DE-ALGEBRAS, E-LOGIC DAN E-SET THEORY. Denik Agustito

Transkripsi

1 DE-ALGEBRAS, E-LOGIC DAN E-SE HEORY Denik Agustito Pendidikan Matematika, Universitas Sarjanawiyata amansiswa ABSRAK Dalam logika biasa, disjungsi yang digunakan dalam beberapa pernyataan matematika menggunakan disjungsi inklusif ini mendapatkan sebuah struktur aljabar baru yang terdiri dari himpunan semua pernyataan bersama dengan konjungsi, disjungsi inklusif, negasi, tautologi kontradiksi yang akan dinan dengan aljabar boolean Didalam logika biasa juga ada sebuah gagasan disjungsi yang lain yaitu disjungsi eksklusif Paper ini akan menjelaskan tentang struktur aljabar baru yang dikonstruksi jika disjungsi inklusifnya diganti dengan disjungsi eksklusif apa akibatnya bagi logika teori himpunan jika dibangun berdasarkan struktur aljabar yang baru tadi Kata kunci: DE-Algebras, E-Logic, E-Set heory PENDADULUAN Aljabar Boolean merupakan sebuah struktur aljabar yang dapat dipang sebagai abstraksi yang terdiri dari himpunan semua proposisi bersama dengan signature logic (kumpulan operasi pada proposisi) Himpunan semua proposisi bersama dengan signature logic mengimbas beberapa gagasan dalam teori himpunan terutama gagasan operasi di antara himpunan seperti irisan, gabungan komplemen Beberapa operasi di antara proposisi seperti konjungsi, disjungsi negasi, dalam logika biasa berturut-turut mengimbas beberapa operasi dalam teori himpunan yaitu irisan, gabungan komplemen Akibatnya di antara logika biasa yang mencakup himpunan semua proposisi bersama dengan signature logicnya memliki paan ke teori himpunan yang terdiri dari koleksi semua himpunan bersama dengan operasi di antara himpunan Sekarang amati bahwa dalam logika biasa, sebuah disjungsi di antara dua buah pernyataan akan bernilai benar jika salah satu dari dua pernyataan tersebut bernilai benar disjungsi tersebut akan bernilai salah apabila kedua pernyataan tersebut bernilai salah serta katakan bahwa disjungsi tersebut dengan disjungsi inklusif Dalam logika biasapun, dijumpai jenis disjungsi (di antara dua buah pernyataan) yang lain akan bernilai benar jika tepat satu di antara kedua pernyataan tersebut bernilai benar (salah) disjungsi tersebut akan benrilai salah jika kedua pernyataan tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama serta katakan bahwa disjungsi tersebut dengan disjungsi ekslusif abel nilai kebenaran untuk dijsungsi inklusif eksklusif akan disajikan pada tabel berikut ini: p F F q F F (DisjungsiInklusif) F (DisjungsiEksklusif) F F 00 Jurnal Science ech Vol 1, No 1, Agustus 2015

2 Sekarang lihat himpunan semua proposisi (yang memuat tautologi kontradiksi K) yang dinotasikan dengan bersama dengan signature logic yaitu konjungsi yang dinotasikan dengan, disjungsi inklusif yang dinotasikan dengan negasi yang dinotasikan dengan Himpunan semua proposisi (yang memuat tautologi kontradiksi K) yang dinotasikan dengan bersama dengan signature logic yaitu serta ditulis dengan dinan dengan I- LOGIC dalam matematika diskrit bahwa membentuk sebuah aljabar boolean Apabila diganti dengan dinan dengan E- LOGIC dalam matematika diskrit bahwa tidak membentuk aljabar boolean Berdasarkan latar belakang diperoleh beberapa masalah yaitu sebagai berikut:struktur aljabar apa sifatnya bagaimana yang merupakan abstraksi dari E- LOGIC yang analog dengan aljabar boolean sebagai abstraksi dari I-LOGIC?, Sifat-sifat apa saja dari E-LOGIC yang dapat diturunkan dari struktur aljabar yang diperoleh?, Sifat-sifat apa saja dari E-SE HEORY yang diturunkan dari sifat-sifat E- LOGIC pada no 2? ujuan penelitian ini mengetahui sifat-sifat dari DE- Algebras, E-LOGIC E-SE HEORY yang akan menjadi dasar teori baru untuk membangun konsep matematika yang didasarkan pada gagasan disjungsi ekslusif Manfaat penelitian ini merumuskan sebuah teori baru dari matematika yang didasarkan pada gagasan disjungsi eksklusif DE-ALGEBRAS, E-LOGIC E-SE HEORY Bagian ini akan dibagi menjadi ke dalam tiga hasil penelitian yaitu terkait dengan DE-Algebras bersama dengan sifatsifatnya, E-LOGIC bersama dengan sifatsifatnya yang diturunkan dari sifat-sifat DE- Algebras, E-SE HEORY bersama dengan sifat-sifatnya yang diturunkan dari sifat-sifat E-LOGIC Definisi 21 Himpunan tak-kosong X bersama dengan dua buah operasi biner yang dinotasikan dengan + (katakan sebagai penjumlahan) (katakan sebagai perkalian), satu operasi uner yang dinotasikan dengan (katakan sebagai komplementeri) serta memuat dua elemen yang dinotasikan dengan 0 (katakan elemen nol) 1 (katakan elemen satuan), dinan DE-Algebras jika memenuhi aksioma berikut: Notasi 22 Untuk selanjtunya DE-Algebras yang telah dideskripsikan pada Definisi 21 akan dinotasikan dengan Contoh 23 Ring dari himpunan bilangan bulat modulo 2 yang dinotasikan dengan membentuk DE-Algebras De-Algebras, E-Logic E-Set heory 45

3 eorema 24 Jika diberikan DE-Algebras berlaku sifat berikut: (i) 0 =1 (ii) 1 =0 Bukti (i) = =1 0 = 1 (ii) 11 = 1 1 = 0 1 = 0 eroema 25 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Jadi (+ operasi biner) eorema 26 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Ambil sembarang Jelas Jadi eorema 27 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Ambil sembarang Jelas Jadi eorema 28 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Ambil sembarang Jelas (eorema 24 (ii)) (eorema 27) Jadi Remark 29 Pada DE-Algebras, berlaku eorema 210 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Dari eorema 28 diperoleh Pilih Jelas Jadi eorema 211 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas Jadi berlaku (eorema 25) eorema 212 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas berlaku 03 De-Algebras, E-Logic E-Set heory

4 Jadi (eorema 25) eorema 213 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Berdasarkan eorema 25 diperoleh Berdasarkan DE 6 jika Berdasarkan DE 5 jika Berdasarkan DE 3 jika Berdasarkan eorema 212 jika Berdasarkan eorema 241 (i) jika Karena operasi biner, jika Berdasarkan DE 6 jika Berdasarkan DE 5 jika Jadi Akibat 214 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Bukti dari akibat ini penggabungan di antara eorema 211 eorema 213 eorema 215 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas (eorema 25) (eorema 25) Jadi eorema 216 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Ambil sembarang Jelas (eorema 25) (eorema 25) Jadi eorema 217 Jika diberikan DE-Algebras (serupa dengan ) Bukti (eorema 25) (eorema 25) Jadi juga serupa untuk De-Algebras, E-Logic E-Set heory 47

5 eorema 218 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas (eorema 25) Jadi Akibat 219 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Bukti dari akibat ini penggabungan di antara 215 eorema 218 eorema 220 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas (eorema 25) ) Jadi (Hipotesis (eorema 25) eorema 221 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas (Hipotesis ) Jadi (eorema 27) eorema 222 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas (eorema 25) (Hipotesis ) Jadi Akibat 223 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Bukti dari akibat ini penggabungan di antara eorema 221 eorema 223 eorema 224 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas (eorema 25) Jadi Akibat 225 Jika diberikan DE-Algebras Bukti 03 De-Algebras, E-Logic E-Set heory

6 Bukti dari akibat ini penggabungan di antara eorema 220 eorema 224 eorema 226 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas Jadi eorema 227Jika diberikan DE-Algebras Bukti Diketahui Jelas (eorema 25) Jadi Akibat 228Jika diberikan DE-Algebras Bukti Bukti dari akibat ini penggabungan di antara eorema 215 eorema 227 Akibat 229 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Bukti dari akibat ini penggabungan di antara Akibat 214, Akibat 228 eorema 226 Selanjutnya akan diperkenalkan sebuah operasi biner lagi pada DE-Algebras yaitu operasi implise yang dinotasikan dengan Berikut akan dikaji tentang pengertian sifat-sifat dari operasi implise pada DE-Algebras Definisi 230 Diberikan DE-Algebras yang dinotasikan dengan sebagai berikut Operasi implise didefinisikan eorema 231 Jika diberikan DE-Algebras Bukti Jadi (Definisi 230) (Definisi 230) eorema 232 Jika diberikan DE-Algebras Bukti (Definisi 230) De-Algebras, E-Logic E-Set heory 49

7 (eorema 27) (Definisi 230) Jadi eorema 233Jika diberikan DE-Algebras Bukti (Definisi 230) (eorema 27) (Definisi 230) (eorema 217) (eorema 27) 04 De-Algebras, E-Logic E-Set heory

8 Jadi eorema 234 Jika diberikan DE-Algebras Bukti (Definisi 230) (eorema 216) (eorema 25) (eorema 25) (Definisi 230) Jadi eorema 235 Jika diberikan DE-Algebras (serupa dengan ) Bukti (Definisi 230) De-Algebras, E-Logic E-Set heory Jadi (serupa dengan ) eorema 236 Jika diberikan DE-Algebras (serupa dengan ) Bukti (Definisi 230) Jadi (serupa dengan ) eorema 237 Jika diberikan DE-Algebras Bukti (Definisi 230) (eorema 217) (eorema 216) 51

9 (eorema 25) Jadi Akibat 238 Jika diberikan DE-Algebras berikut berlaku: (i) (ii) Bukti pernyataan (i) (eorema 237) Jadi (ii) (eorema 216) 216(i)) (eorema (eorema 24(i)) Selanjutnya akan diperkenalkan sebuah operasi biner lagi pada DE-Algebras yaitu operasi biimplise yang dinotasikan dengan Berikut akan dikaji tentang pengertian sifat-sifat dari operasi biimplise pada DE-Algebras Definisi 239 Diberikan DE-Algebras yang dinotasikan dengan sebagai berikut Operasi biimplise didefinisikan eorema 240 Jika diberikan DE-Algebras Bukti (Definisi 239) (Definisi 230) (Akibat 238 (ii)) Jadi Lemma 241Jika diberikan DE-Algebras Bukti (Definisi 239) (Definisi 230) 04 De-Algebras, E-Logic E-Set heory

10 Jadi (eorema 27) (eorema 25) (eorema 25) eorema 242Jika diberikan DE-Algebras Bukti (Lemma 241) (eorema 25) (eorema 216) (Lemma 241) (eorema 25) (eorema 217) (eorema 217) Jadi Beberapa gagasan dalam E-LOGIC seperti pengertian dari suatu pernyataan, negasi, konjungsi, implikasi biimplikasi sama dengan yang ada pada I-LOGIC, terkecuali pada disjungsinya yaitu jika dalam I-LOGIC disjungsinya disjungsi inklusif dalam E-LOGIC, disjungsinya disjungsi eksklusif Dalam I-LOGIC, sebuah implikasi memiliki arti ini bisa ditegaskan dalam suatu kasus berikut: Jika Budi menghadapi masalah dengan memilih istri atau ibunya ini artinya bahwa jika budi tidak memilih De-Algebras, E-Logic E-Set heory 53

11 istrinya Budi harus memilih ibunya atau jika Budi tidak memilih ibunya Budi harus memilih isitrinya Dalam E- LOGIC, sebuah implikasi memiliki arti ini ditegaskan dalam suatu kasus berikut: Jika Budi tidak memilih istrinya Budi memilih ibunya ini sama artinya bahwa berlaku tepat satu Budi memilih istrinya atau Budi memilih keduaduanya yaitu istrinya sekaligus ibunya Sebagai tambahan bahwa dua buah pernyataan dalam E-LOGIC memiliki nilai kebenaran yang sama akan dinotasikan dengan eorema 243 E-LOGIC membentukde-algebras Bukti Untuk membuktikan bahwa E-LOGIC DE-Algebras, ini cukup ditun jukan dengan tabel nilai kebenaran dimana operasi penjumlahan didefinisikan dengan, operasi perkalian didefinisikan dengan, operasi komplementeri didefinisikan dengan, elemen nol-nya didefinisikan dengan elemen satuan-nya didefinisikan dengan Kemudian sifat aljabar proposisi dari E- LOGIC bisa diturunkan melalui aksioma dari DE-Algebras sehingga didapatkan sifat-sifat berikut: (EL 1) (EL 2) (EL 3) (EL 4) (EL 5) (EL 6) Kemudian gagasan mengenai konvers, invers kontraposisi dalam E-LOGIC juga serupa dalam I-LOGIC yaitu sebagai berikut: i Konvers dari ii Invers dari iii Kontraposisi dari eorema 244 Jika diberikan E-LOGIC Bukti membentuk DE-Algebras, eorema 234 diturunkan menjadi Biimplikasi dalam E-LOGIC sama dengan biimplikasi dalam I-LOGIC diformulasikan sebagai berikut: eorema 245 Jika diberikan E-LOGIC Bukti membentuk DE-Algebras, Lemma 241 diturunkan menjadi Untuk tautologi, kontradiksi kontingensi dalam E-LOGIC juga didefinisikan sama dengan tautologi, kontradiksi kontingensi dalaam I-LOGIC Berikut beberapa tautologi yang ditemukan dalam E-LOGIC eorema 246 Jika diberikan E-LOGIC Bukti tautologi 00 De-Algebras, E-Logic E-Set heory

12 membentuk DE-Algebras, eorema 231 menjadikan tautologi eorema 247 Jika diberikan E-LOGIC Bukti tautologi De-Algebras, E-Logic E-Set heory membentuk DE-Algebras, eorema 232 menjadikan tautologi eorema 248 Jika diberikan E-LOGIC tautologi Bukti membentuk DE-Algebras, eorema 233 menjadikan tautologi eorema 249 Jika diberikan E-LOGIC Bukti tautologi (serupa dengan ) membentuk DE-Algebras, eorema 235 menjadikan tautologi (serupa dengan ) eorema 250 Jika diberikan E-LOGIC (serupa dengan ) tautologi Bukti membentuk DE-Algebras, eorema 236 Menjadikan tautologi (serupa dengan ) eorema 251 Jika diberikan E-LOGIC tautologi Bukti sebuah membentuk DE-Algebras, eorema 240 menjadikan tautologi eorema 252Jika diberikan E-LOGIC tautologi Bukti membentuk DE-Algebras, eorema 242 menjadikan tautologi autologi dalam E-LOGIC digunakan untuk menurunkan seperangkat aturan penarikan kesimpulan dalam kajian logika inferensi yang nantinya akan dinan dengan E-INFERENCE LOGIC (dalam proses perkembangan) Kajian mengenai E- INFERENCE LOGIC tidak akan dibahas dalam tulisan ini tetapi hanya diperkenalkan beberapa aturan-aturan yang menjadi dasar aturan pernarikan kesimpulan Aturan-aturan tersebut diturunkan dari beberapa tautologi dalam E-LOGIC yang telah dikemas dalam teorema-teorema sebelumnya 55

13 i Modus Ponen: Himpunan semesta dalam tulisan ini akan dinotasikan dengan i Komplemen dalam E-SE HEORY didefinisikan dengan ii Modus olen ii Irisan dalam E-SE HEORY didefinisikan dengan iii Hipotetikal Silogisme iii Gabungan dalam E-SE HEORY didefinisikan dengan iv Himpunan bagian dalam E-SE HEORY didefiniskan dengan iv Simplifikasi atau v Disjungsi Silogisme atau vi Belum dinan (notasikan dengan X1) Beberapa hal yang telah dikaji sebelumnya dalam E-LOGIC akan mengimbas ke beberapa konsep fundamental dalam teori himpunan eori himpunan yang diimbas oleh E-LOGIC akan dinan dengan E-SE HEORY Beberapa gagasan dalam teori himpunan sepeprti operasi di antara dua buah himpunan relasi (bagian dari kesamaan dua buah himpunan) yang diimbas oleh E-LOGIC akan diberikan berikut ini: v Kesamaan dua himpunan dalam E-SE HEORY didefinisikan dengan Koleksi semua himpunan akan dinotasikan dengan akan dinotasikan dengan E-SE HEORY eorema 253 E-SE HEORY membentuk DE-Algebras Bukti membentuk DE- Algebras operasi komplementeri, irisan da gabungan diimbas oleh operasi pada proposisi dalam E-LOGIC serta diimbas melalui kontradiksi K dalam E-LOGIC diimbas melalui tautologi dalam E-LOGIC E-SE HEORY membentuk DE-Algebras Kemudian sifat aljabar himpunan dalam E-SE HEORY bisa diturunkan melalui aksioma dari DE- Algebras sehingga didapatkan sifat-sifat berikut: (ES 1) (ES 2) 03 De-Algebras, E-Logic E-Set heory

14 (ES 3) (ES 4) (ES 5) (ES 6) Berikutnya beberapa sifat terkait dengan hubungan di antara himpunan yang melibatkan gagasan bagian dari kesamaan dua himpunan eorema 254 Jika diberikan E-SE HEORY Bukti Ini cukup diperiksa bahwa pernyataan merupakan tautologi Dengan memisalkan, diperoleh pernyataan yang berbentuk Berdasarkan eorema 248, pernyataan tersebut tautologi Jadi pernyataan yang benar eorema 255 Jika diberikan E-SE HEORY Bukti Ini cukup diperiksa bahwa pernyataan merupakan tautologi Dengan memisalkan diperoleh pernyataan berbentuk Berdasarkan eorema 251, pernyataan tersebut tautologi Jadi pernyataan yang benar eorema 256 Jika diberikan E-SE HEORY Bukti Ini cukup diperiksa bahwa pernyataan merupakan tautologi Dengan memisalkan diperoleh pernyataan berbentuk Berdasarkan eorema 252, pernyataan tersebut tautologi Jadi pernyataan yang benar KESIMPULAN Kesimpulan yang diperoleh dalam tulisan ini sebagai berikut: i Struktur Aljabar yg merupakan abstraksi dari E-LOGIC DE- Algebras yang sifat-sifatnya sudah diberikan dalam bagian pembahasan ii Sifat-sifat dari E-LOGIC yang diturunkan dari DE-Algebras sebagai berikut: 1 E-LOGIC membentukde-algebras 2 Jika diberikan E-LOGIC 3 Jika diberikan E-LOGIC 4 Jika diberikan E-LOGIC tautologi De-Algebras, E-Logic E-Set heory 57

15 5 Jika diberikan E-LOGIC tautologi 6 Jika diberikan E-LOGIC tautologi 7 Jika diberikan E-LOGIC tautologi (serupa dengan ) 8 Jika diberikan E-LOGIC tautologi (serupa dengan ) 9 Jika diberikan E-LOGIC sebuah tautologi 10 Jika diberikan E-LOGIC 4 Jika diberikan E-SE HEORY DAFAR PUSAKA Antoine, Pierre, Abstract Algebras, USA: Mathematics: Department University of California, 2007 Johnstone P, Notes on Logic and Set heory, New York: Cambridge University Press, 2002 Munir, R, Matematika Diskrit, Bandung: Penerbit Informatika, 2005 Soekadijo, R, G, Logika Dasar (radisoinal, Simbolik Induktif), Jakarta: Gramedia Suppes Patrick, Axiomatic Set heory, Canada: D Van Nostrand Company, 2000 tautologi iii Sifat-sifat dari E-SE HEORY yang diturunkan dari E-LOGIC sebagai berikut: 1 E-SE HEORY membentuk DE- Algebras 2 Jika diberikan E-SE HEORY 3 Jika diberikan E-SE HEORY 03 De-Algebras, E-Logic E-Set heory