metode atau formula dikembangkan sehingga diperoleh solusi dengan akurasi tinggi dan kesalahan yang kecil. Metode numerik yang umum dipakai adalah metode Taylor, Euler, Runge-Kutta, multistep, extrapolation dan adaptive techniques. Formula matematik yang umum untuk masalah nilai awal (initial value) orde satu adalah x i = f i (t, x (t),. x n (t)), x i (a) = y i, i =,, n. Perbedaan antara masalah nilai awal (initial value) dengan nilai batas (boundary value) adalah, pada nilai awal ditentukan pada titik yang sama pada variabel independennya (misalnya, x(a) = y a ), sedangkan pada nilai batas ditentukan pada nilai yang berbeda pada variabel independennya (misalnya, x i (a) = y a, x i (b) = y b ). Terdapat tiga jenis kondisi nilai batas, bila nilai dinyatakan pada satu lokasi tertentu disebut dirichlet condition, bila pada nilai turunannya dikenal Neumann condition dan kondisi gabungannya. Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan masalah nilai batas diantaranya, metode shooting untuk linier dan nonlinier (dikenal metode Secant dan Newton), metode beda berhingga (finite-difference) untuk linier dan nonlinier (dikenal Richardson extrapolation, newton method for iteration) dan metode Rayleigh-Ritz. [3] Permasalahan kontrol optimal dapat dipandang sebagai masalah nilai batas (boundary value problem) [4], dan melalui metode tertentu dapat diubah menjadi masalah nilai awal diantaranya melalui metode shooting atau metode beda berhingga (finite-difference method). Pengenalan konsep teori kontrol (control theory) dan kontrol optimal (optimal control) [5], akan membantu untuk memahami bahwa permasalahan yang ditinjau sebagai sebuah sistem kontrol. II. MASALAH NILAI AWAL UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Metode numerik sebagai teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic), alasan dipergunakan teknik ini adalah tidak semua permasalahan matematik dapat diselesaikan dengan mudah, misalnya fungsi yang sulit diturunkan. Metode-metode numerik yang dipergunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan nilai awal (initial value) telah cukup tersedia, diantaranya metode Euler, metode Taylor orde tinggi, metode Runge-Kutta (orde dua, orde empat) metode titik tengah (midpoint), metode Runge-Kutta-Fehlberg, metode multistep (Adams-Bashforth, Adams- Moulton, predictor-corrector, Milne, Simpson), metode step-size multistep, metode extrapolasi dan permasalahan persamaan orde tinggi. Dengan referensi yang tersedia [], beberapa metode tersebut diulas cukup rinci untuk memberikan gambaran secara menyeluruh. II.. Metode Euler (Euler s Method). ISSN
3 4 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 Metode Euler banyak dipakai sebagai teknik dasar umum untuk pendekatan menyelesaikan masalah nilai awal (initial value) pada persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation, ODE). Tinjau persamaan nilai awal berikut y = f(t,y) a t b, y(a) = () Bila solusi pendekatan untuk y(t) tidak didapat maka sebagai penggantinya dipakai prinsip titik-titik jala (mesh points) dalam interval [a,b]. Melalui bantuan teorema Taylor dan asumsi Persamaan () mempunyai turunan kontinyu pada [a,b] untuk setiap i =,,,..., N-, maka h y(t i+ ) = y(t i ) + h f(t i, y(t i )) + y"( i ) () h = (b-a)/n = t i+ - t i = jarak antara titik-titik (ukuran langkah, step size). t i = a + ih, i =,,,... N, i bilangan pada (t i, t i+ ) Pendekatan Metode Euler menyatakan w i y(t i ) untuk i =,,... N, dengan w = w i+ = w i + h f(t i, w i ), i =,,,... N- (3) Persamaan (3) disebut persamaan diferensi (difference equation) yang berhubungan dengan metode Euler. Tinjau kasus persamaan y = y t +, a t b; y() =,5 (4) solusi tepat (exact) y(t) = (t+),5e t, persamaan ini dipilih karena mengandung unsur turunan, tanpa turunan, variabel independen dan konstanta. Misalkan dipilih N =, a=, b=, sehingga h =(-)/ =,, t i = a+ih = + i, =,i, maka Persamaan (3) menjadi w =,5 w i+ = w i + h(w i - t i + ) = w i +,(w i,4i + ) =,w i -,8i +,. untuk i =,,..., 9 didapat w =,(,5),8() +, =,8 w =,(,8),8() +, =,5 w 3 =,(,5),8() +, =,554 dan hasilnya dari enam kali iterasi dinyatakan pada Tabel. t i,,,4,6,8, TABEL. SOLUSI TEPAT DAN PENDEKATAN PERSAMAAN (4) MELALUI METODE EULER. Solusi tepat (exact solution) y(t i ) = (t i +) -,5e t y(,) = y =,5 y(,) = y =,89986 y(,4) = y =,4877 y(,6) = y 3 =, y(,8) = y 4 =,795 y(,) = y 5 =,64859 Solusi pendekatan metode Euler t i =,i ; w = w i+ =,w i -,8i +, w(,) = w =,5 w(,) = w =,8 w(,4) = w =,5 w(,6) = w 3 =,554 w(,8) = w 9 =,98848 w(,) = w =,45876 Kesalahan = y i - w i y, w, =, y, w, =,9986 y,4 w,4 =,6877 y,6 w,6 =,98546 y,8 w,8 =, y, w, =,8683 Diperoleh kesalahan yang terjadi bertambah dengan naiknya nilai t, dan untuk memperkecilnya dapat dilakukan dengan memakai prinsip error bound ISSN
4 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 5 hm ( t a ) L y i+ - w i+ [ e i ] dengan i =,,,... N-; a j = y j w j ; M dan L L konstanta. Untuk kasus Persamaan (4) y = y t +, a t b; y() =,5 didapat h =,; L = ; M =,5e ; t i+ = a+ (i+)h = + (i+), =,(i+) ; t i =,i hm ( t ) dengan kesalahan, y i+ - w i+ [ i a L,M, i e ] [ e ], (,5e i ) L y i - w i,(,5e ) (e ti -) maka y, - w,, y, w,,375 y,8 - w,8,767 y, - w,,97 II.. Metode Taylor orde tinggi (higher-order Taylor Methods) Karena proses pemotongan angka sebelumnya (t i ) mempengaruhi perhitungan berikutnya (t i+ ) maka pemotongan angka menjadi hal penting dalam perhitungan kesalahan. Terdapat metode kesalahan pemotongan lokal (the local truncation error method) yang spesifik fokus pada jumlah langkah-langkah pengukuran antara solusi tepat (exact) dengan persamaan diferensi (difference equation) sebagai solusi pendekatannya. Untuk Persamaan (), melalui pendekatan metode Euler didapat y = f(t,y), a t b, y(a) yi yi = dengan kesalahan lokal (local error) i+ (h) = f ( ti, yi ), i =,,,... N-, M h konstanta pada [a,b] dan kesalahan pemotongan lokal (local truncation error), O(h) i+ (h) hm/. Metode Euler yang telah dibahas sebelumnya memakai bantuan Metode Taylor orde satu dan bila dipakai orde n maka Persamaan (3) menjadi w = w i+ = w i + h T (n) (t i, w i ), i =,,,... N- dengan T (n) (t i, w i ) = f(t i, w i ) + ½hf(t i, w i ) +. + h n f (n-) (t i, w i ). n! Untuk kasus Persamaan (4) y = y t +, a t b; y() =,5 dengan N =, a). Metode Taylor orde dua f(t, y(t)) = y(t) t +. f(t, y(t)) = d (y t + ) = y t = y t + t T () (t i, w i ) = f(t i, w i )+ ½hf(t i, w i ) = w i t i ++ ½ h(w i t i + t i ) = (+ ½ h) (w i t i +) ht i. Sehingga w =,5 w i+ = w i + h[( + ½ h) (w i t i + ) ht i ] = w i +,[(+,/) (w i,4i +),4i] =,w i -,88i -,8i +, Untuk y(,) = w =,(,5) -,88() -,8() +, =,83 y(,4) = w =,(,83) -,88(,) -,8(,) +, =,58 ISSN
5 6 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 b). Metode Taylor orde empat f(t, y(t)) = y(t) t +. f(t, y(t)) = y t + t. f(t, y(t)) = y t + = y t + t + = y t t. f(t, y(t)) = y t - = y t t -. T (4) 3 (t i, w i ) = f(t i, w i )+ h f(ti, w i ) + h f(ti, w i ) + h f(ti, w i ) 6 4 = w i t i ++ h (wi t 3 i + t i ) + h (wi t i t i - ) + h (wi t i t i - ) = ( + h + h + h ) (wi t 3 i ) - ( + h + h ) (hti ) + + h - h - h Sehingga w =,5 3 w i+ = w i + h[ ( + h + h + h )(wi t 3 i ) - ( + h + h ) (hti ) + + h - h - h ] = w i +,[ ( + + +, + 6, +,4 + 6,4 +,8 4,8 ) (w i,4i ) - ( + 4, +, 4 ) (,4i) 3 =,4w i -,8856i -,856i +,86. Untuk y(,) = w =,4(,5) -,8856() -,856() +,86 =,893 y(,4) = w =,4(,893) -,8856(,) -,856(,) +,86 =,49 Rangkuman hasil pendekatan metode Taylor ini dinyatakan pada Tabel. Metode kesalahan pemotongan lokal menghasilkan kesalahan yang kecil dari pada kesalahan sebelumnya, terlebih bila diambil orde yang lebih tinggi, tapi metode ini mempunyai kekurangan pada saat nilai t tidak seperti sebelumnya (t i =,;,4;,6;... ), misalnya untuk t =,5 maka nilai yang dipakai adalah saat t =,4 dan t =,6 kemudian dirata-rata dan hasil kesalahannya menjadi besar sekali, untuk mengatasinya dipergunakan interpolasi kubik dari Hermite (cubic Hermite interpolation). II.3. Metode Runge-Kutta (Runge-Kutta Methods) Metode Taylor orde tinggi dengan kesalahan pemotongan lokal akan bersifat membutuhkan komputasi dan evaluasi turunan f(t,y), hal ini cukup rumit dan memakan waktu sehingga metode Taylor ini jarang digunakan dalam prakteknya. Metode Runge-Kutta orde tinggi dengan kesalahan pemotongan lokal adalah seperti metode Taylor tapi tidak perlu menghitung dan mengevaluasi turunan f(t,y). A. Metode Runge-Kutta orde dua. Tinjau persamaan f(t,y), dengan semua turunan parsial ordenya lebih kecil atau sama dengan n+ dan kontinyu pada D = [f(t,y) a t b, c y d], (t, y ) D. Bentuk persamaan Runge-Kutta yang diperluas (expanded) a f(t+, y+ ) mendekati T () (t,y) = f(t,y) + h/ f (t,y) dengan kesalahan tak lebih besar dari O(h ), hal ini sama dengan orde dari kesalahan pemotongan lokal untuk metode Taylor orde dua. Metode persamaan diferensi (difference-equation method) didapat dengan cara mengganti T () (t,y) pada metode Taylor orde dua dengan f[t+(h/), y+(h/) f(t,y)], dan akan dihasilkan ISSN
6 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 7 metode Runge-Kutta khusus yang dikenal sebagai metode titik tengah (midpoint method). B. Metode titik tengah (midpoint method) Pada kondisi Taylor orde dua didapat w = w i+ = w i + h f[(t i + h, w i + h f(ti w i )] untuk i =,,,... N-. Hanya ada tiga parameter pada a f(t+, y+ ) dan semuanya harus sama dengan T (), hal ini cukup sulit diperoleh terlebih lagi harus memenuhi setiap kondisi untuk metode Taylor orde tinggi. Cara yang paling cocok untuk pendekatan T (3) (t, y) = f(t, y)+ h f(t, y) + h f(t, y) 6 adalah bentuk empat-parameter (fourth-paramater) yang lebih fleksibel saat memilih. Satu metode yang penting adalah metode Euler dimodifikasi (Modified Euler method) sehingga didapat berhubungan nilai a = a = ½, = = h dan bentuk persamaan diferensi w = w i+ = w i + h [ f(t i +w i ) + f(t i+, w i +hf(t i +w i )], i =,,,... N- Untuk kasus persamaan (4), dengan N =, h =,, t i =,i dan w =,5 maka - metode titik tengah (midpoint method) w i+ =,w i,8 i,88 i +,8 w =,(,5),8(),88() +,8 =,88. w =,(,88),8(,),88(,) +,8 =,36. - metode Euler dimodifikasi w i+ =,w i,8 i,88 i +,6. w =,(,5),8(),88() +,6 =,86. w =,(,86),8(,),88(,) +,6 =,69. Hasil solusi pendekatan metode titik tengah (midpoint method) dinyatakan pada Tabel. C. Metode Runge-Kutta orde empat. Pada metode Runge-Kutta orde dua yang diperluas sifat a f(t+, y+ ) mendekati T () (t,y), untuk T (3) (t,y) dapat didekati oleh kesalahan O(h 3 ) dengan bentuk f(t+, y+ f(t+, y+ f(t,y))) yang berisi empat parameter,,,. Metode yang umum dipakai untuk bentuk O(h 3 ) adalah metode Heun (Heun method) dengan w = w i+ = w i + h (f(ti +w i ) + 3 f(t i + h, wi + h f(t i + h, wi + h f(t i +w i )))) untuk i =,, ,..., N- Kesalahan pada metode Heun lebih kecil dibandingkan metode Euler dimodifikasi atau metode titik tengah (midpoint). Metode Runge-Kutta orde tiga jarang dipakai, yang sering dipakai adalah orde empat w = k = h f(t i +w i ), k = h f(t i + h, wi +½ k ), ISSN
7 8 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 k 3 = h f(t i + h, wi +½ k ), k 4 = h f(t i+, w i +k 3 ), w i+ = w i + 6 (k +k +k 3 +k 4 ), i =,,,... N-, dengan kesalahan pemotongan lokal O(h 4 ) dan solusi y(t) mempunyai lima turunan yang kontinyu. Sebagai contoh perhitungan untuk pendekatan solusi y(,) didapat w =,5 k = h f(t i +w i ) =, f(,,5) =,(,5 () + ) =,3. k = h f(t i + h, wi +½ k ) =, f(+,,,5+,3) =, f(,,,65) =,38. k 3 = h f(t i + h, wi +½ k ) =, f(+,,,5+,38) =, f(,,,664) =,338. k 4 = h f(t i+, w i +k 3 ) =, f(+,,,5+,338) =, f(,,,838) =,3586. w =,5 + 6 (,3 + (,38) + (,338) +,3586) =, dan dengan cara yang sama maka nilai y(t) lainnya dapat dihitung (rangkuman pada Tabel ). Metode Runge-Kutta orde empat perlu empat kali perhitungan (k, k, k 3, k 4 ) pada setiap langkahnya, untuk orde dua perlu dua kali perhitungan dan untuk metode Euler cukup satu kali perhitungan, tapi hasil jawaban dengan metode Runge-Kutta orde empat yang paling akurat. Metode Runge-Kutta dapat dihubungkan dengan teori kontrol kesalahan (error control theory) untuk mendapatkan pendekatan solusi dengan kesalahan yang lebih kecil, cara yang dipakai adalah ukuran langkah (h) dibuat bervariasi dan dikenal metode Runge-Kutta-Fehlberg. Prinsip dasar metode ini bukan mengestimasi kesalahan pemotongan lokal tetapi mengatur ukuran langkah (step size) berikutnya t i+ yang dihitung dari data sebelumnya t i. II.4. Metode banyak langkah (multistep method) Pemahaman metode satu langkah (one step) bila pendekatan untuk titik mata jala (mesh point) t i+ hanya melibatkan informasi dari satu titik mata jala sebelumnya t i, metode banyak langkah (multistep method) bila memakai informasi lebih dari satu titik mata jala sebelumnya. Untuk mencari solusi pendekatan dengan banyak langkah dikenal metode eksplisit dari Adams-Bashforth dan metode implisit dari Adam-Moulton. A. Metode Adams-Basforth langkah (two-step) w =, w =, w i+ = w i + h [3 f(ti +w i ) f(t i- +w i- )], i =,,... N- Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = 5 y (3) ( i )h untuk beberapa i (t i-, t i+ ) 3 langkah (three-step) w =, w =, w =, w i+ = w i + h [3 f(ti +w i ) 6 f(t i- +w i- ) + 5 f(t i- +w i- )], i =, 3,... N-. Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = 8 3 y (4) ( i )h 3 untuk beberapa i (t i-, t i+ ) 4 langkah (four-step) ISSN
8 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 9 w =, w =, w =, w 3 = 3 w i+ = w i + h [55 f(ti +w i ) 59 f(t i- +w i- )+ 37 f(t i- +w i- ) 9 f(t i-3 +w i-3 )]. i = 3, 4,... N- 4 Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = 5 y (5) ( i )h 4 7 untuk beberapa i (t i-3, t i+ ) 5 langkah (five-step) w =, w =, w =, w 3 = 3 w 4 = 4 w i+ = w i + h [9 f(ti +w i ) 774 f(t i- +w i- ) + 66 f(t i- +w i- ) 74 f(t i-3 +w i-3 ) f(t i-4 +w i-4 )], i = 4, 5,... N- Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = 95 y (6) ( i )h 5 88 untuk beberapa i (t i-4, t i+ ) B. Metode Adams-Moulton langkah (two-step) w =, w =, w i+ = w i + h [5 f(ti+ +w i+ ) + 8 f(t i +w i ) - f(t i- +w i- )], i =,,... N- Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = - y (4) ( i )h 3 4 untuk beberapa i (t i-, t i+ ) 3 langkah (three-step) w =, w =, w =, w i+ = w i + h [9 f(ti+ +w i+ )+ 9 f(t i +w i ) 5 f(t i- +w i- ) + f(t i- +w i- )], i =, 3,... N- 4 Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = - 9 y (5) ( i )h 4 7 untuk beberapa i (t i-, t i+ ) 4 langkah (four-step) w =, w =, w =, w 3 = 3 w i+ = w i + h [5 f(ti+ +w i+ ) f(t i +w i ) 64 f(t i- +w i- ) + 6 f(t i- +w i- ) 7 9 f(t i-3 +w i-3 )]. i = 3, 4,... N- Kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = - 3 y (6) ( i )h 5 6 untuk beberapa i (t i-3, t i+ ). Secara umum koefisien dari f pada kesalahan pemotongan lokal, untuk implisit lebih kecil daripada eksplisit sehingga lebih stabil dengan kesalahan pembulatan (round-off) lebih kecil. Untuk kasus Persamaan (4), tiga data sebelumnya dapat diambil dari hasil perhitungan melalui Runge-Kutta orde empat yang telah dibahas sebelumnya dan didapat t i =,i; y() = w =,5; y(,) w =,89933; y(,4) w =,476; y(,6) w 3 =,6489, contoh untuk memprediksi nilai y(,8) dan y(,) dengan metode - eksplisit Adam-Basforth empat langkah, w i+ = w i + h [55f(ti +w i ) 59f(t i- +w i- )+ 37f(t i- +w i- ) 9f(t i-3 +w i-3 )], i = 3, 4,... N- 4 w i+ = [35wi,8w i- + 7,4w i-,8w i-3,9i,9i + 4,736], i = 3, 4,, 9 4 maka y(,8) w 4 = [35w3,8w + 7,4w,8w,9(3),9(3) + 4,736] 4 ISSN
9 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 y(,) w 5 = [35w4,8w 3 + 7,4w,8w,9(4),9(4) + 4,736] 4 - implisit Adam-Moulton tiga langkah, w i+ = w i + h [9 f(ti+ +w i+ )+ 9 f(t i +w i ) 5 f(t i- +w i- ) + f(t i- +w i- )], i =, 3,... N- 4 maka w i+ = y(,8) w 4 = y(,) w 5 = [7,8wi - w i- +,w i- -,9i,9i + 4,736], i =, 3,, 9, [7,8w3 - w +,w -,9(3),9(3) + 4,736], [7,8w4 - w 3 +,w -,9(3),9(3) + 4,736], Rangkuman solusi pendekatan melalui pendekatan ini dinyatakan pada Tabel. Bila dibandingkan antara metode eksplisit dan implisit maka metode implisit Adams- Moulton memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan metode eksplisit Adam-Basforth. C. Metode prediktor-korektor (predictor-corrector method) Walaupun hasil dari metode implisit Adam-Moulton lebih baik, tapi mempunyai kelemahan karena secara aljabar mungkin tidak dapat mengubah dari implisit menjadi eksplisit. Untuk mengatasinya dipakai metode Newton atau metode Secant (garis potong) walaupun perhitungannya lebih rumit, dan terdapat metode prediksi-koreksi (predictor-corrector method) sebagai kombinasi dari prediksi (metode eksplisit) dan koreksi (metode implisit). Data hasil metode Runge-Kutta orde empat, w 4p dipakai untuk memperkirakan nilai y(t 4 ) didapat w 4p = w 3 + (h/4) [ 55 f(t 3,w 3 ) 59 f(t,w ) + 37 f(t,w ) 9 f(t,w ) ]. Langkah mencari nilai pendekatan diperbaiki dengan memasukkan nilai w 4p kebagian kanan persamaan implisit metode Adams-Moulton orde tiga yang bertindak sebagai korektor w 4 = w 3 + (h/4) [ 9 f(t 4,w 4p ) + 9 f(t 3,w 3 ) - 5 f(t,w ) + f(t,w ) ] Untuk kasus persamaan (4), data dari metode Runge-Kutta sebelumnya y() = w =,5; y(,) w =,89933; y(,4) w =,476; y(,6) w 3 =, Metode Adam-Bashforth orde empat sebagai prediktor untuk nilai y(,8) dan y(,) w 4p = w 3 + (h/4) [ 55 f(t 3,w 3 ) 59 f(t,w ) + 37 f(t,w ) 9 f(t, w ) ] y(,8) w 4p = w 3 + (,/4) [ 55 f(,6, w 3 ) 59 f(,4, w ) + 37 f(,, w ) 9 f(,w ) ] =,6489+ (,/4)[55f(,6,,6489) 59f(,4,,476)+ 37f(,,,89933) 9 f(,,5)] =,6489 +,83333 [55(,889) 59(,5476) + 37(,789933)) 9(,5)] =,789. y(,) w 5p = w 4 + (,/4) [ 55 f(,8, w 4 ) 59 f(,6, w 3 ) + 37 f(,4, w ) 9 f(,w ) ] =,756+ (,/4)(55f(,8,,756) - 59f(,6,,6489) + 37f(,4,,476) 9 f(,,89933)] =,756+,83333 [55(,48756) 59(,889) +37(,5476) 9(,789933] =, Metode Adam-Moulton orde tiga sebagai korektor untuk nilai y(,8) dan y(,) w 4 = w 3 + (h/4) [9 f(t 4, w 4 )+ 9 f(t 3, w 3 ) 5 f(t, w ) + f(t, w )] y(,8) w 4 = w 3 + (,/4) [9 f(,8, w 4p ) + 9 f(,6, w 3 ) 5 f(,4, w ) + f(,, w )] =,6489+(,/4)[9 f(,8,,789) + 9 f(,6,,6489) 5 f(,4,,476)+ ISSN
10 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL f(,,,89933)] =,6489 +,83333 [9(,48789) +9(,889) 5(,5476) +,789933] =,756. y(,) w 5 = w 4 +, [9 f(,, w5p ) + 9 f(,8, w 4 ) 5 f(,6, w 3 ) + f(,4, w )] 4 =,756+ (,/4)[9 f(,,,64934)+ 9 f(,8,,789) 5 f(,6,,6489) + f(,4,,476)] =,756 +,83333 [9(,64934) +9(,48756) 5(,889) +,5476] =, Maka, saat y(,8) exact - korektor =,795,756 =,39 x -5. saat y(,) korektor exact =,64886,64859 = 3,5 x -5. saat y(,8) Runge-Kutta prediktor =,77,789 =,69 x -5. saat y(,) Runge-Kutta exact =,6487,64859 = 3,64 x -5. Rangkuman solusi pendekatan melalui metode prediktor-korektor dinyatakan pada Tabel. TABEL. SOLUSI PENDEKATAN PERSAMAAN (4) DENGAN BEBERAPA METODE YANG BERBEDA. Metode Euler Taylor (orde ) Taylor (orde 4) Titik tengah (Midpoint) Euler modifikasi (modified Euler) Heun Runge-Kutta (orde 4) Adams-Bashforth (4 langkah) Adams-Moulton (3 langkah) prediktor-korektor prediktor Adam-Bashforth, korektor Adam-Moulton t i,,...,8, Solusi tepat (exact),5, ,795,64859 Pendekatan,5,8...,98848,45876 Kesalahan,, ,387495,8683 Pendekatan,5,83...,3333, Kesalahan,,7...,53,7787 Pendekatan,5,893...,74,64874 Kesalahan,,...,,5 Pendekatan,5,88...,84, Kesalahan,,986...,59453,7693 Pendekatan,5,86...,357, Kesalahan,, ,69938,375 Pendekatan,5, ,6995, Kesalahan,,54...,39,335 Pendekatan,5, ,77,6487 Kesalahan,,53...,69,364 Pendekatan ,734,648 Kesalahan ,88,9 Pendekatan ,736,64898 Kesalahan ,6,93 korektor,5, ,756,64886 Kesalahan ,39,35 Prediktor ,789,64934 Kesalahan ,597,73 Metode banyak langkah (multistep) lainnya adalah memakai integrasi dari polinomial interpolasi dalam interval [t j, t i+ ], j i- sehingga diperoleh pendekatan nilai y(t i+ ). Ketika polinomial interpolasi diintegrasikan pada [t i-3, t i+ ] maka didapat metode eksplisit Milne, ISSN
11 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 w i+ = w i-3 + 4h [ f(ti, w i ) - f(t i-, w i- ) + f(t i- +w i- )], dengan kesalahan pemotongan 3 lokal i+ (h) = 4 h 4 y (5) ( i ) untuk beberapa i (t i-3, t i+ ). 45 Metode Milne kadangkala dipakai sebagai prediktor untuk metode implisit Simpson dan didapat w i+ = w i- + 3 h [ f(ti+, w i+ ) + 4 f(t i, w i ) + f(t i- +w i- ) ], kesalahan pemotongan lokal i+ (h) = - 4 (h 4 /9) y (5) ( i ) untuk beberapa i (t i-, t i+ ). 45 Secara umum kesalahan pemotongan lokal dengan melibatkan metode Simpson lebih kecil dari metode Adam-Bashforth-Moulton, tetapi teknik ini pemakaiannya terbatas karena ada masalah pada kesalahan pembulatan (round-off) yang tidak terjadi pada prosedur Adam- Bashforth-Moulton. Selain metode yang telah dibahas sebelumnya, masih terdapat metode lainnya seperti - metode banyak langkah (multistep) dengan ukuran langkah bervariasi (variabel step-size). - metode ektrapolasi (extrapolation method) berdasarkan pada metode midpoint. - pendekatan melalui persamaan orde tinggi (higher- order equation) dan sistem persamaan diferensial (system of differential equations). D. Persamaan orde tinggi dan sistem persamaan diferensial (higher-order equations and systems of differential equations) Permasalahan solusi numerik dengan nilai awal pada orde tinggi (higher-order initialvalue problem) dapat ditransformasikan menjadi sebuah sistem persamaan diferensial orde satu. Sistem orde m dapat ditransformasikan menajdi m buah sistem orde satu dengan bentuk du f (t, u, u, u ), m du f (t, u, u, u ), m du m f (t, u, u, u ), m m a t b dengan kondisi awal u (a) =, u (a) =,.... u m (a) = m. Permasalahannya adalah mencari m buah fungsi u (t), u (t),.... u m (t) yang memenuhi setiap persamaan diferensial dan memenuhi semua kondisi awalnya. Melalui definisi kondisi Lipschitz yang diperluas dan teorema nilai rata-rata (mean value theorem) maka f dan turunan parsialnya kontinyu dalam D jika memenuhi f ( t, u,..., um ) L dengan i =,,, m untuk semua (t, u,, u m ) pada D, f memenuhi u i kondisi Lipschitz pada D dan L konstanta Lipschitz. Dengan D = {(t, u,., u m ) a t b dan - < u i < untuk setiap i =,,... m} dan f(t, u,, u m ), i =,,, m kontinyu dan memenuhi kondisi Lipschitz pada D, sehingga sistem orde m dengan nilai awal orde satu akan mempunyai solusi unik u (t), u (t),... u m (t) untuk a t b. Korelasi orde satu dan orde yang lebih tinggi dapat diturunkan, misalkan kondisi nilai awal memakai metode Runge-Kutta orde empat, maka didapat hubungan [] ISSN
12 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 Satu persamaan nilai awal orde satu w = k = h f(t i +w i ), k = h f(t i + h, wi +½ k ), k 3 = h f(t i + h, wi +½ k ), k 4 = h f(t i+, w i +k 3 ), w i+ = w i + 6 (k +k +k 3 +k 4 ), i =,,,... N-, Satu sistem nilai awal orde satu w, =, w, =,..., w m, = m k,i = h f i (t j, w,j, w j,..., w m,j ) k,i = h f i (t j + h, w,j +½ k,, w,j +½ k,,..., w m,j +½ k,m ) k 3,i = h f i (t j + h, w,j +½ k,, w,j +½ k,,..., w m,j +½ k,m ) k 4,i = h f i (t j +h, w,j +k 3,, w,j +k 3,,..., w m,j +k 3,m ) w i, j+ = w i,j + 6 (k,i +k,i +k 3,i +k 4,i ), i =,,,... m, k,, k,,... k,m harus lebih dulu dihitung sebelum bentuk k,i ditentukan. Sebagai contoh transformasikan masalah orde dua nilai awal berikut ini, y y + y = e t sin t, t dengan y() = -,4 dan y() = -,6 menjadi sebuah sistem nilai awal orde satu dan pergunakan pendekatan Runge-Kutta orde empat dengan h =,. Penyelesaian, ambil u (t) = y(t) dan u (t) = y(t), dan persamaan orde dua diubah menjadi sistem u (t) = u (t) u (t) = e t sin t - u (t) + u (t), u () = -,4 dan u () = -,6 dengan kondisi awal w, = -,4 dan w, = -,6. k, = h f (t, w,, w, ) = h w, =,(-,6) = -,6 k, = h f (t, w,, w, ) = h [e t sin t - w, + w, ] =, f [e t sin t - u (t) + u (t)] =,[e.() sin() - u () + u ()] =,[() - w, + w, ] =,[ (-,4) + (-,6)] =,[,8-,] = -,4. k, = h f (t + ½h, w, + ½ k,, w, + ½ k, ) = h f [w, + ½ k, ] =,[-,6+/(-,4)] =,[-,6-,] = -,6. k, = h f (t +½h, w, +½k,, w, +½k, ) = h[e (t+,5) sin (t +,5) (w, +½k, )+ (w, +½k, )] = h[e, sin (,5) (-,4+½ (-,6)) + (-,6+½(-,4)] =,[,5(,873) -(-,4+½(-,6)) + (-,6+½(-,4)] = -, k 3, = h [w, +½ k, ] = -, k 3, = h [e (t+,5) sin (t +,5) (w, +½ k, ) + (w, + ½ k, )] = -, k 4, = h [w, +½ k 3, ] = -, k 4, = h [e (t+,) sin (t +,) (w, +½ k 3, ) + (w, + ½ k 3, )] = -, w, = w, + /6 (k, +k, +k 3, +k 4, ) = -, w, = w, + /6 (k, +k, +k 3, +k 4, ) = -, Nilai w,j dan w,j untuk j =,,. dinyatakan melalui Tabel 3, dan nilai aktualnya u (t) =,e t (sin t cos t) dan u (t) = u (t) =,e t (4sin t 3cos t). TABEL 3. PENDEKATAN SOLUSI PERSAMAAN ORDE TINGGI,,,9, KUTTA ORDE EMPAT. y y y = e t sin t, MELALUI METODE RUNGE- t j y(t j ) = u (t) w,j y(t j ) = u (t) w,j y(t j ) - w,j y(t j ) - w,j -,4 -,4 -,6 -,6 -, , , , ,7 x -7 7,75 x -7 -, , , , ,534764,57874,534785, ,76 x -6 4,5 x -6 9,54 x -6,34 x -5 ISSN
13 4 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 III. MASALAH NILAI BATAS (BOUNDARY VALUE PROBLEM) Perbedaan antara masalah nilai awal (initial value) dengan nilai batas (boundary value) adalah, pada nilai awal ditentukan pada titik yang sama pada variabel independennya (dalam hal ini t) sedangkan kondisi batas ditentukan pada nilai yang berbeda pada variabel independennya. Untuk persamaan diferensial orde satu tak berbeda antara nilai awal dan nilai batas, perbedaan muncul ketika ordenya lebih tinggi dari satu. Terdapat tiga jenis kondisi batas, bila nilai dinyatakan pada satu lokasi tertentu disebut dirichlet condition, bila pada nilai turunannya dikenal Neumann condition dan kondisi gabungannya. Beberapa metode untuk menyelesaian masalah nilai batas diantaranya, metode shooting linier dan nonlinier (metode secant dan metode Newton), metode finite-difference untuk linier dan nonlinier (Richardson extrapolation, Newton method untuk iterasi) dan metode Rayleigh- Ritz (piecewise-linear, B-spline basic, cubic spline) [3]. Bila fungsi f sebuah masalah nilai batas maka, y = f(x, y, y), a x b dengan y(a) = dan y(b) =, adalah kontinyu dalam D = {(x, y, y), a t b dengan - < y < dan - < y < }, dan turunan parsial f y dan f y juga kontinyu dalam D. Jika - f y (x, y, y) > untuk semua (x, y, y) D dan - ada konstanta M dengan f y (x, y, y) D untuk semua (x, y, y) D maka masalah nilai batas akan mempunyai solusi unik. III.. Metode shooting (shooting method) A. Metode shooting linier (linier shooting method) Metode shooting linier untuk persamaan linier didasarkan pada penggantian persamaan linier nilai batas (boundary value) menjadi dua persamaan nilai awal (initial value), prinsipnya sebagai sebuah algoritma iterasi yang berusaha mengidentifikasi kecocokan kondisi awal (initial condition) untuk dihubungkan dengan masalah nilai awal yang merupakan solusi masalah nilai batas []. Metode shooting linier, mengubah sebuah masalah nilai batas menjadi dua buah masalah nilai awal. Persamaan y = p(x)y + q(x)y + r(x), a x b, y(a) = dan y(b) = diubah menjadi y = p(x)y + q(x)y + r(x), a x b, y(a) =, y(a) = dengan solusi y (x). y = p(x)y + q(x)y, a x b, y(a)=, y(a)= dengan solusi y (x), y (b). Solusi seluruhnya y(x) = y (x) + y( b) y (x). y ( b) Dua persamaan tersebut adalah masalah nilai awal dan solusinya dapat dicapai melalui metodemetode yang berlaku pada masalah nilai awal. B. Metode shooting taklinier (nonlinier shooting method) Teknik shooting untuk masalah nilai batas taklinier orde dua dapat dinyatakan dengan y = f(x, y, y), a x b, dengan y(a) =, y(b) = (5) Persamaan (5) sama seperti kondisi linier kecuali solusinya tak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari solusi-solusi untuk dua masalah nilai awal. Solusi taklinier melalui sekuen (sequence) nilai awal dengan melibatkan sebuah parameter t. Tinjau persamaannya y = f(x, y, y), a x b, y(a) = dan y(a) = t (6) dengan memilih t = t k sehingga memastikan berlaku lim k y(b, t k ) = y(b) =. y(x,t k ) solusi masalah nilai awal Persamaan (6), bila t = t k maka y(x) sebagai solusi nilai batas Persamaan (5). ISSN
14 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 5 Penentuan parameter t k melalui metode secant (secant method) akan didapat pendekatan t dan t dengan t k = t k- - ( y( b, tk ) )( tk tk), k =, 3,. y( b, t ) y( b, t ) k k Bila {t k } ditentukan dengan metode Newton maka cukup diperlukan nilai t saja dengan bentuk iterasinya t k = t k y b,t k β, tapi metode ini perlu pengetahuan tentang (dy/)(b, dy b,t k t k- ) dan cukup menyulitkan karena pernyataan ekspilit y(b,t) tak diketahui, yang diketahui hanya y(b, t ), y(b, t ),.. y(b, t k- ) []. Berikut contoh penyelesaian metode shooting linier secara numerik [4]. Tinjau persamaan diferensial biasa yang mewakili pergeseran radial u sepanjang bejana bertekanan dengan jari- jari dalam a dan jari-jari luar b d u du u (Gambar ). dr r dr r Gambar. Potongan melintang sebuah bejana bertekanan Regangan arah tangensial pada bejana t = u/r, misalkan a = 5 dan b = 8 maka t r=a =,3873, t r=b =,377, maka persamaan awal menjadi d u du u (7) dr r dr r dengan u(5) =,3873 dan u(8) =,377. Solusi tepat (exact) u =,346r +,6/r. Persamaan (7) sebagai masalah nilai batas (boundary value), dan dengan metode shooting diubah menjadi dua persamaan diferensial nilai awal orde satu. Bila du w maka Persamaan (7) dr menjadi dw w u dengan w(5) = tak diketahui. Misalkan w(5) = du (5) u( 8) u(5) dr r r dr 8 5 -,6538 maka diperoleh du w f( r, u, w), u(5) =,3873 dr dw w u f ( r, u, w), w(5) = -,6538. dr r r Pakai metode yang berlaku pada permasalahan nilai awal, misalkan metode Euler (persamaan 3) maka didapat, ui ui h fi ( ri, ui, wi ) dan w ( i wi h f ri, ui, wi ). Bila diambil 4 segmen antara batas r = 5 dan r = 8, h = (8-5)/4 =,75 maka dengan i =, r = 5, u =,3873, w = -,6538. u u h f( r, u, w ) =,3873+(,75)f [5, ;,3837 ; -,6538]=,3674 w w h f r, u, ) = -, (,75) f [5, ;,3837 ; -,6538] ( w ISSN
15 6 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 = -,6538+(,75),6538,3837 ( ) = -, i =, r = r +h = 5+,75 = 5,75, u =,3674, w = -,938. u u h f r, u, ) =,359, w w h f r, u, ) = -,7. ( w ( w i =, r = r +h = 5,75+,75 = 6,5, u =,359, w = -,7. u u h f r, u, ) =,3583, w w h f r, u, ) = -, ( w 3 ( w i = 3, r 3 = r +h = 6,5+,75 = 7,5, u =,3583, w = -,533. u u h f r, u, ) =,363, w w h f r, u, ) = -, ( 3 3 w3 4 3 ( 3 3 w3 saat r 4 = r 3 +h = 7,5+,75 = 8, u 4 = u(8),363 dan nilai yang diketahui saat u 4 = u(8),377. Rangkuman hasil perhitungan ini dinyatakan pada Tabel 3. Bila diambil pendekatan w(5) = du (5) u ( 8) u(5) -,5376, maka didapat dr 8 5 u 4 = u(8),9665 (Euler), u 4 = u(8),3769 (linear interpolation) dan dengan Runge-Kutta hasilnya lebih baik lagi [4], dan rangkumannya ditunjukkan pada Tabel 3. TABEL 3. SOLUSI PERSAMAAN (7) DENGAN BEBERAPA METODE YANG BERBEDA r Solusi tepat Metode Euler, w(5) = du Metode Euler dan Metode Runge-Kutta (5) (in) (exact) dr Interpolasi linier (orde 4) 5,3873,3873,3873,3873 5,75,35567,3674,3585, ,5,33366,359,3858,3334 7,5,389,3583,358,379 8,377,363,377,373 Gambar. Perbandingan kemiringan untuk beberapa perkiraan awal yang berbeda. Grafik pada Gambar, memperlihatkan du/dr =,486 yang paling mendekati nilai exact. Pada metode shooting dilakukan interpolasi linier atau taklinier untuk mencari nilai pendekatan awal dan saat akhirnya diperoleh nilai yang sama dengan nilai yang diketahui, pada contoh kasus yang ditinjau terjadi pada pemisalan w(5) = du (5) = -,6538 dengan nilai dr pendekatan w(5) = du (5) = -,5376. dr III.. Metode beda berhingga (finite difference method) Metode beda berhingga (finite difference method) digunakan untuk memecahkan ISSN
16 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 7 persamaan diferensial biasa yang memiliki kondisi permasalahan nilai batas (boundary value problem). Pada metode ini setiap turunan persamaan diferensial dari persamaan finite-difference diganti dengan pendekatan difference-quotient yang sesuai. Pada metode shooting linier dan taklinier untuk masalah nilai batas dapat menimbulkan masalah ketidakstabilan, dengan metode beda berhingga didapat karakteristik kestabilan yang lebih baik walaupun perlu perhitungan yang lebih komplek untuk mencapai akurasi yang ditentukan. Contoh dari persamaan diferensial biasa orde dua d y = f(x, y, dx y ) dengan a x b dan kondisi batas y(a) = y a, y(b) = y b. Banyak akademisi beranggapan masalah nilai batas tergantung pada posisi (positiondependent) dan nilai awal tergantung pada waktu (time-dependent), maksud dari pernyataan tersebut dapat dinyatakan melalui persamaan (7) yang telah dibahas pada metode shooting d u du u, dengan u(5) =,3873 dan u(8) =,377. dr r dr r Gambar 3. Titik-titik sepanjang arah radial sebuah bejana bertekanan. Bila diambil lima segmen sepanjang arah radial (Gambar 3) maka titk-titik i d u ui ui ui dan du ui ui. Persamaan ini substitusikan kepada persamaan (7) dr r dr r didapat ui ui ui + ui ui - u i = atau r r i r r i u i + ui ( r) r ri r r + ( ) i ( ) u =. i r ri r Dengan n = 5, r = (b-a)/n = (8-5)/5 =,6 maka i =, r = 5, u =,3873 i =, r = r +r =5+,6 = 5,6 maka u + u + u =,6,6 (5,6)(,6) (5,6),6 (5,6)(,6) didapat,7778u 5,885u +3,754u = i =, r = r +r =5,6+,6 = 6,, didapat,7778 u 5,854 u + 3,466 u 3 = i = 3, r 3 = r +r =6,+,6 = 6,8, didapat,7778 u 5,83 u 3 + 3,9 u 4 = i = 4, r 4 = r 3 +r =6,8+,6 = 7,4, didapat,7778 u 3 5,799 u 4 + 3,3 u 5 = i = 5, r 5 = r 4 +r =7,4+,6 = 8, didapat u(5) = u r=b =,377. Didapat harga-harga u ISSN
17 8 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 u =,3873; u =,3665; u =,34; u 3 =,3743 u 4 =,368; u 5 =,3769. Pendekatan yang dilakukan sebelumnya du ui ui dr r bersifat akurasi orde satu dengan kesalahan O(r), bila pendekatannya orde dua d u ui ui ui dr r maka kesalahan O(r), bila kedua pendekatan ini digabungkan akan menghasilkan akurasi orde satu O(r). Pendekatan yang lebih baik bila du ui ui karena akurasinya orde dua dan menghasilkan perhitungan dr r yang lebih mendekati nilai sebenarnya dengan kesalahan yang lebih kecil [4]. d u ui ui ui du ui ui Ambil pendekatan dan dr r dr r, Persamaan (7) menjadi ui ui ui ui ui ui r r r r atau ri ( r) ( r) i u i + i ( r) ri ui + ( ) ui r ri r Dengan n = 5, r = (b-a)/n = (8-5)/5 =,6 maka i =, r = a = 5, u =,3873 i =, r = r + r = 5 +,6 = 5,6 u + u + (5,6)(,6) (,6) (,6) (5,6) (,6) =. u = (5,6)(,6) didapat,697 u - 5,5874 u +,966 u = i =, r = r + r = 5,6 +,6 = 6, didapat,643 u - 5,58 u +,9 u 3 = i = 3, r 3 = r + r = 6, +,6 = 6,8 didapat,655 u - 5,577 u 3 +,93 u 4 = i = 4, r 4 = r 3 + r = 6,8 +,6 = 7,4 didapat,655 u 3-5,5738 u 4 +,893 u 5 = i = 5, r 5 = r 4 + r = 7,4 +,6 = 8 didapat u(5) = u r=b =,3769 sehingga u =,3873 u =,365 u =,3459 u 3 =,3689 u 4 =,3586 u 5 =,3769 Rangkuman dari harga u dengan pendekatan orde satu dan orde dua dinyatakan pada Tabel 4. TABEL 4. SOLUSI PERSAMAAN (7) DENGAN PENDEKATAN du dr ORDEE SATU DAN DUA. r u exact u orde satu t u orde dua t ,56.365, ,6.3459, , , , , ,.3769, IV. KONTROL OPTIMAL Teori kontrol optimal adalah pengembangan dari kalkulus variasi (calculus of variations) t klasik. Bentuk integral J = F( x, x, t) disebut fungsional (functional) dengan F sebuah t ISSN
18 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 9 fungsi dari x(t), x (t) sebagai turunannya dan t variabel independen. Jalur x(t) didefinisikan untuk t t t secara umum x = x (t) memberikan nilai J = J dan x = x (t) memberikan nilai J = J, J J. Gambar 4. Kemungkinan jalur antara titik A dan B. Tinjau kasus berikut ini, pada Gambar 4, diinginkan jalur (path), y = y(x) antara titik A dan B yang memberikan nilai ekstrumum secara funsional [5]. Misal C kurva yang diinginkan dengan persamaan y (x), ambil C disekitar C dengan persamaan y (x) = y (x) + (x), = parameter yang kecil, jika = akan memberikan kurva optimal untuk C (C = C ), (x) = perubahan fungsi diferensial dari x, (a) = (b) =. Bentuk umum J untuk jalur C adalah, J = d dj, agar J() ekstremum maka, sehingga dx d b b dy [ F( y, y' ', x] dx, y= dan dx dj df [ Fy ( y, y' ', x) y' Fy' ( y, y' ', x)] dx d dengan F y = dan Fy dy a df = dy' Melalui lemma [5] didapat F y - d (Fy ) = (8) dx Persamaan (8) sebagai persamaan Euler atau Euler-Lagrange dan harus memenuhi jalur y(x) yang menghasilkan nilai ekstremum fungsional J. Bentuk khusus persamaan Euler adalah - ketika F independen dari y, didapat d (Fy ) =, (F y ) = konstanta. dx - ketika F independen dari x, didapat df = y d (Fy ) + yf y = d (yfy ), F - yf y = konstanta dx dx dx Bila integrasi batas akhir (b) tak dispesifikasikan, didapat Bentuk fungsional dengan persamaan Euler b a df =. dy' J F x, x,..., x, x, x,..., x, t) (9) F x i a - d ( n n F =, dan jika x i bebas maka F x = () i x i Pada beberapa masalah optimalisasi, didapat batasan (constraint) pada variabelnya, misalkan nilai ekstremum f(x, x ) dengan batasan g(x, x ) =. Asumsikan tak mungkin ISSN
19 3 ELECTRICAL ENGINEERING JOURNAL, VOL. 4, NO., APRIL 4 menghilangkan batasan x atau x, maka perkenalkan pengali Lagrange (Lagrange multiplier) dan fungsi yang diperluas f* = f(x, x ) + g(x, x ), didapat nilai ekstremum f* f * = f * =, x x dengan x, x fungsi dari parameter sehingga x (), x (), sejak f* f maka didapat kondisi ekstremum untuk f. Persamaan (9) dapat dituliskan dengan bentuk J b a F x, x,..., x, u, u,..., u, t), x ( n variabel keadaan (state variable), u variabel kontrol (control variable), persamaan Euler F - d F x i = dan F d F x i u i =. u i Tinjau bentuk umum T J f ( x, u, t) pada persamaan diferensial x = f(x, u, t), dengan kondisi batas x() = a. Melalui pengali Lagrange maka bentuk perluasan fungsional J T * { f ( x, u, t) [ f ( x, u, t) x]}, dengan F = f (x,u,t) + [f(x,u,t) - x ] sebagai sebuah fungsi dua variabel x dan u dan bentuk persamaan Euler F - d F = f + f + = dan F - d F = f + f = x x x x u x u u Bila didefinisikan bentuk Hamiltonian H = f + f, maka H, = H dan x u bersama dengan persamaan x = f(x, u, t) akan menentukan jalur kondisi optimal. A. Contoh penyelesaian dengan konsep kontrol optimal. ) Cari nilai ekstremum f(x, x ) = x + x yang berlaku pada x + 3x = 4. Didapat x + 3x = 4 atau x = 4-3x sehingga f(x, x ) = (4-3x ) + x. Libatkan pengali Lagrange dengan perluasan fungsional f* = x + x + (x + 3x - 4), nilai ekstrenum dari f* f * = f * = x x, maka x + = dan x +3 = atau x = -/, x = -3/4 yang harus memenuhi batasan x + 3x = 4, didapat (-/) + [3(-3/4)] = 4, (-/4) + (-9/4) = 4, = -6/, ekstremum terjadi saat x = -/ = 3/ dan x = -3/4 = 48/44. ) Diketahui x+ x = u dengan x() = x, x(t) = (persamaan diferensial orde satu). T Minimumkan J = (x + u ). Libatkan pengali Lagrange J T = (x + u + λ(x + x u)), integran F = x + u + (x + x - u) sebagai fungsi dua variabel x dan u, persamaan Euler F - d F = ; x + - = dan F - d F = ; u - =. Selesaikan persamaanpersamaan x + x = u; x + - = ; u - =, maka x x = dengan x = Ae t + Be t x x' u u' atau dipakai bentuk x = a cosh T + b sinh T. Kemudian masukkan kondisi batas x() = x, x(t) =, didapat x sinh ( T t) x dan sinh ( T t) cosh ( T t) u x. sinh T sinh T 3) Diketahui x+ x = u dengan x = a, x = b, saat t, x dan x (persamaan diferensial orde dua). Minimumkan J = (x + au ) dengan = konstanta. Misalkan x = x dan x = x atau x - x = dan persamaan x + x = u menjadi - x - x + u =. n ISSN
20 IKHTISAR TEKNIK KONTROL OPTIMAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 Perluasan fungsional J = [ (x + au ) + λ x x + λ x x + u ] F F Persamaan Euler x F x F u - d - d - d Hilangkan unsur didapat =, didapat ½ ( x ) - d (- ) = x - =. x ' F =, didapat - - d (- ) = - + =. x ' F =, didapat ½ (u) + - d () = u + =. u' 4 d x d x x =, ambil nilai = 4, solusi x = e mt dengan m harus memenuhi m 4 m + ¼ = (m ½) =, sehingga m = /, masukkan kondisi batasnya didapat x = [a + (b+a/)t] e -t/ ; x = [b - (b+a/)t/] e -t/ dan u = [-a/ - ( - )b (b+a/)( /)t/] e -t/. V. KESIMPULAN Teknik kontrol optimal dapat diterapkan sebagai teknik baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation, ODE). Penyelesaian melalui kontrol optimal dapat dipandang sebagai sebuah masalah nilai batas (boundary value), yang penyelesaiannya dapat dilakukan melalui metode nilai awal (initial value), dan telah banyak tersedia buku referensi mengenai metode nilai awal sebagai metode klasik untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu. Karya tulis ini sebagai ikhtisar dari karya tulis sebelumnya [], diharapkan berguna dapat membantu memahami kerangka berlogika untuk menghubungkan permasalahan nilai awal, nilai batas dan teknik kontrol optimal. Melalui teknik kontrol optimal diperoleh kesalahan yang lebih kecil, pernyataan tersebut bisa menjadi perdebatan karena saat mencari dan mengumpulkan materi untuk ikhtisar diperoleh informasi, solusi numerik dicapai melalui proses iterasi yang bergantung kepada tingginya orde pendekatan, pemotongan lokal (local truncation), pembulatan (round-off) dan seberapa besar penyempurnaan/pengembangan terhadap metode-metode sebelumnya. DAFTAR REFERENSI [] L. Bayon, J.M. Grau, M.M. Ruiz and P.M. Suarez, A Bolza, An Optimal Control Technique for Solving Differential Equations, AIP Conference Proceedings, 9, Vol. 48, Issue, p.5-8, [] R.L. Burden and J.D. Faires, Numerical Analysis, Boston Thomson Brooks/Cole,. [3] U.M. Ascher, R. Mattheij, and R.D. Russell, Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Philadelphia SIAM, 995. [4] A. Kaw, C. Barker, Numerical Method with Applications, Florida University of South Florida, 9. [5] T.T. Nguyen, Introduction to Control Theory Including Optimal Control, http//www4.hcmut.edu.vn/ ~nttien/optimal_control. ISSN
Sagita Charolina Sihombing 1, Agus Dahlia Pendahuluan
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 14, No. 1 (2018), pp. 51 60. p-issn:1412-6184, e-issn:2549-903 doi:10.24198/jmi.v14.n1.15953.51-60 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Orde Satu dan Dua disertai
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung derivatif dari variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial sendiri
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON ORDE EMPAT UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE TIGA KOEFISIEN KONSTAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 21 25 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENERAPAN METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON ORDE EMPAT UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Aryati dkk.(2003) menyatakan bahwa persamaan diferensial adalah formulasi matematis dari masalah di berbagai bidang kehidupan. Persamaan diferensial sering
Lebih terperinciPENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 2 (2014), hal 125 134. PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH
Lebih terperinciPenyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks
Penyelesaian Masalah Syarat Batas dalam Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua dengan Menggunakan Algoritma Shooting Neural Networks Dewi Erla Mahmudah 1, Ratna Dwi Christyanti 2, Moh. Khoridatul Huda 3,
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciPENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3
PENGARUH PERUBAHAN NILAI PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDE 3 Tornados P. Silaban 1, Faiz Ahyaningsih 2 1) FMIPA, UNIMED, Medan, Indonesia email: tornados.p_silaban@yahoo.com 2)
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4
ASPEK STABILITAS DAN KONSISTENSI METODA DALAM PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DENGAN MENGGUNAKAN METODA PREDIKTOR- KOREKTOR ORDE 4 Asep Juarna, SSi, MKom. Fakultas Ilmu Komputer, Universitas
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT DAN METODE ADAMS-BASHFORTH ORDE EMPAT DALAM PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL ORDE SATU
PERBANDINGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT DAN METODE ADAMS-BASHFORTH ORDE EMPAT DALAM PENYELESAIAN MASALAH NILAI AWAL ORDE SATU Lilik Prasetiyo Pratama Jurusan Matematika, FMIPA UNS 1. LATAR BELAKANG
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PENERAPAN METODE NEWTON-COTES OPEN FORM 5 TITIK UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER M Ziaul Arif, Yasmin
Lebih terperinciBANK SOAL METODE KOMPUTASI
BANK SOAL METODE KOMPUTASI 006 iv DAFTAR ISI Halaman Bio Data Singkat Penulis.. Kata Pengantar Daftar Isi i iii iv Pengantar... Kesalahan Bilangan Pendekatan... 6 Akar-akar Persamaan Tidak Linier.....
Lebih terperinciPENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL FUZZY ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON ORDE TIGA
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 2 (2014), hal 117 124. PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL FUZZY ORDE SATU MENGGUNAKAN METODE ADAMS BASHFORTH MOULTON ORDE TIGA
Lebih terperinciMETODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL ABSTRACT
METODE TRANSFORMASI ELZAKI DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINEAR ORDE DUA DENGAN KOEFISIEN VARIABEL Marpipon Haryandi 1, Asmara Karma 2, Musraini M 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciKata Pengantar... Daftar Isi... Daftar Padan Kata...
Daftar Isi Kata Pengantar... Daftar Isi... Daftar Padan Kata... iii v xi 1. Metode Numerik Secara Umum... 1 1.1 Metode Analitik versus Metode Numerik... 4 1.2 Metode Numerik dalam Bidang Rekayasa... 6
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pada metode numerik, dikenal suatu metode untuk menaksir atau mencari solusi pendekatan nilai eksak dari suatu ordinat y n+1 dengan diketahui nilai dari y n,
Lebih terperinciTEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
TEKNIK ITERASI VARIASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Koko Saputra 1, Supriadi Putra 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciMETODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR
METODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com November 12, 2006 Suatu
Lebih terperinciPENDAHULUAN METODE NUMERIK
PENDAHULUAN METODE NUMERIK TATA TERTIB KULIAH 1. Bobot Kuliah 3 SKS 2. Keterlambatan masuk kuliah maksimal 30 menit dari jam masuk kuliah 3. Selama kuliah tertib dan taat aturan 4. Dilarang makan dan minum
Lebih terperinciJurnal Matematika Integratif ISSN Volume 12 No 1, April 2016, pp 35 42
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Volume 12 No 1, April 2016, pp 35 42 Perbandingan Tingkat Kecepatan Konvergensi dari Newton Raphson dan Secant Setelah Mengaplikasikan Aiken s dalam Perhitungan
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB Solusi Persamaan Fungsi Polinomial BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal 5
Lebih terperinciBAB 1 Konsep Dasar 1
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial 2 BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3 BAB 4 Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier 4 BAB 5 Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini dijelaskan metode Adams Bashforth-Moulton multiplikatif (M) orde empat beserta penerapannya. Metode tersebut memuat metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat
Lebih terperinciAnalisis Numerik Integral Lipat Dua Fungsi Trigonometri Menggunakan Metode Romberg
Analisis Numerik Integral Lipat Dua Fungsi Trigonometri Menggunakan Metode Romberg Numerical Analysis of Double Integral of Trigonometric Function Using Romberg Method ABSTRAK Umumnya penyelesaian integral
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ABSTRACT
MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA Kristiani Panjaitan 1, Syamsudhuha 2, Leli Deswita 2 1 Mahasiswi Program
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciUJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I
PETUNJUK UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIS I DR. IR. ISTIARTO, M.ENG. KAMIS, 8 JUNI 017 OPEN BOOK 150 MENIT 1. Saudara tidak boleh menggunakan komputer untuk mengerjakan soal ujian ini.. Tuliskan urutan/cara/formula
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciMETODE FINITEDIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS
METODE FINITEDIFFERENCE INTERVAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS Aziskhan, Mardhika W.A, Syamsudhuha Jurusan MatematikaFMIPA Universitas Riau Abstract. The aim of this paper is to solve a heat equation
Lebih terperinciMETODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Imaddudin ABSTRACT
METODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Imaddudin Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciPertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi. Metode Newton Metode Spline
Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi Metode Newton Metode Spline Pertemuan 9 : Interpolasi 2 Interpolasi Newton Polinomial Maclaurin dan polinomial Taylor menggunakan satu titik pusat, x 0 untuk
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR. Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
MODIFIKASI METODE RUNGE-KUTTA ORDE-4 KUTTA BERDASARKAN RATA-RATA HARMONIK TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA PUTRI ARDIANTI
Lebih terperinciMETODE NUMERIK SEMESTER 3 2 JAM / 2 SKS. Metode Numerik 1
METODE NUMERIK SEMESTER 3 2 JAM / 2 SKS Metode Numerik 1 Materi yang diajarkan : 1. Pendahuluan - latar belakang - mengapa dan kapan menggunakan metode numerik - prinsip penyelesaian persamaan 2. Sistim
Lebih terperinciSolusi Numerik Persamaan Logistik dengan Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian Dan Metode Milne
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol. 9 No. 2, Oktober 2013 pp. 23-30 Solusi Numerik Persamaan Logistik dengan Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian Dan Metode Milne Elis Ratna Wulan, Fahmi
Lebih terperinciMETODE ITERASI DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN BERDASARKAN INTERPOLASI POLINOMIAL ABSTRACT
METODE ITERASI DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN BERDASARKAN INTERPOLASI POLINOMIAL N.D. Monti 1, M. Imran, A. Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciSKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI-INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS
PRESENTASI TUGAS AKHIR KI091391 SKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI-INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS (Kata kunci:persamaan burgers,
Lebih terperinciPENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE
PENERAPAN METODE ELEMEN HINGGA UNTUK SOLUSI PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Viska Noviantri Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus University Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah,
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6 No. 02 (2017), hal 69 76. MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR Mahmul, Mariatul Kiftiah, Yudhi
Lebih terperinciPERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI
PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI oleh AMELIA FEBRIYANTI RESKA M0109008 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciMETODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL FRAKSIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL oleh ASRI SEJATI M0110009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI TRIANGULAR ABSTRACT ABSTRAK
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI TRIANGULAR Suci Dini Anggraini 1, Khozin Mu tamar 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36
Lebih terperinciMata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb
Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XII Differensial e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 PENDAHULUAN Persamaan diferensial
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) IKG2E3 KOMPUTASI NUMERIK Disusun oleh: PROGRAM STUDI S1 ILMU KOMPUTASI FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini
Lebih terperinciMETODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI Lely Jusnita 1
METODE MODIFIKASI NEWTON DENGAN ORDE KONVERGENSI 1 + Lely Jusnita 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDA LINIER ORDE 1 DENGAN METODE KARAKTERISTIK
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 45 49 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDA LINIER ORDE 1 DENGAN METODE KARAKTERISTIK FEBBY RAHMI ALFIONITA,
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Painleve Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian Laplace
Penyelesaian Persamaan Painleve Menggunakan Metode Dekomposisi Adomian Laplace M. Nizam Muhaijir 1, Wartono 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim
Lebih terperinciTEKNIK ITERASI VARIASIONAL DAN BERBAGAI METODE UNTUK PENDEKATAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR. Yeni Cahyati 1, Agusni 2 ABSTRACT
TEKNIK ITERASI VARIASIONAL DAN BERBAGAI METODE UNTUK PENDEKATAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR Yeni Cahyati 1, Agusni 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciMETODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS KEDUA. Edo Nugraha Putra ABSTRACT ABSTRAK 1.
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS KEDUA Edo Nugraha Putra Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT. Masnida Esra Elisabet ABSTRACT
MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT Masnida Esra Elisabet Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciPendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012 Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan
Lebih terperinciKAJIAN SEJUMLAH METODE UNTUK MENCARI SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL
KAJIAN SEJUMLAH METODE UNTUK MENCARI SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL Mulyono 1) 1) Program StudiSistemKomputer FMIPA UNJ mulyono_unj_2006@yahoo.co.id Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan
Lebih terperinciMODIFIKASI FAMILI METODE ITERASI MULTI-POINT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Yolla Sarwenda 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
MODIFIKASI FAMILI METODE ITERASI MULTI-POINT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Yolla Sarwenda 1, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciMETODE GENERALISASI SIMPSON-NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN KONVERGENSI KUBIK. Resdianti Marny 1 ABSTRACT
METODE GENERALISASI SIMPSON-NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN KONVERGENSI KUBIK Resdianti Marny 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui nilainya dan diketahui jumlah
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Kalkulus merupakan salah satu prestasi tertinggi dari kecerdasan manusia.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kalkulus merupakan salah satu prestasi tertinggi dari kecerdasan manusia. Disiplin ilmu Matematika ini secara umum berasal dari penyelidikan oleh Isaac Newton (1642-1727)
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH KODE / SKS PROGRAM STUDI : REKAYASA KOMPUTASIONAL (d/h Metode Numerik) : TI / 2 SKS : TEKNIK INFORMAA Pertemu Pokok Bahasan an ke dan 1 Pendahuluan-1 Agar mahasiswa
Lebih terperinciLAPORAN TUGAS AKHIR. Topik Tugas Akhir : Kajian Matematika Murni
LAPORAN TUGAS AKHIR Topik Tugas Akhir : Kajian Matematika Murni SOLUSI NUMERIK DAN ANALISIS GALAT SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-3 DENGAN MENGGUNAKAN METODE SATU LANGKAH (ONE STEP METHOD) DAN METODE
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1
Lebih terperinciMetode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial
Metode Beda Hingga untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Ikhsan Maulidi Jurusan Matematika,Universitas Syiah Kuala, ikhsanmaulidi@rocketmail.com Abstract Artikel ini membahas tentang salah satu
Lebih terperinciPrakata Hibah Penulisan Buku Teks
Prakata Syukur Alhamdulillah kami panjatkan ke hadhirat Allah SwT, atas hidayah dan kekuatan yang diberikannya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan buku Pengantar Komputasi Numerik dengan
Lebih terperinciANALISIS KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN BARU UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA NONLINEAR JENIS KEDUA. Rini Christine Prastika Sitompul 1
ANALISIS KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN BARU UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA NONLINEAR JENIS KEDUA Rini Christine Prastika Sitompul 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL KUADRAT NONLINEAR. Eka Parmila Sari 1, Agusni 2 ABSTRACT
SOLUSI NUMERIK UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL KUADRAT NONLINEAR Eka Parmila Sari 1, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciMETODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE
METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE oleh HILDA ANGGRIYANA M0109035 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciSOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU ABSTRACT
SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU Vanny Octary 1 Endang Lily 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciMETODE RUNGE-KUTTA DAN BLOK RASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL
METODE RUNGE-KUTTA DAN BLOK RASIONAL UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Agung Christian
Lebih terperinciFAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA. Rahmawati ABSTRACT
FAMILI METODE ITERASI DENGAN KEKONVERGENAN ORDE TIGA Rahmawati Mahasiswa Program Studi S Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya,
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NONLINIER ORDE DUA DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada
Lebih terperinciFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
METODE SIMPSON-LIKE TERKOREKSI Ilis Suryani, M. Imran, Asmara Karma Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciJurnal MIPA 37 (2) (2014): Jurnal MIPA.
Jurnal MIPA 37 (2) (2014): 192-199 Jurnal MIPA http://journal.unnes.ac.id/nju/index.php/jm PENYELESAIAN PERSAMAAN DUFFING OSILATOR PADA APLIKASI WEAK SIGNAL DETECTION MENGGUNAKAN METODE AVERAGING Z A Tamimi
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier
Lebih terperinciBAB 1. KONSEP DASAR. d y ; 3x = d3 y ; y = 3 d y ; x = @u @z 5 6. d y = 7 y x Dalam bahan ajar ini pemba
BAB 1 Konsep Dasar 1.1 Klasikasi Persamaan Difrensial Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui
Lebih terperinciKONSEP METODE ITERASI VARIASIONAL ABSTRACT
KONSEP METODE ITERASI VARIASIONAL Yuliani 1, Leli Deswita 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciMETODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1. Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 3 & 4
METODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 3 & 4 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER METODE NUMERIK TEKNIK INFORMATIKA S1 3 SKS Mohamad Sidiq MATERI PERKULIAHAN SEBELUM-UTS Pengantar
Lebih terperinciSilabus dan Satuan Acara Perkuliahan
Fakultas Teknik No. Dokumen : FT SSAP-S3-10 Program Studi Teknik Elektro No. Revisi : 02 Silabus dan Satuan Acara Perkuliahan Tgl.Revisi :13-07-2006 Tgl. Berlaku :13-07-2006 KOMPUTASI NUMERIK DAN SIMBOLIK
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciMETODE ITERASI KSOR UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI KSOR UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Adek Putri Syafriani, Syamsudhuha 2, Zulkarnain 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciPerbandingan Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Menggunakan Metode Backpropagation, Euler, Heun, dan Runge-Kutta Orde 4
Jurnal Telematika, vol. 11 no. 1, Institut Teknologi Harapan Bangsa, Bandung ISSN: 1858-2516 Perbandingan Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Menggunakan Metode Backpropagation, Euler, Heun, dan Runge-Kutta
Lebih terperinciVARIAN METODE HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA DENGAN ORDE KEKONVERGENAN ENAM. Siti Mariana 1 ABSTRACT ABSTRAK
VARIAN METODE HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA DENGAN ORDE KEKONVERGENAN ENAM Siti Mariana 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciFORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU ABSTRACT
FORMULA PENGGANTI METODE KOEFISIEN TAK TENTU Syofia Deswita 1, Syamsudhuha 2, Agusni 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lebih terperinciPendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan (bidang fisika, kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Akibatnya model matematika sistem dinamik mengandung derivative biasa
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Ilmu Pengetahuan memberikan landasan teori bagi perkembangan teknologi, salah satunya adalah matematika. Cabang matematika modern yang mempunyai cakupan wilayah penelitian
Lebih terperinciMasalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone
Lebih terperinciSKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI- INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS
SKEMA NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS MENGGUNAKAN METODE CUBIC B-SPLINE QUASI- INTERPOLANT DAN MULTI-NODE HIGHER ORDER EXPANSIONS Nafanisya Mulia 1, Yudhi Purwananto 2, Rully Soelaiman 3
Lebih terperinciPERBANDINGAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON- RAPHSON DAN METODE JACOBIAN
E-Jurnal Matematika Vol. 2, No.2, Mei 2013, 11-17 ISSN: 2303-1751 PERBANDINGAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE NEWTON- RAPHSON DAN METODE JACOBIAN NANDA NINGTYAS RAMADHANI UTAMI 1,
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan
Lebih terperinciMETODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Neng Ipa Patimatuzzaroh 1 ABSTRACT
METODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Neng Ipa Patimatuzzaroh Mahasiswa Program Studi S Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMETODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK ABSTRACT
METODE BERTIPE NEWTON UNTUK AKAR GANDA DENGAN KONVERGENSI KUBIK Risvi Ayu Imtihana 1, Asmara Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBab 1. Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum
Bab 1. Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum Yuliana Setiowati Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007 1 Topik Pendahuluan Persoalan matematika Metode Analitik vs Metode Numerik Contoh Penyelesaian
Lebih terperinciFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
INTEGRASI NUMERIK TANPA ERROR UNTUK FUNGSI-FUNGSI TERTENTU Irma Silpia 1, Syamsudhuha, Musraini M. 1 Mahasiswi Jurusan Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciDiscrete Time Dynamical Systems
Discrete Time Dynamical Systems Sheet 1 and Solution (1) Tentukan titik tetap dari fungsi berikut. (a) f(x) = x x (b) f(x) = 2x + bx (c) f(x) = e (a) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x x x = x x
Lebih terperinci